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高 二 年 级 考 试
数学试题参考答案及评分标准
2024.07
一、单项选择题：
题 号
1 2 3 4 5 6 7 8
答 案
D B A A C D D A
二、多项选择题：
题 号
9 10 11
答 案
BCD BCD ACD
三、填空题：
12.150 13.5 14.0
四、解答题：
（ 分）
15. 13
解：（1） f ' x x 1 x ………………………………………… 分
∵ ( )= ln + x + 3, ∈(0, + ∞) 1
f ' f …………………………………………………………………… 分
(1)= 4, (1)= 2 3
切线方程为 x y ……………………………………………………… 分
∴ 4 - - 2 = 0 5
（2）令g x f ' x x 1
( )= ( )= ln + x + 3
x
g' x 1 1 - 1…………………………………………………………… 分
∴ ( )= x - x = x 7
2 2
令g' x 得x
( )= 0, = 1
列表
x 1 1
( ,1) 1 (1,2) 2
2 2
g' x
( ) ∕ - 0 + ∕
g x 7
( ) 5 - ln2 ↓ 4 ↑ ln2 +
2
…………………………………………………………………………… 分
9
由表知g x g ，即f ' x
( )min= (1)= 4 ( )min=4
又 g 1 g 7 3 ………………………… 分
∵ ( )- (2)= 5 - ln2 - ln2 - = - 2ln2>0 11
2 2 2
要使y m与曲线y f ' x 在 1 上有两不同交点，则m 7 …… 分
= = ( ) [ ,2] ∈(4,ln2 + ] 13
2 2
高二数学试题参考答案 第 页 （共 页）
1 5
{#{QQABBYQUggioQJIAAAgCAQX6CgEQkACACSgORAAMIAAAQANABAA=}#}16（. 15分）
（1）由题意可得
-
x 1+ 2 + 3+ 4 + 5 …………………………………………………………… 分
= = 3 1
5
-
y 9 + 11+ 14 + 26 + 20 …………………………………………………… 分
= = 16 3
5
5 - -
x x y y
∑i ( i - )( i - )=(-2)×(-7)+(-1)×(-5)+ 0×(-2)+ 1×10 + 2×4= 37
=1
……………………………………………………………………… 分
5
5 - 5 -
x x y y
2 2 2 2 2 2 2 2 2
∑i ( i - )∑i ( i - ) =[(-2) +(-1) + 0 + 1+ 2 ]×[(-7)+(-5) +(-2) + 10 + 4 ]
=1 =1
……………………………………………………… 分
= 1940 7
∴r 37 37 37 ………………………………………………… 9分
= = ≈ ≈0.84
1940 2 485 44
∴新产品收益y与广告宣传投入x具有较强的相关性 …………………………… 分
10
(2)零假设：H :消费者满意程度与性别无关 ……………………………………… 分
0 11
2
χ 2 100×(45×20 - 25×10) ………………………………… 分
= ≈8.129>6.635 14
55×45×70×30
∴依据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H 不成立，即消费者满意程度与性别有
0
关 …………………………………………………………………………………… 分
15
17.（15分）
解：（1）由题知m CkC kCk t C Ck nCk
= n 1k = n, = 1n n- - 1 1 = n- - 1 1
m t…………………………………………………………………… 分
= 3
n n
证明如下： m kCk k ! !
∵ = n = n k k = n k k
( - )! ! ( - )!( - 1)!
n n
t
=
nCk n-
-
1
1 =
n
n
(
k
- 1
k
)!
= n k
!
k
( - )!( - 1)! ( - )!( - 1)!
m t ……………………………………………………………………………… 分
∴ = 7
（2）（法一）
k Ck k kCk knCk nkCk ………………………………………………… 分
∵ 2 n = ( n) = n- - 1 1 = n- - 1 1 9
又kCk k Ck Ck n Ck Ck
n-
-
1
1 =( - 1)
n-
-
1
1 +
n-
-
1
1 =( - 1)
n-
-
2
2 +
n-
-
1
1
k Ck n n Ck nCk …………………………………………………… 分
∴ 2 n = ( - 1) n- - 2 2 + n- - 1 1 12
n n n
k Ck n n Ck n Ck
∴∑k 2 n = ( - 1)∑k n- - 2 2 + ∑k n- - 1 1
=1 =2 =1
n n n n n
-2 -1
= ( - 1)2 + 2
n n n ………………………………………………………… 分
-2
= ( + 1)2 15
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{#{QQABBYQUggioQJIAAAgCAQX6CgEQkACACSgORAAMIAAAQANABAA=}#}（法二）
k Ck k kCk knCk …………………………………………………………… 分
∵ 2 n = ( n) = n- - 1 1 9
设f x x x n
-1
( )= (1+ )
x x n x C xC x C xn Cn
(1+ )
-1
= (
0n
-1 +
1n
-1 +
2 2n
-1 + …+
-1 n-
-
1
1)
xC x C x C xnCn
=
0n
-1 +
2 1n
-1 +
3 2n
-1 + …+
n-
-
1
1
两边同时求导得
x n n x x n C xC x C nxn Cn
(1+ )
-1
+( - 1) (1+ )
-2
=
0n
-1 + 2
1n
-1 + 3
2 2n
-1 + …+
-1 n-
-
1
1
令x ,得C C C nCn n n …………………… 分
= 1
0n
-1 + 2
1n
-1 + 3
2n
-1 + …+
n-
-
1
1 =( + 1)2
-2
13
n
kCk n n
∴∑k
n-
-
1
1 =( + 1)2
-2
=1
n
k Ck n n n ………………………………………………………… 分
∴∑k 2 n = ( + 1)2 -2 15
=1
（法三）
k Ck k kCk knCk nkCk ………………………………………………… 分
∵ 2 n = ( n) = n- - 1 1 = n- - 1 1 9
n
kCk C C C nCn
∴∑k
n-
-
1
1 =
0n
-1 + 2
1n
-1 + 3
2n
-1 + …+
n-
-
1
1
=1
设S C C C nCn
=
0n
-1 + 2
1n
-1 + 3
2n
-1 + …+
n-
-
1
1 ①
S nCn n Cn n Cn C ……………………… 分
=
n-
-
1
1 +( - 1)
n-
-
2
1 +( - 2)
n-
-
3
1 + …+
0n
-1 ② 11
相加得
①+②
S n C C Cn …………………………………………… 分
2 =( + 1)(
0n
-1 +
1n
-1 + …+
n-
-
1
1) 13
n
S + 1 n -1 n n -2 ……………………………………………………… 分
= 2 =( + 1)2 14
2
n n
k Ck n kCk n n n …………………………………………… 分
∴∑k 2 n = ∑k n- - 1 1= ( + 1)2 -2 15
=1 =1
18.（17分）
解：（1）记事件A “小组比赛胜利”，A i 分别表示事件甲、乙、丙投篮成功，且
= i( = 1,2,3)
A A A 相互独立 …………………………………………………………………… 2分
1, 2, 3 - -- - --
法一：A A A A A A A ，且A A A A A A 彼此互斥 …………………… 分
= 1 + -1 2 + 1-2-3 1, 1 2, 1 -2 3 -- 3
P A P A A A A A A P A P A A P A A A
( )= ( 1 + 1 2 + 1 2 3)= ( 1) + ( 1 2) + ( 1 2 3)
2 1 1 1 2 3
= + × + × ×
3 3 3 3 3 4
17…………………………………………………………………………… 分
= 5
- 1-8 --
法二：A A A A …………………………………………………………………… 分
= 1 2-3 --- - - - 3
P A P A P A A A P A P A P A
( )= 1- ( )= 1- ( 1 2 3 )= 1- ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
1 2 1
= 1- × ×
3 3 4
17…………………………………………………………………………… 分
= 5
18
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{#{QQABBYQUggioQJIAAAgCAQX6CgEQkACACSgORAAMIAAAQANABAA=}#}（2）由题知X ……………………………………………………………… 分
= 1,2,3 6
P X P
( = 1)= 1
P X P P
( = 2)=(1- 1) 2
P X P P ………………………………………………… 分
( = 3)=(1- 1)(1- 2) 8
X的分布列为
∴
X
1 2 3
P P P P P P
1 (1- 1) 2 (1- 1)(1- 2)
………………………………………… 分
9
E X P P P P P P P P P ………… 分
( )= 1 + 2(1- 1) 2 + 3(1- 1)(1- 2)= 1 2 - 2 1 - 2 + 3 11
（3）方案一：依次派甲、乙、丙进行投篮，由（2）知E X P P P P
( )= 1 2 - 2 1 - 2 + 3
方案二：依次派丙、乙、甲进行投篮，设所需派出的人员数目为Y
则Y
= 1,2,3
P Y P
( = 1)= 3
P Y P P
( = 2)=(1- 3) 2
P Y P P
( = 3)=(1- 3)(1- 2)
Y的分布列为
∴
Y
1 2 3
P P P P P P
3 (1- 3) 2 (1- 3)(1- 2)
…………………………………………………………………… 分
14
E Y P P P P
∴ ( )= 3 2 - 2 3 - 2 + 3
E X E Y P P P P P P P P
∵ ( )- ( )=( 1 2 - 2 1 - 2 + 3)-( 3 2 - 2 3 - 2 + 3)
P P P P P P
= 1 2 - 3 2 + 2 3 - 2 1
P P P ………………………………………… 分
=( 1 - 3)( 2 - 2) 16
当P P 时，E X E Y ，选择方案一，所需派出的人员数目的数学期望较小
1> 3 ( )< ( )
当P P 时，E X E Y ，选择方案二，所需派出的人员数目的数学期望较小
3> 1 ( )> ( )
…………………………………………………………………………………… 分
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{#{QQABBYQUggioQJIAAAgCAQX6CgEQkACACSgORAAMIAAAQANABAA=}#}19.（17分）
m
解：（1） f ' x ex x …………………………………………… 分
-1
∵ ( )= - x , ∈(0, + ∞) 1
当m f ' x ex -1 1
= 1, ( )= - x
令m x f ' x m' x ex -1 1
( )= ( ), ( )= + x >0
2
f ' x 在 单调递增 ……………………………………………… 分
∴ ( ) (0, + ∞) 3
又 f ' ……………………………………………………………… 分
∵ (1)= 0 4
当x ，f ' x f x 单调递减
∴ ∈(0,1) ( )<0, ( )
当x ，f ' x f x 单调递增………………………………… 分
∈(1, + ∞) ( )>0, ( ) 6
ex 1-1 1 x 2 x ex 2-1 1 x 2 x
（2）不妨设x x ，由g x g x ，得m - 2 1 + 1 - + 2 2 - 2
1> 2>0 ( 1)= ( 2) = x x
ln 1 - ln 2
x x
∵ 1 > 2
x x
∴ln 1 >ln 2
m
要证：e 2 e x x ,只要证：m e x x ………………………………………… 8分
> 1 2 2 > (ln 1 + ln 2)
e e
即证：ex 1-1 1 x 2 x x 2 ex 2-1 1 x 2 x x 2
- 1 + 1 - (ln 1) > - 2 + 2 - (ln 2)
2 2 2 2
e
令h x ex -1 1 x 2 x x 2 ,只需证：h x h x ……………………… 分
( )= - + - (ln ) ( 1)> ( 2) 10
2 2
只要证h x 在 单调递增
( ) (0, + ∞)
e x
即证：h' x ex -1 x ln 在 恒成立 ………………………… 分
( )= - + 1- x ≥0 (0, + ∞) 12
e x
只要证ex -1 x ln
- + 1≥ x
令φ x ex x ，φ' x ex
-1 -1
( )= - + 1 ( )= - 1
当x φ' x φ x 单调递减，当x φ' x φ x 单调递增
∈(0,1), ( )<0, ( ) ∈(1, + ∞), ( )>0, ( )
φ x ………………………………………………………………………… 分
∴ ( )≥1 14
e x e x
令P x ln P' x (1- ln )
( )= x , ( )= x
2
当x e p' x p x 单调递增，当x e p' x p x 单调递减
∈(0, ), ( )>0, ( ) ∈( , + ∞), ( )<0, ( )
p x p e …………………………………………………………………… 分
∴ ( )≤ ( )= 1 16
e x
ex -1 x ln 在 恒成立
∴ - + 1≥ x (0, + ∞)
m
e 2 e x x ………………………………………………………………………… 分
∴ > 1 2 17
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{#{QQABBYQUggioQJIAAAgCAQX6CgEQkACACSgORAAMIAAAQANABAA=}#}{#{QQABBYQUggioQJIAAAgCAQX6CgEQkACACSgORAAMIAAAQANABAA=}#}
