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高二数学试题答案
一、选择题：
1、C 解析 由已知,得 a=1+(-1)2=2,所以 2a=2+(-1)3,a= ,所以 +(-1)4,a=3,所以
2 3 3 4
3a=3+(-1)5,所以 a= ,所以 。故选 C。
5 5
2.D 解 析 因 为 a=2,a=4,a+a +a =2,所 以 a =2-a -a,则
1 2 n n+1 n+2 n+2 n+1 n
a=2-a-a=-4,a=2-a-a=2,a=2-a-a=4,…,所 以 数 列 {a}是 以 3 为 周 期 的 周 期 数 列 ,则 a
3 2 1 4 3 2 5 4 3 n 2
=a =a=-4。故选 D。
025 675×3 3
3.C 解析 根据题意,数列 9,99,999,9 999,…的第 n 项为 10n-1,则数列 0.9,0.99,0.999,0.999
9,…的第 n 项为 ×(10n-1)=1- ,则数列 0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的一个通项公式是 a=
n
。故选 C。
4、A 解析 设 V=f(d)= ,则 f'(d)= ,所以当 d=2 dm 时,气球体积的瞬时变化率为 f
'(2)=2π。故选 A。
5、B 解析 设公切线与曲线 y=ln x-1 和 y=ax2 的切点分别为(x,ln x-1),(x,a ),其中 x>0,
1 1 2 1
对于y=ln x-1有 y'= ,则 y=ln x-1的切线方程为y-(ln x-1)= (x-x),即 y= +ln x-2。对于y=ax2
1 1 1
有 y'=2ax,则 y=ax2 的 切 线 方 程 为 y-a =2ax(x-x),即 y=2axx-a ,所 以
2 2 2
则- =ln x-2,即 ln x(x>0)。令 g(x)=2x2-x2ln x,则其
1 1 1
定义域为(0,+∞),g'(x)=3x-2xln x=x(3-2ln x),令 g'(x)=0,得 x= ,当 x∈(0, )时,g'(x)>0,g(x)单调递
增;当 x∈( ,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以 g(x) =g( )= e3,故 0< e3,即 a≥ e-3。
max
故选 B。
6、A 解析 由题意知,只有在 x=-1 处满足 f'(-1)=0,且其两侧导数值符号为左负右正。故选
A。
7、D 解析 因为(1+x)n 的展开式的通项 T = xr,所以(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9 的展开式
r+1
中 x2 的系数是
+…+ +…+ +…+ +…+ =…=
=120。故选 D。
8、B 解析 因为乙和丙之间恰有 2 人,所以乙丙及中间 2 人占据首四位或尾四位,①当乙
丙及中间 2 人占据首四位,此时还剩末位,故甲在乙丙中间,排乙丙有 种方法,排甲有 种方
共 4 页，第 1页法,剩余两个位置两人全排列有 种排法,所以有 =8 种方法;②当乙丙及中间 2
人占据尾四位,此时还剩首位,故甲在乙丙中间,排乙丙有 种方法,排甲有 种方法,剩余两
个位置两人全排列有 种排法,所以有 =8 种方法。由分类加法计数原理可知,一
共有 8+8=16 种排法,故选 B。
二、选择题：
9、BD 解析 函数 y=f(x)在区间(2,4)上 f'(x)>0,则函数 f(x)在区间(2,4)上单调递增,故 A 不
正确,B 正确;C 项,由题中图象知当 x=-3 时,函数 f'(x)取得极小值,但是函数 y=f(x)没有取得极小
值,故 C 错误;D 项,当 x=4 时,f'(x)=0,当 20,函数 y=f(x)单调递增,当 x>4 时,f'(x)<0,
函数 y=f(x)单调递减,故 4 是函数 f(x)的极大值点,故 D 正确。故选 BD。
10、BC 解析 由题图知,当 x∈(-∞,-2)时,g(x)>0,所以 f'(x)<0,当 x∈(-2,0)时,g(x)<0,所以 f
'(x)>0,当 x∈(0,1)时,g(x)<0,所以 f'(x)<0,当 x∈(1,+∞)时,g(x)>0,所以 f'(x)>0。所以 f(x)在(-∞,-2),
(0,1)上单调递减,在(-2,0),(1,+∞)上单调递增。故 AD 错误,BC 正确。故选 BC。
11、ACD 解析 对于 A,(1-2x)2 023 的展开式中所有项的二项式系数的和为 22 023,故 A 正
确;对于 B,令 f(x)=(1-2x)2 023,则 a+a+a+a+…+a =f(1)=-1,a-a+a-a+…-a =f(-1)=32 023,
0 1 2 3 2 023 0 1 2 3 2 023
所以展开式中所有奇次项的系数的和为 ,展开式中所有偶次项的系数
的 和 为 ,故 B 错 误 ,C 正 确 ;对 于 D,a=f(0)=1, +…+
0
-a=-1,故 D 正确。故选 ACD。
0
三、填空题：
12、19 解析 设等差数列{a}的前n 项和为S,项数为2k-1,则 ,解得k=10,
n n
则项数为 2×10-1=19。
13、 2 x + y-4=0 解析 解法一:P(2,f(2))关于直线 x=1 的对称点为(0,f(0)),即点(0,0),当 x≤1
时,f'(x)=ex+1,f'(0)=2,所以 f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,其关于直线 x=1 对称的直线方程
即所求方程为 2x+y-4=0。
解法二:设点 M(x,y),N(x,y)分别为函数 f(x)的图象上关于直线 x=1 对称的两点,且 x≤11 时
2 2
,f(x)=e2-x-x+1,所 以 f(2)=e2-2-2+1=0,f'(x)=-e2-x-1,所 以 f'(2)=-e2-2-1=-2,所 以 曲 线 y=f(x)在 点 P
(2,f(2))处的切线方程为 y=-2(x-2),即 2x+y-4=0。
共 4 页，第 2页14、 15 解 析 的 展 开 式 的 通 项 为 T = x5-2k,
k+1
(x+1)2=x2+2x+1,当在(x2+2x+1)中取 x2 时,令 5-2k=1,解得 k=2,则有 x2 x=10x3;当在(x2+2x+1)中
取 2x 时,令 5-2k=2,无解;当在(x2+2x+1)中取 1 时,令 5-2k=3,解得 k=1,则有 1× x3=5x3。所以(x
+1)2 的展开式中,含 x3 的项为 10x3+5x3=15x3,所以 x3 的系数是 15。
四、解答题：
15、解 (1)证明:在数列{a}中, n∈N*,S =4a+2,则当 n≥2 时,S=4a +2,两式相减,得 a
n n+1 n n n-1 n
=4a-4a 。因为 c= ,即 a=2n∀c,所以 2n+1c =4×2nc-4×2n-1c ,整理得 c =2c-c ,即 c
+1 n n-1 n n n n+1 n n-1 n+1 n n-1 n
+c =2c,所以数列{c}是等差数列。
+1 n-1 n n
(2)由 S =4a+2,得 a+a=4a+2,又 a=1,所以 a=5,c= ,c= ,因此,等差数列{c}的
n+1 n 1 2 1 1 2 1 2 n
公差 d= ,即{c}是以 为首项, 为公差的等差数列,所以 c= (n-1)= ,即
n n
,则 a=(3n-1)·2n-2,所以数列{a}的通项公式为 a=(3n-1)·2n-2。
n n n
16、 证 明 (1)因 为 (n-1)S+2na =0,而 a =S -S,所 以 (n-1)S+2n(S -S)=0,所 以
n n+1 n+1 n+1 n n n+1 n
,即 b = b,而 b=S=a= ,所以数列{b}是以 为首项, 为公比的等比数列。
n+1 n 1 1 1 n
(2)由(1)知 ,所以 S= ,所以 a = 。当 n=1 时,c= =1,所以 T<2。
n n+1 1 1
当 n≥2 时 ,c= ,所 以 T=1+ +…+
n n
+…+ <2。综上,T<2。
n
17、解 (1)f'(x)=2cos x-2cos 2x=2cos x-2(2cos2x-1)=(-cos x+1)(4cos x+2)。当 0≤x≤π时,令 f
'(x)>0,得- 0,所 以 g'(x)>-4cos2x+2cos x+1,又 -4cos2x+2cos x+1=-4
,所以-4cos2x+2cos x+1>0,所以 g'(x)>0 在区间
共 4 页，第 3页上 恒 成 立 。 所 以 g(x)在 区 间 上 单 调 递 增 ,所 以 g(x)≥g
-0.739>0,所以当 时,f(x)>ln(x+1)。
18、【分析】 对于第(2)问:设 g(x)=ex+sin x+mx-1(x≥0),因为 g(0)=0,g(x)≥0,所以一定存在
x >0,使 g(x)在(0,x)上单调递增,否则不满足 g(x)≥0。又 g'(x)=ex+cos x+m,所以 g'(0)=m+2≥0,
0 0
即 m ≥-2。这可能就是所要求的范围,下面给予证明。
【解】 (1)由题意得 f'(x)=ex+cos x,当 x∈ 时,易得函数 f'(x)单调递增,而 f
'(-π)=e-π-1<0,f' >0,故存在 x∈ ,使 f'(x)=0,当 x∈[-π,x)时,f'(x)<0;
0 0 0
当 x∈ 时 ,f'(x)>0,而 f(-π)=e-π-1<0,f -2<0,所 以 函 数 f(x)在
上无零点。当 x∈ 时,f'(x)=ex+cos x>0,所以函数 f(x)在 上
单 调 递 增 ,又 f(0)=0,所 以 函 数 f(x)在 上 有 1 个 零 点 。 综 上 所 述 ,函 数 f(x)在
上有 1 个零点。
(2)设 g(x)=ex+sin x-1+mx(x≥0),则 g(0)=0,g'(x)=ex+cos x+m,g'(0)=m+2。由于 g″(x)=ex-sin x>0,所
以 g'(x)在[0,+∞)上单调递增。若 m≥-2,则有 g'(x)≥g'(0)≥0,此时 g(x)在[0,+∞)上单调递增,所以 g
(x)≥g(0)=0 符合题意。若 m<-2,则 g'(0)<0,在 x>0 时,存在一个区间(0,x),使得 g'(x)<0。此时有
0
g(x)<0 与题意不符。故 m<-2 时不合题意。综上可知,实数 m 的取值范围是[-2,+∞)。
0
19、解 (1)每人都可以从三个竞赛项目中选报一项,各有 3 种不同的报名方法,根据分步乘法
计数原理,可得不同的报名方法种数为 36=729。
(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有 6 种选法,第二个项
目有 5 种选法,第三个项目只有 4 种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法种数为
6×5×4=120。
(3)每项限报一人,每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这 6 名同学中选出一人参赛
,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法种数为 63=216。
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