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2024级高二学年上学期9月考试
数学试题答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B C B C C A A D BCD CD BD
二、填空题：
12、 9 . 13、 . 14、
三、解答题：
15、已知直线 .
(1)求经过点 且与直线 垂直的直线方程；
(2)求经过直线 与 的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）由直线 可得斜率为 ，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为 ，
则依题意有 ，解得 ，
所以所求直线方程为 ，整理得 ；
（2）联立 ，解得 ，即直线 与 的交点为 ，
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为 ，代入 得 ，此时 ；
当直线的截距都不为0时，设直线方程为 ，
依题意 ，解得 ，此时直线方程为 ，
综上所述：所求直线方程为 或 .
16、已知直线 ，圆 ，圆 ：
.
(1)判断直线 与圆 的位置关系，并说明理由；
(2)圆 与圆 交于 两点，求过 与 这三点的圆的方程.
【答案】(1)相交，理由见解析
(2)
（2）法一：设圆的方程代入计算求解即可；法二：根据交点设圆的方程计算求参即可.
【详解】（1）由于 ，则直线过定点 ，
，故定点在圆内，直线与圆相交.
（2）法一：联立两圆方程 ，解得 ，
令所求圆方程为 ，代入三点， ，
得所求圆方程为 .
法二：令所求圆方程为 ，
代入 ， ，
解得 ，故所求圆方程为 .
17、已知椭圆 长轴长为4，且椭圆 的离心率 ，其左右焦点分
别为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设过点 且倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 两点，分别求 的周长和面积．
【答案】(1)
(2)周长为8，面积为
【详解】（1）由题意可知： ，则 ，
，
，
椭圆（2）根据椭圆的定义， 的周长为 ；
其中 ，直线 的斜率为 ，
直线 ，
联立方程组 得 ，显然 ，
设 ，则 ，
，
点 到直线 的距离 ，
.
18、已知圆C： ，点P是直线l： 上一动点，过点P作圆C的两条
切线，切点分别为A，B．
(1)若P的坐标为 ，求过点P的切线方程；
(2)试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由；
(3)直线 与圆C交于E，F两点，求 的取值范围（O为坐标原点）.
【答案】(1) 或 ，(2) (3)【详解】（1）
由图像易知： 是其一条切线，
设另切线方程为 ，即
圆心坐标为 ，半径
根据圆的切线的定义可知： ，即
解得：
代回方程可求得切线方程为：
所以 或 ，
过点P的切线方程为： 或 ，
（2）
∵圆
∴圆心 ，半径 ，
设 ，由题意知 在以 为直径的圆上，又
,
∴以 为直径的圆的方程为： ，即
又圆C： ，即
故直线 的方程为 ，即
由 ，解得 ，
即直线AB恒过定点 .（3）由 ，得
∴
设 ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴ 的取值范围为 .
19、如图，椭圆的方程为 ，左、右焦点分别为 ．设 是椭圆
上位于 轴上方的两点，且直线 与直线 平行， 与 交
于点 ．
(1)若 ，求直线 的斜率；
(2)求证： 是定值．
【答案】(1) (2)证明见解析【详解】（1）由于 ，又因为 ，
所以设直线 的方程分别为 ， ， ， ， ，
．
联立方程 可得 ，求得 ．
所以
．①
同理可得， ．②
由①②两式得， ．
由已知得 ，故 ．
注意到 ，所以 ．所以直线 的斜率为 ．
（2）证明：因为 ，所以 ，
即 ，即 ．
所以 ．
由点 在椭圆上知， ，所以 ．
同理可得， ．
所以
．
由①②两式得， ， ，
所以 ．
所以 是定值．
