文档内容
哈三中 2024—2025 学年度上学期
高二学年期中考试
数学试卷
考试说明：
（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分.考试时间为120
分钟；
（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题（共58分）
（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1. 圆 的圆心和半径分别是（ ）
A. ，2 B. ，2
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由圆 的标准方程直接可得出圆的圆心和半径.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 .
故选：C.
2. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 经验回归方程 至少经过其样本数据点 ， ，…， 中的一个
B. 可以用相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱，r的绝对值越小，说明两个变量线性相
关程度越强
C. 线性回归分析中决定系数用 来刻画回归的效果，若 值越小，则模型的拟合效果越好
D. 残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好
【答案】D【解析】
【分析】根据经验回归方程、相关系数、决定系数、残差等知识确定正确答案.
【详解】对于A，经验回归方程 是由最小二乘法计算出来的，它不一定经过其样本数据点，一
定经过 ，所以A错误；
对于B，由相关系数的意义，当 越接近1时，表示变量y与x之间的线性相关程度越强，所以B错误；
对于C，用决定系数 的值判断模型的拟合效果， 越大，模型的拟合效果越好，所以C是错误；
对于D，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，
模型的拟合效果越好，故D正确.
故选：D.
3. 某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布 ， ，
，其正态分布的密度曲线如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的曲线，利用正态分布的密度曲线的特征判断即得.
【详解】观察曲线知， .
故选：D
4. 将1，2，3，4，5，6这6个数填入如图所示的3行2列表格中，则表格内每一行数字之和均相等的概率
为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，先将6个数字分为3组，再将三组全排列，安排在表格的三行中，由分步计数原理计
算计算个数，即可由古典概型概率公式求解.
【详解】要使表格内每一行数字之和均相等，根据 ，
先将6个数字分为3组，分别为 ， ， ；
将三组全排列，安排在表格的三行中，每一行有 种顺序，
则可组成不同表格的个数为 ；
将1，2，3，4，5，6这6个数填入表格中 的所有情况 ,
故概率为
故选：C．
5. 设 a 为实数，已知直线 ： ， ： ，若 ，则 （
）
A. 6 B. C. 6或 D. 或3
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得 ，据此可得 的可能值，验证后可得答案.
【详解】因 ，则 .
则 或 .当 ， ： ， ： ，满足 ；当 ， ： ， ： ，两直线重合，不合题意.
则 .
故选：A
6. 已知直线l： ，其中t为 展开式中的常数项，则点 到直线l的距离为（
）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项特征可得 ，即可根据点到直线的距离公式求解.
【详解】 展开式的常数项为 ,故 ，
所以直线l： ，
故点 到直线l的距离为 ，
故选：B
7. 某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午 8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小
时反馈一次，共统计了前3次的数据 ，其中 ，2，3， 为第i次人流量数据（单位：千人），
由此得到y关于i的回归方程 .已知 ，根据回归方程，可预测下午2点时校门人流量为
（ ）千人.
参考数据：
A. 9.6 B. 10.8 C. 12 D. 13.2
【答案】B
【解析】
【分析】令 ，由 ，求出 ，得回归方程，可求预测值.【详解】令 ，则 ，
，又 ，
由 ，得 ，所以 ，
则 ，
下午2点时对应 ，可得 .
故选：B.
8. 已知函数 ，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简 ， 函数 上一点 与 连线斜率 的 倍，求出
的范围，即可得出答案.
【详解】因为 ，图象如下图， ，，
表示函数 上一点 与 连线斜率 的 倍，
， ，
由图可知： 或 ，
所以 或 ，
则 的取值范围为 .
故选：D.
（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 关于函数 ，下列命题中正确的是（ ）
A. 是以 为最小正周期的周期函数
B. 的最大值为
C. 将函数 的图象向左平移 个单位后，与已知函数的图象重合D. 的图象关于直线 对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据辅助角公式可得 ，即可根据周期以及最值求解AB，根据平移的性
质即可判断C，代入验证即可求解D.
【详解】 ,
对于A，最小正周期为 ，A正确，
对于B，由于 的最大值为1，故 的最大值为 ，B正确，
对于C， 的图象向左平移 个单位后，得到
，故C错误，
对于D， ，故 的图象关于直线 对称，D正确，
故选：ABD
10. 在平面直角坐标系中，定义 为两点A(x ,y )，B(x ,y )的“切比
1 1 2 2
雪夫距离”，又设点 及直线 上任意一点 ，称 的最小值为点 到直线 的“切比雪夫距离”，
记作 ，则下列命题中正确的是（ ）
A. ， ，则B. 为坐标原点，动点 满足 ，则 的轨迹为圆
C. 对任意三点 、 、 ，都有
D. 已知点 和直线 ： ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：根据切比雪夫距离的定义直接运算即可；
对于B：设 ，分析可得 ，且等号至少有一个成立，即可得结果；
对于C：根据题意结合绝对值不等式的分析判断；
对于D：设点 可得 ，讨论可得距离 ，再由函数的性质，求得
最小值.
【详解】对于选项A：若 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，故A正确；
对于选项B：设 ，
若 ，则 ，且等号至少有一个成立，
可得 的轨迹如图所示，为正方形，故B错误；
对于选项C：设 ，则
，
同理可得 ，
所以 ，故C正确；
对于选项D：设 为直线 上一点，
则 ，
当 ，即 时，则 ，
可知当 时，取得最小值 ；
当 ，即 或 ，则 ，无最小值；
综上可得： ，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根
据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于
此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，
所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
11. 高考数学试题第二部分为多选题，共 个小题，每小题有 个选项，其中有 个或 个是正确选项，全
的
部选对得 分，部分选对得部分分，有选错 得 分.若正确答案是 个选项，只选对 个得 分，有选
错的得 分；若正确答案是 个选项，只选对 个得 分，只选对 个得 分，有选错的得 分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是 ，记 为小明随机选择 个选项的得分，记 为小
明随机选择 个选项的得分，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】分别计算出 和 的分布列，然后逐项进行计算即可求得.
【详解】由题意， ，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择 个；若该题有 个正
确选项，则小明从 个错误选项中选择 个，
概率为： ；
，该题有 个正确选项，则小明从 个正确选项中选择 个，
概率为： ；
，该题有 个正确选项，则小明从 个正确选项中选择 个，
概率为： ；
，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择 个或选择 个错误选项；若该题有 个正
确选项，则小明从 个错误选项中选择 个，再从 个正确选项中选一个，概率为：
；
，该题有 个正确选项，则小明从 个正确选项中选择 个，概率为： ；
，该题有 个正确选项，则小明从 个正确选项中选择 个，
概率为： ；
对于A选项， ， A错误；
对于B选项， ；
；所以 ， B正确；
对于C选项， ，
，C正确；
对于D选项， ，D正确.
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）
12. 下列说法中正确的有__________（填正确说法的序号）
①直线 的倾斜角为
②直线 的斜率为
③直线 （ ）过定点
④点 到直线 的距离为1【答案】①③
【解析】
【分析】对于①，根据斜率与倾斜角的关系可判断，对于②，将直线化为一般式，即可判断；对于③，将
直线 化为 ，故可判断；对于④，根据点到直线的距离公式即可判
断.
【详解】对于①，直线 的斜率为 ，
根据倾斜角 满足 ，即 ，故①正确；
对于②，将直线 化为一般式为 ，
所以斜率为 ，故②错误；
对于③，将直线 化为 ，
所以 时， ，不论 取值，故直线过定点 ，故③正确；
对于④，根据点到直线的距离公式 ，故④错误.
故答案为：①③
13. 对于随机事件 ，若 ， ， ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件概率公式及概率的性质计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，
又 ，
所以 ，解得 .
故答案为： .
14. 已知正方体 的棱长为2，E、F为空间内两点且 ， ，
.当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件得到 为 中点， 在平面 内，其中 为定值，只需点 到平面
的距离最大，建立空间直角坐标系，设 ， ，得到平面 的法向量，利用点到平
面距离的向量公式得到当 时，点 到平面 的距离最大，此时 与 重合，求出 ⊥平
面 ，设球心 ，由 得到方程组，求出球心和半径，求出表面积.
【详解】因为 ，所以 为 中点，
又 ， ，故 在平面 内，
其中 为定值，只需点 到平面 的距离最大，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
正方体 的棱长为2，故 ，设 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 得 ，故 ，
则 到平面 的距离 ，
故当 时，点 到平面 的距离最大，此时 ，即 与 重合，
设球心 ，由 得
，
解得 ，
故外接球球心为 ，半径为 ，
故外接球表面积为 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理，几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，进而求出半径，也可以利用空间向量的方放，设出
球心坐标，待定系数法进行求解
三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求锐角 的大小；
（2）在（1）的条件下，若 ，且 的周长为 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式即可得解；
（2）先求出 ，再根据正弦定理，令 ，求出 ，再根据三角形的周长求出
，再根据三角形的面积公式即可得解.
【小问1详解】
因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ；
【小问2详解】
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
则 ，
由正弦定理，令 ，
则 ，
所以 的周长为 ，
解得 ，
所以 ，
所以 .
16. 已知 的三个顶点分别是 ， ，
（1）求边AC的高BH所在直线方程；
（2）已知M为AB中点，试在直线CM上求一点P，在x轴上求一点Q，使 的周长最小，并求最
小值.
【答案】（1）
（2）当 时， 的周长最小，最小值为 .
【解析】
【分析】（1）求出边AC的高BH的斜率，再由点斜式方程即可得出答案.
（2）先求出直线CM的方程，如图，作出 关于直线CM的对称点 ，作出 关于 轴
的对称点 ，则连结 ，交直线CM于 ，交 轴于 ，则 的周长的最小值等于 ，最后求出直线 的方程，即可求出点Q.
【小问1详解】
因为 ， ，所以 ，
所以边AC的高BH的斜率为 ，又因为直线BH过点 ，
所以BH所在直线方程为： ，
化简可得： .
所以BH所在直线方程为 .
【小问2详解】
因为M为AB中点，所以 ， ，
直线CM的方程为： ，化简可得： ，
如图，作出 关于直线 的对称点 ，
则 ，解得： ，所以 ，
作出 关于 轴的对称点 ，
连结 ，交直线CM于 ，交 轴于 ，
， ，
三角形 的周长为线段 的长，
由两点间线段最短得此时 的周长最小，的周长最小时，最小值为： ，
此时直线 的斜率为 ，
直线 的方程为： ，化简可得： ，
令 ，所以 ，所以 ，
令 ，所以 ,所以 ,
所以当 时， 的周长最小，最小值为 .
17. 随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市
文旅局随机选择 名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分 分）， 分及以上为良好等
级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，求x的值并估计该评分的上四分位数；
（2）若采用按比例分层抽样的方法从评分在 ，[80,90)的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽
取3人进行单独交流，求选取的4人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望；（3）为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客
进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值 的独立性检
验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关.
附： ，
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1） ，
（2）分布列见解析，
（3）无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关.
【解析】
【分析】（1）根据频率和为 计算出 的值；先判断出上四分位数所在区间，然后结合区间端点值以及该
组的频率完成计算；
（2）先根据分层抽样计算出每组抽取的人数，然后确定出 的可取值并计算对应概率，由此可求分布列
和数学期望；
（3）根据已知条件得到对应 列联表，然后计算出 的值并与对应 比较大小，由此得到结论.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知， ，解得 ；
因为[90,100)的频率为 ，且[90,100)为最后一组，
所以评分的上四分位数位于区间[90,100)中，
所以上四分位数为： ；
【小问2详解】
评分在 与[80,90)两组的频率分别为 ，所以 内抽取人数为 ，[80,90)内抽取人数为 ，
故 人中评分等级为良好的有 人，
由题意可知， 的可取值为 ，
， ， ，
所以 的分布列为：
数学期望 ；
【小问3详解】
青年游客评分等级良好的有 人，所以老年游客评分等级良好的有 人，
由上可得如下 列联表，
青年游客 老年游客 总计
评分等级良好
评分等级非良好
总计
零假设 ：游客的评分等级是否良好与年龄段无关，
由表中数据可得 ，
根据小概率值 的独立性检验，可知零假设 成立，
即无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关.
18. 棱长为2的正方体 ，M为正方体中心，将四棱锥 绕 逆时针旋转（ ）后得到四棱锥 ，如图1.
（1）求四棱锥 的表面积和体积；
（2）若 （如图2），求证：平面 平面 ；
（3）求 为多少时，直线 与直线DC所成角最小，并求出最小角的余弦值.
【答案】（1）表面积 为，体积为
（2）证明见解析 （3） 时，直线 与直线DC所成角最小，最小角的余弦值为
【解析】
【分析】（1）根据棱锥的表面积公式和体积公式计算即可；
（2）易得平面 ､平面 为同一个平面，补全正方体 ，证明 为
二面角 的平面角，再证明 即可；
（3）以 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
由题意， ，
则 ，所以四棱锥 的表面积为 ，
四棱锥 的高为 ，
则 ；
【小问2详解】
若 ，则平面 ､平面 为同一个平面，
如图，补全正方体 ，
连接 、 ，则 是 中点， 是 中点，
所以平面 与平面 重合，平面 与平面 重合，
由正方体性质可知 平面 ，
因为 平面 ，所以 ， ，
为二面角 的平面角，
因为 ，则 ，同理可得 ，
所以 ，所以平面 平面 ；
【小问3详解】
如图，以 为原点，建立空间直角坐标系，则 ，
，即 ，
故 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，此时 ，即 ，
所以 时，直线 与直线DC所成角最小，最小角的余弦值为 .
【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法：
（1）面面垂直的定义；
（2）面面垂直的判定定理.
在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，
组织论据证明即可.19. 某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团
共有n位同学，每次活动均需k位同学参加.假设甲和乙分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社
团k位同学，且所发信息都能收到.
（1）当 ， 时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率；
（2）记至少收到一个活动通知信息的同学人数为X
设 ， ，求随机变量X的分布列和数学期望；
①
求使 取得最大值的整数m.
②
【答案】（1） ；
（2）①分布列见解析，数学期望为 ；②答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率，结合事件的独立性及组合计数问题列式求解.
（2） 求出 的可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望；②按 和 分类求出
①
的表达式，再建立不等式求出对应的整数 .
【小问1详解】
设事件 “该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息”，
所以 .
【小问2详解】
的可能取值为2，3，4，
①
，
所以 的分布列为：
2 3 4数学期望 .
②当 时， 只能取 ，此时有 ；
当 时，整数 满足 ，其中 是 和 中的较小者，
由甲和乙各自独立、随机地发送活动信息给k位同学，得所包含的基本事件总数为 ，
当 时，同时收到甲乙两人所发信息的学生人数为 ，
仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为 ，
的
由分步乘法原理知，事件 所包含 基本事件数为 ，
，
当 时， ，
，
因此 取得最大值时， 满足 ，
假如 成立，则当 能被 整除时， 在 和
处达到最大；
当 不能被 整除时， 在 处达到最大值（ 表示不超过 的最大
整数），
下面证明 ：由 ，得 ，
，则 ，显然 ，
因此 .
【点睛】关键点点睛：求使 取得最大值的 值，关键是求出 的表达式，再利用最大概
率问题求解.
