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江苏省无锡市 2025 届高三 11 月期中教学质量调研测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 ， ，则 ( )
A={x|−10且S <0”是“a a <0”的( )
n n 2024 2025 1012 1013
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2−x x
6.已知函数f(x)=ln + ，则下列函数是奇函数的是( )
x x−1
A. f(x+1)+1 B. f(x−1)+1 C. f(x−1)−1 D. f(x+1)−1
θ π √3 π π
7.若sin( + )= (− <θ< )，则tan2θ的值为( )
2 4 3 2 2
2√5 2√5 4√2 4√2
A. − B. C. − D.
5 5 7 7
8.在△ABC中，已知BC=3，AC=1，∠ACB=60∘，点D是BC的中点，点E是线段AD上一点，且
1
AE= AD，连接CE并延长交边AB于点P，则线段CP的长度为( )
3
7 √37 6 √35
A. B. C. D.
5 5 5 5
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1 1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
π 3π
9.下列函数中，在区间( , )上单调递增的函数是( )
2 4
π 2π
A. y=sin(2x− ) B. y=cos(x+ ) C. y=|sin2x| D. y=sin2x
4 3
10.下列说法中正确的有( )
A. 若a>b>0，cb>0，c<0，则 >
a b
C. 若1a2，则b2>a2
11.函数 下列说法中正确的有( )
f(x)=x3+ax2+bx−1.
A. 当a=3，b=1时，有f(−2−x)+f(x)=0恒成立
B. ∃a，b∈R，使f(x)在(−∞,1)上单调递减
C. 当b=0时，存在唯一的实数a，使f(x)恰有两个零点
1
D. 当b=0，x∈[−2,0]时，x−6≤f(x)≤x恒成立，则a∈[ ,1]
4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知 ， ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为 ．
⃗a=(0,2) ⃗b=(√3,1) ⃗a ⃗b
1 1
13.已知实数a，b，c满足9a=24b=c且 + =3，则c= ．
a b
m m
14.任何有理数 都可以化为有限小数或无限循环小数;反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为
n n
˙ m
的形式，从而是有理数.则
1.4=
(写成 的形式，m与n为互质的具体正整数);若1.4，1.44，1.444，
n
⋯⋯
构成了数列
{a n }
，设数列
b n = (10n+1−1
1
)⋅(a −1)
，求数列
{b n }
的前
n
项和
S n =
．
n
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
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2 1已知向量 与 的夹角为 ，且 ⃗ ， ⃗ ，若⃗ ⃗ ⃗，
⃗a ⃗b 135∘ |a|=1 |b|=√2 c=λa+(1−λ)b λ∈R.
(1)当⃗b⊥⃗c时，求实数λ的值;
(2)当|⃗c|取最小值时，求向量⃗b与⃗c夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知函数 ，
f(x)=x2+aln(x+1) a∈R.
(1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求a的取值范围;
a
(2)求函数g(x)=f(x)−( +2)x的单调递减区间．
2
17.(本小题15分)
在△ABC中，已知(√3tan A−1)(√3tanB−1)=4．
(1)若△ABC为锐角三角形，求角C的值，并求sin2A−cos2B的取值范围;
(2)若AB=√3，线段AB的中垂线交边AC于点D，且CD=1，求A的值．
18.(本小题17分)
已知函数 ．
f(x)=ex
(1)若∀x∈R，不等式mf(x)−x>0恒成立，求实数m的取值范围;
过点 可以作曲线 的两条切线，切点分别为 ，
(2) T(t,1) y=f(x) A(a,ea ) B(b,eb ).
①求实数t的取值范围;
②证明：若a>b，则|AT|>|BT|．
19.(本小题17分)
在下面 行、 列 的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为 ，公差为 的等差数列
n n (n∈N∗) 1 2
{a };第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列{b };其余空格按照“任意一格的数是它
n n
上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为c ，c ，c ，⋯，c ．
1 2 3 n
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3 1第n
第1列 第2列 第3列 ⋯
列
第1行 1 2 22 ⋯2n−1
第2行 3 5 9
第3行 5 10
⋯ ⋯
第n行 2n−1
(1)求数列{c }通项公式;
n
(2)对任意的m∈N∗，将数列{a }中落入区间[b ,c ]内项的个数记为d ，
n m m m
①求d 和d 的值;
1 10
设数列 的前 项和 是否存在 ，使得 ，若存在，求出所有
② {a ⋅d } m T ; m∈N∗ 9(T +2)=5m⋅3m−1 m
m m m m
的值，若不存在，请说明理由．
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4 1参考答案
1.D
2.B
3.A
4.B
5.A
6.D
7.C
8.B
9.BC
10.ABD
11.ACD
12.(√3 1)
,
2 2
13.6
14.13 1(1 1 )
； −
9 4 9 10n+1−1
15.解：由题， ⃗ ， ⃗ ，⟨⃗ ⃗⟩ ，
|a|=1 |b|=√2 a,b =135°
⃗ ⃗ |⃗||⃗| ⟨⃗ ⃗⟩ ( √2) ．
a·b= a · b ·cos a,b =1×√2× − =−1
2
(1) 当⃗b⊥⃗c ，所以⃗
b·
⃗
c=
⃗
b·
[
λ
⃗
a+(1−λ)
⃗
b
]
⃗ ⃗ ⃗ ，
=λa·b+(1−λ)b2=−λ+2(1−λ)=2−3λ=0
2 2
所以λ= ，故实数λ的值为 ．
3 3
(2)由|⃗
c
|
=
√⃗
c2=
√[
λ
⃗
a+(1−λ)
⃗
b
] 2
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5 1√ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
= λ2a2+2λ(1−λ)a·b+(1−λ) 2b2
=√λ2−2λ(1−λ)+2(1−λ) 2
=√5λ2−6λ+2= √ 5 ( λ− 3) 2 + 1，
5 5
3 |⃗| √5 ⃗ 3⃗ 2⃗
当λ= 时， c = ，此时c= a+ b，
5 min 5 5 5
又⃗ b· ⃗ c= (3⃗ a+ 2⃗ b ) · ⃗ b= 3⃗ a· ⃗ b+ 2⃗ b2=− 3 + 4 = 1，
5 5 5 5 5 5 5
1
⃗ ⃗
⟨⃗ ⃗⟩ b·c 5 √10
所以cos b,c = = = ，
|⃗||⃗| √5 10
b · c √2×
5
√10
即向量⃗b与⃗c夹角的余弦值为 ．
10
a 2x2+2x+a
16.解：(1)f ′(x)=2x+ = =0，
x+1 x+1
∴2x2+2x+a=0在(−1,+∞)上有两个不等的实根，
设 ，
m(x)=2x2+2x+a
1 1
∵m(x)在(−1,− )上单调递减，在(− ,+∞)上单调递增，
2 2
{
m(−1)=a>0
故只需
1 1 ,
m(− )=− +a<0
2 2
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6 11
∴08时， −1>1，∴由g′(x)<0，得18时，g(x)的单减区间为(1, −1)．
4
17.解：(1)∵(√3tan A−1)(√3tanB−1)=4，∴3tan AtanB−√3tan A−√3tanB+1=4，
tan A+tanB
∴√3tan AtanB−tan A−tanB=√3，∴ =−√3，
1−tan AtanB
π π
∴tan(A+B)=−√3，∴tanC=√3，∵C∈(0,π)，∴C= ，∴角C的值为 ；
3 3
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7 11−cos2A 1+cos2B 1 π
sin2A−cos2B= − =− [cos2A+cos2(A+ )]
2 2 2 3
1 √3 1 1 π
= ( sin2A− cos2A)= sin(2A− )，
2 2 2 2 6
π
{ 0x⇒m>(
) ，
ex max
x ex−xex 1−x
令g(x)= ，g′(x)= = =0⇒x=1，
ex e2x ex
当x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增;当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
1 1
∴g(x) =g(1)= ，∴m> ．
max e e
(2)①设切点为(x ,ex 0)，∴f ′(x)=ex，k=ex 0 ，
0
∴切线方程为y=ex 0(x−x )+ex 0，它过(t,1)，
0
1
∴ex 0(t−x )+ex 0=1，∴t= +x −1．
0 ex
0
0
1
令ℎ(x)= +x−1，y=t与y= ℎ(x)有两个不同的交点，
ex
ℎ′(x)=−e−x+1，
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9 1当x<0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减;当x>0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
作出ℎ(x)大致图象，如下图所示：
∴t>0．
1
{ +a−1=t
ea ea−1
②由题意知 ，其中b<0√ea+b ⇒a+b>0，a>−b，
a−b
1 √1+e2b 1
∴|AT|>√1+e2−b.(1− )= ⋅(1−eb )=√1+e2b ( −1)=|BT|，即证．
e−b eb eb
19.解： 由题意知 ， ，
(1) c =c +2n c =3
n+1 n 1
时，
∴c −c =2n ⇒n≥2 c =(c −c )+(c −c )+⋯+(c −c )+c =2n−1+2n−2+⋯+21+3
n+1 n n n n−1 n−1 n−2 2 1 1
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10 12(1−2n−1
)
= +3=2n+1，而c =3也满足上式，∴c =2n+1．
1−2 1 n
， ， ， ，
(2)①b =1⋅2n−1=2n−1 a =1+2(n−1)=2n−1 b =2m−1 c =2m+1
n n m m
2m−1+1 2m+2
令b ≤a ≤c ⇒2m−1≤2n−1≤2m+1⇒ ≤n≤ ，
m n m 2 2
当m=1时，1≤n≤2，此时d =2，
1
当 时， ，此时 ．
m≥2 2m−2+1≤n≤2m−1+1 d =2m−1−2m−2+1=2m−2+1∴d =28+1=257
m 10
{ 2,m=1 ，记 从第 项到第 项的和为 ，
②a d = {m⋅2m−1 } 2 m S
m m (2m−1)(2m+2+1),m≥2 m
，
∴S =2⋅21+3⋅22+4⋅23+⋯+(m−1)⋅2m−2+m⋅2m−1①
m
，
2S =2⋅22+3⋅23+⋯+(m−2)⋅2m−2+(m−1)⋅2m−1+m⋅2m②
m
4(1−2m−2
)
①−②⇒−S =4+22+⋯+2m−1−m⋅2m=4+ −m⋅2m=(1−m)⋅2m，∴S =(m−1)⋅2m，
m 1−2 m
当m=1时，T =2;
m
(3+2m−1)(m−1) 1⋅(1−2m−1 )
当m≥2时，T =2+(m−1)⋅2m+ − =(2m−3)⋅2m−1+m2+2，m=1
m 2 1−2
也满足上式，
，
∴T =(2m−3)⋅2m−1+m2+2
m
∴9[(2m−3)⋅2m−1+m2+4]=5m⋅3m−1 ⇒(2m−3)⋅2m−1+m2+4=5m⋅3m−3
，当 ， ， 时，左边 ，舍去，
⇒(5⋅3m−3−2m )m+3⋅2m−1−m2−4=0 m=1 2 3 <0
当m=4时，经检验符合;
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11 1当m≥5时，左边恒>0，无解，
综上：m=4．
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12 1
