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2023-2024 学年高二数学下学期期末模拟卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
3
y=± x
1． 2． 4 3． 4． / 5．1
6． 7． 8． 9． 10．①③
11． / 12．
二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的位置，
将代表正确选项的小方格涂黑.
13 14 15 16
D C A B
三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
解：（1）证明：由题意得 ， ，
， ，
，
在 中，由 ，得 ，
同理可得 ，又 平面 ，故 平面 .
（2）（方法一）如图所示，以 为坐标原点， 、 为 轴正方向建立空间直角坐标系，
则点 ，故 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
1
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学科网（北京）股份有限公司故 ，
因此直线 与平面 所成角的正弦值 .
（方法二） ， ，
则 ， ．
记点 到平面 的距离为 ，因为 ，
所以 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ， ，
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
解：（1）因为 ， ，两边同时除以 可得：
，从而 ， ，
2
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学科网（北京）股份有限公司所以 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 ，
则 ；
（2）由 ， ，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以
则 ，
因为 中的每一项 ，所以 为递增数列，
所以 ，因为 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
解：（1）甲投篮 次得 分，即只投中 次，概率为 ；
（2）由题意知 的所有可能取值为 ， ， ， ，
则 ，
，
随机变量 的分布为，
0 2 4 6
3
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学科网（北京）股份有限公司期望 ；
（3）设甲三次投篮的得分 ，则 ， ， ， ，
可求得随机变量 的分布为，
0 2 4 6
所以
，
又可算得 ，
因为 ， ，
所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定.
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分6分.
解：（1）由双曲线 的离心率为 ，且 在双曲线 上，
可得 ，解得 ，∴双曲线的方程为 ．
（2）双曲线 的左焦点为 ，
当直线 的斜率为0时，此时直线为 ，与双曲线 左支只有一个交点，舍去；
当直线 的斜率不为0时，设 ，
联立方程组 ，消 得 ，易得 ，
设 ，则 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
则
，
即 ，可得 与 不垂直，
∴不存在直线 ，使得点 在以 为直径的圆上．
（3）由直线 ，得 ，
∴ ，又 ，
∴
，
∵ ，∴ ，且 ，
∴ ，即 为定值．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分.
解：（1）显然直线 切 的图象于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司直线 是 的图象的一条“自公切线”，因此函数 的图象存在“自公切线”；
对于 是严格减函数，则 在不同点处的切线斜率不同，
所以函数 的图象不存在“自公切线”.
（2）由 恒成立，且仅当 时 ，
则 是 上的严格增函数，可得它至多有一个零点，
令 ，
由 的图象是连续曲线，且 ，
因此 在 上存在零点，即在 上 存在零点，所以 有唯一零点；
假设 的图象存在“自公切线”，则存在 且 ，
使得 的图象在 与 处的切线重合，即 ，有 ，不妨设 ，
切线 ， ，
有相同截距，即 ，而 ，
则 ，即 ，
则有 ，即 ，令 ， ，
即函数 在 上单调递增， ，因此当 时， ，
即 在 上无解，
所以 的图象不存在“自公切线”.
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学科网（北京）股份有限公司（3）对给定的 ，由（2）知 有唯一零点，即 唯一确定，
又 在点 处的切线方程为 ，即 ，
在点 处的切线方程为 ，
若存在 ，使得点 与 是函数 图象的一对“同切点”，
则 ，又 ，则 ，
所以 ， 且 ，从而存在 ，
使得 ，代入 ，可得 ，则 ，即 是数列 中的项；
反之，若 是数列 中的项，则存在 ，使得 ，即 ，
由（2）中的 严格增，可知 严格增，又 且 ，可知 ，
令 ，则 且 ，
即 ，可得 ，所以存在 ，
使得点 与 是函数 的图象的一对“同切点”.
所以存在 ，使得点 与 是函数 图象的一对“同切点”的充要条件是“ 是数
列 中的项”.
【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点 处的切线方
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学科网（北京）股份有限公司程为： .
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