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长沙市一中 2026 届高三月考试卷（五）
数学
时量：120分钟 满分：150分
一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算集合 ，根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断各个选项.
【详解】因为 ，所以 ，可知
对于A， 是集合不是集合 的元素，故 错误，A错误；
对于B， ，B错误；
对于C， ，C正确；
对于D，因为 ，不满足 ，D错误；
故选：C.
2. 已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依复数四则运算法则及复数模的意义即可得解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 ,
,
故选: C.
3. 已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 （ ）
A. 11 B. 31 C. 32 D. 121
【答案】B
【解析】
【分析】由等比数列的性质求出 ，再用公比 表示出 ，求出 .由等比数列的前n
项和公式即可求得 .
【详解】由等比数列的性质知 ，又 ，所以 ，
设 的公比为 ，则 ，所以 或 （舍），
所以 .
故选：B.
4. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记所得点数分别为x，y，则 能被3整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据古典概型求解概率即可.
【详解】所有基本事件有 个，
和 从3，6中选共有4个， 和 从1，4中选1个，从2，5中选1个，共有8个，
所求概率为 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：D.
5. 已知点 是抛物线 上的一点，设点 到直线 和 的距离分别为 ，
则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线定义，将点 到 的距离转化为点 到焦点的距离，然后数形结合，根据三角形
三边关系，可以得出 的最小值即为点 到直线 的距离，再结合点到直线的距离
公式即可求解.
【详解】由题意，抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
因为点 在抛物线 上，所以 ，所以 .
联立方程组 得： ，则 ，
所以直线 与抛物线 无公共点，
如图所示， 的最小值即为点 到直线 的距离，
所以最小值为 ，
即 的最小值为 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：A
6. 在平行四边形 中， ， 分别是 ， 的中点，点 在线段 上.若 ，
则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，根据向量线性运算可得 ，由题意可得 ，
，计算可解.
【详解】如图，作出符合题意的图形，
因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 ， ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为点 在线段 上，设 ，
则 ，
若 ，则 ， ，
所以 ，当 时， 有最大值为 .
故选：C
7. 曲线 与 的公切线的条数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】设出切点，即可根据点斜式求解直线方程，根据公切线列方程得 ，令 ，
构造 ，由导数求解方程根的个数即可求解.
【详解】设 的切点为 ， 的切点为 ，
， ，
所以 在 处的切线方程为 ，即 ，
在 处的切线方程为 ，即
故 且 ，
故 ，即 ，
令 ，构造 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
当 在区间 单调递增，
在区间 单调递减，
故 ，且当 ， ，
故 有两个不相等的实数根，
故公切线的条数为2，
故选：C
8. 如图，现有棱长为8的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥 ，且 ， ， 分别
为棱 ， ， 上离 最远的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的半径
的最大值为（ ）
A. 4 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用等体积法求出点 到平面 的距离，说明所求内切球不是正方体的内切球，作截面确定
球心位置及球的半径.
【详解】由题意可得 ，
所以 为等边三角形，设 的中心为 ，
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学科网（北京）股份有限公司为
则 ，因 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，同理可证 ，
而 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，同理证明 ，
又 平面 ， ，所以 平面 ，
所以 三点共线，设点 到平面 的距离为 ，
而 ，
，
由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，即 ，又 ，所以 ，
因为 ，所以该球不是正方体的内切球，
连接 ，交 于点 ，连接 ，
由对称性可得球的球心位于线段 上，且该球与平面 相切，与平面 相切，
设球心为 ，球的半径为 ，则 ， ，故 ，
所以 ，所以 ，
所以所求球形饰品的半径的最大值为 .
故选：D
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符
合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9. 设 为 坐 标 原 点 ， 已 知 对 任 意 实 数 ， 直 线 与 圆
都有两个交点 ， ，则（ ）
A. 直线 过定点
B.
C. 当 时， 的最小值为
D. 当 时，
【答案】BC
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】直线过定点问题将含参数部分合并同类项，令其为零即可得到定点；判断定点与圆的位置关系结
合两点间距离公式得到 判断半径的范围；根据向量的数量积定义将数量积的最小值转化为求 的
最小值求解；利用弦长公式和圆心到直线距离 的范围求解.
【详解】 选项，将直线 整理为 ，
令 得 ，故直线过定点 ，故 错误.
选项，由题可知直线与圆总有两个交点，则说明定点 在圆内，
圆心为 ，半径为 ，可得 ，
因为 在圆内，所以 ，即 ，故 正确.
选项，当 时，
，
要使 最小，只需要 最小即可，
圆心到直线的距离 ，且 ，
则 .
由 ，将上式代入得
，
整理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，
解得 ，故 最小值取 ，
因此 最小值为 ， 故 正确.
选项，当 时，
弦长公式 ，
因为 ,则 ，
故 ,故 错误.
故选：
10. 如图，曲线 下有一系列正三角形，设第 个正三角形 （ 为坐标原点）的边长为
，则（ ）
A.
B. 记 为数列 的前 项和，则 为
C. 记 为数列 的前 项和，则
D. 数列 的前 项和为
【答案】BD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】A.首先由正三角形求得点 和 的坐标，代入曲线 ，即可求解 ；B. 由
为边长为 的等边三角形，求得 的坐标；C.将 坐标代入曲线 ，判断C；D.根据C的结果，
利用公式 ，即可求通项公式.
【详解】A.由题意可知 为等边三角形，如图， ，则 ，
因为点 在曲线 上，可得 ，解得 或 （舍），
又由题意可知 为边长为 的等边三角形，则 ，
则 ，可得 ，解得 或 （舍），故A错误；
B.由 为边长为 的等边三角形，可得 ，故B正确；
C.由点 在曲线 上，则 ，整理得 ，
由 ，可知 ，故C错误；
D.当 时，可得 ，
所以 ，
可化为 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，则 ，所以 ， ，
又因为 ，符合上式，故 ，
则数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以数列 的通项公式为 ，
所以 ，故D正确.
故选：BD
11. （多选题）已知 是由具有公共直角边的两块直角三角板（ 和 ）组成的三
角形，如下图所示，其中 ， .现将 沿斜边 进行翻折成 （
不在平面 上）.若 分别为 和 的中点，则在 翻折过程中，下列命题中正确的是
（ ）
A. 在线段 上存在一定点 ，使得 平面
B. 存在某个位置，使得直线 平面
C. 存在某个位置，使得直线 与 所成角为
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学科网（北京）股份有限公司D. 对于任意位置，二面角 始终不小于直线 与平面 所成角
【答案】ABD
【解析】
【分析】由线成平行判定定理判断A，由线面垂直的判定定理判断B，
假设存在某个位置，使得直线 与 所成角为 ，由 ，过 作 ，可得
，设 ，计算出 后可判断C，过 作 平面 ，垂足为 ，
连接 ，过 作 ，垂足为 ，连接 ，可得 为 与平面 所成角，
为二面角 的平面角，根据 和 的大小关系得 有大小关系，从而得两角的正切
之间的大小关系，判断出D．
【详解】对于 ，当 为 的中点时，可得 ， 平面 ， 平面 ，即有
平面 ，故 正确；
对于 ，由于 ，当 ，且 ， ，可得直线 平面 ，
故 正确；
对于 ，取 的中点为 ，则 ，过 作 ，可得 ，
设 ， ， ， ，
可得 ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司而 ，而 ，
代入计算可得 ，
而 ，
且当 时，有 ，
故存在某个位置，使得直线 与 所成角为 ，故 正确；
对于 ，过 作 平面 ，垂足为 ，连接 ，过 作 ，垂足为 ，连接 ，
可得 为 与平面 所成角， 为二面角 的平面角， ，
， ，∴ ，可得 ，则任意位置，二面角
始终不小于直线 与平面 所成角，故 正确．
故选：ABCD．
【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的判定，考查异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，
对空间角需作出表示空间角的“平面角”，通过“平面角”表示空间角．
三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知 ， ，则 __________.
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据两角差的正弦公式和同角三角函数的商关系解得 ，再利用
两角和的正弦公式代入计算得到结果.
【详解】已知 ，则
因为 ，则 ，
代入上式可得 ，解得 ，
则
故答案为： .
13. 从0~9这十个数字中选取3个数，能组成无重复数字的三位偶数__________个.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】按照0是否在末位分类讨论即可求解.
【详解】末位是0时：末位有1种选法，十位有 种选法，百位有 种选法，
故末位是0的三位偶数有 ；
末位不是0时：个位有 种选法，百位有有 种选法，十位有 种选法，
故末位不是0的三位偶数有 ；
所以共有 个．
故答案为： .
14. 如图，已知 ， 为双曲线 上关于原点 对称的两点，点 与点 关于
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学科网（北京）股份有限公司轴对称， ，直线 交双曲线右支于点 .若 ，则双曲线的离心率 __________.
【答案】
【解析】
【分析】设 ， ，然后根据对称求出 坐标，然后根据向量线性关系求出 坐标，求
出 的值，将 坐标代入双曲线方程联立并化简，即可得到 ，最后求出双曲线的
离心率.
【详解】因为 ， 为双曲线 上关于原点 对称的两点，
所以设 ，则 ，因为点 与点 关于 轴对称，所以 .
所以 ，因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
由于 ，所以 ，设 ，则 得
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学科网（北京）股份有限公司.
得 ，又 ，所以 .
所以 ，所以双曲线的离心率为 .
故答案为： .
四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 如图，平面四边形 中， ， ， . 的三个内角 ， ， 的
对边分别是 ， ， ，且 .
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简，求出 ，即可得解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）利用余弦定理求出 ，再由正弦定理求出 ，即可求出 ，最后由面积公式计算
可得.
【小问1详解】
因为在 中， ，
故 ，而 ，
故 ，
即 ，又 ， ，
可得 ， ，又 ， ；
【小问2详解】
由于 ， ， ，
故 ，
则 ；
又 ，
故 ，
又 为锐角，
所以
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学科网（北京）股份有限公司，
故 ；
16. 如图1，在平面五边形 中， 为等腰直角三角形， ， ，
， ，点E，F分别为 ， 的中点，将 沿 折到如图2的
位置.
（1）证明： 平面 ；
（2）若二面角 为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点G，连接 ，易知 ， ，利用面面平行的判定定理得到
平面 平面 即可.
（2）取 中点O，连接 ， ，易证 平面 ， 平面 ，以O为原点，分
别以 ， 为x轴，y轴，过点O平行于 的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得
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学科网（北京）股份有限公司平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量 ，设平面 与平面
所成的锐二面角为θ，由 求解.
【详解】（1）取 的中点G，连接 ， ，
因为E为 中点，
所以 为 的中位线，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为 平面 ，
所以 平面
（2）由题意知 为等腰直角三角形， 为直角梯形.
取 中点O，连接 ， ，
因为 ， ，
所以 为二面角 的平面角，
所以 ，
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 为等边三角形，
取 的中点H，则 ，
因为 ， ，
所以 平面 ，
所以 .
又 ，
所以 平面 ，
以O为原点，分别以 ， 为x轴，y轴，过点O平行于 的直线为z轴建立如图所示的空间直角
坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设 为平面 的一个法向量，
由 ，得 ，
令 ，得 ，
设 为平面 的一个法向量，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，
令 ，得 ，
设平面 与平面 所成的锐二面角为θ，
则 .
【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两
个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角
17. 作为湖南省内最高规格 的业余足球赛事，湘超联赛自2025年9月开赛以来，凭借14个地级市对抗的独
特赛制引发全民热议.为了解某场湘超联赛的观众与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，
其中男性居民与女性居民的人数比为 ，在抽取的男性居民中，有 的人观看了这场湘超联赛，在抽取
的女性居民中，有100人没有观看这场湘超联赛.
（1）在样本中，随机抽取5人，记5人中观看了这场湘超联赛的人数为X，求X的期望值；
（2）用频率估计概率，样本估计总体，按样本中性别比例用分层抽样的方法在全市居民中随机抽取5人，
求恰有2人观看了这场湘超联赛的概率；
（3）现定义： ，其中A，B是随机事件，从这500人中任选1人，M表示“居民观看了
这场湘超联赛”，N表示“居民是女性”，设观看这场湘超联赛与性别的相关程度的一项度量指标
，请利用样本数据求出k的值.
【答案】（1）3 （2）
（3）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）由男性居民与女性居民的人数比，可知样本中男性居民与女性居民的人数，计算其中观看
这场湘超联赛的人数，用频率估计概率，由于样本总量远大于抽样个数，可以近似认为 X服从二项分布
，根据期望值公式运算即可得出结论；
（2）分层抽样中，男性抽 人，女性抽 2 人，分别求出男性和女性的观看概率，利用离散型随
机变量的概率分别求出＂恰有2人观看＂包含的3种情况的概率即可.
（3）利用新定义，结合条件概率的公式计算即可；
【小问1详解】
由题意，得样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人，
在300名男性居民中，有200人观看了这场湘超联赛，在200名女性居民中，有100人观看了这场湘超联
赛，
所以样本中，观看了这场湘超联赛 的频率为 .
用频率估计概率，在样本中，随机抽取5人，记5人中观看了这场湘超联赛的人数为X，X服从二项分布
，故期望值： .
【小问2详解】
分层抽样中，男性抽 人，女性抽 2 人，
男性观看概率： ，女性观看概率： ，
＂恰有2人观看＂包含3种情况：
男性 2 人、女性 0 人： ，
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学科网（北京）股份有限公司男性 1 人、女性 1 人： ，
男性 0 人、女性 2 人： ，
所以，恰有2人观看了这场湘超联赛的概率： .
【小问3详解】
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
所以 .
18. 已知椭圆 的离心率为 ， 为坐标原点，椭圆 上的点到两个焦点的距离
之和为4.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆 的左､右顶点分别为 ， ，过点 且斜率不为0的直线交椭圆 于 ， 两点，直
线 与直线 相交于点 .
（i）求证：点 在定直线上；
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学科网（北京）股份有限公司（ii）设 和 的面积分别为 ， ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）证明过程见解析.
（ii）
【解析】
【分析】(1)根据椭圆的定义和离心率求方程；
(2)（i）设直线 的方程，并与椭圆方程联立整理得到根与系数的关系，同时表示出直线 和 的方
程，利用两个方程得到交点 的横坐标，得以证明点 在定直线上；
（ii）先表示出两个三角形的面积比的形式，结合求得的根与系数的关系进行化简整理得到 的关系，
代入分析最终得到 的取值范围.
【小问1详解】
由椭圆定义得 ，解得 ，又因为离心率 ，
所以 ，则 ，
因此椭圆标准方程为 .
【小问2详解】
（i）证明：设过点 的直线 的方程为 且斜率不为 ，设 ，
由椭圆方程可知 ，联立 ，
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学科网（北京）股份有限公司整理得 ，
由根与系数的关系得 ，
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
设 ，则 ，
将 代入得 ，
同时将根与系数关系式代入上式，化简整理得 ，
因为直线 的斜率不为 ， 不能同时为 ，且若假设 ，
代入到 ，得 ；
代入到 ，得 ，
将 代入到 中，整理得 ，即 矛盾，故假设不成立，
即 ，
故只能 ，即 ，
因此点 在定直线 上.
（ii）由题可知 ，
且 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
由（i）可知 ，且 ，
设 ，则 ， 代入到根与系数关系中即
，
将上式化简整理得 ，再结合
消去 后得 ，
又因为
最终化简可得 ，解得
又因为 ，
故 的取值范围为 .
19. 已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且 .
（1）求 的单调区间与最大值；
（2）已知关于 的方程 恰有两个实数根 ，若 ，求 的取值范围；
（3）证明： .
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）在 单调递增，在 单调递减，最大值为
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对 求导，得出 的单调性，结合最值的定义即可得出答案；
（2）设 ，代入 ，可将 化简为 ，设 ，
对 求导，得出 的单调性，证得 ，即可求出答案；
（3）设 ，求 ，研究 的单调性和最值可得
，再结合 的单调性即可证明.
【小问1详解】
，令 ，解得 ，
所以当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减， 的最大值为 .
【小问2详解】
依题意， ，两式相除可得， ，
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学科网（北京）股份有限公司不妨设 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
所以 单调递增，所以 ，
所以 单调递增，所以 .
所以 的取值范围为 .
【小问3详解】
设
设 ，则 ，
设 ，则 ，
所以 单调递减， ，
所以 单调递减，
因为 ，
第29页/共30页
学科网（北京）股份有限公司所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，
由（1）知， ，所以函数 单调递减，
所以 ，即 ，
所以 .
第30页/共30页
学科网（北京）股份有限公司
