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高三数学答案
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D A D C B A B AB ABC AD
三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 200 13. 14．(3，＋∞)
四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
解：（1）当 时， ， ，
∴ ，
∴曲线y=f（x）在点(0，f(0))处的切线的方程为 .………………4分
（2）由 得， ，
当 时， ，函数 在R上单调递增，
此时 ，
所以当 时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；………………8分
当 时，令 得， ，
∴ 单调递增， 单调递减，
∴当 时，函数 有极大值，
若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，
则 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司综上所述，当 或 时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点.………………13分
16.（本小题满分15分）
解：（1）设甲同学三道题都答对的事件为 ，则 ，
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为 .………………5分
（2）设甲同学本次竞赛中得分为 ，则 的可能取值为 分，
则 ， ，
，
所以 的概率分布列为：
所以 （分） ………………9分
设乙同学本次竞赛中得分为 ，由 的可能取值为 分
， ，
，
所以 的概率分布列为：
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学科网（北京）股份有限公司所以 ………………13分
由于 ，
所以乙同学的得分高.………………15分
17.（本小题满分15分）
证明： 因为 底面 ， 平面 ，所以 .
四边形 为矩形，所以 ，因为 ，所以 平面 .
从而 ，因为 ，点 是棱 的中点﹐所以 .
因为 ，所以 平面 .
又因为 平面 ，所以平面 平面 .………………6分
解：以 为坐标原点，分别以 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，
如图所示，依题意可得 ，
设平面 的法向量为 ，由 ，得
不妨令 可得 .………………9分
设平面 的法向量为 ，由 ，得
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学科网（北京）股份有限公司不妨令 ，可得 .………………12分
易知二面角 为锐角， ，
所以二面角 的余弦值为 .………………15分
18.（本小题满分17分）
解：（1）抛物线的焦点 ，准线为 ，
因为点 到其焦点的距离为2，所以 ，解得 ，………………2分
所以抛物线的方程为 ，………………4分
因为点 在抛物线上，所以 ，解得 ，所以 ，
综上，P点坐标为 ，抛物线的方程为 ．………………8分
（2）证明：设直线MN的方程为 ，
， ，联立 ，得 ，
所以 ， ，所以 ，………………10分
同理可得 ， ………………12分
因 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 （满足 ），
直线MN的方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以直线MN过定点 ．………………17分
19.（本小题满分17分）
解：（Ⅰ）依题意 ，且 ，
所以数列 的前10项和为5. ………………5分
（Ⅱ）由于数列 具有性质 和 ，其中 为大于零的奇数，
令 ， ，则有 ，
所以 .
综上 为常数列.
又因为 具有性质 ，所以 .
所以 . ………………10分
（Ⅲ）要证 ，
只需证 ，
即只需证 ，
令数列 ，由于数列 具有性质 ，则数列 具有性质 .
令 ，
设 的最小值为 ，
对 ，令 ， , ，
由于 具有性质 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
所以 成立. ………………17分
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