2014年高考数学试卷（理）（湖南）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2014·高考数学真题

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. zi 1.满足 i（i是虚数单位）的复数z （ ） z 1 1 1 1 1 1 1 1 A.  i B.  i C.   i D.   i 2 2 2 2 2 2 2 2 2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法 抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 p ,p ,p ，则（ ） 1 2 3 A. p  p  p B. p  p  p C. p  p  p D. p  p  p 1 2 3 2 3 1 1 3 2 1 2 3 3.已知 f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 f(x)g(x) x3x2 1，则 f(1)g(1)( ) A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 第1页 | 共20页【考点定位】奇偶性 5 æ1 ö 4.ç x2y ÷ 的展开式中x2y3的系数是（ ） è2 ø A.20 B.5 C.5 D.20 5.已知命题 p:若x y,则xy；命题q:若x y,则x2  y2.在命题 ① pq;②pq;③p(q);④（p）q中，真命题是（ ） A①③ B.①④ C.②③ D.②④ 6.执行如图1所示的程序框图，如果输入的t[2,2]，则输出的S属于（ ） A.[6,2] B.[5,1] C.[4,5] D.[3,6] 第2页 | 共20页7.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径 等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 [来源:Zxxk.Com] 第3页 | 共20页8.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的 年平均增长率为( ) pq (p1)(q1)1 A. B. 2 2 C. pq D. (p1)(q1)1 2 9.已知函数 f(x)sin(x),且 3 f(x)dx0, 则函数 f(x)的图象的一条对称轴是( ) 0 5 7   A.x B.x C.x D.x 6 12 3 6 1 10.已知函数 f  x   x2 ex  (x0)与g  x   x2 ln(xa)图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值 2 范围是（ ） 1 1 1 A. (, ) B. (, e) C. ( , e) D. ( e, ) e e e 第4页 | 共20页1 当a£0时,当x趋近于a时, hxex lnxa 趋近于,所以符合题意. 2 1 当a0时,h0e0 ln0a 0Þlnaln e Þa e, 2 综上a e,故选B. 【考点定位】指对数函数 方程 单调性 二.填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，没小题5分，共25分. (一)选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）  x2cos 11.在平面直角坐标系中，倾斜角为 的直线l与曲线C：  ，（为参数）交于A、B两点， 4 y 1sin 且 AB 2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________. 12.如图3，已知AB，BC是 O的两条弦，AO BC，AB 3，BC 2 2，则 O的半径等于________.   第5页 | 共20页【考点定位】勾股定理 双割线定理 [来源:学&科&网Z&X&X&K]  5 1 13.若关于x的不等式 ax2 3的解集为x   x ，则a________.  3 3 第6页 | 共20页(二)必做题（14-16题） [来源:学。科。网Z。X。X。K] y£ x  14.若变量x,y满足约束条件x y£4，且z 2x y的最小值为6，则k  ____. [来源:学科网]  yk  【答案】2 15.如图4，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,bab，原点O为AD的中点，抛物线 b y2 2px(p0)经过C,F两点，则  _____. a 第7页 | 共20页  uuur uuur uuur uuur 16.在平面直角坐标系中,O为原点,A 1,0 ,B(0, 3),C(3,0),动点D满足 CD =1，则 OAOBOD 的最 大值是_________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 2 3 17. 某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 和 ,现安排甲组研发新产品A,乙组研 3 5 发新产品B.设甲,乙两组的研发是相互独立的. 第8页 | 共20页(1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品A研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该 企业可获得利润的分布列和数学期望. 试题解析: (1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件,则事件B为新产品 2 3 æ 2ö æ 3ö 1 2 2 A,B都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为 , ,则PB ç 1 ÷ ´ ç 1 ÷  ´  ,再根据对立 3 5 è 3ø è 5ø 3 5 15 13 13 事件概率之间的概率公式可得PA1PB ,所以至少一种产品研发成功的概率为 . 15 15 18.如图5,在平面四边形ABCD中,AD1,CD2,AC  7. 第9页 | 共20页(1)求cosÐCAD的值; 7 21 (2)若cosÐBAD ,sinÐCBA ,求BC的长. 14 6 2 7 【答案】(1) cosÐCAD (2)3 7 【解析】 第10页 | 共20页19.如图6,四棱柱ABCDABC D 的所有棱长都相等,AC BDO,AC BD O ,四边形ACC A 1 1 1 1 I 1 1I 1 1 1 1 1 和四边形BDDB 为矩形. 1 1 (1)证明:OO底面ABCD; 1 (2)若ÐCBA600,求二面角C OB D的余弦值. 1 1 第11页 | 共20页第12页 | 共20页OH \ÐOHC 为二面角C OB D的平面角,则cosÐOHC  1 1 1 1 1 1 1 HC 1 ÐCBA600且四边形ABCD为菱形 Q \OC a,BO  3a, OO 2a,BO BO2 OO2  7a, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 第13页 | 共20页ur uur 所以n   2,2 3, 3  ,cosq cosn ur ,n uur   n 1g n 2  2 57 ,故二面角C OB D的余弦值为 2 1 2 n ur n uur 19 1 1 1 2 2 57 . 19 [来源:学科网] 【考点定位】线面垂直 二面角 勾股定理 菱形 第14页 | 共20页20.已知数列a 满足a 1, a a  pn,nN*. n 1 n1 n (1)若a 为递增数列,且a ,2a ,3a 成等差数列,求P的值; n 1 2 3 1 (2)若 p ,且a 是递增数列, a 是递减数列,求数列a 的通项公式. 2 2n1 2n n a a a a 0Þa a a a , 2n1 2n1 2n2 2n 2n 2n1 2n2 2n1 第15页 | 共20页x2 y2 21.如图7,O为坐标原点,椭圆C :  1a b0的左右焦点分别为F,F ,离心率为e ;双曲线 1 a2 b2 1 2 1 x2 y2 3 C :  1的左右焦点分别为F ,F ,离心率为e ,已知ee  ,且 F F  31. 2 a2 b2 3 4 2 1 2 2 2 4 (1)求C ,C 的方程; 1 2 (2)过F 点作C 的不垂直于y轴的弦AB,M 为AB的中点,当直线OM 与C 交于P,Q两点时,求四边形 1 1 2 APBQ面积的最小值. 第16页 | 共20页第17页 | 共20页2x 22.已知常数a0,函数 f xln1ax . x2 (1)讨论 f x在区间0,上的单调性; (2)若 f x存在两个极值点x ,x ,且 f x  f x 0,求a的取值范围. 1 2 1 2 第18页 | 共20页然后利用导函数讨论a的取值范围使得 f x  f x 0成立.即可解决该问题. 1 2 2 2 2 2x1 当x1,0时,gx2lnx 2,对gx求导可得g'x   0, x x x2 x2 所以函数gx在1,0上单调递减,则gx g140,即 f x  f x 0不符合题意. 1 2 2 2 2 2x1 当x0,1时, gx2lnx 2,对gx求导可得g'x   0,所以函数gx在 x x x2 x2 第19页 | 共20页0,1上单调递减,则gx g10,即 f x  f x 0恒成立, 1 2 æ1 ö 综上a的取值范围为ç ,1 ÷. è2 ø 【考点定位】导数 含参二次不等式 对数 单调性 第20页 | 共20页