文档内容
2020年镇江市中考数学试卷
一、选择题（共6小题）.
1．下列计算正确的是
A． B． C． D．
2．如图，将棱长为6的正方体截去一个棱长为3的正方体后，得到一个新的几何体，这个几
何体的主视图是
A． B． C． D．
3．一次函数 的函数值 随 的增大而增大，它的图象不经过的象限是
A．第一 B．第二 C．第三 D．第四
4．如图， 是半圆的直径， 、 是半圆上的两点， ，则 等于
A． B． C． D．
5．点 在以 轴为对称轴的二次函数 的图象上．则 的最大值等于
A． B．4 C． D．
6．如图①， ，射线 ，点 在射线 上，将 沿 所在直线翻折，点
的对应点 落在射线 上，点 ， 分别在射线 、 上， ．设 ，．若 关于 的函数图象（如图② 经过点 ，则 的值等于
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7． 的倒数等于 ．
8．使 有意义的 的取值范围是 ．
9．分解因式： ．
10．2020年我国将完成脱贫攻坚目标任务．从2012年底到2019年底，我国贫困人口减少了
93480000人，用科学记数法把93480000表示为 ．
11．一元二次方程 的两根分别为 ．
12．一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意
摸出1个球，摸出红球的概率等于 ．
13．圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于 ．
14．点 是正五边形 的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一
幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点 至少旋转 后能与原来的图案互相重合．
15．根据数值转换机的示意图，输出的值为 ．16．如图，点 是正方形 内位于对角线 下方的一点， ，则 的度数为
．
17．在从小到大排列的五个数 ，3，6，8，12中再加入一个数，若这六个数的中位数、平均数
与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则 的值为 ．
18．如图，在 中， ，将 平移5个单位长度得到△ ，点 、 分别是
、 的中点， 的最小值等于 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说
明）
19．（1）计算： ；
（2）化简 ．20．（1）解方程： ；
（2）解不等式组：
21．如图， 是四边形 的对角线， ，点 、 分别在 、 上， ，
，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
22．教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达
9小时及以上的比例为 ．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八
年级50名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间 （单位：小时）进行了调查，将数据整理
后绘制成下表：
平均每天的睡 9小时及以上
眠时间分组
频数 1 5 24
该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了
．
（1）求表格中 的值；
（2）该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在 这个范围内的人数是
多少．
23．智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“ ”有刚毅
的含义，符号“ ”有愉快的含义．符号中的“ ”表示“阴”，“ ”表示“阳”，
类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中，每一行只有一个
阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同．
（1）所有这些三行符号共有 种；（2）若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率．
24．如图，点 与树 的根部点 、建筑物 的底部点 在一条直线上， ．小明
站在点 处观测树顶 的仰角为 ，他从点 出发沿 方向前进 到点 时，观测树
顶 的仰角为 ，此时恰好看不到建筑物 的顶部 、 、 三点在一条直线上）．已
知小明的眼睛离地面 ，求建筑物 的高度（结果精确到 ．（参考数据： ，
．
25．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 和点 ．
（1） ， ；
（2）点 在 轴正半轴上． ，求点 的坐标；
（3）点 在 轴上， 为锐角，直接写出 的取值范围．
26．如图， 中， 的平分线 交边 于点 ， ，以点 为圆心， 长
为半径作 ，分别交边 、 于点 、 ．点 在边 上， 交 于点 ， 为
的中点．（1）求证：四边形 为菱形；
（2）已知 ，连接 ，当 与 相切时，求 的长．
27．【算一算】
如图①，点 、 、 在数轴上， 为 的中点，点 表示 ，点 表示1，则点 表示的数
为 ， 长等于 ；
【找一找】
如图②，点 、 、 、 中的一点是数轴的原点，点 、 分别表示实数 、 ，
是 的中点，则点 是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点 、 分别表示实数 、 ，在这个数轴上作出表示实数 的点 （要求：尺
规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测 个
学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有 个学生，每分钟又有 个学生到达校
门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那
么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下， 、 、 会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数 记作 ，用
点 表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数 记作 ，
用点 表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示 、 的点 、 ，并写出 的
实际意义；
②写出 、 的数量关系： ．28．如图①，直线 经过点 且平行于 轴，二次函数 、 是常数，
的图象经过点 ，交直线 于点 ，图象的顶点为 ，它的对称轴与 轴交于点 ，直
线 、 分别与 轴相交于 、 两点．
（1）当 时，求点 的坐标及 的值；
（2）随着 的变化， 的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②， 是 轴上位于点 右侧的点， ， 交抛物线于点 ．若 ，
求此时的二次函数表达式．参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．下列计算正确的是
A． B． C． D．
解： ，因此选项 不正确；
，因此选项 正确；
，因此选项 不正确；
，因此选项 不正确；
故选： ．
2．如图，将棱长为6的正方体截去一个棱长为3的正方体后，得到一个新的几何体，这个几
何体的主视图是
A． B． C． D．
解：从正面看是一个正方形，正方形的右上角是一个小正方形，
故选： ．
3．一次函数 的函数值 随 的增大而增大，它的图象不经过的象限是
A．第一 B．第二 C．第三 D．第四
解： 一次函数 的函数值 随 的增大而增大，
，该函数过点 ，该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选： ．
4．如图， 是半圆的直径， 、 是半圆上的两点， ，则 等于
A． B． C． D．
解：连接 ，如图，
是半圆的直径，
，
，
．
故选： ．
5．点 在以 轴为对称轴的二次函数 的图象上．则 的最大值等于
A． B．4 C． D．
解： 点 在以 轴为对称轴的二次函数 的图象上，
，
，
，
当 时， 取得最大值，此时 ，
故选： ．
6．如图①， ，射线 ，点 在射线 上，将 沿 所在直线翻折，点的对应点 落在射线 上，点 ， 分别在射线 、 上， ．设 ，
．若 关于 的函数图象（如图② 经过点 ，则 的值等于
A． B． C． D．
解： ， ，
四边形 是平行四边形，
，
由图②可得当 时， ，
此时点 在点 下方，且 时， ，如图①所示，
，
将 沿 所在直线翻折，点 的对应点 落在射线 上，
， ，
，
故选： ．二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7． 的倒数等于 ．
解： ，
的倒数是 ，
故答案为： ．
8．使 有意义的 的取值范围是 ．
解：根据二次根式的意义，得
，解得 ．
9．分解因式： ．
解： ，
，
．
10．2020年我国将完成脱贫攻坚目标任务．从2012年底到2019年底，我国贫困人口减少了
93480000人，用科学记数法把93480000表示为 ．
解： ．
故答案为： ．
11．一元二次方程 的两根分别为 ， ．
解： ，
，
或 ，
解得 ， ．
12．一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意
摸出1个球，摸出红球的概率等于 ．
解： 袋子中共有 个小球，其中红球有5个，搅匀后从中任意摸出1个球，摸出红球的概率等于 ，
故答案为： ．
13．圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于 ．
解：圆锥侧面积 ．
故答案为 ．
14．点 是正五边形 的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一
幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点 至少旋转 7 2 后能与原来的图案互相重合．
解：连接 ， ，则这个图形至少旋转 才能与原图象重合，
．
故答案为：72．
15．根据数值转换机的示意图，输出的值为 ．
解：当 时， ，
故答案为： ．
16．如图，点 是正方形 内位于对角线 下方的一点， ，则 的度数为
13 5 ．解： 四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：135．
17．在从小到大排列的五个数 ，3，6，8，12中再加入一个数，若这六个数的中位数、平均数
与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则 的值为 1 ．
解：从小到大排列的五个数 ，3，6，8，12的中位数是6，
再加入一个数，这六个数的中位数与原来五个数的中位数相等，
加入的一个数是6，
这六个数的平均数与原来五个数的平均数相等，
，
解得 ．
故答案为：1．
18．如图，在 中， ，将 平移5个单位长度得到△ ，点 、 分别是
、 的中点， 的最小值等于 ．解：取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， ，
将 平移5个单位长度得到△ ，
， ，
点 、 分别是 、 的中点，
，
，
即 ，
的最小值等于 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说
明）
19．（1）计算： ；（2）化简 ．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
20．（1）解方程： ；
（2）解不等式组：
解：（1） ，
，
，
，
经检验， 是原方程的解，
此方程的解是 ；
（2） ，
① ，
，
；
② ，，
，
，
不等式组的解集是 ．
21．如图， 是四边形 的对角线， ，点 、 分别在 、 上， ，
，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
【解答】证明：（1）在 和 中，
，
，
；
（2） ， ，
，
，
．
22．教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达
9小时及以上的比例为 ．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八
年级50名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间 （单位：小时）进行了调查，将数据整理
后绘制成下表：
平均每天的睡 9小时及以上
眠时间分组
频数 1 5 24
该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了．
（1）求表格中 的值；
（2）该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在 这个范围内的人数是
多少．
解：（1） ；
（2） ，
所以估计该校平均每天的睡眠时间在 这个范围内的人数是 （人 ．
23．智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“ ”有刚毅
的含义，符号“ ”有愉快的含义．符号中的“ ”表示“阴”，“ ”表示“阳”，
类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中，每一行只有一个
阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同．
（1）所有这些三行符号共有 8 种；
（2）若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率．
解：（1）共有8种等可能的情况数，分别是：阴，阴，阴；阴，阳，阴；阴，阴，阳；阳，阴，阴；阳，
阳，阴；阳，阴，阳；阴，阳，阳；阳、阳、阳；
故答案为：8；
（2）根据第（1）问一个阴、两个阳的共有3种，
则有一个阴和两个阳的三行符号”的概率是 ．
24．如图，点 与树 的根部点 、建筑物 的底部点 在一条直线上， ．小明
站在点 处观测树顶 的仰角为 ，他从点 出发沿 方向前进 到点 时，观测树
顶 的仰角为 ，此时恰好看不到建筑物 的顶部 、 、 三点在一条直线上）．已
知小明的眼睛离地面 ，求建筑物 的高度（结果精确到 ．（参考数据： ，
．解：如图，延长 ，交 于点 ，交 于点 ，
， ，
则 ，
设 ，
， ，
，
即 ，
解得 ，
根据题意可知：
，
，
则 ，
．
答：建筑物 的高度约为 ．
25．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 和点 ．（1） ， ；
（2）点 在 轴正半轴上． ，求点 的坐标；
（3）点 在 轴上， 为锐角，直接写出 的取值范围．
解：（1）把 代入反比例函数 中，得 ，
，
把 代入正比例函数 中，得 ，
故答案为： ； ；
（2）过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
，
根据双曲线与正比例函数图象的对称性得 ，
设 ，则 ， ， ， ，
， ，
，
，，
，即 ，
解得， ，或 （舍 ，
， ；
（3）如图2，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，在 轴上原点的两旁取两点 ，
，使得 ，
，
， ， ， ，
，
四边形 为矩形，
， ，
点 在 轴上， 为锐角，
点必在 的左边或 的右边，
或 ．26．如图， 中， 的平分线 交边 于点 ， ，以点 为圆心， 长
为半径作 ，分别交边 、 于点 、 ．点 在边 上， 交 于点 ， 为
的中点．
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）已知 ，连接 ，当 与 相切时，求 的长．
解：（1）证明： 为 的中点，
．
四边形 是平行四边形．
， ，
，
，
四边形 是平行四边形．
平分 ，
，
又 ，
，
，
四边形 为菱形；
（2）如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，设 交
于点 ，则 ，
设 ，则
，
，
，
，
当 与 相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知 为切点，
由勾股定理得： ，
解得： ．
的长为 ．
27．【算一算】
如图①，点 、 、 在数轴上， 为 的中点，点 表示 ，点 表示1，则点 表示的数
为 5 ， 长等于 ；
【找一找】
如图②，点 、 、 、 中的一点是数轴的原点，点 、 分别表示实数 、 ，
是 的中点，则点 是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点 、 分别表示实数 、 ，在这个数轴上作出表示实数 的点 （要求：尺
规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测 个
学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有 个学生，每分钟又有 个学生到达校
门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那
么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下， 、 、 会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数 记作 ，用
点 表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数 记作 ，
用点 表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示 、 的点 、 ，并写出 的
实际意义；
②写出 、 的数量关系： ．
解：（1）【算一算】：记原点为 ，
，
，
， ．
所以点 表示的数为5， 长等于8．
故答案为：5，8；
（2）【找一找】：记原点为 ，
，
，
，为原点．
故答案为： ．
（3）【画一画】：记原点为 ，
由 ，
作 的中点 ，
得 ，
以点 为圆心，
长为半径作弧交数轴的正半轴于点 ，
则点 即为所求；
（4）【用一用】：在数轴上画出点 ， ；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：
．
分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
，即 （Ⅰ）；
分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
，即 （Ⅱ）；
①以 为圆心， 长为半径作弧交数轴的正半轴于点 ，则点 即为所求．
作 的中点 ，则 ，在数轴负半轴上用圆规截取 ，
则点 即为所求．
的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②方程（Ⅱ） 方程（Ⅰ）得： ．
故答案为： ．28．如图①，直线 经过点 且平行于 轴，二次函数 、 是常数，
的图象经过点 ，交直线 于点 ，图象的顶点为 ，它的对称轴与 轴交于点 ，直
线 、 分别与 轴相交于 、 两点．
（1）当 时，求点 的坐标及 的值；
（2）随着 的变化， 的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②， 是 轴上位于点 右侧的点， ， 交抛物线于点 ．若 ，
求此时的二次函数表达式．
解：（1）分别过点 、 作 于点 ， 于点 ，
轴，
， ，
， ，
，则 ，
将 代入上式并解得： ，
抛物线的表达式为： ，则点 ， ，
则 ， ， ， ， ，
，解得： ， ，
；
（2）不变，理由：
过点 ，则 ，
解得： ，
，
点 ， ，
， ，
由（1）的结论得： ， ，
；
（3）过点 作 轴于点 ，则 ，则 ，
， ，
，
，
则 ，
，，
，
，
， ，
将点 的坐标代入 得：
，
解得： 或 ，
故 或 ．
