文档内容
2020年湖南省湘西州中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．请将每个小题所给四个选项中唯一正
确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）
1．（4分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．3
2．（4分）2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元，用科
学记数法表示92700是（ ）
A．0.927×105 B．9.27×104 C．92.7×103 D．927×102
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A． ＝﹣2 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C． + ＝ D．（﹣3a）2＝9a2
4．（4分）如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为
主视方向，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）从长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的
概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O、C为圆
心，大于 OC的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线EF，分别交OA于D，交OB于
G．那么△ODG一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
7．（4分）已知正比例函数y 的图象与反比例函数y 的图象相交于点A（﹣2，4），下列说法正
1 2
第1页（共25页）确的是（ ）
A．正比例函数y 的解析式是y ＝2x
1 1
B．两个函数图象的另一交点坐标为（4，﹣2）
C．正比例函数y 与反比例函数y 都随x的增大而增大
1 2
D．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y ＜y
2 1
8．（4分）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆
O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A．△BPA为等腰三角形
B．AB与PD相互垂直平分
C．点A、B都在以PO为直径的圆上
D．PC为△BPA的边AB上的中线
9．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的
另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的
距离等于（ ）
A．acosx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．asinx+bsinx
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：
abc＞0，
①b﹣2a＜0，
②a﹣b+c＞0，
③a+b＞n（an+b），（n≠1），
第2页（共25页）
④2c＜3b．
⑤正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空①题③（本大题共8小题，②每⑤小题4分，共32分，请③将④正确答案填写在答④题⑤卡相应的横线
上）
11．（4分）﹣ 的绝对值是 ．
12．（4分）分解因式：2x2﹣2＝ ．
13．（4分）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是 ．
14．（4分）不等式组 的解集为 ．
15．（4分）如图，直线AE∥BC，BA⊥AC，若∠ABC＝54°，则∠EAC＝ 度．
16．（4分）从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产
量和产量的稳定性十分的关心．选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各
用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：t）的数据，
这两组数据的平均数分别是
甲
≈7.5，
乙
≈7.5，方差分别是S甲 2＝0.010，S乙 2＝0.002，你
认为应该选择的玉米种子是 ．
17．（4分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝
30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．将矩形CODE沿x轴向右
平移，当矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6 时，则矩形CODE向右平移的距离
为 ．
第3页（共25页）18．（4分）观察下列结论：
（1）如图 ，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，
∠NOC＝①60°；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，
∠NOD＝90°；
（3）如图 ，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，
∠NOE＝③108°；
…
根据以上规律，在正n边形A A A A …A 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点
1 2 3 4 n
M，N是A A ，A A 上的点，且A M＝A N，A N与A M相交于O．也会有类似的结论，你的
1 2 2 3 1 2 1 n
结论是 ．
三、解答题（本大題关8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答
或证明的主要步骤）
19．（8分）计算：2cos45°+（ ﹣2020）0+|2﹣ |．
π
20．（8分）化简：（ ﹣a﹣1）÷ ．
21．（8分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：△BAE≌△CDE；
（2）求∠AEB的度数．
第4页（共25页）22．（10分）为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对
“防溺水”安全知识的掌握情况，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将
他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜
80，80≤x＜90，90≤x≤100）如图所示
b．七年级参赛学生成绩在70≤x＜80这一组的具体得分是：70 71 73 75 76
76 76 77 77 78 79
c．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七 76.9 m 80
d．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有 人；
（2）表中m的值为 ；
（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第 名；
（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数
76.9分的人数．
23．（10分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠
肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月
第5页（共25页）份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
24．（10分）如图，AB是 O的直径，AC是 O的切线，BC交 O于点E．
（1）若D为AC的中点，⊙证明：DE是 O⊙的切线； ⊙
（2）若CA＝6，CE＝3.6，求 O的半⊙径OA的长．
⊙
25．（12分）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，
∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究
图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：延长 FC 到 G，使 CG＝AE，连接 BG，先证明
△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是 ；
探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝
2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？
请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；
探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝
2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？
并说明理由；
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇
乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，
舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海
里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥
中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离．
第6页（共25页）26．（12分）已知直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A（﹣
1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（1）当直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线
的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；
（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标
为b，当S△EQM ＝ S△ACE 时，求m的值；
（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为b+ ，当 AM+2DM的最小值为 时，求b
的值．
第7页（共25页）2020年湖南省湘西州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．请将每个小题所给四个选项中唯一正
确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）
1．【分析】利用数轴表示这些数，从而比较大小．
【解答】解：将这些数在数轴上表示出来：
∴﹣3＜﹣2＜﹣1＜0＜3，
∴比﹣2小的数是﹣3，
故选：C．
【点评】考查了有理数大小比较法则．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，
绝对值大的反而小．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为正整数．
【解答】解：92700＝9.27×104．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，把一个大于10的数记成a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．
3．【分析】根据二次根式的加减法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、二次根式的性质与
化简，进行计算即可判断．
【解答】解：A. ＝2，所以A选项错误；
B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，所以B选项错误；
C. + ≠ ，所以C选项错误；
D．（﹣3a）2＝9a2．所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的加减法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、二次根式的
性质与化简，解决本题的关键是综合运用以上知识．
4．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看有两层，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，
第8页（共25页）故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
5．【分析】列举出所有可能出现的结果情况，进而求出能构成三角形的概率．
【解答】解：从长度为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，
共有以下4种结果（不分先后）：
1cm、3cm、5cm，
1cm、3cm、6cm，
3cm、5cm、6cm，
1cm、5cm、6cm，
其中，能构成三角形的只有1种，
∴P（构成三角形） ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的
关键．
6．【分析】依据已知条件即可得到∠ODP＝∠OGP，即可得到OD＝OG，进而得出△ODG是
等腰三角形．
【解答】解：如图所示，∵OM平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
由题意可得，DG垂直平分OC，
∴∠OPD＝∠OPG＝90°，
∴∠ODP＝∠OGP，
∴OD＝OG，
∴△ODG是等腰三角形，
故选：C．
第9页（共25页）【点评】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，
那么这两个角所对的边也相等．
7．【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，根据正比例函数和反比例函
数的性质可判断求解．
【解答】解：∵正比例函数y 的图象与反比例函数y 的图象相交于点A（﹣2，4），
1 2
∴正比例函数y ＝﹣2x，反比例函数y ＝﹣ ，
1 2
∴两个函数图象的另一个交点为（2，﹣4），
∴A，B选项说法错误；
∵正比例函数y ＝﹣2x中，y随x的增大而减小，反比例函数y ＝﹣ 中，在每个象限内y
1 2
随x的增大而增大，
∴C选项说法错误；
∵当x＜﹣2或0＜x＜2时，y ＜y ，
2 1
∴选项D说法正确．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数
的性质解决问题是本题的关键．
8．【分析】根据切线的性质即可求出答案．
【解答】解：（A）∵PA、PB为圆O的切线，
∴PA＝PB，
∴△BPA是等腰三角形，故A选项不符合题意．
（B）由圆的对称性可知：PD垂直平分AB，但AB不一定平分PD，故B选项符合题意．
（C）连接OB、OA，
第10页（共25页）∵PA、PB为圆O的切线，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴点A、B、P在以OP为直径的圆上，故C选项不符合题意．
（D）∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB，
∴PC为△BPA的边AB上的中线，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是熟练运用切线的性质，本题属于中等题型．
9．【分析】作CE⊥y轴于E，由矩形的性质得出CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°，证出
∠CDE＝∠DAO＝x，由三角函数定义得出OD＝bsinx，DE＝acosx，进而得出答案．
【解答】解：作CE⊥y轴于E，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
∵∠AOD＝90°，
∴∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠DAO＝x，
∵sin∠DAO＝ ，cos∠CDE＝ ，
∴OD＝AD×sin∠DAO＝bsinx，DE＝CD×cos∠CDE＝acosx，
∴OE＝DE+OD＝acosx+bsinx，
∴点C到x轴的距离等于acosx+bsinx；
故选：A．
第11页（共25页）【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的
性质和三角函数定义是解题的关键．
10．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根
据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解： 由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故 错误；
由于a＜0，①所以﹣2a＞0． ①
②又b＞0，
所以b﹣2a＞0，
故 错误；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故 错误；
③当x＝1时，y的值最大．此时，y③＝a+b+c，
④而当x＝n时，y＝an2+bn+c，
所以a+b+c＞an2+bn+c，
故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故 正确；
④
当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x＝﹣ ＝1，即a
⑤
＝﹣ ，代入得9（﹣ ）+3b+c＜0，得2c＜3b，故 正确；
⑤
故 正确．
故④选：⑤D．
【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符
第12页（共25页）号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线
上）
11．【分析】根据绝对值的意义，求出结果即可．
【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数可得，|﹣ |＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查绝对值的意义，理解负数的绝对值等于它的相反数．
12．【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）．
故答案为：2（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二
次分解，注意分解要彻底．
13．【分析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n边形
的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，
解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设该多边形的边数为n，
根据题意，得，（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6．
故这个多边形的边数为6．
故答案为：6
【点评】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以
转化为方程的问题来解决，难度适中．
14．【分析】求出每个不等式的解集，最后求出不等式组的解集即可．
【解答】解： ，
∵解不等式 得：x≥﹣3，
解不等式 ①得：x≥﹣1，
∴不等式②组的解集为x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
第13页（共25页）【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解
此题的关键．
15．【分析】根据垂直的定义得到∠BAC＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠C＝90°﹣54°
＝36°，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝54°，
∴∠C＝90°﹣54°＝36°，
∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝36°，
故答案为：36．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题
的关键．
16．【分析】在平均数基本相等的前提下，方差越小产量越稳定，据此求解可得．
【解答】解：∵
甲
＝
乙
≈7.5，S甲 2＝0.010，S乙 2＝0.002，
∴S甲 2＞S乙 2，
∴乙玉米种子的产量比较稳定，
∴应该选择的玉米种子是乙，
故答案为：乙．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动
大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均
值的离散程度越小，稳定性越好．
17．【分析】由已知得出AD＝OA﹣OD＝4，由矩形的性质得出∠AED＝∠ABO＝30°，在
Rt△AED中，AE＝2AD＝8，由勾股定理得出ED＝4 ，作出图形，根据三角形面积公式
列出方程即可得出答案．
【解答】解：∵点A（6，0），
∴OA＝6，
∵OD＝2，
∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，
∵四边形CODE是矩形，
∴DE∥OC，
第14页（共25页）∴∠AED＝∠ABO＝30°，
在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝ ＝ ＝4 ，
∵OD＝2，
∴点E的坐标为（2，4 ）；
∴矩形CODE的面积为4 ×2＝8 ，
∵将矩形CODE沿x轴向右平移，矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6
∴矩形CODE与△ABO不重叠部分的面积为2 ，
如图，设ME′＝x，则FE′＝ x，依题意有
x× x÷2＝2 ，
解得x＝±2（负值舍去）．
故矩形CODE向右平移的距离为2．
故答案为：2．
【点评】考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质
等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关
键．
18．【分析】根据已知所给得到规律，进而可得在正n边形A A A A …A 中，对相邻的三边实
1 2 3 4 n
施同样的操作过程会有类似的结论．
【解答】解：∵（1）如图 ，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则
①
AN＝CM，∠NOC＝ ＝60°；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，
∠NOD＝ ＝90°；
（3）如图 ，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，
③
第15页（共25页）∠NOE＝ ＝108°；
…
根据以上规律，在正n边形A A A A …A 中，
1 2 3 4 n
对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A A ，A A 上的点，
1 2 2 3
且A M＝A N，A N与A M相交于O．
1 2 1 n
也有类似的结论是A N＝A M，∠NOA ＝ ．
1 n n
故答案为：A N＝A M，∠NOA ＝ ．
1 n n
【点评】本题考查了正多边形和圆、规律型：图形的变化类、全等三角形的判定与性质，解
决本题的关键是掌握正多边形的性质．
三、解答题（本大題关8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答
或证明的主要步骤）
19．【分析】分别根据特殊角的三角函数值，任何非零数的零次幂定义以及绝对值的定义计算
即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝3．
【点评】本题主要考查了实数的运算，熟记相应定义以及特殊角的三角函数值是解答本题
的关键．
20．【分析】先计算括号内分式的减法、将除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分
即可得．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）÷
＝ •
＝ ．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法
则．
21．【分析】（1）利用等边三角形的性质得到AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，利用正方
第16页（共25页）形的性质得到AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，所以∠EAB＝∠EDC＝150°，然后根
据“SAS”判定△BAE≌△CDE；
（2）先证明AB＝AE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠AEB的度数．
【解答】（1）证明：∵△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴∠EAB＝∠EDC＝150°，
在△BAE和△CDE中
，
∴△BAE≌△CDE（SAS）；
（2）∵AB＝AD，AD＝AE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠EAB＝150°，
∴∠AEB＝ （180°﹣150°）＝15°．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两
条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行
四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质．
22．【分析】（1）将频数分布直方图中第3、4、5组数据相加可得答案；
（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）由90≤x≤100的频数为8、80≤x＜90的频数为15，据此可得答案；
（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数占被调查人数的比例即可
得．
【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有8+15+8＝31（人），
故答案为：31．
（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为
77、78，
第17页（共25页）∴m＝ ＝77.5，
故答案为：77.5；
（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第24名，
故答案为：24；
（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为500× ＝270（人）．
【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方
图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
23．【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；
（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日
产量．
【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得
20000（1+x）2＝24200
解得x ＝﹣2.1（舍去），x ＝0.1＝10%，
1 2
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．
答：预计4月份平均日产量为26620个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等
量关系．
24．【分析】（1）连接AE，OE，由AB是 O的直径，得到∠AEB＝90°，根据直角三角形的性
质得到AD＝DE，求得∠DAE＝∠AE⊙D，根据切线的性质得到∠CAE+∠EAO＝∠CAB＝
90°，等量代换得到∠DEO＝90°，于是得到结论；
（2）证明△AEC∽△BAC，列比例式可得BC的长，最后根据勾股定理可得OA的长．
【解答】（1）证明：连接AE，OE，
∵AB是 O的直径，且E在 O上，
∴∠AEB⊙＝90°， ⊙
第18页（共25页）∴∠AEC＝90°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED，
∵AC是 O的切线，
∴∠CAE⊙+∠EAO＝∠CAB＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠DEA+∠OEA＝90°，
即∠DEO＝90°，
∴DE是 O的切线；
（2）解：⊙∵∠AEC＝∠CAB＝90°，∠C＝∠C，
∴△AEC∽△BAC，
∴ ，
∵CA＝6，CE＝3.6，
∴ ，
∴BC＝10，
∵∠CAB＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴AB＝ ＝8，
∴OA＝4，
即 O的半径OA的长是4．
【点⊙评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角
形的性质和判定，正确的识别图形是解题的关键．
25．【分析】问题背景：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明
△BFG≌△BFE，即可得出结论：EF＝AE+CF；
探究延伸1：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明
△BFG≌△BFE，可得出结论：EF＝AE+CF；
探究延伸2：延长DC到H，使得CH＝AE，连接BH，先证明△BCH≌△BAE，即可得到BE
第19页（共25页）＝HB，∠ABE＝∠HBC，再证明△HBF≌△EBF，即可得出EF＝HF＝HC+CF＝AE+CF；
实际应用：连接EF，延长BF交AE的延长线于G，根据题意可转化为如下的数学问题：在
四边形GAOB中，OA＝OB，∠A+∠B＝180°，∠AOB＝2∠EOF，∠EOF的两边分别交
AG，BG于E，F，求EF的长．再根据探究延伸2的结论：EF＝AE+BF，即可得到两舰艇之
间的距离．
【解答】解：问题背景：
如图 1，延长 FC 到 G，使 CG＝AE，连接 BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明
△BFG≌△BFE，可得出结论：EF＝AE+CF；
故答案为：EF＝AE+CF；
探究延伸1：
上述结论仍然成立，即EF＝AE+CF，理由如下：
如图2，延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，
∵CG＝AE，∠BCG＝∠A＝90°，BC＝BA，
∴△BCG≌△BAE（SAS），
∴BG＝BE，∠ABE＝∠CBG，
∵∠ABC＝2∠EBF，
∴∠ABE+∠CBF＝∠EBF，
即∠CBG+∠CBF＝∠EBF，
∴∠GBF＝∠EBF，
又∵BF＝BF，
∴△BFG≌△BFE（SAS），
∴GF＝EF，
即GC+CF＝EF，
∴AE+CF＝EF
∴可得出结论：EF＝AE+CF；
第20页（共25页）探究延伸2：
上述结论仍然成立，即EF＝AE+CF，理由：
如图3，延长DC到H，使得CH＝AE，连接BH，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BCH+∠BCD＝180°，
∴∠BCH＝∠BAE，
∵BA＝BC，CH＝AE，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BE＝HB，∠ABE＝∠HBC，
∴∠HBE＝∠ABC，
又∵∠ABC＝2∠MBN，
∴∠EBF＝∠HBF，
∵BF＝BF，
∴△HBF≌△EBF（SAS），
∴EF＝HF＝HC+CF＝AE+CF；
实际应用：
如图4，连接EF，延长BF交AE的延长线于G，
第21页（共25页）因为舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，
所以∠AOB＝140°，
因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为 70°，所以∠EOF＝70°，所以∠AOB＝
2∠EOF．
依题意得，OA＝OB，∠A＝60°，∠B＝120°，所以∠A+∠B＝180°，
因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题：
在四边形GAOB中，OA＝OB，∠A+∠B＝180°，∠AOB＝2∠EOF，∠EOF的两边分别交
AG，BG于E，F，求EF的长．
根据探究延伸2的结论可得：EF＝AE+BF，
根据题意得，AE＝75×1.2＝90（海里），BF＝100×1.2＝120（海里），
所以EF＝90+120＝210（海里）．
答：此时两舰艇之间的距离为210海里．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正
确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用．
26．【分析】（1）将A点坐标代入直线与抛物线的解析式中求得k的值和b与c的关系式，再
将抛物线的顶点坐标代入求得的直线的解析式，便可求得b、c的值，进而求得E点的坐标；
（2）先根据抛物线的解析式求得C、Q点坐标，用m表示△EQM的面积，再根据S△EQM ＝
S△ACE 列出m的方程进行解答；
（3）取点N（0，1），则∠OAN＝45°，过D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点
M，此时 AM+2DM＝2DG的值最小，由2DG＝ 列出关于b的方程求解便可．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为
A（﹣1，0），
第22页（共25页）∴﹣k﹣2＝0，1+b+c＝0，
∴k＝﹣2，c＝﹣b﹣1，
∴直线y＝kx﹣2的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∵抛物线y＝x2﹣bx+c的顶点坐标为E（ ， ），
∴E（ ， ），
∵直线y＝﹣2x﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的
顶点E，
∴ ＝﹣2× ﹣2，
解得，b＝2，或b＝﹣2（舍），
当b＝2时，c＝﹣3，
∴E（1，﹣4），
故k＝﹣2，b＝2，c＝﹣3，E（1，﹣4）；
（2）由（1）知，直线的解析式为y＝﹣2x﹣2，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴C（0，﹣3），Q（2，﹣3），
如图1，设直线y＝﹣2x﹣2与y轴交点为N，则N（0，﹣2），
∴CN＝1，
∴ ，
∴ ，
第23页（共25页）设直线EQ与x轴的交点为D，显然点M不能与点D重合，
设直线EQ的解析式为y＝dx+n（d≠0），
则 ，
解得， ，
∴直线EQ的解析式为y＝x﹣5，
∴D（5，0），
∴S△EQM ＝S△EDM ﹣S△QDM ＝ ＝ ，
解得，m＝4，或m＝6；
（3）∵点D（b+ ，y ）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
D
∴ ，
可知点D（b+ ， ）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，
∵ ，
∴可取点N（0，1），则∠OAN＝45°，
如图2，过D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，
∵∠GAM＝90°﹣∠OAN＝45°，得 AM＝GM，
则此时点M满足题意，
第24页（共25页）过D作DH⊥x轴于点H，则点H（b+ ，0），
在Rt△MDH中，可知∠DMH＝∠MDH＝45°，
∴DH＝MH，DM＝ MH，
∵点M（m，0），
∴0﹣（ ）＝（b+ ）﹣m，
解得，m＝ ，
∵ ，
∴ ，
解得，b＝3，
此时，m＝ ，符合题意，
∴b＝3．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，三角
形面积公式，等腰直角三角形的性质，第（2）小题关键是由面积关系列出m的方程，第（3）
小题关键是确定 AM+2DM的最小值为2DG的值．
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