文档内容
2020年湖南省邵阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．（3分）2020的倒数是（ ）
A．﹣2020 B．2020 C． D．﹣
2．（3分）下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产权
的北斗导航系统全面建成．据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值
达3450亿元，较2018年增长14.4%．其中，3450亿元用科学记数法表示为（ ）
A．3.45×1010元 B．3.45×109元
C．3.45×108元 D．3.45×1011元
4．（3分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x ，x ，则x +x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．3 B．﹣ C． D．﹣2
5．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（2，3），把正比例函数y＝kx（k≠0）的图象
平移，使它过点（1，﹣1），则平移后的函数图象大致是（ ）
A． B．
第1页（共24页）C． D．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．5 + ＝8 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a2b3
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D． ＝a﹣2
7．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件
使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是（ ）
A．AE＝BC B．∠AEB＝∠CFD C．∠EAB＝∠FCD D．BE＝DF
8．（3分）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能
是（ ）
A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）
9．（3分）如图 所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案
的面积是多①少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围
起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数
（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了
所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ） ②
第2页（共24页）A．6m2 B．7m2 C．8m2 D．9m2
10．（3分）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：
（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A 处，
1
（2）将DP沿DA 向内继续折叠，使点 P落在点P 处，折痕与边AB交于点M．若
1 1
P M⊥AB，则∠DP M的大小是（ ）
1 1
A．135° B．120° C．112.5° D．115°
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）因式分解：2x2﹣18＝ ．
12．（3分）如图，已知点A在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，过点A作AB⊥y轴于点B，
△OAB的面积是2．则k的值是 ．
第3页（共24页）13．（3分）据统计：2019年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生91.3万人次，全市没有一名
学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下
是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）：
甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．
从接受“送教上门”的时间波动大小来看， 学生每周接受送教的时间更稳定．（填
“甲”或“乙”）
14．（3分）如图，线段AB＝10cm，用尺规作图法按如下步骤作图．
（1）过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC＝ AB；
（2）连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E；
（3）以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点D．即点D为线段AB的黄金分割点．则线
段AD的长度约为 cm．（结果保留两位小数，参考数据： ＝1.414， ＝1.732，
＝2.236）
15．（3分）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个
空格的实数之积为 ．
3 2
1 6
3
16．（3分）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只
云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864
平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依
题意列方程为 ．
17．（3分）如图 是山东舰徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国
首艘国产舰母①横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为10
的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图 ），则该圆锥的母线长ABπ
②
第4页（共24页）为 ．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝ ，过点C作CF∥AB，以AB为边
作菱形ABEF，若∠F＝30°，则Rt△ABC的面积为 ．
三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26是10分，共66分．解答应写出
必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19．（8分）计算：（﹣1）2020+（ ）﹣1+|﹣1+ |﹣2sin60°．
20．（8分）已知：|m﹣1|+ ＝0，
（1）求m，n的值；
（2）先化简，再求值：m（m﹣3n）+（m+2n）2﹣4n2．
21．（8分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的 O过点A，
连接AD，∠CAD＝∠C． ⊙
（1）求证：AC是 O的切线；
（2）若AC＝4，求⊙ O的半径．
⊙
22．（8分）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣邵
第5页（共24页）阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，
如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔AA ，
1
BB ，CC 分别为62m，100m，200m．若管道AB与水平线AA 的夹角为30°，管道BC与水
1 1 2
平线BB 夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．
2
23．（8分）“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了
了解和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷
调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图 ，图 两幅统计图（均不完整），
请根据统计图解答以下问题： ① ②
xx学校“停课不停学”网络学习时间
调查表
亲爱的同学，你好！
为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习，请在表格中选择一项符合你学
习时间的选项，在其后的空格内打“√”．
平均每天利用网络学习时间问卷调查表
选项 学习时间（小时）
A 0＜t≤1
B 1＜t≤3
C 3＜t≤5
第6页（共24页）D t＞5
（1）本次接受问卷调查的学生共有 人；
（2）请补全图 中的条形统计图；
（3）图 中，①D选项所对应的扇形圆心角为 度；
（4）若该②校共有1500名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络
学习时间在C选项的有多少人？
24．（8分）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活
力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5
台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风
扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇
的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？
25．（8分）已知：如图 ，将一块45°角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合，连接
AF，CE，点M是①CE的中点，连接DM．
（1）请你猜想AF与DM的数量关系是 ．
（2）如图 ，把正方形ABCD绕着点D顺时针旋转 角（0°＜ ＜90°）．
AF与D②M的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；α若不成立，α请说明理由；（温馨提示：
①延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN）
求证：AF⊥DM；
②若旋转角 ＝45°，且∠EDM＝2∠MDC，求 的值．（可不写过程，直接写出结果）
③ α
第7页（共24页）26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，
0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣ x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以
每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点
O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，
到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止
运动，设运动时间为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的
三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻
折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．
第8页（共24页）2020年湖南省邵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．【分析】根据倒数的定义求解即可
【解答】解：∵2020× ＝1
∴2020的倒数是 ，
故选：C．
【点评】本题考查倒数的定义，熟记倒数的定义是解题的关键．
2．【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解
答即可．
【解答】解：A、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；
B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不符合题意；
C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、
左面和上面看所得到的图形是解题的关键．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：根据科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，则3450亿＝
345000000000＝3.45×1011．
故选：D．
【点评】本题主要考查利用科学记数法表示较大的数的方法，掌握科学记数法的表示方法
是解答本题的关键，这里还需要注意n的取值．
4．【分析】本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数
的值，代入公式求值即可．
第9页（共24页）【解答】解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，
由根与系数的关系：x +x ＝﹣ ＝﹣ ＝3．
1 2
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方
程，也可以通过韦达定理提升解题效率
5．【分析】先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点（1，﹣1）求出一次函数解析式，即
可求解．
【解答】解：把点（2，3）代入y＝kx（k≠0）得2k＝3，
解得 ，
∴正比例函数解析式为 ，
设正比例函数平移后函数解析式为 ，
把点（1，﹣1）代入 得 ，
∴ ，
∴平移后函数解析式为 ，
故函数图象大致为：
．
故选：D．
【点评】本题考查了求正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，根据正比例函
数求出平移后一次函数解析式是解题关键．
6．【分析】分别运用二次根式、整式和分式的运算法则逐项排除即可．
【解答】解：A. ，故A选项不合题意；
B．（﹣2a2b）3＝（﹣2）3（a2）3b3＝﹣8a6b3，故B选项不合题意；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C选项不合题意；
第10页（共24页）D. ，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式、整式和分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
7．【分析】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABE+∠ABD＝∠BDC+∠CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
A．若添加AE＝BC，则无法证明△ABE≌△CDF，故选项A符合题意；
B．若添加∠AEB＝∠CFD，运用AAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项B不符合题意；
C．若添加∠EAB＝∠FCD，运用ASA可以证明△ABE≌△CDF，故选项C不符合题意；
D．若添加BE＝DF，运用SAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准
确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．【分析】因为ab＞0，所以a、b同号，又a+b＞0，所以a＞0，b＞0，观察图形判断出小手盖住
的点在第二象限，然后解答即可．
【解答】解：∵a+b＞0，ab＞0，∴a＞0，b＞0．
A、（a，b）在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
B、（﹣a，b）在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；
C、（﹣a，﹣b）在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
D、（a，﹣b）在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了点的象限的判断，熟练判断a，b的正负是解题的关键．
9．【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则
图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【解答】解：假设不规则图案面积为xm2，
由已知得：长方形面积为20m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
第11页（共24页）当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故
由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有： ，解得x＝7．
故选：B．
【点评】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关
键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识
要求极高．
10．【分析】由折叠前后对应角相等且∠P MA＝90°可先求出∠DMP ＝∠DMA＝45°，进一步
1 1
求出∠ADM＝45°，再由折叠可求出∠MDP ＝∠ADP＝∠PDM＝22.5°，最后在△DP M中
1 1
由三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵折叠，且∠P MA＝90°，
1
∴∠DMP ＝∠DMA＝45°，即∠ADM＝45°，
1
∵折叠，
∴∠MDP ＝∠ADP＝∠PDM＝ ∠ADM＝22.5°，
1
∴在△DP M中，∠DP M＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
1 1
故选：C．
【点评】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特
点：折叠前后对应边相等，对应角相等即可解题．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．【分析】先提公因式，再运用平方差公式分解．
【解答】解：2x2﹣18＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
第12页（共24页）12．【分析】根据△OAB的面积等于2，即可得到线段OB与线段AB的乘积，进而得到A点横
坐标与纵坐标的乘积，进而求出k值．
【解答】解：设点A的坐标为（x ，y ），AB⊥y轴，
A A
由题意可知： ，
∴y •x ＝4，
A A
又点A在反比例函数图象上，
故有k＝x •y ＝4．
A A
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式等，熟练掌握反比例
函数的图形和性质是解决此类题的关键．
13．【分析】先算出甲、乙送教上门时间的平均数，进而求出方差，方差越小，则接受送教的时
间更稳定．
【解答】解：甲的“送教上门”时间的平均数为： ，
乙的“送教上门”时间的平均数为： ，
甲的方差： ，
乙的方差： ，
因为 ，
所以甲的方差小，故甲学生每周接受送教的时间更稳定．
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义：方差越小，数据的密集度越高，波动幅
度越小是解题的关键．
14．【分析】根据作图得△ABC为直角三角形，CE＝BC＝ AB＝5cm，AE＝AD，根据勾股定理
求出AC，再求出AE，即可求出AD．
【解答】解：由作图得△ABC为直角三角形，CE＝BC＝ AB＝5cm，AE＝AD，
∴AC＝ cm，
第13页（共24页）∴AE＝AC﹣CE＝5 cm，
∴ cm．
故答案为：6.18．
【点评】本题考查了尺规作图，勾股定理等知识，根据作图步骤得到相关已知条件是解题
关键．
15．【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到 ，然后中间一行的三个数相乘以及最
后一行的三个数相等都是 ，即可求解．
【解答】解：由题意可得： xy＝ ，
xy＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次根式的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是
解决此类题的关键．
16．【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为（x+12），再利用矩形的面积公
式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵矩形的宽为x（步），且宽比长少12（步），
∴矩形的长为（x+12）（步）．
依题意，得：x（x+12）＝864．
故答案为：x（x+12）＝864．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确
列出一元二次方程是解题的关键．
17．【分析】由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线AB的长．
【解答】解：∵圆锥底面周长＝侧面展开后扇形的弧长＝10 ，
π
∴OB＝ ，
在Rt△AOB中，AB＝ ，
所以该圆锥的母线长AB为13．
故答案为：13．
【点评】本题考查弧长公式的应用，解题的关键是牢记有关的公式．
18．【分析】先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处
处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．
【解答】解：如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，
第14页（共24页）∵根据题意四边形ABEF为菱形，
∴AB＝BE＝ ，
又∵∠ABE＝30°
∴在Rt△BHE中，EH＝ ，
根据题意，AB∥CF，
根据平行线间的距离处处相等，
∴HE＝CG＝ ，
∴Rt△ABC的面积为 ．
故答案为： ．
【点评】本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30°角所对直
角边是斜边一半的性质，求出HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE＝
CG，最终求出直角三角形面积．
三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26是10分，共66分．解答应写出
必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函
数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1+2+（ ﹣1）﹣2×
＝1+2+ ﹣1﹣
＝2．
【点评】此题主要考查了根式运算，指数计算，绝对值，三角函数值等知识点，正确应用记
住它们的化简规则是解题关键．
20．【分析】（1）根据非负数的和为0的性质进行解答便可；
第15页（共24页）（2）根据整式乘法法则，完全平方公式计算，再合并同类项后，最后再代值计算．
【解答】解：（1）根据非负数得：m﹣1＝0且n+2＝0，
解得：m＝1，n＝﹣2，
（2）原式＝m2﹣3mn+m2+4mn+4n2﹣4n2＝2m2+mn，
当m＝1，n＝﹣2，原式＝2×1+1×（﹣2）＝0．
【点评】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、完
全平方公式、合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键．
21．【分析】（1）连接OA，由圆的性质可得OA＝OB，即∠OBA＝∠OAB；再由AB＝AC，即
∠OBA＝∠C，再结合∠CAD＝∠C，可得∠OAB＝∠CAD，然后由∠BAD＝90°说明
∠OAC＝90°即可完成证明；
（2）根据等腰三角形的性质和圆的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图：连接OA，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵AB＝AC，
∴∠OBA＝∠C，
∴∠OAB＝∠C，
∵∠CAD＝∠C，
∴∠OAB＝∠CAD，
∵BD是直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠OAC＝∠BAD﹣∠OAB+∠CAD＝90°，
∴AC是 O的切线；
⊙
（2）解：由（1）可知AC是 O的切线，
∴∠OAC＝90°，∠AOD＝2∠⊙B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠AOC+∠C＝2∠B+∠C＝3∠C＝90°，
∴∠B＝∠C＝30°，
第16页（共24页）在Rt△ABD中，BD＝ ＝ ＝ ，
∴OB＝ ，
∴ O的半径为 ．
⊙
【点评】本题考查了圆的切线的判定，证得∠OAC＝90°是解答本题的关键．
22．【分析】先根据题意得到BO，CB 的长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在
2
Rt△BCB 中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．
2
【解答】解：根据题意知，四边形AA B O和四边形BB C B 均为矩形，
1 1 1 1 2
∴OB ＝AA ＝62m，B C ＝BB ＝100m，
1 1 2 1 1
∴BO＝BB ﹣OB ＝100﹣62＝38m，CB ＝CC ﹣B C ＝200﹣100＝100m，
1 1 2 1 2 1
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝38m，
∴AB＝2BO＝2×38＝76m；
在Rt△CBB 中，∠CB B＝90°，∠CBB ＝45°，CB ＝100m，
2 2 2 2
∴ ，
∴ ，
即管道AB和BC的总长度为： ．
【点评】考查了解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得到AB和BC的长度．
23．【分析】（1）根据选A的有50人，占15%，从而求得本次接受问卷调查的学生总数；
（2）根据各组人数之和等于数据总数求得选B的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）用360°乘以D选项所占百分比可得所对应扇形圆心角的度数；
第17页（共24页）（4）利用样本估计总体，用1500乘以样本中学习时间在C选项的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）15÷15%＝100（人）．
故答案为：100；
（2）如图，选B的人数：100﹣40﹣15﹣5＝40（人）．
条形图补充如下：
（3）图 中，D选项所对应的扇形圆心角为：360°× ＝18°．
②
故答案为：18；
（4）1500× ＝600（人）．
故估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在C选项的有600人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
24．【分析】（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，根据“2台A型
风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”，即可得
出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，根据“购进A型风扇不超过B
型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元”，即可得出关于m的一
元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案．
【解答】解：（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，
第18页（共24页）依题意，得： ，
解得： ．
答：A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是16元；
（2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台，
依题意，得： ，
解得：71 ≤m≤75，
又∵m为正整数，
∴m可以取72、73、74、75，
∴小丹共有4种进货方案，方案1：购进A型风扇72台，B型风扇28台；方案2：购进A型
风扇73台，B型风扇27台；方案3：购进A型风扇74台，B型风扇26台；方案4：购进A型
风扇75台，B型风扇25台．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元
一次不等式组．
25．【分析】（1）根据题意合理猜想即可；
（2） 延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN，先证明△MNC≌△MDE，再证明
△ADF①≌△DCN，得到AF＝DN，故可得到AF＝2DM；
根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解；
②依题意可得∠AFD＝∠EDM＝30°，可设AG＝k，得到DG，AD，FG，ED的长，故可求解．
③【解答】解：（1）猜想AF与DM的数量关系是AF＝2DM，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，∠ADC＝90°，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴AF＝CE，
∵M是CE的中点，
第19页（共24页）∴CE＝2DM，
∴AF＝2DM，
故答案为：AF＝2DM；
（2） AF＝2DM仍然成立，
理由如①下：延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN，
∵M是CE中点，
∴CM＝EM，
又∠CMN＝∠EMD，
∴△MNC≌△MDE（SAS），
∴CN＝DE＝DF，∠MNC＝∠MDE，
∴CN∥DE，
又AD∥BC
∴∠NCB＝∠EDA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠BCD＝90°＝∠EDF，
∴∠ADF＝∠DCN，
∴△ADF≌△DCN（SAS），
∴AF＝DN，
∴AF＝2DM；
∵△ADF≌△DCN，
②∴∠NDC＝∠FAD，
∵∠CDA＝90°，
∴∠NDC+∠NDA＝90°，
∴∠FAD+∠NDA＝90°，
∴AF⊥DM；
∵ ＝45°，
③∴∠EαDC＝90°﹣45°＝45°
∵∠EDM＝2∠MDC，
∴∠EDM＝ ∠EDC＝30°，
∴∠AFD＝30°，
第20页（共24页）过A点作AG⊥FD的延长线于G点，∴∠ADG＝90°﹣45°＝45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
设AG＝k，则DG＝k，AD＝AG÷sin45°＝ k，
FG＝AG÷tan30°＝ k，
∴FD＝ED＝ k﹣k，
故 ＝ ．
【点评】本题是四边形综合题，解题的关键是熟知正方形的性质、旋转的特点、全等三角形
的判定与性质及三角函数的运用．
26．【分析】（1）将C（8，0），B（0，6）代入 计算即可；
（2）作DE⊥x轴于点E，证明△BOC～△CED，可得CE，DE长度，进而得到点D的坐标；
（3）分为点M在AD，BC上两种情况讨论，当点M在AD上时，分为△BON～△CDM和
△BON～△MDC两种情况讨论；当点M在BC上时，分为△BON～△MCD和△BON～
△DCM两种情况讨论；
（4）作点D关于x轴的对称F，连接QF，可得QN+DN的最小值；连接BQ减去BA'可得
A'Q的最小值，综上可得A'Q+QN+DN的最小值．
【解答】解：（1）将C（8，0），B（0，6）代入 ，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）如答图1，作DE⊥x轴于点E，
第21页（共24页）∵C（8，0），B（0，6），
∴OC＝8，OB＝6．
∴BC＝10．
∵∠BOC＝∠BCD＝∠DEC，
∴△BOC～△CED．
∴ ．
∴CE＝3，DE＝4．
∴OE＝OC+CE＝11．
∴D（11，4）．
（3）若点M在DA上运动时，DM＝5t，ON＝4t，
当△BON～△CDM，则 ，即 不成立，舍去；
当△BON～△MDC，则 ，即 ，解得： ；
若点M在BC上运动时，CM＝25﹣5t．
当△BON～△MCD，则 ，即 ，
∴ ．
当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t．
∴ ，
第22页（共24页）解得t ＝ （舍去），t ＝ ．
1 2
当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16
∴ ，无解；
当△BON～△DCM，则 ，即 ，
∴ON＝30﹣6t；
当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t，
∴30﹣6t＝16﹣4t，
解得t＝7（舍去）；
当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16，
∴30﹣6t＝4t﹣16，
解得 ．
综上所示：当 时，△BON～△MDC；t＝ 时，△BON～△MCD； 时，
△BON～△DCM；
（4）如答图2，作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N，
∵点D（11，4），
∴点F（11，﹣4）．
由 得对称轴为x＝5，
∴点Q（5，4）．
第23页（共24页）∴ ， ．
∴ ．
故A'Q+QN+DN的最小值为 ．
【点评】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及相似三角形的性质与判定，最短路
径问题的计算，熟知以上知识的应用是解题的关键．
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