文档内容
2020年贵州省毕节市中考数学试卷
一、选择题（本题共15小题，每题3分，共45分）
1．（3分）3的倒数是（ ）
A．﹣3 B． C．﹣ D．3
2．（3分）中国的陆地面积约为9600000平方公里，9600000用科学记数法表示为（ ）
A．0.96×107 B．9.6×107 C．9.6×106 D．96.0×105
3．（3分）下列各图是由5个大小相同的小立方体搭成的几何体，其中主视图和左视图相同的
是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．正五边形
5．（3分）已知 ＝ ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）已知a≠0，下列运算中正确的是（ ）
A．3a+2a2＝5a3 B．6a3÷2a2＝3a
C．（3a3）2＝6a6 D．3a3÷2a2＝5a5
7．（3分）将一副直角三角板（∠A＝∠FDE＝90°，∠F＝45°，∠C＝60°，点D在边AB上）按
图中所示位置摆放，两条斜边为EF，BC，且EF∥BC，则∠ADF等于
（ ）
第1页（共29页）A．70° B．75° C．80° D．85°
8．（3分）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，将他们投中的次数
进行统计，制成下表：
投中次数 3 5 6 7 8 9
人数 1 3 2 2 1 1
则这10名队员投中次数组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ）
A．5，6 B．2，6 C．5，5 D．6，5
9．（3分）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
10．（3分）在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距
离为4，则点M的坐标是
（ ）
A．（5，4） B．（4，5） C．（﹣4，5） D．（﹣5，4）
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，
连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（ ）
A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm
12．（3分）由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25
元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（ ）
A．230元 B．250 元 C．270元 D．300 元
13．（3分）如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为 ，则图中阴
π
影部分的面积为（ ）
第2页（共29页）A． B． C． D． +
π π π π
14．（3分）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x ，x 是一元二
1 2
次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x ＜x ，﹣1＜x ＜0，则下列说法正确的是（ ）
1 2 1
A．x +x ＜0 B．4＜x ＜5 C．b2﹣4ac＜0 D．ab＞0
1 2 2
15．（3分）如图，在一个宽度为AB长的小巷内，一个梯子的长为a，梯子的底端位于AB上的
点P，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到AB的距离BC为b，梯子的倾
斜角∠BPC为45°；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D处，点D到AB的距离AD为
c，且此时梯子的倾斜角∠APD为75°，则AB的长等于（ ）
A．a B．b C． D．c
二、填空题（本题5小题，每题5分，共25分）
16．（5分）不等式x﹣3＜6﹣2x的解集是 ．
17．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的
动点，则AP+PE的最小值是 ．
第3页（共29页）18．（5分）关于x的一元二次方程（k+2）x2+6x+k2+k﹣2＝0有一个根是0，则k的值是 ．
19．（5分）一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝ （k≠0）的图象的两个交点分
别是A（﹣1，﹣4），B（2，m），则a+2b＝ ．
20．（5分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，sinC＝ ，以点A为圆心，AB长为半径作
弧交AC于点M，分别以点B，M为圆心，以大于 BM长为半径作弧，两弧相交于点N，射
线AN与BC相交于点D，则AD的长为 ．
三、解答题（本题7小题，共80分）
21．（8分）计算：|﹣2|+（ +3）0+2cos30°﹣（ ）﹣1﹣ ．
π
22．（8分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x＝1+ ．
23．（10分）我国新冠疫情防控取得了阶段性胜利．学生们返校学习后，某数学兴趣小组对本
校同学周末参加体有运动的情况进行抽样调查，在校园内随机抽取男女生各25人，调查
情况如下表：
第4页（共29页）是否参加体育运动 男生 女生 总数
是 21 19 m
否 4 6 n
对男女生是否参加体育运动的人数绘制了条形统计图如图（1），在这次调查中，对于参加
体育运动的同学，同时对其参加的主要运动项目也进行了调查，并绘制了扇形统计图如图
（2）．根据以上信息解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ，a＝ ；
（2）将图（1）所示的条形统计图补全；
（3）这次调查中，参加体育运动，且主要运动项目是球类的共有 人；
（4）在这次调查中，共有4名男生未参加体育运动，分别是甲、乙、丙、丁四位同学，现在从
他们中选出两位同学参加“我运动我健康”的知识讲座，求恰好选出甲和乙去参加讲座
的概率．（用列表或树状图解答）
24．（12分）某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进
价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙
种书柜的数量少6个．
（1）每个甲种书柜的进价是多少元？
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量
的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？
第5页（共29页）25．（12分）如图（1），大正方形的面积可以表示为（a+b）2，同时大正方形的面积也可以表示
成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2+2ab+b2．同一图形（大正方形）的面
积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2．
把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式
解决相关问题”的方法称为“面积法”．
（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式
分解的等式： ．
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，CH是斜边AB边上的高．用上述
“面积法”求CH的长；
（3）如图（4），等腰△ABC中，AB＝AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，
CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，连接AO，用上述“面积法”求证：OM+ON＝CH．
第6页（共29页）26．（14分）如图，已知AB是 O的直径， O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC
边于点E，点F是弧EB的中⊙点，∠C＝9⊙0°，连接AF．
（1）求证：直线CD是 O切线．
（2）若BD＝2，OB＝4⊙，求tan∠AFC的值．
27．（16分）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x
轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB于点M，将Rt△OMA
沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：
（1）抛物线的解析式为 ，顶点坐标为 ；
（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF．若DE边在线段OB
上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积．
第7页（共29页）2020年贵州省毕节市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共15小题，每题3分，共45分）
1．（3分）3的倒数是（ ）
A．﹣3 B． C．﹣ D．3
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数计算即可得解．
【解答】解：∵3× ＝1，
∴3的倒数是 ．
故选：B．
【点评】本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．（3分）中国的陆地面积约为9600000平方公里，9600000用科学记数法表示为（ ）
A．0.96×107 B．9.6×107 C．9.6×106 D．96.0×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：将9600000用科学记数法表示为：9.6×106．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列各图是由5个大小相同的小立方体搭成的几何体，其中主视图和左视图相同的
是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】此题为简单组合体的三视图，只需依次分析并判断各选项的主视图及左视图即可
求出正确答案．
第8页（共29页）【解答】解：依次画出题设选项的主视图和左视图如下：
故选：D．
【点评】此题主要考查了组合体三视图，注意分析基本体之间上下、左右、前后位置关系与
形成三视图后的位置关系之间的联系．
4．（3分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．正五边形
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么
这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．常见的中心对
称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
5．（3分）已知 ＝ ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用已知用同一未知数表示出a，b的值，进而代入化简即可．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴设a＝2x，b＝5x，
∴ ＝ ＝ ．
故选：C．
第9页（共29页）【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数表示出各数是解题关键．
6．（3分）已知a≠0，下列运算中正确的是（ ）
A．3a+2a2＝5a3 B．6a3÷2a2＝3a
C．（3a3）2＝6a6 D．3a3÷2a2＝5a5
【分析】利用整式的加法、除法、积和幂的乘方法则，直接计算得结果．
【解答】解：由于a和a2不是同类项，不能合并，故选项A错误；
6a3÷2a2＝3a，计算正确，故选项B正确；
（3a3）2＝9a6≠6a6，故选项C错误；
3a3÷2a2＝1.5a≠5a5，故选项D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的除法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方．题目难度不大，掌握
整式的运算法则是解决本题的关键．
7．（3分）将一副直角三角板（∠A＝∠FDE＝90°，∠F＝45°，∠C＝60°，点D在边AB上）按
图中所示位置摆放，两条斜边为EF，BC，且EF∥BC，则∠ADF等于
（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠BGD的度数，再根据三角形外角的性质，即可得到
∠ADG的度数．
【解答】解：如图所示，∵EF∥BC，
∴∠F＝∠BGD＝45°，
又∵∠ADG是△BDG的外角，∠B＝30°，
∴∠ADG＝∠B+∠BGD＝30°+45°＝75°，
故选：B．
第10页（共29页）【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题时注意：两条平行线被
第三条直线所截，同位角相等．
8．（3分）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，将他们投中的次数
进行统计，制成下表：
投中次数 3 5 6 7 8 9
人数 1 3 2 2 1 1
则这10名队员投中次数组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ）
A．5，6 B．2，6 C．5，5 D．6，5
【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．
【解答】解：由表可知，这10个数据中数据5出现次数最多，所以众数为5，
∵中位数为第5、6个数据的平均数，且第5、6个数据均为6，
∴这组数据的中位数为 ＝6，
故选：A．
【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组
数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置
的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是
这组数据的中位数．
9．（3分）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要
分两种情况讨论．
【解答】解： 当腰是3，底边是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
当底边是3，①腰长是7时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．
②故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰
和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
第11页（共29页）10．（3分）在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距
离为4，则点M的坐标是
（ ）
A．（5，4） B．（4，5） C．（﹣4，5） D．（﹣5，4）
【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对
值，得到点M的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点M的具体坐标．
【解答】解：设点M的坐标是（x，y）．
∵点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，
∴|y|＝5，|x|＝4．
又∵点M在第二象限内，
∴x＝﹣4，y＝5，
∴点M的坐标为（﹣4，5），
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，
到y轴的距离为点的横坐标的绝对值；第二象限（﹣，+）．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，
连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（ ）
A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm
【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，根据勾股定理求出AC，进而
求出BD、OD，最后根据三角形中位线求出EF的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝10（cm），
∴BD＝10cm，DO＝5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
第12页（共29页）∴EF＝ OD＝2.5cm，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，三角形的中位线平行于第
三边，并且等于第三边的一半．
12．（3分）由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25
元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（ ）
A．230元 B．250 元 C．270元 D．300 元
【分析】设该商品的原售价为x元，根据成本不变列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设该商品的原售价为x元，
根据题意得：75%x+25＝90%x﹣20，
解得：x＝300，
则该商品的原售价为300元．
故选：D．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
13．（3分）如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为 ，则图中阴
π
影部分的面积为（ ）
A． B． C． D． +
π π π π
【分析】连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠COD＝60°，
△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可．
【解答】解：连接CD、OC、OD．
∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，
∵弧CD的长为 ，
第13页（共29页）∴ ＝ ，
解得：r＝1，
又∵OA＝OC＝OD，
∴△OAC、△OCD是等边三角形，
在△OAC和△OCD中， ，
∴△OAC≌△OCD（SSS），
∴S阴影 ＝S扇形OCD ＝ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形
OCD的面积，难度一般．
14．（3分）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x ，x 是一元二
1 2
次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x ＜x ，﹣1＜x ＜0，则下列说法正确的是（ ）
1 2 1
A．x +x ＜0 B．4＜x ＜5 C．b2﹣4ac＜0 D．ab＞0
1 2 2
【分析】利用函数图象分别得出抛物线与x轴交点的横坐标的关系，进而判断四个结论得
出答案．
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，
1 2
∴x 、x 是抛物线与x轴交点的横坐标，
1 2
∵抛物线的对称轴为x＝2，
第14页（共29页）∴ ＝2，即x +x ＝4＞0，故选项A错误；
1 2
∵x ＜x ，﹣1＜x ＜0，
1 2 1
∴﹣1＜ ，
解得：4＜x ＜5，故选项B正确；
2
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故选项C错误；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴﹣ ＝2，
∴b＝﹣4a＞0，
∴ab＜0，故选项D错误；
故选：B．
【点评】主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与x
轴交点的横坐标间的数量关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
15．（3分）如图，在一个宽度为AB长的小巷内，一个梯子的长为a，梯子的底端位于AB上的
点P，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到AB的距离BC为b，梯子的倾
斜角∠BPC为45°；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D处，点D到AB的距离AD为
c，且此时梯子的倾斜角∠APD为75°，则AB的长等于（ ）
A．a B．b C． D．c
【分析】过点C作CE⊥AD于E，则四边形ABCE是矩形，得出AB＝CE，易证△CPD是等
边三角形，得CD＝DP，∠PDC＝60°，由AAS证得△EDC≌△APD，得出CE＝AD，即可得
出结果．
第15页（共29页）【解答】解：过点C作CE⊥AD于E，如图所示：
则四边形ABCE是矩形，
∴AB＝CE，∠CED＝∠DAP＝90°，
∵∠BPC＝45°，∠APD＝75°，
∴∠CPD＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∵CP＝DP＝a，
∴△CPD是等边三角形，
∴CD＝DP，∠PDC＝60°，
∵∠ADP＝90°﹣75°＝15°，
∴∠EDC＝15°+60°＝75°，
∴∠EDC＝∠APD，
在△EDC和△APD中，
，
∴△EDC≌△APD（AAS），
∴CE＝AD，
∴AB＝AD＝c，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与
性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本题5小题，每题5分，共25分）
16．（5分）不等式x﹣3＜6﹣2x的解集是 x ＜ 3 ．
【分析】不等式移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：不等式x﹣3＜6﹣2x，
移项得：x+2x＜6+3，
合并得：3x＜9，
第16页（共29页）解得：x＜3．
故答案为：x＜3．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
17．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的
动点，则AP+PE的最小值是 ．
【分析】连接CE交BD于点P，连接AP，根据正方形的对称性得到AP＝CP，此时AP+PE
最小值等于CE的长，利用勾股定理求出CE的长即可得到答案．
【解答】解：如图，连接CE交BD于点P，连接AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A与点C关于BD对称，
∴AP＝CP，
∴AP+EP＝CP+EP＝CE，此时AP+PE最小，
∵正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，
∴BC＝4，BE＝2，∠ABC＝90°，
∴CE＝ ＝ ，
∴AP+PE的最小值是 ，
故答案为： ．
【点评】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，
还考查了勾股定理的计算．依据正方形的对称性，连接CE交BD于点P时AP+PE有最小
第17页（共29页）值，这是解题的关键．
18．（5分）关于x的一元二次方程（k+2）x2+6x+k2+k﹣2＝0有一个根是0，则k的值是 1 ．
【分析】把x＝0代入方程计算，检验即可求出k的值．
【解答】解：把x＝0代入方程得：k2+k﹣2＝0，
分解因式得：（k﹣1）（k+2）＝0，
可得k﹣1＝0或k+2＝0，
解得：k＝1或k＝﹣2，
当k＝﹣2时，k+2＝0，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则k的值为1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次
方程的方法是解本题的关键．
19．（5分）一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝ （k≠0）的图象的两个交点分
别是A（﹣1，﹣4），B（2，m），则a+2b＝ ﹣ 2 ．
【分析】将点A坐标代入可确定反比例函数的关系式，进而求出点B坐标，把点A、点B坐
标代入一次函数的关系式，即可求出结果．
【解答】解：把A（﹣1，﹣4）代入反比例函数y＝ （k≠0）的关系式得，k＝﹣1×（﹣4）＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝ ，
当x＝2时，y＝m＝ ＝2，
∴B（2，2），
把A（﹣1，﹣4），B（2，2）代入一次函数y＝ax+b得，
，
∴a+2b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的
方法．
20．（5分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，sinC＝ ，以点A为圆心，AB长为半径作
第18页（共29页）弧交AC于点M，分别以点B，M为圆心，以大于 BM长为半径作弧，两弧相交于点N，射
线AN与BC相交于点D，则AD的长为 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，设AE＝DE＝AF＝DF＝x，则BE＝6﹣x，CF
＝8﹣x，依据∠B＝∠FDC，∠BDE＝∠C，可得△BDE∽△DCF，依据相似三角形对应边
成比例，即可得到AE的长，进而得出AD的长．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
由题可得，AD平分∠BAC，∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是正方形，
∴DE＝DF，∠BAD＝45°＝∠ADE，
∴AE＝DE＝AF＝DF，
∵∠BAC＝90°，AB＝6，sinC＝ ，
∴BC＝10，AC＝8，
设AE＝DE＝AF＝DF＝x，则BE＝6﹣x，CF＝8﹣x，
∵∠B＝∠FDC，∠BDE＝∠C，
∴△BDE∽△DCF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得x＝ ，
∴AE＝ ，
∴Rt△ADE中，AD＝ AE＝ ，
故答案为： ．
第19页（共29页）【点评】此题主要考查了基本作图以及相似三角形的性质，正确运用相似三角形的性质列
出比例式是解题关键．
三、解答题（本题7小题，共80分）
21．（8分）计算：|﹣2|+（ +3）0+2cos30°﹣（ ）﹣1﹣ ．
π
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次
根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+1+2× ﹣3﹣2
＝2+1+ ﹣3﹣2
＝﹣ ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
22．（8分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x＝1+ ．
【分析】直接利用分式的混合运算法则将分式分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝[ ﹣ ]•
＝ •
＝ •
＝ ，
当x＝1+ 时，
原式＝ ＝ +1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
第20页（共29页）23．（10分）我国新冠疫情防控取得了阶段性胜利．学生们返校学习后，某数学兴趣小组对本
校同学周末参加体有运动的情况进行抽样调查，在校园内随机抽取男女生各25人，调查
情况如下表：
是否参加体育运动 男生 女生 总数
是 21 19 m
否 4 6 n
对男女生是否参加体育运动的人数绘制了条形统计图如图（1），在这次调查中，对于参加
体育运动的同学，同时对其参加的主要运动项目也进行了调查，并绘制了扇形统计图如图
（2）．根据以上信息解答下列问题：
（1）m＝ 4 0 ，n＝ 1 0 ，a＝ 4 0 ；
（2）将图（1）所示的条形统计图补全；
（3）这次调查中，参加体育运动，且主要运动项目是球类的共有 1 8 人；
（4）在这次调查中，共有4名男生未参加体育运动，分别是甲、乙、丙、丁四位同学，现在从
他们中选出两位同学参加“我运动我健康”的知识讲座，求恰好选出甲和乙去参加讲座
的概率．（用列表或树状图解答）
【分析】（1）结合表格中的数据确定出所求即可；
（2）补全条形统计图即可；
（3）根据题意列出算式，计算即可求出值；
（4）列表确定出所有等可能的情况数，找出恰好选出甲和乙去参加讲座的情况数，即可求
出所求概率．
【解答】解：（1）根据题意得：m＝21+19＝40，n＝4+6＝10，a＝100﹣7.5﹣7.5﹣45＝40；
（2）补全条形统计图，如图所示：
第21页（共29页）（3）根据题意得：40×45%＝18（人），
则这次调查中，参加体育运动，且主要运动项目是球类的共有18人；
（4）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 ﹣﹣﹣ （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） ﹣﹣﹣ （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） ﹣﹣﹣ （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） ﹣﹣﹣
根据表格得：所有等可能的情况数有12种，其中恰好选出甲和乙去参加讲座的情况有2
种，
则P（恰好选出甲和乙去参加讲座）＝ ＝ ．
故答案为：（1）40；10；40；（3）18．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，频数（率）分布表，弄清题中的数
据是解本题的关键．
24．（12分）某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进
价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙
种书柜的数量少6个．
（1）每个甲种书柜的进价是多少元？
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量
的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？
【分析】（1）设每个乙种书柜的进价为x元，根据题意列出方程即可求出答案．
（2）设甲书柜的数量为y个，根据题意列出求出y的范围，再设购进书柜所需费用为z元，
第22页（共29页）求出y与z的数量关系即可求出答案．
【解答】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x元，
∴每个甲种书柜的进价为1.2x元，
∴ ＝ ﹣6，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原分式方程的解，
答：每个甲种书柜的进价为360元．
（2）设甲书柜的数量为y个，
∴乙书柜的数量为（60﹣y）个，
由题意可知：60﹣y≤2y，
∴20≤y＜60，
设购进书柜所需费用为z元，
∴z＝360y+300（60﹣y）
∴z＝60y+18000，
∴当y＝20时，
z有最小值，最小值为19200元，
答：甲、乙书柜进货数量分别为20和40时，所需费用最少．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确求出甲与乙的单件进货价，以及列
出书柜总费用与甲书柜数量之间的函数关系，本题属于中等题型．
25．（12分）如图（1），大正方形的面积可以表示为（a+b）2，同时大正方形的面积也可以表示
成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2+2ab+b2．同一图形（大正方形）的面
积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2．
把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式
解决相关问题”的方法称为“面积法”．
第23页（共29页）（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式
分解的等式： x 2 + 5 x + 6 ＝（ x + 3 ）（ x + 2 ） ．
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，CH是斜边AB边上的高．用上述
“面积法”求CH的长；
（3）如图（4），等腰△ABC中，AB＝AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，
CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，连接AO，用上述“面积法”求证：OM+ON＝CH．
【分析】（1）大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即x2+5x+6，
同时大长方形的面积也可以为（x+3）（x+2），列出等量关系即可；
（2）由勾股定理求出AB，然后根据S△ABC ＝ AC•BC＝ AB•CH，代入数值解之即可；
（3）由S△ABC ＝S△ABO +S△AOC 和三角形面积公式即可得证．
【解答】解：（1）如图（2），大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，
即x2+5x+6，
同时大长方形的面积也可以为（x+3）（x+2），
所以x2+5x+6＝（x+3）（x+2）；
故答案为：x2+5x+6＝（x+3）（x+2）；
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，
∴AB＝ ＝5，
第24页（共29页）∵S△ABC ＝ AC•BC＝ AB•CH，
∴CH＝ ＝ ＝ ；
答：CH的长为 ；
（3）证明：如图（4），
∵OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，
∴S△ABC ＝S△ABO +S△AOC ，
∴ AB•CH＝ AB•OM+ AC•ON，
∵AB＝AC，
∴CH＝OM+ON．
即OM+ON＝CH．
【点评】本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的
关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等分析、推理和计算．
26．（14分）如图，已知AB是 O的直径， O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC
边于点E，点F是弧EB的中⊙点，∠C＝9⊙0°，连接AF．
（1）求证：直线CD是 O切线．
（2）若BD＝2，OB＝4⊙，求tan∠AFC的值．
【分析】（1）连结OF，BE，得到BE∥CD，根据平行线的性质得到CD⊥OF，即可得出结论；
（2）由相似三角形的性质求出AC长，再由勾股定理可求得DC长，则能求出CF长，即可
得出结果．
【解答】（1）证明：连结OF，BE，如图：
∵AB是 O的直径，
∴∠AEB⊙＝90°，
第25页（共29页）∵∠C＝90°，
∴∠AEB＝∠ACD，
∴BE∥CD，
∵点F是弧BE的中点，
∴OF⊥BE，
∴OF⊥CD，
∵OF为半径，
∴直线DF是 O的切线；
（2）解：∵∠⊙C＝∠OFD＝90°，
∴AC∥OF，
∴△OFD∽△ACD，
∴ ＝ ，
∵BD＝2，OF＝OB＝4，
∴OD＝6，AD＝10，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
∴CD＝ ＝ ＝ ，
∵AC∥OF，OA＝4，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：CF＝ ，
∴tan∠AFC＝ ＝ ＝ ．
第26页（共29页）【点评】本题考查的是切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、
勾股定理以及三角函数定义等知识；掌握切线的判定定理和圆周角定理是解题的关键．
27．（16分）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x
轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB于点M，将Rt△OMA
沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：
（1）抛物线的解析式为 y ＝﹣ x 2 + x +4 ，顶点坐标为 （ 4 ， ） ；
（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF．若DE边在线段OB
上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积．
【分析】（1）将点B，点C坐标代入解析式可求a，b的值，由配方法可求顶点坐标；
（2）由余角的性质可得∠MAO＝∠B，利用三角函数可求tan∠MAO＝tan∠NAO＝
tan∠CAO＝ ，可得∠CAO＝∠NAO，可得AC与AN共线，即可求解；
（3）先求出OB解析式，AF解析式，联立方程组可求点F坐标，由四边形AMEF的面积＝S
四边形AMDF +S△DEF ＝S四边形AMDF +S△OAM ＝S四边形OAFD ，可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），
∴ ，
第27页（共29页）解得： ，
∴抛物线解析式为：y＝﹣ x2+ x+4，
∵：y＝﹣ x2+ x+4＝﹣ （x﹣4）2+ ，
∴顶点坐标为（4， ）
故答案为：y＝﹣ x2+ x+4，（4， ）；
（2）点N在直线AC上，
理由如下：∵抛物线y＝﹣ x2+ x+4与y轴交于点A，
∴点A（0，4），即OA＝4，
∵点B（8，4），
∴AB∥x轴，AB＝8，
∴AB⊥AO，
∴∠OAB＝90°，
∴∠OAM+∠BAM＝90°，
∵AM⊥OB，
∴∠BAM+∠B＝90°，
∴∠B＝∠OAM，
∴tan∠B＝tan∠OAM＝ ＝ ＝ ，
∵将Rt△OMA沿y轴翻折，
∴∠NAO＝∠OAM，
∴tan∠NAO＝tan∠OAM＝ ，
∵OC＝2，OA＝4，
∴tan∠CAO＝ ＝ ，
∴tan∠CAO＝tan∠NAO，
第28页（共29页）∴∠CAO＝∠NAO，
∴AN，AC共线，
∴点N在直线AC上；
（3）∵点B（8，4），点O（0，0），
∴直线OB解析式为y＝ x，
∵Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF，
∴AF∥OB，
∴直线AF的解析式为：y＝ x+4，
联立方程组：
解得： 或
∴点F（ ， ），
∵Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF，
∴Rt△OMA≌Rt△DEF，OA＝DF，OA∥DF
∴S△OMA ＝S△DEF ，四边形OAFD是平行四边形，
∵四边形AMEF的面积＝S四边形AMDF +S△DEF ＝S四边形AMDF +S△OAM ＝S四边形OAFD ，
∴四边形AMEF的面积＝S四边形OAFD ＝4× ＝22．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，直角三角形
的性质，折叠的性质，平移的性质，平行四边形的性质等知识，求出点F的坐标是本题的
关键．
第29页（共29页）
