文档内容
2021 年广东省初中学业水平考试数学
本试卷共4页，25小题，满分120分，考试用时90分钟.
注意事项:
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写
在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将
条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”·
2.作管选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位
置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要
求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．下列实数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】考查实数的大小比较，涉及有理数、无理数、绝对值
2．据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建
设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗 万剂次，将“ 万”用科学记数法表示
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】考查科学记数法的表示方法，一般把大于10的数表示成
3．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为 的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，总事件有36种，和为7的事件有6种，所以4．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，考查幂的运算公式的灵活变形
5．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ， ，所以 ,考查绝对值、二次根式的非负性。
6．下列图形是正方体展开图的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【解析】考查正方体展开图的11种样式的记忆，第一个属于2-3-1样式，第三个属于2-2-2样式，
第三个属于3-3样式
7．如题 图， 是 的直径，点 为圆上一点， ， 的平分线交 于点D，
，则 的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【 解 析 】 作 于 H 点 ， 根 据 角 平 分 线 的 性 质 可 得 , 而
，
易得 ，所以直径 ，考查圆中的计算（结合角平分线、三角函
数）
8．设 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】易得 ，所以 即（ ），因此可得 ，
，所以 ，考查实数的整数部分、小数
部分的转化，以及平方差公式的运算
9．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学
家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为 ， ， ，记 ，则其面
积 ．这个公式也被称为海伦 秦九韶公式．若 ， ，则
此三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】把 ， 代入 可得 ，因为
，所以 ，而 ，所以 ，∴ ，把 代
入 可 得 ， 当
时，S最大，最大值为 ，考查秦九韶公式的变形处理技巧以及二次函数的配
方
10．设 为坐标原点，点A、B为抛物线 上的两个动点，且 ．连接点A、B，过
作 于点 ，则点 到 轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
y
【解析】如图，设直线 解析式为
B
联立： ，化简得
不妨设 , D
C H
则 ， A x
作 轴， 轴，易得
E O F
则 即（ ），化简可得
而
所以有 ，因此 （ 需要舍去）
即直线AB过定点 ，因此AB：
易得直线OC的解析式为： ，联立 ，解得即
点C到y轴距离 ，则 ，化简可得 ，由于关于k的一元
二次方程有实数根，因此满足 ，即 ，因此 ，因此
本题考查二次函数与一定函数结合时过定点背景下的最值求法，涉及相似三角形、一元二次方程
等多个考点
二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分．
11．二元一次方程组 的解为_________．
【答案】
【解析】 ，①+②可得 ③，①－③得， ，把 代入③得
因此 ，考查二元一次方程组的解法
12．把抛物线 向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到的抛物线的解析
式为_________．
【答案】
【解析】考查二次函数的图象变换，根据“上加下减，左加右减”可得平移后的解析式为
，化简即得
13．如题 图，等腰直角三角形 中， ， ．分别以点B、点C为圆心，线段
长的一半为半径作圆弧，交 、 、 于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为
_________．
【答案】
【解析】 ，考查阴影面积的求法（主要还是用整
体减去局部）
14．若一元二次方程 （ ， 为常数）的两根 ， 满足 ， ，
则符合条件的一个方程为_________．【答案】 （答案不唯一）
【解析】不妨设 ， ，则满足题意的其中一个方程是 ，本题考查一元二次方
程根与系数的关系（已知两根范围，表达原方程，需要有逆推的思维）
15．若 且 ，则 _________．
【答案】
【解析】因为 ，且
因此
而 ，可得
因此 ，所以
本题考查完全平方公式的变形运算以及因式分解的技巧
16．如题 图，在 中， ， ， ．过点 作 ，垂足为 ，
则 _________．
12
D
【答案】
C
【解析】作 ，在 中， H
4 10
5 4 5
由等积法可得
A B
3
E
易得 ， , , 12
∴
∴
17．在 中， ， ， ．点 为平面上一个动点， ，则
线段 长度的最小值为_____．
【答案】
【解析】如图1，根据 ， （定弦定角），作 的外接圆O，连接OC，交
于 （图2），此时CD的值最小，根据 ，得 ，因此
，作 ，可得 ，所以 ，所以
A A
D
D
45°
45°
2 O 2 OA A
D
D
45°
45°
2 O 2 O
，
所以
本题考查动点与隐圆条件下的最值，
难度较大，需要根据条件发散思维
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分．
18．解不等式组 ．
【答案】
解： ．
式得：
移项得：
．…………………………2分
得：
．…………………………4分
所以原不等式组的解集为 ．…………………………6分
19．某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体
名学生中抽取 名，其竞赛成绩如题19图：
（1）求这 名学生成绩的众数，中位数和平均数；
（2）若规定成绩大于或等于 分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．
【答案】
解：（1）众数： ，中位数： ， …………………………2分
平均数 ．…………………………4分
（2） 名中有 人为优秀，
优秀等级占比：该年级优秀等级学生人数为： （人）
答：该年级优秀等级学生人数为 人．…………………………6分20．如题 图，在 中， ，作 的垂直平分线交 于点 ，延长 至点 ，
使 ．
（1）若 ，求 的周长；
（2）若 ，求 的值．
【答案】
解：（1）如图，连接 ，设 垂直平分线交 于点 ，…………………………1分
为 垂直平分线，
，…………………………2分
，
，
．…………………………3分
（2）设 ， ，…………………………4分
又 ， ，
在 中， ．…………………………5分
．…………………………6分
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
21．在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 、 两
点，且与反比例函数 图象的一个交点为 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】
解：（1） 为反比例函数 上一点，
代入得 ，
．…………………………2分
（2）令 ，即 ，， ，
令 ， ， ，
．
由图象得，可分为以下两种情况，
① 在 轴正半轴时， ，
，
过 作 轴交 轴于点 ，又 ， ，
， ，
，
，
，
， ．…………………………5分
② 的 轴负半轴时， ，过 作 轴，
， ， ，
，
，
， ，
，
，…………………………7分
综上， 或 ．…………………………8分
22．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习
俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜 元，某商家用 元购进的猪肉 粽 和
用 元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价 元时， 每天可售
出 盒；每盒售价提高 元时，每天少售出 盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价 元（ ）， 表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单
位：元），求 关于 的函数解析式并求最大利润．
【答案】
解：（1）设猪肉粽每盒进价 元，则豆沙粽没和进价 元．…………………………1分
则 …………………………2分
解得： ，经检验 是方程的解．…………………………3分
猪肉粽每盒进价 元，豆沙粽每盒进价 元．…………………………4分（2）由题意得，当 时，每天可售 盒．
当猪肉粽每盒售 元时，每天可售 盒． ……………………5分
…………………………6分
∵ ，且 时，y随x的增大而增大
∴当 时， 取最大值，最大值为 元．…………7分
答： 关于 的函数解析式为 ，且最大利润为 元．
……………2分
23．如题 图，边长为 的正方形 中，点 为 的中点．连接 ，将 沿 折
叠得到 ， 交 于点 ，求 的长．
【答案】
解：延长 交 于 连 ．
由 沿 折叠得到．
， ，
为 中点，
，
，
正方形
，
在 和 中，
…………………………2分
又 ，
，
，
，
，
，
，
，…………………………4分，
，
，…………………………6分
由勾股定理得： ．…………………………7分
．…………………………8分
备注：本题用其他解法，且过程严谨，亦可以给满分
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分．
24．如题 图，在四边形 中， ， ， ，点 、 分别在线
段 、 上，且 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）求证：以 为直径的圆与 相切；
（3）若 ， ，求 的面积．
【答案】
解：（1） ，设 ，
，
，
，
又 ，
，
，
．…………………………2分
（2）如图，取 中点 ，过点 作 ，
， ，
，
又 ，
，
为 中点，
，…………………………3分，
又 ， ，
，
∴ …………………………5分
又 ，
以 为直径的圆与 相切．…………………………6分
（3） ， ， ，
， ， ，
又 ，
为等边三角形， ，…………………………7分
由（2）得： ，
，
，
，在 中， ．
在 中， ，…………………………8分
如图，过点 ，点 分别向 作垂线交 于点 ， ，
， ，
， ，
．…………………………10分
（备注：第3问若用其他解法，且过程完整，也可以得满分）25．已知二次函数 的图象过点 ，且对任意实数 ，都有
．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与 轴的正半轴交点为 ，与 轴交点为 ；点 是（1）
中二次函数图象上的动点．问在 轴上是否存在点 ，使得以 、 、 、
为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点 的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】
解：（1）令 ，解得 ，
当 时， ，
必过 ，…………………………1分
又 过 ，
，
，
又 ，
，
，
且 ，
，
，
，
， ，…………………………2分
．…………………………3分
（2）由（1）可知： ， ，设 ， ，
①当 为对角线时，
，解得 （舍）， ，
，即 ．…………………………5分
②当 为对角线时，
，解得 （舍） ，
，即 ．…………………………7分
③当 为对角线时，，解得 ， ，
或 ，
， ．…………………………9分
综上所述： 点坐标为 或 或 或 ．…………………10
分
