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2023—2024 学年安康市高三年级第三次质量联考
文科数学
考试满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签
字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．集合 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，公差不为0的等差数列 的前 项和为 ．若 ，则
（ ）
A．1012 B．2024 C．3036 D．4048
4．若实数 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．9 D．11
5．甲、乙、丙三人被随机的安排在周六、周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中一天值班．则甲、
乙被安排在同一天值班的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．在 中， 是 的中点， 与 相交于点 ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．已知正数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．侧棱长与底面边长均为 的正三棱柱的外接球的表面积为 ，则 （ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
10．已知直线 与椭圆 在第四象限交于 两点， 与 轴， 轴分别交于 两点，若
，则 的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
11．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善
良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图
1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧 所在圆的半径分别是6和12，且
，则该圆台的体积为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司12．在平面直角坐标系中，曲线 与坐标轴的交点都在圆 上， 为圆 的直径，点 是直
线 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A．4 B．12 C．16 D．18
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．写出一个对称中心为 的奇函数 ___________．
14．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 ___________．
15．直线 与抛物线 交于 两点，若 ，则 ___________．
16．已知函数 ，都有 ，则 的取值范
围为___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）作为一个基于大型语言处理模型的文字聊天工具，ChatGPT走红后，大模型的热度持续不减，
并日渐形成了“千模大战”的局面。百度的文心一言、阿里的通义千问、华为的盘古、腾讯的混元以及科大
讯飞的星火等多种大模型正如火如茶的发布上线。现有某大模型给出了会员有效期30天的两种不同费用，
100次的使用费为6元，500次的使用费为24元。后台调取了购买会员的200名用户基本信息，包括个人和
公司两种用户，统计发现购买24元的用户数是140，其中个人用户数比公司用户数少20，购买6元的公司用
户数是个人用户数的一半．
（1）完成如下用户类别与购买意向的 列联表；
购买6元 购买24元
个人用户
公司用户
总计
（2）能否有 的把握认为购买意向与用户类别有关?（运算结果保留三位小数）
附： ，临界值表如下：
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
学科网（北京）股份有限公司2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．（12分）在三边均不相等的 中，角 对应的边分别为 ，若
．点 在线段 上，且 平分角 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的长度．
19．（12分）如图，在四棱雉 中，底面 是边长为2的正方形，且 ，
，点 分别为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
20．（12分）已知函数 的反函数为 ，令
（1）求曲线 在 处的切线的方程；
（2）证明： ．
21．（12分）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，两条渐近线的夹角为
是双曲线上一点，且 的面积为 ．
（1）求该双曲线的标准方程；
（2）若直线 与双曲线 交于 两点，且坐标原点 在以 为直径的圆上，求 的最小值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
学科网（北京）股份有限公司题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为
，曲线的参数方程为 （ 为参数），
（1）分别求曲线 和直线 的直角坐标方程；
（2）若直线 交曲线 于 两点，过线段 的中点 作 轴的平行线交 于一点 ，求点 的横坐标．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 ．
（1）求函数 的最小值；
（2）若 为正实数，且 ，求 的最小值．
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文科数学参考答案
1．【答案】D
【解析】由条件可得 ，所以 ，即
．故选D．
2．【答案】A
【解析】由条件可得 ，所以 ，故选A．
3．【答案】B
【解析】由题可知函数 的图象关于直线 对称，所以 ，所以 ，又
，故选B．
4．【答案】D
【解析】由约束条件 ，画出可行域，
，化为斜截式方程得 ，
联立 得 ，即 ．
由题意可知，当直线 过点 时，直线在 轴上的截距最小，此时 最大．
把点 代入目标函数可得最大值，即最大值 ．故选D．
5．【答案】C
【解析】由题意可知将3人分成两组，其中一组只有1人，另一组有2人．分别安排在周六、周日值班共有6
种情况：（甲乙，丙）、（甲丙，乙）、（乙丙，甲）、（甲，乙丙）、（乙，甲丙）、（丙，甲乙）．显
然甲、乙被安排在同一天有2种情况，所以甲、乙被安排在同一天的概率为 ．故选C．
学科网（北京）股份有限公司6．【答案】B
【解析】设 ，由 是 的中点，得 ，由 ，得 ．
所以 ，且
由 与 相交于点 可知，点 在线段 上，也在线段 上，由三点共线的条件可得
，解得 ，所以 ，故选B．
7．【答案】A
【解析】由 ，得 且 ，所以方程 的实根为 ，方程 的实根为 ，
在同一坐标系下画出 的图象，显然 ，故选A．
8．【答案】A
【解析】由 ，解得 ，所以
，所以
．故选A．
9．【答案】C
【解析】由球的表面积公式 ，解得外接球半径 ．因为底面三角形是边长为 的等
学科网（北京）股份有限公司边三角形，所以此三角形的外接圆半径为 ，由正三棱柱的外接球的特点可得，
，解得 ．故选C．
10．【答案】C
【解析】由 可得线段 的中点，也是线段 的中点，设 ，线段 的中
点坐标为 ，则 ．又点 在椭圆上，所以 ，
两式相减可得 ， ，所以 ，所以
，即 ．
又因为 四点共线，所以 ，综上可得 ，由 在第四
象限得 即 ，所以直线的倾斜角为 ．故选C．
11．【答案】D
【解析】设圆台上下底面的半径分别为 ，由题意可知 ，解得 ，
，解得 ，作出圆台的轴截面，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司图中 ，
过点 向 作垂线，垂足为 ，则 ，
所以圆台的高 ，
则上底面面积 ，由圆台的体积计算公式可得：
故选：D．
12．【答案】B
【解析】曲线 与坐标轴的交点分别为 ，设圆心 ，由
得 ，所以圆 方程为 ，其圆心
，半径为 圆心
到直线 的距离设为 ，则 ，所以 最小值为4，则
最小值为 ．故选B．
13．【答案】
【解析】因为奇函数关于原点对称，且此函数又关于点 对称，所以此函数可类比于正弦函数，因为正
弦函数 是奇函数，且关于点 对称，所以可联想到 ．
14．【答案】
学科网（北京）股份有限公司【解析】当 时， ，解得 ．
当 时， ，两式相减得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所
以 ，即数列 是 ，故 ，所以 ．
15．【答案】
【解析】由 ，联立得 ，
所以 ，且
显然直线 过抛物线 的焦点 ．
所以 ，解得 ．
16．【答案】
【解析】由 ，不妨设 ，则 ，所以 ，
可变形化简为 ，
构造函数 ，则 ，
所以 在 上是单调递增函数，
所以 恒成立，
即 在 上恒成立，
当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司又 时， ，而 ，所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 ．
故答案为：
17．【解析】（1）设购买24元的个人用户数为 ，则购买24元的公司用户数为 ，
设购买6元的公司用户数为 ，则购买6元的个人用户数为 ，
则有 ，解得 ，
所以用户类别与购买意向 列联表如下：
购买6元 购买24元 总计
个人用户 40 60 100
公司用户 20 80 100
总计 60 140 200
（2）由（1）中 列联表得
所以有 的把握认为用户类别与购买意向有关系．
18．【解析】（1）由 ，得
化简得
因为 三边均不相等，所以 ，即
由余弦定理得
在 中，由 ，得
（2）在 中， ，故
学科网（北京）股份有限公司由 得 ，易得
在 中， ，所以
在 中，由 ，得
19．【解析】（1）证明：因为底面 为正方形，所以 ，又因为
平面 ，
所以 平面
因为 平面 ，所以 ，
同理 ，又因为 平面 ，所以 平面 ，
（2）解：显然由（1）可得 ，在直角 中， 同理， 点 分别为
的中点，所以在 中，
所以 ，
在直角 中，
由（1）得 平面 ，所以 平面 ，所以点 到平面 的距离为
设点 到平面 的距离为 ，由
学科网（北京）股份有限公司得 ，解得 ．所以点 到平面 的距离为 ．
20．【解析】（1）函数 的反函数为
则 ，所以
所以曲线 在 处的切线的方程为 ，即 ．
（2）证明：由（1）可知 ，显然 为 上的增函数．
因为 ，所以存在唯一的 ，使 ．
从而有 ．
因为 时， 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
所以
当且仅当 时，等号成立，而 ，即 ．
21．【解析】（1）由题可知双曲线的渐近线方程为 ，
因为 ，所以 ，所以直线 的斜率大于1．
由两条渐近线的夹角为 可得 ，因为 ，所以 即双曲线方程为 ，
因为 的面积为 ，所以 ，所以 ．
学科网（北京）股份有限公司因为点 在双曲线上，所以将点的坐标代人方程可得 ，解得 ，或 ．因
为
条件 ，所以 ，即双曲线的方程为 ．
（2）因为以 为直径的圆过坐标原点，所以 ，所以 ，即：
①当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 ，设 ，由 可得
，
又点 在双曲线上，代人可得 ，解得 ．
所以 ．
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由 联立消去 整理得 ，
因为直线 与双曲线交于 两点，所以 ，
即判别式 ．
设 ，
则 ，
由 得到： ，所以 ，即
，
即 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
化简得 ．
所以 。
当 时上式取等号，且方程（*）有解．
综上可得 的最小值是 ．
22．【解析】（1）由 可得 ，代入
消去参数 ，可得 的直角坐标方程为：
化简 可得 ，所以 ．
将 代入 的极坐标方程，可得 的直角坐标方程为： ．
（2）曲线 是抛物线，其焦点 ，准线 ，
直线 ，恰好过抛物线的焦点．
由 消去 并整理得 ，
设 ，
则 ，线段 的中点 的横坐标 ，中点 的纵坐标 ，
过点 作 轴的平行线交 于一点 ，则点 的纵坐标也等于 ，所以点 的横坐标为 ．
学科网（北京）股份有限公司23．【解析】（1） ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即当 时，函数 取得最小值1
（2）由（1）可得当 为正实数时， ，
则由 可得： ，
所以
当且仅当 时，又 ，即当 时，等号成立．
所以 的最小值为9
学科网（北京）股份有限公司
