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2021年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分）
1．下列四个选项中，为负整数的是（ ）
A．0 B．﹣0.5 C．﹣ D．﹣2
2．如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A表示的数为（
）
A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6
3．方程 ＝ 的解为（ ）
A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6
4．下列运算正确的是（ ）
A．|﹣（﹣2）|＝﹣2 B．3+ ＝3
C．（a2b3）2＝a4b6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4
5．下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）
6．为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学
生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2
名女学生的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则
劣弧AB的长是（ ）A．8 cm B．16 cm C．32 cm D．192 cm
8．抛物π线y＝ax2+bx+c经过点（π﹣1，0）、（3，0），π且与y轴交于点（0，π﹣5），则当
x＝2时，y的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到
△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y＝ （x＞0）的图象上，点C
在函数y＝﹣ （x＜0）的图象上，若点B的横坐标为﹣ ，则点A的坐标为（ ）
A．（ ，2） B．（ ， ） C．（2， ） D．（ ， ）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．代数式 在实数范围内有意义时，x应满足的条件是 ．
12．方程x2﹣4x＝0的实数解是 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB
于点D、E，连结BD．若CD＝1，则AD的长为 ．14．一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x ，y ）、B（x ，y ）是反比
1 1 2 2
例函数y＝ 上的两个点，若x ＜x ＜0，则y y （填“＜”或“＞”或“＝”）．
1 2 1 2
15．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的
对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 ．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3
为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与 A交于点K，连结
HG、CH．给出下列四个结论．其中正确的结论有 ⊙（填写所有正确结
论的序号）．
（1）H是FK的中点
（2）△HGD≌△HEC
（3）S△AHG ：S△DHC ＝9：16
（4）DK＝三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17．解方程组 ．
18．如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．
19．已知A＝（ ﹣ ）• ．
（1）化简A；
（2）若m+n﹣2 ＝0，求A的值．
20．某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级 20名学生，统计得
到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：
3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数 1 2 3 4 5 6
人数 1 2 a 6 b 2
（1）表格中的a＝ ，b＝ ；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 ，中位数为 ；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参
加志愿者活动的次数为4次的人数．
21．民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”
“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次．
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培
训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动 33.6万人次创业就业，据报道，经过
“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为 9.6万元，
预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到
多少？
22．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，且AC＝AD．（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，
不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，证明：△BEF为等边
三角形．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝ x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两
点，点P（x，y）为直线l在第二象限的点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）作△PAO的外接圆 C，延长PC交 C于点Q，当△POQ的面积最小时，求 C
的半径． ⊙ ⊙ ⊙
24．已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶
点坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
25．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到
点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．
（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当CG＝2时，求AE的长；
（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列四个选项中，为负整数的是（ ）
A．0 B．﹣0.5 C．﹣ D．﹣2
【分析】根据整数的概念可以解答本题．
【解答】解：A、0是整数，但0既不是负数也不是正数，故此选项不符合题意；
B、﹣0.5是负分数，不是整数，故此选项不符合题意；
C、﹣ 是负无理数，不是整数，故此选项不符合题意；
D、﹣2是负整数，故此选项符合题意．
故选：D．
2．如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A表示的数为（
）
A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6
【分析】根据相反数的性质，由a+b＝0，AB＝6得a＜0，b＞0，b＝﹣a，故AB＝b+
（﹣a）＝6．进而推断出a＝﹣3．
【解答】解：∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，即a与b互为相反数．
又∵AB＝6，
∴b﹣a＝6．
∴2b＝6．
∴b＝3．
∴a＝﹣3，即点A表示的数为﹣3．
故选：A．
3．方程 ＝ 的解为（ ）
A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6
【分析】求解分式方程，根据方程的解得结论．
【解答】解：去分母，得x＝2x﹣6，
∴x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．
故选：D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．|﹣（﹣2）|＝﹣2 B．3+ ＝3
C．（a2b3）2＝a4b6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4
【分析】根据绝对值的定义、二次根式的运算法则、幂的乘方和积的乘方的运算法则，
完全平方公式等知识进行计算即可．
【解答】解：A、|﹣（﹣2）|＝2，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、3与 不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、（a2b3）2＝a4b6，原计算正确，故本选项符合题意；
D、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，原计算错误，故本选项不符合题意．
故选：C．
5．下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）
【分析】利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，为真命题，符合题
意；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
（3）对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，为假命题，不符合题意；
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意，
真命题为（1）（4），
故选：B．
6．为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学
生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2
名女学生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，
∴恰好抽到2名女学生的概率为 ＝ ，
故选：B．
7．一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则
劣弧AB的长是（ ）
A．8 cm B．16 cm C．32 cm D．192 cm
【分析π 】首先利用相切的定π义得到∠OAC＝∠OBCπ＝90°，然后根据∠ACπB＝60°求得
∠AOB＝120°，从而利用弧长公式求得答案即可．
【解答】解：由题意得：CA和CB分别与 O分别相切于点A和点B，
∴OA⊥CA，OB⊥CB， ⊙
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴ ＝16 （cm），
π
故选：B．
8．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当
x＝2时，y的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5
【分析】根据抛物线于x周两交点，及于y轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求y＝﹣5．
【解答】解：如图
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），
∴可画出上图，
∵抛物线对称轴x＝ ＝1，
∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），
∴当x＝2时，y的值为﹣5．
故选：A．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到
△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋转的性质可得AC＝AC'＝6，BC
＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，在Rt△BB'C'中，由勾股定理可求BB'的长，即可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，∴AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，
∴BC'＝4，
∴B'B＝ ＝ ＝4 ，
∴sin∠BB′C′＝ ＝ ＝ ，
故选：C．
10．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y＝ （x＞0）的图象上，点C
在函数y＝﹣ （x＜0）的图象上，若点B的横坐标为﹣ ，则点A的坐标为（ ）
A．（ ，2） B．（ ， ） C．（2， ） D．（ ， ）
【分析】如图，作 AD⊥x 轴于 D，CE⊥x 轴于 E，通过证得△COE∽△OAD 得到
＝ ，则OE＝2AD，CE＝2OD，设A（m， ）（m＞0），则C（﹣ ，
2m），由OE＝0﹣（﹣ ）＝ 得到m﹣（﹣ ）＝ ，解分式方程即可求得A的坐标．
【解答】解：如图，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠COE＝∠OAD，
∵∠CEO＝∠ODA，
∴△COE∽△OAD，
∴ ＝（ ）2， ，
∵S△COE ＝ ×|﹣4|＝2，S△AOD ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，∴OE＝2AD，CE＝2OD，
设A（m， ）（m＞0），
∴C（﹣ ，2m），
∴OE＝0﹣（﹣ ）＝ ，
∵点B的横坐标为﹣ ，
∴m﹣（﹣ ）＝ ，
整理得2m2+7m﹣4＝0，
∴m ＝ ，m ＝﹣4（舍去），
1 2
∴A（ ，2），
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．代数式 在实数范围内有意义时，x应满足的条件是 x ≥ 6 ．
【分析】二次根式中被开方数的取值范围为被开方数是非负数．
【解答】解：代数式 在实数范围内有意义时，x﹣6≥0，
解得x≥6，
∴x应满足的条件是x≥6．
故答案为：x≥6．
12．方程x2﹣4x＝0的实数解是 x ＝ 0 ， x ＝ 4 ．
1 2
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程x2﹣4x＝0，
分解因式得：x（x﹣4）＝0，
可得x＝0或x﹣4＝0，
解得：x ＝0，x ＝4．
1 2
故答案为：x ＝0，x ＝4．
1 2
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB
于点D、E，连结BD．若CD＝1，则AD的长为 2 ．
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，利用含30°角的直角三角形的性质可
求解BD的长，进而求解．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，CD＝1，
∴BD＝2CD＝2，
∴AD＝2．
故答案为2．
14．一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x ，y ）、B（x ，y ）是反比
1 1 2 2
例函数y＝ 上的两个点，若x ＜x ＜0，则y ＞ y （填“＜”或“＞”或“＝”）．
1 2 1 2
【分析】由一元二次方程根的情况，求得m的值，确定反比例函数y＝ 图象经过的象
限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣4m＝0，
解得m＝4，
∵m＞0，∴反比例函数y＝ 图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少，
∵x ＜x ＜0，
1 2
∴y ＞y ，
1 2
故答案为＞．
15．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的
对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 32 ° ．
【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B＝38°，再利用平行线的性质得
∠ADB′＝∠A＝38°，接着根据轴对称的性质得到∠CDB′＝∠CDB，则可出∠CDB的
度数，然后利用三角形内角和计算出∠BCD的度数．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝38°，
∵B′D∥AC，
∴∠ADB′＝∠A＝38°，
∵点B关于直线CD的对称点为B′，
∴∠CDB′＝∠CDB＝ （38°+180°）＝109°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣39°﹣109°＝32°．
故答案为32°．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3
为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与 A交于点K，连结
HG、CH．给出下列四个结论．其中正确的结论有 （ 1 ）（ 3 ）（ ⊙ 4 ） （填写所有正
确结论的序号）．
（1）H是FK的中点
（2）△HGD≌△HEC
（3）S△AHG ：S△DHC ＝9：16（4）DK＝
【分析】（1）先证明△ABE≌△DAF，得∠AFD+∠BAE＝∠AEB+∠BAE＝90°，
AH⊥FK，由垂径定理，得：FH＝HK，即H是FK的中点；
（2）只要证明题干任意一组对应边不相等即可；
（3）分别过H分别作HM⊥AD于M，HN⊥BC于N，由余弦三角函数和勾股定理算出
了HM，HT，再算面积，即得S△AHG ：S△DHC ＝9：16；
（4）余弦三角函数和勾股定理算出了FK，即可得DK．
【解答】解：（1）在△ABE与△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠AFD＝∠AEB，
∴∠AFD+∠BAE＝∠AEB+∠BAE＝90°，
∴AH⊥FK，
由垂径定理，
得：FH＝HK，
即H是FK的中点，故（1）正确；
（2）如图，过H分别作HM⊥AD于M，HN⊥BC于N，∵AB＝4，BE＝3，
∴AE＝ ＝5，
∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM，
∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM，
∴ ＝ ，
∴AH＝ ，HM＝ ，
∴HN＝4﹣ ＝ ，
即HM≠HN，
∵MN∥CD，
∴MD＝CN，
∵HD＝ ，
HC＝ ，
∴HC≠HD，
∴△HGD≌△HEC是错误的，故（2）不正确；
（3）由（2）知，AM＝ ＝ ，
∴DM＝ ，
∵MN∥CD，
∴MD＝HT＝ ，∴ ＝ ＝ ，故（3）正确；
（4）由（2）知，HF＝ ＝ ，
∴ ，
∴DK＝DF﹣FK＝ ，故（4）正确．
三．解答题（共9小题）
17．解方程组 ．
【分析】用代入消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解： ，
将①代入②得，x+（x﹣4）＝6，
∴x＝5，
将x＝5代入①得，y＝1，
∴方程组的解为 ．
18．如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．
【分析】欲证AE＝DF，可证△ABE≌DCF．由AB∥CD，得∠B＝∠C．又因为∠A＝
∠D，BE＝CF，所以△ABE≌△DCF．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌DCF（AAS）．
∴AE＝DF．
19．已知A＝（ ﹣ ）• ．
（1）化简A；
（2）若m+n﹣2 ＝0，求A的值．
【分析】（1）根据分式的减法和除法可以化简A；
（2）根据m+n﹣2 ＝0，可以得到m+n＝2 ，然后代入（1）中化简后的A，即可求
得A的值．
【解答】解：（1）A＝（ ﹣ ）•
＝
＝
＝ （m+n）；
（2）∵m+n﹣2 ＝0，
∴m+n＝2 ，
当m+n＝2 时，A＝ ×2 ＝6．
20．某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级 20名学生，统计得
到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：
3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数 1 2 3 4 5 6
人数 1 2 a 6 b 2
（1）表格中的a＝ 4 ，b＝ 5 ；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 4 ，中位数为 4 ；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参
加志愿者活动的次数为4次的人数．【分析】（1）由题中的数据即可求解；
（2）根据中位数、众数的定义，即可解答；
（3）根据样本估计总体，即可解答．
【解答】解：（1）由该20名学生参加志愿者活动的次数得：a＝4，b＝5，
故答案为：4，5；
（2）该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：
1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，
∵4出现的最多，由6次，
∴众数为4，中位数为第10，第11个数的平均数 ＝4，
故答案为：4，4；
（3）300× ＝90（人）．
答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人．
21．民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”
“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次．
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培
训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动 33.6万人次创业就业，据报道，经过
“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为 9.6万元，
预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到
多少？
【分析】（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计
划新增加培训2x万人次，根据今年计划新增加培训共100万人次，即可得出关于x的一
元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设李某的年工资收入增长率为m，利用李某今年的年工资收入＝李某去年的年工
资收入×（1+增长率），结合预计李某今年的年工资收入不低于 12.48万元，即可得出
关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小值即可得出结
论．
【解答】解：（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今
年计划新增加培训2x万人次，依题意得：31+2x+x＝100，
解得：x＝23．
答：“南粤家政”今年计划新增加培训23万人次．
（2）设李某的年工资收入增长率为m，
依题意得：9.6（1+m）≥12.48，
解得：m≥0.3＝30%．
答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．
22．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，且AC＝AD．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，
不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，证明：△BEF为等边
三角形．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）想办法证明EB＝EF，∠BEF＝60°，可得结论．
【解答】（1）解：如图，图形如图所示．
（2）证明：∵AC＝AD，AF平分∠CAD，
∴∠CAF＝∠DAF，AF⊥CD，∵∠CAD＝2∠BAC，∠BAC＝45°，
∴∠BAE＝∠EAF＝∠FAD＝15°，
∵∠ABC＝∠AFC＝90°，AE＝EC，
∵BE＝AE＝EC，EF＝AE＝EC，
∴EB＝EF，∠EAB＝∠EBA＝15°，∠EAF＝∠EFA＝15°，
∴∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝30°，∠CEF＝∠EAF+∠EFA＝30°，
∴∠BEF＝60°，
∴△BEF是等边三角形．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝ x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两
点，点P（x，y）为直线l在第二象限的点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）作△PAO的外接圆 C，延长PC交 C于点Q，当△POQ的面积最小时，求 C
的半径． ⊙ ⊙ ⊙
【分析】（1）根据直线y＝ x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，令x＝0，则y＝
4；令y＝0，则x＝﹣8，即得A，B的坐标；
（2）设P（x， ），根据三角形面积公式，表示出S关于x的函数解析式，根据P
在线段AB上得出x的取值范围；
（3）将S△POQ 表示为OP2，从而当△POQ的面积最小时，此时OP最小，而OP⊥AB时，
OP最小，借助三角函数求出此时的直径即可解决问题．【解答】解：（1）∵直线y＝ x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，
∴当x＝0时，y＝4；
当y＝0时，x＝﹣8，
∴A（﹣8，0），B（0，4）；
（2）∵点P（x，y）为直线l在第二象限的点，
∴P（x， ），
∴S△APO ＝ ＝2x+16（﹣8＜x＜0）；
∴S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；
（3）∵A（﹣8，0），B（0，4），
∴OA＝8，OB＝4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB＝ ，
在 C中，∵PQ是直径，
∴⊙∠PQO＝90°，
∵∠BAO＝∠Q，
∴tanQ＝tan∠BAO＝ ，
∴ ，
∴OQ＝2OP，
∴S△POQ ＝ ，
∴当S△POQ 最小，则OP最小时，
∵点P在线段AB上运动，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴S△AOB ＝ ，
∴ ，
∵sinQ＝sin∠BAO，∴ ，
∴ ，
∴PQ＝8，
∴ C半径为4．
24．已⊙知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶
点坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该
抛物线顶点横坐标的取值范围．
【分析】（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝5，故点（2，4）
不在抛物线上；
（2）抛物线 y＝x2﹣（m+1）x+2m+3 的顶点为（ ， ），而
＝﹣ （m﹣3）2+5，即得m＝3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高
处，顶点坐标为：（2，5）；
（3）求出直线EF的解析式为y＝2x+1，由 得直线y＝2x+1与抛
物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），因（2，5）在线
段EF上，由已知可得（m+1，2m+3）不在线段EF上，即是m+1＜﹣1或m+1＞3，或
（2，5）与（m+1，2m+3）重合，可得抛物线顶点横坐标x顶点 ＝ ＜﹣ 或x顶点 ＝
＞ 或x顶点 ＝1．
【解答】解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，
将x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，
∴点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（ ， ），
化简得（ ， ），
顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，
而 ＝﹣ （m﹣3）2+5，
∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，
此时顶点坐标为：（2，5）；
（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：
，解得 ，
∴直线EF的解析式为y＝2x+1，
由 得： 或 ，
∴直线 y＝2x+1 与抛物线 y＝x2﹣（m+1）x+2m+3 的交点为：（2，5）和（m+1，
2m+3），
而（2，5）在线段EF上，
∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，
5）与（m+1，2m+3）重合，
∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此时2m+3＝5），
∴此时抛物线顶点横坐标x顶点 ＝ ＜﹣ 或x顶点 ＝ ＞ 或x顶点 ＝ ＝ ＝
1．
25．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到
点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当CG＝2时，求AE的长；
（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．
【分析】（1）利用平行四边形的判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形，
（2）利用三角形相似，求出此时FG的长，再借助直角三角形勾股定理求解，
（3）利用图形法，判断G点轨迹为一条线段，在对应点处求解．
【解答】解：（1）连接DF，CE，如图所示：
，
∵E为AB中点，
∴AE＝AF＝ AB，
∴EF＝AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EF∥AB，
∴四边形DFEC是平行四边形．
（2）作CH⊥BH，设AE＝FA＝m，如图所示，
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥EF，
∴△CDG∽△FEG，
∴ ，∴FG＝2m，
在Rt△CBH中，∠CBH＝60°，BC＝2，
sin60°＝ ，CH＝ ，
cos60°＝ ，BC＝1，
在Rt△CFH中，CF＝2+2m，CH＝ ，FH＝3+m，
CF²＝CH²+FH²，
即（2+2m）²＝（ ）²+（3+m）²，
整理得：3m²+2m﹣8＝0，
解得：m ＝ ，m ＝﹣2（舍去），
1 2
∴ ．
（3）因H点沿线段AB直线运动，F点沿线段BA的延长线直线运动，并且CD∥AB，
线段ED与线段CF的交点G点运动轨迹为线段AG，运动刚开始时，A、F、H、G四点
重合，当H点与B点重合时，G点运动到极限位置，所以G点轨迹为线段AG，
如图所示，作GH⊥AB，
∵四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，
∴CD∥BF，BD＝2，
∴△CDG∽△FBG，
∴ ，即BG＝2DG，
∵BG+DG＝BD＝2，
∴BG＝ ，在Rt△GHB中，BG＝ ，∠DBA＝60°，
sin60°＝ ，GH＝ ，
cos60°＝ ，BH＝ ，
在Rt△AHG中，AH＝2﹣ ＝ ，GH＝ ，
AG²＝（ ）²+（ ）²＝ ，
∴AG＝ ．
∴G点路径长度为 ．
