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2016 年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题．（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．）
1．（3 分）（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的
“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入 100 元记作+100 元．那
么﹣80 元表示（ ）
A．支出 20 元 B．收入 20 元 C．支出 80 元 D．收入 80 元
2．（3 分）（2016•广州）如图所示的几何体左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3 分）（2016•广州）据统计，2015 年广州地铁日均客运量均为 6 590 000 人次，
将 6 590 000 用科学记数法表示为（ ）
A．6.59×104B．659×104C．65.9×105D．6.59×106
4．（3 分）（2016•广州）某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是 0﹣9 这十
个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开
如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（3 分）（2016•广州）下列计算正确的是（ ）
A． B．xy2÷
C．2 D．（xy3）2=x2y6
6．（3 分）（2016•广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均 80 千米/小时的速
度用了 4 个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度 v 千米/小时与时间 t
小时的函数关系是（ ）
A．v=320t B．v= C．v=20t D．v=
第1页（共23页）7．（3 分）（2016•广州）如图，已知△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，DE 是 AC 的垂
直平分线，DE 交 AB 于点 D，连接 CD，则 CD=（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
8．（3 分）（2016•广州）若一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则下列不
等式中总是成立的是（ ）
A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．a2+b＞0 D．a+b＞0
9．（3 分）（2016•广州）对于二次函数 y=﹣ +x﹣4，下列说法正确的是（ ）
A．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 B．当 x=2 时，y 有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．图象与 x 轴有两个交点
10．（3 分）（2016•广州）定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若 a，b 是方程 x2﹣x+ m=0（m
＜0）的两根，则 b⋆b﹣a⋆a 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与 m 有关
二．填空题．（本大题共六小题，每小题 3 分，满分 18 分．）
11．（3 分）（2016•广州）分解因式：2a2+ab= ．
12．（3 分）（2016•广州）代数式 有意义时，实数 x 的取值范围是 ．
13．（3 分）（2016•广州）如图，△ABC 中，AB=AC，BC=12cm，点 D 在 AC 上，
DC=4cm．将线段 DC 沿着 CB 的方向平移 7cm 得到线段 EF，点 E，F 分别落在边
AB，BC 上，则△EBF 的周长为 cm．
14．（3 分）（2016•广州）分式方程 的解是 ．
15．（3 分）（2016•广州）如图，以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 是小圆
的切线，点 P 为切点，AB=12 ，OP=6，则劣弧 AB 的长为 ．
16．（3 分）（2016•广州）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AC，BD 是对角线．将
△DCB 绕着点 D 顺时针旋转 45°得到△DGH，HG 交 AB 于点 E，连接 DE 交 AC 于
点 F，连接 FG．则下列结论：
第2页（共23页）①四边形 AEGF 是菱形
②△AED≌△GED
③∠DFG=112.5°
④BC+FG=1.5
其中正确的结论是 ．
三、解答题
17．（9 分）（2016•广州）解不等式组 并在数轴上表示解集．
18．（9 分）（2016•广州）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，若
AB=AO，求∠ABD 的度数．
19．（10 分）（2016•广州）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新
精神，举办“玩转数学”比赛．现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、
小组展示、答辩三个方面为个小组打，各项成绩均按百分制记录．甲、乙、丙三个小组
各项得分如表：
小组 研究报告 小组展示 答辩
甲 91 80 78
乙 81 74 85
丙 79 83 90
（1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序；
（2）如果按照研究报告占 40%，小组展示占 30%，答辩占 30%计算各小组的成绩，哪
个小组的成绩最高？
20．（10 分）（2016•广州）已知 A= （a，b≠0 且 a≠b）
（1）化简 A；
（2）若点 P（a，b）在反比例函数 y=﹣ 的图象上，求 A 的值．
21．（12 分）（2016•广州）如图，利用尺规，在△ABC 的边 AC 上方作
∠CAE=∠ACB，在射线 AE 上截取 AD=BC，连接 CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要
求保留作图痕迹，不写作法）
第3页（共23页）22．（12 分）（2016•广州）如图，某无人机于空中 A 处探测到目标 B，D，从无人机 A
上看目标 B，D 的俯角分别为 30°，60°，此时无人机的飞行高度 AC 为 60m，随后无
人机从 A 处继续飞行 30 m 到达 A′处，
（1）求 A，B 之间的距离；
（2）求从无人机 A′上看目标 D 的俯角的正切值．
23．（12 分）（2016•广州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=﹣x+3 与 x 轴交
于点 C，与直线 AD 交于点 A（ ， ），点 D 的坐标为（0，1）
（1）求直线 AD 的解析式；
（2）直线 AD 与 x 轴交于点 B，若点 E 是直线 AD 上一动点（不与点 B 重合），当
△BOD 与△BCE 相似时，求点 E 的坐标．
24．（14 分）（2016•广州）已知抛物线 y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m 与 x 轴相交于不同
的两点 A、B
（1）求 m 的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P，并求出点 P 的坐标；
（3）当 ＜m≤8 时，由（2）求出的点 P 和点 A，B 构成的△ABP 的面积是否有最值？
若有，求出该最值及相对应的 m 值．
25．（14 分）（2016•广州）如图，点 C 为△ABD 的外接圆上的一动点（点 C 不在
上，且不与点 B，D 重合），∠ACB=∠ABD=45°
（1）求证：BD 是该外接圆的直径；
（2）连结 CD，求证： AC=BC+CD；
（3）若△ABC 关于直线 AB 的对称图形为△ABM，连接 DM，试探究 DM2，AM2，
BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
第4页（共23页）第5页（共23页）2016 年广东省广州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．）
1．（3 分）（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的
“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入 100 元记作+100 元．那
么﹣80 元表示（ ）
A．支出 20 元 B．收入 20 元 C．支出 80 元 D．收入 80 元
【考点】正数和负数．
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【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：根据题意，收入 100 元记作+100 元，
则﹣80 表示支出 80 元．
故选：C．
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一
对具有相反意义的量．
2．（3 分）（2016•广州）如图所示的几何体左视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【分析】根据几何体的左视图的定义判断即可．
【解答】解：如图所示的几何体左视图是 A，
故选 A．
【点评】本题考查了由几何体来判断三视图，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运
用能力，同时也体现了对空间想象能力．
3．（3 分）（2016•广州）据统计，2015 年广州地铁日均客运量均为 6 590 000 人次，
将 6 590 000 用科学记数法表示为（ ）
A．6.59×104B．659×104C．65.9×105D．6.59×106
第6页（共23页）【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的
值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数
相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将 6 590 000 用科学记数法表示为：6.59×106．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，
其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
4．（3 分）（2016•广州）某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是 0﹣9 这十
个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开
如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
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【分析】最后一个数字可能是 0～9 中任一个，总共有十种情况，其中开锁只有一种情
况，利用概率公式进行计算即可．
【解答】解：∵共有 10 个数字，
∴一共有 10 种等可能的选择，
∵一次能打开密码的只有 1 种情况，
∴一次能打开该密码的概率为 ．
故选 A．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
5．（3 分）（2016•广州）下列计算正确的是（ ）
A． B．xy2÷
C．2 D．（xy3）2=x2y6
【考点】二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；分式的乘除法．
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【分析】分别利用二次根式加减运算法则以及分式除法运算法则和积的乘方运算法则
化简判断即可．
【解答】解：A、 无法化简，故此选项错误；
B、xy2÷ =2xy3，故此选项错误；
C、2 +3 ，无法计算，故此选项错误；
D、（xy3）2=x2y6，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式加减运算以及分式除法运算和积的乘方运算，正确
掌握相关运算法则是解题关键．
第7页（共23页）6．（3 分）（2016•广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均 80 千米/小时的速
度用了 4 个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度 v 千米/小时与时间 t
小时的函数关系是（ ）
A．v=320t B．v= C．v=20t D．v=
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式．
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【分析】根据路程=速度×时间，利用路程相等列出方程即可解决问题．
【解答】解：由题意 vt=80×4，
则 v= ．
故选 B．
【点评】本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键
是构建方程解决问题，属于中考常考题型．
7．（3 分）（2016•广州）如图，已知△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，DE 是 AC 的垂
直平分线，DE 交 AB 于点 D，连接 CD，则 CD=（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理．
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【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，进而得出线段 DE 是
△ABC 的中位线，再利用勾股定理得出 AD，再利用线段垂直平分线的性质得出 DC
的长．
【解答】解：∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC 是直角三角形，
∵DE 是 AC 的垂直平分线，
∴AE=EC=4，DE∥BC，且线段 DE 是△ABC 的中位线，
∴DE=3，
∴AD=DC= =5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位线的性质，正确得出
AD 的长是解题关键．
第8页（共23页）8．（3 分）（2016•广州）若一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则下列不
等式中总是成立的是（ ）
A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．a2+b＞0 D．a+b＞0
【考点】一次函数与一元一次不等式．
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【分析】首先判断 a、b 的符号，再一一判断即可解决问题．
【解答】解：∵一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜O，故 A 错误，
a﹣b＜0，故 B 错误，
a2+b＞0，故 C 正确，
a+b 不一定大于 0，故 D 错误．
故选 C．
【点评】本题考查一次函数与不等式，解题的关键是学会根据函数图象的位置，确定
a、b 的符号，属于中考常考题型．
9．（3 分）（2016•广州）对于二次函数 y=﹣ +x﹣4，下列说法正确的是（ ）
A．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 B．当 x=2 时，y 有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．图象与 x 轴有两个交点
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
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【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解．
【解答】解：∵二次函数 y=﹣ +x﹣4 可化为 y=﹣ （x﹣2）2﹣3，
又∵a=﹣ ＜0
∴当 x=2 时，二次函数 y=﹣ x2+x﹣4 的最大值为﹣3．
故选 B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种
可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
10．（3 分）（2016•广州）定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若 a，b 是方程 x2﹣x+ m=0（m
＜0）的两根，则 b⋆b﹣a⋆a 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与 m 有关
【考点】根与系数的关系．
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【专题】新定义．
【分析】由根与系数的关系可找出 a+b=1，ab= m，根据新运算，找出 b⋆b﹣a⋆a=b
（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的 1 替换成 a+b，即可得出结论．
【解答】解：∵a，b 是方程 x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，
第9页（共23页）∴a+b=1，ab= m．
∴b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．
故选 A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出 a+b=1，ab= m．本题属于
基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之
和是关键．
二．填空题．（本大题共六小题，每小题 3 分，满分 18 分．）
11．（3 分）（2016•广州）分解因式：2a2+ab= a （ 2a+ b ） ．
【考点】因式分解-提公因式法．
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【分析】直接把公因式 a 提出来即可．
【解答】解：2a2+ab=a（2a+b）．
故答案为：a（2a+b）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
12．（3 分）（2016•广州）代数式 有意义时，实数 x 的取值范围是 x≤ 9 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
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【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，9﹣x≥0，
解得，x≤9，
故答案为：x≤9．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非
负数是解题的关键．
13．（3 分）（2016•广州）如图，△ABC 中，AB=AC，BC=12cm，点 D 在 AC 上，
DC=4cm．将线段 DC 沿着 CB 的方向平移 7cm 得到线段 EF，点 E，F 分别落在边
AB，BC 上，则△EBF 的周长为 1 3 cm．
【考点】平移的性质．
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【分析】直接利用平移的性质得出 EF=DC=4cm，进而得出 BE=EF=4cm，进而求出答
案．
【解答】解：∵将线段 DC 沿着 CB 的方向平移 7cm 得到线段 EF，
∴EF=DC=4cm，FC=7cm，
∵AB=AC，BC=12cm，
∴∠B=∠C，BF=5cm，
∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF=4cm，
第10页（共23页）∴△EBF 的周长为：4+4+5=13（cm）．
故答案为：13．
【点评】此题主要考查了平移的性质，根据题意得出 BE 的长是解题关键．
14．（3 分）（2016•广州）分式方程 的解是 x=﹣ 1 ．
【考点】分式方程的解．
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【专题】方程与不等式．
【分析】根据解分式方程的方法可以求得分式方程 的解，记住最后要进行
检验，本题得以解决．
【解答】解：
方程两边同乘以 2x（x﹣3），得
x﹣3=4x
解得，x=﹣1，
检验：当 x=﹣1 时，2x（x﹣3）≠0，
故原分式方程的解是 x=﹣1，
故答案为：x=﹣1．
【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是明确解分式方程的解得方法，注意最
后要进行检验．
15．（3 分）（2016•广州）如图，以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 是小圆
的切线，点 P 为切点，AB=12 ，OP=6，则劣弧 AB 的长为 8 π ．
【考点】切线的性质；弧长的计算．
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【分析】连接 OA、OB，由切线的性质和垂径定理易得 AP=BP= ，由锐角三
角函数的定义可得∠AOP=60°，利用弧长的公式可得结果．
【解答】解：连接 OA、OB，
∵AB 为小⊙O 的切线，
∴OP⊥AB，
∴AP=BP= ，
∵ = ，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOB=120°，∠OAP=30°，
∴OA=2OP=12，
第11页（共23页）∴劣弧 AB 的长为： = =8π．
故答案为：8π．
【点评】本题主要考查了切线的性质，垂径定理和弧长公式，利用三角函数求得
∠AOP=60°是解答此题的关键．
16．（3 分）（2016•广州）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AC，BD 是对角线．将
△DCB 绕着点 D 顺时针旋转 45°得到△DGH，HG 交 AB 于点 E，连接 DE 交 AC 于
点 F，连接 FG．则下列结论：
①四边形 AEGF 是菱形
②△AED≌△GED
③∠DFG=112.5°
④BC+FG=1.5
其中正确的结论是 ①②③ ．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定；菱形的判定；正方形的性质．
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【分析】首先证明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE 的度数，推
出 AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断．
【解答】证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，
∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG 是由△DBC 旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在 RT△ADE 和 RT△GDE 中，
，
∴AED≌△GED，故②正确，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理 EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四边形 AEGF 是菱形，故①正确，
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确．
∵AE=FG=EG=BG，BE= AE，
第12页（共23页）∴BE＞AE，
∴AE＜ ，
∴CB+FG＜1.5，故④错误．
故答案为①②③．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰
直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等
的方法，属于中考常考题型．
三、解答题
17．（9 分）（2016•广州）解不等式组 并在数轴上表示解集．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
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【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的
解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则
在数轴上将解集表示出来．
【解答】解：解不等式 2x＜5，得：x＜ ，
解不等式 3（x+2）≥x+4，得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜ ，
将不等式解集表示在数轴上如图：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟
知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的
关键．
18．（9 分）（2016•广州）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，若
AB=AO，求∠ABD 的度数．
第13页（共23页）【考点】矩形的性质．
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【分析】首先证明 OA=OB，再证明△ABO 是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AO=OB，
∵AB=AO，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO 是等边三角形，
∴∠ABD=60°．
【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性
质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．
19．（10 分）（2016•广州）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新
精神，举办“玩转数学”比赛．现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、
小组展示、答辩三个方面为个小组打，各项成绩均按百分制记录．甲、乙、丙三个小组
各项得分如表：
小组 研究报告 小组展示 答辩
甲 91 80 78
乙 81 74 85
丙 79 83 90
（1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序；
（2）如果按照研究报告占 40%，小组展示占 30%，答辩占 30%计算各小组的成绩，哪
个小组的成绩最高？
【考点】统计表；算术平均数．
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【专题】统计与概率．
【分析】（1）根据表格可以求得各小组的平均成绩，从而可以将各小组的成绩按照从
大到小排列；
（2）根据题意可以算出各组的加权平均数，从而可以得到哪组成绩最高．
【解答】解：（1）由题意可得，
甲组的平均成绩是： （分），
乙组的平均成绩是： （分），
丙组的平均成绩是： （分），
从高分到低分小组的排名顺序是：丙＞甲＞乙；
（2）由题意可得，
甲组的平均成绩是： （分），
第14页（共23页）乙组的平均成绩是： （分），
丙组的平均成绩是： （分），
由上可得，甲组的成绩最高．
【点评】本题考查算术平均数、加权平均数、统计表，解题的关键是明确题意，找出所
求问题需要的条件．
20．（10 分）（2016•广州）已知 A= （a，b≠0 且 a≠b）
（1）化简 A；
（2）若点 P（a，b）在反比例函数 y=﹣ 的图象上，求 A 的值．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】（1）利用完全平方公式的展开式将（a+b）2展开，合并同类型、消元即可将 A
进行化解；
（2）由点 P 在反比例函数图象上，即可得出 ab 的值，代入 A 化解后的分式中即可得
出结论．
【解答】解：（1）A= ，
= ，
= ，
= ．
（2）∵点 P（a，b）在反比例函数 y=﹣ 的图象上，
∴ab=﹣5，
∴A= =﹣ ．
【点评】本题考查了分式的化解求值以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关
键是：（1）将原分式进行化解；（2）找出 ab 值．本题属于基础题，难度不大，解决该题
型题目时，先将原分式进行化解，再代入 ab 求值即可．
21．（12 分）（2016•广州）如图，利用尺规，在△ABC 的边 AC 上方作
∠CAE=∠ACB，在射线 AE 上截取 AD=BC，连接 CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要
求保留作图痕迹，不写作法）
第15页（共23页）【考点】作图—尺规作图的定义．
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【分析】利用尺规作∠EAC=∠ACB 即可，先证明四边形 ABCD 是平行四边形，再证
明 CD∥AB 即可．
【解答】解：图象如图所示，
∵∠EAC=∠ACB，
∴AD∥CB，
∵AD=BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查尺规作图、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利
用尺规作一个角等于已知角，属于基础题，中考常考题型．
22．（12 分）（2016•广州）如图，某无人机于空中 A 处探测到目标 B，D，从无人机 A
上看目标 B，D 的俯角分别为 30°，60°，此时无人机的飞行高度 AC 为 60m，随后无
人机从 A 处继续飞行 30 m 到达 A′处，
（1）求 A，B 之间的距离；
（2）求从无人机 A′上看目标 D 的俯角的正切值．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
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【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过 A′作 A′E⊥BC 交 BC 的延长线于 E，连接 A′D，于是得到 A′E=AC=60，
CE=AA′=30 ，在 Rt△ABC 中，求得 DC= AC=20 ，然后根据三角函数的定义
即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，
在 Rt△ABC 中，AC=60m，
第16页（共23页）∴AB= = =120（m）；
（2）过 A′作 A′E⊥BC 交 BC 的延长线于 E，连接 A′D，
则 A′E=AC=60，CE=AA′=30 ，
在 Rt△ABC 中，AC=60m，∠ADC=60°，
∴DC= AC=20 ，
∴DE=50 ，
∴tan∠AA′D=tan∠A′DC= = = ．
答：从无人机 A′上看目标 D 的俯角的正切值是 ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构
造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
23．（12 分）（2016•广州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=﹣x+3 与 x 轴交
于点 C，与直线 AD 交于点 A（ ， ），点 D 的坐标为（0，1）
（1）求直线 AD 的解析式；
（2）直线 AD 与 x 轴交于点 B，若点 E 是直线 AD 上一动点（不与点 B 重合），当
△BOD 与△BCE 相似时，求点 E 的坐标．
【考点】相似三角形的性质；待定系数法求一次函数解析式．
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【分析】（1）设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，用待定系数法将 A（ ， ），D（0，1）的
坐标代入即可；
（2）由直线 AD 与 x 轴的交点为（﹣2，0），得到 OB=2，由点 D 的坐标为（0，1），得到
OD=1，求得 BC=5，根据相似三角形的性质得到 或 ，代入数据即
可得到结论．
【解答】解：（1）设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，
第17页（共23页）将 A（ ， ），D（0，1）代入得： ，
解得： ．
故直线 AD 的解析式为：y= x+1；
（2）∵直线 AD 与 x 轴的交点为（﹣2，0），
∴OB=2，
∵点 D 的坐标为（0，1），
∴OD=1，
∵y=﹣x+3 与 x 轴交于点 C（3，0），
∴OC=3，
∴BC=5
∵△BOD 与△BCE 相似，
∴ 或 ，
∴ = = 或 ，
∴BE=2 ，CE= ，或 CE= ，
∴E（2，2），或（3， ）．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图
形是解题的关键．
24．（14 分）（2016•广州）已知抛物线 y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m 与 x 轴相交于不同
的两点 A、B
（1）求 m 的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P，并求出点 P 的坐标；
（3）当 ＜m≤8 时，由（2）求出的点 P 和点 A，B 构成的△ABP 的面积是否有最值？
若有，求出该最值及相对应的 m 值．
【考点】二次函数综合题．
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第18页（共23页）【分析】（1）根据题意得出△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，得出 1﹣
4m≠0，解不等式即可；
（2）y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，故只要 x2﹣2x﹣3=0，那么 y 的值便与 m 无关，解得
x=3 或 x=﹣1（舍去，此时 y=0，在坐标轴上），故定点为（3，4）；
（3）由|AB|=|x ﹣x |得出|AB|=| ﹣4|，由已知条件得出 ≤ ＜4，得出 0＜| ﹣4|
A B
≤ ，因此|AB|最大时，| |= ，解方程得出 m=8，或 m= （舍去），即可得出
结果．
【解答】（1）解：当 m=0 时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；
当 m≠0 时，
∵抛物线 y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m 与 x 轴相交于不同的两点 A、B，
∴△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，
∴1﹣4m≠0，
∴m≠ ；
（2）证明：∵抛物线 y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m，
∴y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，
抛物线过定点说明在这一点 y 与 m 无关，
显然当 x2﹣2x﹣3=0 时，y 与 m 无关，
解得：x=3 或 x=﹣1，
当 x=3 时，y=4，定点坐标为（3，4）；
当 x=﹣1 时，y=0，定点坐标为（﹣1，0），
∵P 不在坐标轴上，
∴P（3，4）；
（3）解：|AB|=|x ﹣x |= = =
A B
= =| |=| ﹣4|，
∵ ＜m≤8，
∴ ≤ ＜4，
∴﹣ ≤ ﹣4＜0，
∴0＜| ﹣4|≤ ，
∴|AB|最大时，| |= ，
解得：m=8，或 m= （舍去），
第19页（共23页）∴当 m=8 时，|AB|有最大值 ，
此时△ABP 的面积最大，没有最小值，
则面积最大为： |AB|y = × ×4= ．
P
【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判
别式以及最值问题等知识；本题难度较大，根据题意得出点 P 的坐标是解决问题的关
键．
25．（14 分）（2016•广州）如图，点 C 为△ABD 的外接圆上的一动点（点 C 不在
上，且不与点 B，D 重合），∠ACB=∠ABD=45°
（1）求证：BD 是该外接圆的直径；
（2）连结 CD，求证： AC=BC+CD；
（3）若△ABC 关于直线 AB 的对称图形为△ABM，连接 DM，试探究 DM2，AM2，
BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【考点】圆的综合题．
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【分析】（1）要证明 BD 是该外接圆的直径，只需要证明∠BAD 是直角即可，又因为
∠ABD=45°，所以需要证明∠ADB=45°；
（2）在 CD 延长线上截取 DE=BC，连接 EA，只需要证明△EAF 是等腰直角三角形即
可得出结论；
（3）过点 M 作 MF⊥MB 于点 M，过点 A 作 AF⊥MA 于点 A，MF 与 AF 交于点 F，证
明△AMF 是等腰三角形后，可得出 AM=AF，MF= AM，然后再证明
△ABF≌△ADM 可得出 BF=DM，最后根据勾股定理即可得出 DM2，AM2，BM2三者
之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵ = ，
∴∠ACB=∠ADB=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠BAD=90°，
∴BD 是△ABD 外接圆的直径；
（2）在 CD 的延长线上截取 DE=BC，
连接 EA，
∵∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
第20页（共23页）在△ABC 与△ADE 中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∵ =
∴∠ACD=∠ABD=45°，
∴△CAE 是等腰直角三角形，
∴ AC=CE，
∴ AC=CD+DE=CD+BC；
（3）过点 M 作 MF⊥MB 于点 M，过点 A 作 AF⊥MA 于点 A，MF 与 AF 交于点 F，连
接 BF，
由对称性可知：∠AMB=ACB=45°，
∴∠FMA=45°，
∴△AMF 是等腰直角三角形，
∴AM=AF，MF= AM，
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，
∴∠FAB=∠MAD，
在△ABF 与△ADM 中，
，
∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴BF=DM，
在 Rt△BMF 中，
∵BM2+MF2=BF2，
∴BM2+2AM2=DM2．
第21页（共23页）【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的
性质与判定，勾股定理等知识，综合程度较高，解决本题的关键就是构造等腰直角三
角形．
第22页（共23页）参与本试卷答题和审题的老师有：nhx600；王学峰；gbl210；HJJ；弯弯的小河；
sd2011；张其铎；曹先生；HLing；1286697702；zgm666；fangcao；三界无我；
wdzyzmsy@126.com；神龙杉（排名不分先后）
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2016 年 7 月 6 日
第23页（共23页）
