文档内容
2012 年广州市中考数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选
项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2012•广州）实数3的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
2．（2012•广州）将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函
数的解析式为（ ）
A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2 D．y=（x+1）2
3．（2012•广州）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱
6．（2012•广州）已知|a﹣1|+ =0，则a+b=（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
7．（2012•广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是
（ ）
A． B． C． D．
8．（2012•广州）已知a＞b，若c是任意实数，则下列不等式中总是成立的是
（ ）
A．a+c＜b+c B．a﹣c＞b﹣c C．ac＜bc D．ac＞bc
9．（2012•广州）在平面中，下列命题为真命题的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是菱形 C．
四个角相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
110．（2012•广州）如图，正比例函数y =k x和反比例函数y = 的图象交于A（﹣
1 1 2
1，2）、B（1，﹣2）两点，若y ＜y ，则x的取值范围是（ ）
1 2
A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1
D．﹣1＜x＜0或x＞1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（2012•广州）已知∠ABC=30°，BD是∠ABC的平分线，则∠ABD= 度．
12．（2012•广州）不等式x﹣1≤10的解集是 ．
13．（2012•广州）分解因式：a3﹣8a=
14．（2012•广州）如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD
绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为 ．
15．（2012•广州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2 x+k=0有两个相等的实数根，则k值为
3 ．
16．（2012•广州）如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，
以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；
以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；
以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；
以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，
…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍，第n个半圆的面
积为 （结果保留π）
2三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2012•广州）解方程组 ．
18．（2012•广州）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．
19．（2012•广州）广州市努力改善空气质量，近年来空气质量明显好转，根据广州市环境保护
局公布的2006﹣2010这五年各年的全年空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中
信息回答：
（1）这五年的全年空气质量优良天数的中位数是 ，极差是 ．
（2）这五年的全年空气质量优良天数与它前一年相比，增加最多的是 年（填写年份）．
（3）求这五年的全年空气质量优良天数的平均数．
320．（2012•广州）已知 （a≠b），求 的值．
21．（2012•广州）甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡
片上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，3．乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，1，6．先从甲袋中
随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示
取出卡片上的数值，把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标．
（1）用适当的方法写出点A（x，y）的所有情况．
（2）求点A落在第三象限的概率．
22．（2012•广州）如图，⊙P的圆心为P（﹣3，2），半径为3，直线MN过点M（5，0）且平行于y
轴，点N在点M的上方．
（1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系．
（2）若点N在（1）中的⊙P′上，求PN的长．
[来源:Zxxk.Com]
423．（2012•广州）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨
1.9元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费．
设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．
（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式．
（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？
24．（2012•广州）如图，抛物线y= 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点
D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有
且只有三个时，求直线l的解析式．
525．（2012•广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于
E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．
（1）当α=60°时，求CE的长；
（2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．
6一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的）
1．（2012•广州）实数3的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
考点：实数的性质。
专题：常规题型。
分析：根据乘积是1的两个数互为倒数解答．
解答：
解：∵3× =1，
∴3的倒数是 ．
故选B．
点评：本题考查了实数的性质，熟记倒数的定义是解题的关键．
2．（2012•广州）将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式
为（ ）
A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2 D．y=（x+1）2
考点：二次函数图象与几何变换。
专题：探究型。
分析：直接根据上加下减的原则进行解答即可．
解答：解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移
以后的二次函数的解析式为：y=x2﹣1．
故选A．
点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关
键．
3．（2012•广州）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱
考点：由三视图判断几何体。
分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答：解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，
由俯视图为三角形，可得为棱柱体，
所以这个几何体是三棱柱；
故选D．
点评：本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，
同时也体现了对空间想象能力．
74．（2012•广州）下面的计算正确的是（ ）
A．6a﹣5a=1 B．a+2a2=3a3 C．﹣（a﹣b）=﹣a+b D．2（a+b）=2a+b
考点：去括号与添括号；合并同类项。
分析：根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数
不变；去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来
的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号
相反，进行计算，即可选出答案．
解答：解：A、6a﹣5a=a，故此选项错误；
B、a与2a2不是同类项，不能合并，故此选项错误；
C、﹣（a﹣b）=﹣a+b，故此选项正确；
D、2（a+b）=2a+2b，故此选项错误；
故选：C．
点评：此题主要考查了合并同类项，去括号，关键是注意去括号时注意符号的变化，注意乘
法分配律的应用，不要漏乘．
5．（2012•广州）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，
且EC=3，则梯形ABCD的周长是（ ）
A．26 B．25 C．21 D．20
考点：等腰梯形的性质；平行四边形的判定与性质。
分析：由BC∥AD，DE∥AB，即可得四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的对边相
等，即可求得BE的长，继而求得BC的长，由等腰梯形ABCD，可求得AB的长，继而
求得梯形ABCD的周长．
解答：解：∵BC∥AD，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=5，
∵EC=3，
∴BC=BE+EC=8，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC=4，
∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21．
故选C．
点评：此题考查了等腰梯形的性质与平行四边形的判定与性质．此题比较简单，注意判定出
四边形ABED是平行四边形是解此题的关键，同时注意数形结合思想的应用．
6．（2012•广州）已知|a﹣1|+ =0，则a+b=（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值。
专题：常规题型。
分析：根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
8解答：解：根据题意得，a﹣1=0，7+b=0，
解得a=1，b=﹣7，
所以，a+b=1+（﹣7）=﹣6．
故选B．
点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
7．（2012•广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ）
A． B． C． D．
考点：勾股定理；点到直线的距离；三角形的面积。
专题：计算题。
分析：根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用
勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直
角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，
将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离．
解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：AB= =15，
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
又S = AC•BC= AB•CD，
△ABC
∴CD= = = ，
则点C到AB的距离是 ．
故选A
点评：此题考查了勾股定理，点到直线的距离，以及三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理
是解本题的关键．
8．（2012•广州）已知a＞b，若c是任意实数，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A．a+c＜b+c B．a﹣c＞b﹣c C．ac＜bc D．ac＞bc
考点：不等式的性质。
分析：根据不等式的性质，分别将个选项分析求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中
的应用．
解答：解：A、∵a＞b，c是任意实数，∴a+c＞b+c，故本选项错误；
B、∵a＞b，c是任意实数，∴a﹣c＞b﹣c，故本选项正确；
C、当a＞b，c＜0时，ac＜bc，而此题c是任意实数，故本选项错误；
D、当a＞b，c＞0时，ac＞bc，而此题c是任意实数，故本选项错误．
故选B．
点评：此题考查了不等式的性质．此题比较简单，注意解此题的关键是掌握不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
9（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9．（2012•广州）在平面中，下列命题为真命题的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是菱形 C．四个角相等
的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理。
分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答
案，不是真命题的可以举出反例．
解答：解：A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误；
B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；
C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如右图所示，故此选项错误．
故选：C．
点评：此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断
命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．（2012•广州）如图，正比例函数y =k x和反比例函数y = 的图象交于A（﹣1，2）、B（1，
1 1 2
﹣2）两点，若y ＜y ，则x的取值范围是（ ）
1 2
A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜
x＜0或x＞1
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：数形结合。
分析：根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围即可．
解答：解：由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y ＜y ．
1 2
故选D．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．
10二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（2012•广州）已知∠ABC=30°，BD是∠ABC的平分线，则∠ABD= 1 5 度．
考点：角平分线的定义。
专题：常规题型。
分析：根据角平分线的定义解答．
解答：解：∵∠ABC=30°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD= ∠ABC= ×30°=15°．
故答案为：15．
点评：本题考查了角平分线的定义，熟记定义是解题的关键．
12．（2012•广州）不等式x﹣1≤10的解集是 x≤1 1 ．
考点：解一元一次不等式。
分析：首先移项，然后合并同类项即可求解．
解答：解：移项，得：x≤10+1，
则不等式的解集是：x≤11．
故答案是：x≤11．
点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符
号这一点而出错．
13．（2012•广州）分解因式：a3﹣8a= a （ a+ 2 ）（ a﹣ 2 ） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
专题：常规题型。
分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：a3﹣8a，
=a（a2﹣8），
=a（a+2 ）（a﹣2 ）．
故答案为：a（a+2 ）（a﹣2 ）．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因
式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．（2012•广州）如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD
绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为 2 ．
考点：旋转的性质；等边三角形的性质。
分析：由在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形的性
质，即可求得BD的长，然后由旋转的性质，即可求得CE的长度．
[来源:Z|xx|k.Com]
解答：解：∵在等边三角形ABC中，AB=6，
∴BC=AB=6，
11∵BC=3BD，
∴BD= BC=2，
∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD=2．
故答案为：2．
点评：此题考查了旋转的性质与等边三角形的性质．此题难度不大，注意旋转中的对应关
系．
15．（2012•广州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2 x+k=0有两个相等的实数根，则k值为
3 ．
考点：根的判别式。
分析：因为方程有两个相等的实数根，则△=（﹣2 ）2﹣4k=0，解关于k的方程即可．
解答：解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2 x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2 ）2﹣4k=0，
∴12﹣4k=0，
解得k=3．
故答案为：3．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当
△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
16．（2012•广州）如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，
以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；
以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；
以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；
以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，
…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 4 倍，第n个半圆的
面积为 2 2n﹣ 5 π （结果保留π）
考点：规律型：图形的变化类。
分析：根据已知图形得出第4个半圆的半径是第3个半圆的半径，进而得出第4个半圆的面
积与第3个半圆面积的关系，得出第n个半圆的半径，进而得出答案．
解答：解：∵以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；
[来源:学科网]
以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；
以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；
[来源:Zxxk.Com]
以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，
∴第4个半圆的面积为： =8π，
12第3个半圆面积为： =2π，
∴第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 =4倍；
根据已知可得出第n个半圆的直径为：2n﹣1，
则第n个半圆的半径为： =2n﹣2，
第n个半圆的面积为： =22n﹣5π．
故答案为：4，22n﹣5π．
点评：此题主要考查了数字变化规律，注意数字之间变化规律，根据已知得出第n个半圆的
直径为：2n﹣1是解题关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2012•广州）解方程组 ．
考点：解二元一次方程组。
专题：计算题。
分析：根据y的系数互为相反数，利用加减消元法求解即可．
解答：
解： ，
①+②得，4x=20，
解得x=5，
把x=5代入①得，5﹣y=8，
解得y=﹣3，
所以方程组的解是 ．
点评：本题考查了解二元一次方程组，有加减法和代入法两种，根据y的系数互为相反数确
定选用加减法解二元一次方程组是解题的关键．
18．（2012•广州）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．
考点：全等三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：已知图形∠A=∠A，根据ASA证△ABE≌△ACD，根据全等三角形的性质即可求出答
案．
解答：证明：∵在△ABE和△ACD中
13，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定方法有：SAS，ASA，
AAS，SSS，用ASA（还有∠A=∠A）即可证出△ABE≌△ACD．
19．（2012•广州）广州市努力改善空气质量，近年来空气质量明显好转，根据广州市环境保护
局公布的2006﹣2010这五年各年的全年空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中
信息回答：
（1）这五年的全年空气质量优良天数的中位数是 34 5 ，极差是 2 4 ．
（2）这五年的全年空气质量优良天数与它前一年相比，增加最多的是 200 8 年（填写年份）．
（3）求这五年的全年空气质量优良天数的平均数．
考点：折线统计图；算术平均数；中位数；极差。
专题：图表型。
分析：（1）把这五年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列，根据中位数的定义解答；
根据极差的定义，用最大的数减去最小的数即可；
（2）分别求出相邻两年下一年比前一年多的优良天数，然后即可得解；
（3）根据平均数的求解方法列式计算即可得解．
解答：解：（1）这五年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列如下：
333、334、345、347、357，
所以中位数是345；
极差是：357﹣333=24；
（2）2007年与2006年相比，333﹣334=﹣1，
2008年与2007年相比，345﹣333=12，
2009年与2008年相比，347﹣345=2，
2010年与2009年相比，357﹣347=10，
所以增加最多的是2008年；
（3）这五年的全年空气质量优良天数的平均数= = =343
.2天．
点评：本题考查了折线统计图，要理解极差的概念，中位数的定义，以及算术平均数的求解
方法，能够根据计算的数据进行综合分析，熟练掌握对统计图的分析和平均数的计算
是解题的关键．
1420．（2012•广州）已知 （a≠b），求 的值．
考点：分式的化简求值；约分；通分；分式的加减法。
专题：计算题。
分析：
求出 = ，通分得出 ﹣ ，推出 ，化简得出
，代入求出即可．
解答：
解：∵ + = ，
∴ = ，
∴ ﹣ ，
= ﹣ ，
= ，
= ，
= ，
= ．
点评：本题考查了通分，约分，分式的加减的应用，能熟练地运用分式的加减法则进行计算
是解此题的关键，用了整体代入的方法（即把 当作一个整体进行代入）．
21．（2012•广州）甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡
片上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，3．乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，1，6．先从甲袋中
随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示
取出卡片上的数值，把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标．
（1）用适当的方法写出点A（x，y）的所有情况．
（2）求点A落在第三象限的概率．
考点：列表法与树状图法；点的坐标。
分析：（1）直接利用表格列举即可解答；
（2）利用（1）中的表格求出点A落在第三象限共有两种情况，再除以点A的所有情况
即可．
解答：解：（1）如下表，
﹣7 ﹣1 3
﹣2 ﹣7，﹣2 ﹣1，﹣2 3，﹣2
1 ﹣7，1 ﹣1，1 3，1
6 ﹣7，6 ﹣1，6 3，6
点A（x，y）共9种情况；
（2）∵点A落在第三象限共有（﹣7，﹣2）（﹣1，﹣2）两种情况，
15∴点A落在第三象限的概率是 ．
点评：此题主要考查利用列表法求概率，关键是列举出事件发生的所有情况，并通过概率公
式进行计算，属于基础题．
22．（2012•广州）如图，⊙P的圆心为P（﹣3，2），半径为3，直线MN过点M（5，0）且平行于y
轴，点N在点M的上方．
（1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系．
（2）若点N在（1）中的⊙P′上，求PN的长．
[来源:Zxxk.Com]
考点：作图-轴对称变换；直线与圆的位置关系。
专题：作图题。
分析：（1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等找出点P′的位置，然后以
3为半径画圆即可；再根据直线与圆的位置关系解答；
（2）设直线PP′与MN相交于点A，在Rt△AP′N中，利用勾股定理求出AN的长度，在
Rt△APN中，利用勾股定理列式计算即可求出PN的长度．
解答：解：（1）如图所示，⊙P′即为所求作的圆，⊙P′与直线MN相交；
（2）设直线PP′与MN相交于点A，
在Rt△AP′N中，AN= = = ，
在Rt△APN中，PN= = = ．
点评：本题考查了利用轴对称变换作图，直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，熟练掌握
网格结构，准确找出点P′的位置是解题的关键．
1623．（2012•广州）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨
1.9元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费．
设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．
（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式．
（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？
考点：一次函数的应用。
专题：经济问题。
分析：（1）未超过20吨时，水费y=1.9×相应吨数；
超过20吨时，水费y=1.9×20+超过20吨的吨数×2.8；
（2）该户的水费超过了20吨，关系式为：1.9×20+超过20吨的吨数×2.8=用水吨数
×2.2．
解答：解：（1）当x≤20时，y=1.9x；
当x＞20时，y=1.9×20+（x﹣20）×2.8=2.8x﹣18；
（2）∵5月份水费平均为每吨2.2元，用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．
∴用水量超过了20吨．
2.8x﹣18=2.2x，
解得x=30．
答：该户5月份用水30吨．
点评：考查一次函数的应用；得到用水量超过20吨的水费的关系式是解决本题的关键．
24．（2012•广州）如图，抛物线y= 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点
D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有
且只有三个时，求直线l的解析式．
考点：二次函数综合题。
分析：（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解．
（2）根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h．在坐标平面内，作AC的平行线，平
行线之间的距离等于h．根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即
为所求的D点．
从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．
因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而
求得D点坐标．
17注意：这样的平行线有两条，如答图1所示．
（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义．
因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角
形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关
系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点
构成直角三角形．从而问题得解．
注意：这样的切线有两条，如答图2所示．
解答：
解：（1）令y=0，即 =0，
解得x =﹣4，x =2，
1 2
∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）．
（2）S = AB•OC=9，
△ACB
在Rt△AOC中，AC= = =5，
设△ACD中AC边上的高为h，则有 AC•h=9，解得h= ．
如答图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h= ，这样的直线有2
条，分别是l 和l ，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D．
1 2
设l
1
交y轴于E，过C作CF⊥l
1
于F，则CF=h= ，
∴CE= = ．
设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，
得到 ，解得 ，∴直线AC解析式为y= x+3．
[来源:学.科.网]
直线l 可以看做直线AC向下平移CE长度单位（ 个长度单位）而形成的，
1
∴直线l 的解析式为y= x+3﹣ = x﹣ ．
1
则D 的纵坐标为 ×（﹣1）﹣ = ，∴D （﹣4， ）．
1 1
同理，直线AC向上平移 个长度单位得到l ，可求得D （﹣1， ）
2 2
综上所述，D点坐标为：D （﹣4， ），D （﹣1， ）．
1 2
（3）如答图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2
条．
连接FM，过M作MN⊥x轴于点N．
∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3．
又FE=5，则在Rt△MEF中，
ME= =4，sin∠MFE= ，cos∠MFE= ．
在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3× = ，
FN=MN•cos∠MFE=3× = ，则ON= ，
18∴M点坐标为（ ， ）
直线l过M（ ， ），E（4，0），
设直线l的解析式为y=kx+b，则有
，解得 ，
所以直线l的解析式为y= x+3．
同理，可以求得另一条切线的解析式为y= x﹣3．
综上所述，直线l的解析式为y= x+3或y= x﹣3．
点评：本题解题关键是二次函数、一次函数以及圆等知识的综合运用．难点在于第（3）问中
对于“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”条件的理解，这可以从直
线与圆的位置关系方面入手解决．本题难度较大，需要同学们对所学知识融会贯通、
灵活运用．
25．（2012•广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于
E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．
（1）当α=60°时，求CE的长；
（2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
19②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．
考点：平行四边形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中
线；勾股定理。
专题：代数几何综合题。
分析：（1）利用60°角的正弦值列式计算即可得解；
（2）①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全
等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角
的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解；
②设BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG
中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问
题解答．
解答：解：（1）∵α=60°，BC=10，
∴sinα= ，
即sin60°= = ，
解得CE=5 ；
（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．
理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，
∵F为AD的中点，
∴AF=FD，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠G=∠DCF，
在△AFG和△CFD中， ，
∴△AFG≌△CFD（AAS），
∴CF=GF，AG=CD，
∵CE⊥AB，
∴EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠AEF=∠G，
∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，
∴AG=5，AF= AD= BC=5，
∴AG=AF，
∴∠AFG=∠G，
在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG（对顶角相等），
∴∠CFD=∠AEF，
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF；
20②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，
∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，
在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2，
在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x，
∵CF=GF（①中已证），
∴CF2=（ CG）2= CF2= （200﹣20x）=50﹣5x，
∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣ ）2+50+ ，
∴当x= ，即点E是AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值，
此时，EG=10﹣x=10﹣ = ，
CE= = = ，
所以，tan∠DCF=tan∠G= = = ．
点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数的最值问题，作出辅助线构造出全等三角
形是解题的关键，另外根据数据的计算求出相等的边长也很重要．
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