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2017年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为（ ）
A．﹣6 B．6 C．0 D．无法确定
2．（3分）如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为（
）
A． B． C． D．
3．（3分）某6人活动小组为了解本组成员的年龄情况，作了一次调查，统计的年龄如下（单
位：岁）：12，13，14，15，15，15，这组数据中的众数，平均数分别为（ ）
A．12，14B．12，15C．15，14 D．15，13
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． = B．2× = C． =a D．|a|=a（a≥0）
5．（3分）关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（ ）
A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥4
6．（3分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
7．（3分）计算（a2b）3• 的结果是（ ）
A．a5b5 B．a4b5 C．ab5 D．a5b6
8．（3分）如图，E，F分别是 ▱ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF
翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（ ）
第页（共27页） 1A．6 B．12 C．18 D．24
9．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，
则下列说法中正确的是（ ）
A．AD=2OB B．CE=EOC．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD
10．（3分）a≠0，函数y= 与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=110°，则∠B= ．
12．（3分）分解因式：xy2﹣9x= ．
13．（3分）当x= 时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值 ．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA= ，则AB= ．
第页（共27页） 215．（3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是 ，
则圆锥的母线l= ．
16．（3分）如图，平面直角坐标系中O是原点， ▱ABCD的顶点A，C的坐标分别是（8，0），（3，
4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：
①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是 ；④OD=
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
三、解答题（本大题共9小题，共102分）
17．（9分）解方程组 ．
18．（9分）如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．
19．（10分）某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行调查，按做义工
第页（共27页） 3的时间（t 单位：小时），将学生分成五类：A类（0≤t≤2），B类（2＜t≤4），C类（4＜t≤6），D
类（6＜t≤8），E类（t＞8）．
绘制成尚不完整的条形统计图如图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）E类学生有 人，补全条形统计图；
（2）D类学生人数占被调查总人数的 %；
（3）从该班做义工时间在0≤t≤4的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在2＜t≤4中的
概率．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2 ．
（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作
法）
（2）若△ADE的周长为a，先化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．
21．（12分）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下
的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的 倍，甲队比乙队多筑路20天．
（1）求乙队筑路的总公里数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．
22．（12分）将直线y=3x+1向下平移1个单位长度，得到直线y=3x+m，若反比例函数y= 的
图象与直线y=3x+m相交于点A，且点A的纵坐标是3．
（1）求m和k的值；
（2）结合图象求不等式3x+m＞ 的解集．
第页（共27页） 423．（12分）已知抛物线y =﹣x2+mx+n，直线y =kx+b，y 的对称轴与y 交于点A（﹣1，5），点A
1 2 1 2
与y 的顶点B的距离是4．
1
（1）求y 的解析式；
1
（2）若y 随着x的增大而增大，且y 与y 都经过x轴上的同一点，求y 的解析式．
2 1 2 2
24．（14分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为
△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）连接AE，若AB=6cm，BC= cm．
①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的
速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后
停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程
所需的时间．
25．（14分）如图，AB是⊙O的直径， = ，AB=2，连接AC．
（1）求证：∠CAB=45°；
（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD所在的直线与AC所
在的直线相交于点E，连接AD．
①试探究AE与AD之间的是数量关系，并证明你的结论；
② 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
第页（共27页） 52017年广东省广州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为（ ）
A．﹣6 B．6 C．0 D．无法确定
【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数定义确定出B表示的数即可．
【解答】解：∵数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数为﹣6，
∴点B表示的数为6，
故选B
【点评】此题考查了数轴，以及相反数，熟练掌握相反数的性质是解本题的关键．
2．（3分）如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为（
）
A． B． C． D．
【分析】根据旋转的性质即可得到结论．
【解答】解：由旋转的性质得，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到
的图形为A，
故选A．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
3．（3分）某6人活动小组为了解本组成员的年龄情况，作了一次调查，统计的年龄如下（单
位：岁）：12，13，14，15，15，15，这组数据中的众数，平均数分别为（ ）
第页（共27页） 6A．12，14B．12，15C．15，14 D．15，13
【分析】观察这组数据发现15出现的次数最多，进而得到这组数据的众数为15，将六个数据
相加求出之和，再除以6即可求出这组数据的平均数．
【解答】解：∵这组数据中，12出现了1次，13出现了1次，14出现了1次，15出现了3次，
∴这组数据的众数为15，
∵这组数据分别为：12、13、14、15、15、15
∴这组数据的平均数 =14．
故选C
【点评】此题考查了众数及算术平均数，众数即为这组数据中出现次数最多的数，算术平均数
即为所有数之和与数的个数的商．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． = B．2× = C． =a D．|a|=a（a≥0）
【分析】直接利用分式的基本性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简求出答案．
【解答】解：A、 无法化简，故此选项错误；
B、2× = ，故此选项错误；
C、 =|a|，故此选项错误；
D、|a|=a（a≥0），正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式的基本性质以及绝对值的性质、二次根式的性质，正确掌握相关
性质是解题关键．
5．（3分）关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是
（ ）
A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥4
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=64﹣4q＞0，解之即可得出q的取值范
围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，
第页（共27页） 7∴△=82﹣4q=64﹣4q＞0，
解得：q＜16．
故选A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的
关键．
6．（3分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【分析】根据三角形的内切圆得出点O到三边的距离相等，即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心；熟练掌握三角形的内切圆的圆心性质是关键．
7．（3分）计算（a2b）3• 的结果是（ ）
A．a5b5 B．a4b5 C．ab5 D．a5b6
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，分式的乘法，可得答案．
【解答】解：原式=a6b3• =a5b5，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的乘除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
8．（3分）如图，E，F分别是 ▱ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF
翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（ ）
第页（共27页） 8A．6 B．12 C．18 D．24
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF，根据折叠的
性质得到∠GEF=∠DEF=60°，推出△EGF是等边三角形，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG=∠EGF，
∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，
∴∠GEF=∠DEF=60°，
∴∠AEG=60°，
∴∠EGF=60°，
∴△EGF是等边三角形，
∵EF=6，
∴△GEF的周长=18，
故选C．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定，熟练掌握翻折
变换的性质是解决问题的关键．
9．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，
则下列说法中正确的是（ ）
A．AD=2OB B．CE=EOC．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD
【分析】先根据垂径定理得到 = ，CE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOC=40°，则根据互余
可计算出∠OCE的度数，于是可对各选项进行判断．
第页（共27页） 9【解答】解：∵AB⊥CD，
∴ = ，CE=DE，
∴∠BOC=2∠BAD=40°，
∴∠OCE=90°﹣40°=50°．
故选D．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考
查了圆周角定理．
10．（3分）a≠0，函数y= 与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
【解答】解：当a＞0时，函数y= 的图象位于一、三象限，y=﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正
半轴，没有符合的选项，
当a＜0时，函数y= 的图象位于二、四象限，y=﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项
符合；
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系
数的符号确定其图象的位置，难度不大．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=110°，则∠B= 70 ° ．
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
第页（共27页） 10【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
又∵∠A=110°，
∴∠B=70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质即可得到结论．
12．（3分）分解因式：xy2﹣9x= x （ y + 3 ）（ y﹣ 3 ） ．
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：xy2﹣9x=x（y2﹣9）=x（y﹣3）（y+3）．
故答案为：x（y﹣3）（y+3）．
【点评】本题考查对多项式的分解能力，一般先考虑提公因式，再考虑利用公式分解因式，要
注意分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
13．（3分）当x= 1 时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值 5 ．
【分析】把x2﹣2x+6化成（x﹣1）2+5，即可求出二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是多少．
【解答】解：∵y=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，
∴当x=1时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值5．
故答案为：1、5．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值，要熟练掌握，确定一个二次函数的最值，首先看自
变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取
某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA= ，则AB= 1 7 ．
【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，BC=15，
第页（共27页） 11∴ = ，
解得AC=8，
根据勾股定理得，AB= = =17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，主要利用了锐角的正切等于对边比邻边．
15．（3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是 ，
则圆锥的母线l= 3 ．
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的
母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长=2π× =2 πcm，
则： =2 π，
解得l=3 ．
故答案为：3 ．
【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；
弧长公式为： ．
16．（3分）如图，平面直角坐标系中O是原点， ▱ABCD的顶点A，C的坐标分别是（8，0），（3，
4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：
①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是 ；④OD=
其中正确的结论是 ①③ （填写所有正确结论的序号）．
第页（共27页） 12【分析】①证明△CDB∽△FDO，列比例式得： ，再由D、E为OB的三等分点，则 =
，可得结论正确；
②如图2，延长BC交y轴于H证明OA≠AB，则∠AOB≠∠EBG，所以△OFD∽△BEG不成立；
③如图3，利用面积差求得：S =S ﹣S ﹣S ﹣S =12，根据相似三角形面积的比
△CFG ▱OABC △OFC △OBG △AFG
等于相似比的平方进行计算并作出判断；
④根据勾股定理进行计算OB的长，根据三等分线段OB可得结论．
【解答】解：①∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC=OA，
∴△CDB∽△FDO，
∴ ，
∵D、E为OB的三等分点，
∴ = ，
∴ ，
∴BC=2OF，
∴OA=2OF，
∴F是OA的中点；
所以①结论正确；
②如图2，延长BC交y轴于H，
由C（3，4）知：OH=4，CH=3，
∴OC=5，
∴AB=OC=5，
∵A（8，0），
∴OA=8，
第页（共27页） 13∴OA≠AB，
∴∠AOB≠∠EBG，
∴△OFD∽△BEG不成立，
所以②结论不正确；
③由①知：F为OA的中点，
同理得；G是AB的中点，
∴FG是△OAB的中位线，
∴FG= ，FG∥OB，
∵OB=3DE，
∴FG= DE，
∴ = ，
过C作CQ⊥AB于Q，
S =OA•OH=AB•CQ，
▱OABC
∴4×8=5CQ，
∴CQ= ，
S = OF•OH= ×4×4=8，
△OCF
S = BG•CQ= × × =8，
△CGB
S = ×4×2=4，
△AFG
∴S =S ﹣S ﹣S ﹣S =8×4﹣8﹣8﹣4=12，
△CFG ▱OABC △OFC △OBG △AFG
∵DE∥FG，
∴△CDE∽△CFG，
∴ = = ，
∴ = ，
第页（共27页） 14∴ ，
∴S = ；
四边形DEGF
所以③结论正确；
④在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB2=BH2+OH2，
∴OB= = ，
∴OD= ，
所以④结论不正确；
故本题结论正确的有：①③；
故答案为：①③．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质、图形与坐标特点、勾股定理、三角
形的中位线定理、三角形相似的性质和判定、平行四边形和三角形面积的计算等知识，难度
适中，熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质是关键．
第页（共27页） 15三、解答题（本大题共9小题，共102分）
17．（9分）解方程组 ．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解： ，
①×3﹣②得：x=4，
把x=4代入①得：y=1，
则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加
减消元法．
18．（9分）如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．
【分析】根据全等三角形的判定即可求证：△ADF≌△BCE
【解答】解：∵AE=BF，
∴AE+EF=BF+EF，
∴AF=BE，
在△ADF与△BCE中，
∴△ADF≌△BCE（SAS）
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是求证AF=BE，本题属于基础题型．
19．（10分）某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行调查，按做义工
的时间（t 单位：小时），将学生分成五类：A类（0≤t≤2），B类（2＜t≤4），C类（4＜t≤6），D
类（6＜t≤8），E类（t＞8）．
第页（共27页） 16绘制成尚不完整的条形统计图如图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）E类学生有 5 人，补全条形统计图；
（2）D类学生人数占被调查总人数的 3 6 %；
（3）从该班做义工时间在0≤t≤4的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在2＜t≤4中的
概率．
【分析】（1）根据总人数等于各类别人数之和可得E类别学生数；
（2）用D类别学生数除以总人数即可得；
（3）列举所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）E类学生有50﹣（2+3+22+18）=5（人），
补全图形如下：
故答案为：5；
（2）D类学生人数占被调查总人数的 ×100%=36%，
故答案为：36；
（3）记0≤t≤2内的两人为甲、乙，2＜t≤4内的3人记为A、B、C，
从中任选两人有：甲乙、甲A、甲B、甲C、乙A、乙B、乙C、AB、AC、BC这10种可能结果，
第页（共27页） 17其中2人做义工时间都在2＜t≤4中的有AB、AC、BC这3种结果，
∴这2人做义工时间都在2＜t≤4中的概率为 ．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也
考查条形统计图．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2 ．
（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作
法）
（2）若△ADE的周长为a，先化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．
【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法，即可得到线段AC的垂直平分线DE；
（2）根据Rt△ADE中，∠A=30°，AE= ，即可求得a的值，最后化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求
T的值．
【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求；
（2）由题可得，AE= AC= ，∠A=30°，
∴Rt△ADE中，DE= AD，
设DE=x，则AD=2x，
∴Rt△ADE中，x2+（ ）2=（2x）2，
解得x=1，
∴△ADE的周长a=1+2+ =3+ ，
第页（共27页） 18∵T=（a+1）2﹣a（a﹣1）=3a+1，
∴当a=3+ 时，T=3（3+ ）+1=10+3 ．
【点评】本题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形的性质，解题时注意：在直角
三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
21．（12分）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下
的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的 倍，甲队比乙队多筑路20天．
（1）求乙队筑路的总公里数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．
【分析】（1）根据甲队筑路60公里以及乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的 倍，即可
求出乙队筑路的总公里数；
（2）设乙队平均每天筑路8x公里，则甲队平均每天筑路5x公里，根据甲队比乙队多筑路20
天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）60× =80（公里）．
答：乙队筑路的总公里数为80公里．
（2）设乙队平均每天筑路8x公里，则甲队平均每天筑路5x公里，
根据题意得： ﹣ =20，
解得：x=0.1，
经检验，x=0.1是原方程的解，
∴8x=0.8．
答：乙队平均每天筑路0.8公里．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）找准等
量关系，列出分式方程．
22．（12分）将直线y=3x+1向下平移1个单位长度，得到直线y=3x+m，若反比例函数y= 的
图象与直线y=3x+m相交于点A，且点A的纵坐标是3．
（1）求m和k的值；
第页（共27页） 19（2）结合图象求不等式3x+m＞ 的解集．
【分析】（1）根据平移的原则得出m的值，并计算点A的坐标，因为A在反比例函数的图象上，
代入可以求k的值；
（2）画出两函数图象，根据交点坐标写出解集．
【解答】解：（1）由平移得：y=3x+1﹣1=3x，
∴m=0，
当y=3时，3x=3，
x=1，
∴A（1，3），
∴k=1×3=3；
（2）画出直线y=3x和反比例函数y= 的图象：如图所示，
由图象得：不等式3x+m＞ 的解集为：﹣1＜x＜0或x＞1．
【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题和一次函数的图象的平移问题，涉
及到用待定系数法求反比例函数的解析式，并熟知函数图象平移时“上加下减，左加右减”
的法则．
23．（12分）已知抛物线y =﹣x2+mx+n，直线y =kx+b，y 的对称轴与y 交于点A（﹣1，5），点A
1 2 1 2
与y 的顶点B的距离是4．
1
第页（共27页） 20（1）求y 的解析式；
1
（2）若y 随着x的增大而增大，且y 与y 都经过x轴上的同一点，求y 的解析式．
2 1 2 2
【分析】（1）根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y 的解
1
析式；
（2）分两种情况讨论：当y 的解析式为y =﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴的交点是抛物线的顶点
1 1
（﹣1，0），不合题意；
当y =﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8=0求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的坐标和y
1 2
随着x的增大而增大，求得y 与y 都经过x轴上的同一点（﹣4，0），然后根据待定系数法求
1 2
得即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y =﹣x2+mx+n，直线y =kx+b，y 的对称轴与y 交于点A（﹣1，5），点
1 2 1 2
A与y 的顶点B的距离是4．
1
∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），
∴﹣ =﹣1， =1或9，
解得m=﹣2，n=0或8，
∴y 的解析式为y =﹣x2﹣2x或y =﹣x2﹣2x+8；
1 1 1
（2）①当y 的解析式为y =﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0.0）和（﹣2.0），
1 1
∵y 的对称轴与y 交于点A（﹣1，5），
1 2
∴y 与y 都经过x轴上的同一点（﹣2，0），
1 2
把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得 ，
解得 ，
∴y =5x+10．
2
②当y =﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8=0得x=﹣4或2，
1
∵y 随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），
2
∴y 与y 都经过x轴上的同一点（﹣4，0），
1 2
把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得 ，
解得 ；
第页（共27页） 21∴y = x+ ．
2
【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数和二次函数的
解析式，根据题意求得顶点坐标是解题的关键．
24．（14分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为
△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）连接AE，若AB=6cm，BC= cm．
①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的
速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后
停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程
所需的时间．
【分析】（1）只要证明四边相等即可证明；
（2）①设AE交CD于K．由DE∥AC，DE=OC=OA，推出 = = ，由AB=CD=6，可得DK=2，
CK=4，在Rt△ADK中，AK= = =3，根据sin∠DAE= 计算即可解决问
题；
②作 PF⊥AD 于 F．易知 PF=AP•sin∠DAE= AP，因为点 Q 的运动时间 t= + =OP+
AP=OP+PF，所以当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，由此即可解
决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴OD=OB=OC=OA，
∵△EDC和△ODC关于CD对称，
第页（共27页） 22∴DE=DO，CE=CO，
∴DE=EC=CO=OD，
∴四边形CODE是菱形．
（2）①设AE交CD于K．
∵四边形CODE是菱形，
∴DE∥AC，DE=OC=OA，
∴ = =
∵AB=CD=6，
∴DK=2，CK=4，
在Rt△ADK中，AK= = =3，
∴sin∠DAE= = ，
②作PF⊥AD于F．易知PF=AP•sin∠DAE= AP，
∵点Q的运动时间t= + =OP+ AP=OP+PF，
∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，
∴OF= CD=3．AF= AD= ，PF= DK=1，
∴AP= = ，
∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为 ，点Q走完全程所需的时
间为3s．
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、锐角三角函数、平行线分线
第页（共27页） 23段成比例定理、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，所以中考压轴题．
25．（14分）如图，AB是⊙O的直径， = ，AB=2，连接AC．
（1）求证：∠CAB=45°；
（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD所在的直线与AC所
在的直线相交于点E，连接AD．
①试探究AE与AD之间的是数量关系，并证明你的结论；
② 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径知∠ACB=90°，由 = 即AC=BC可得答案；
（2）分∠ABD为锐角和钝角两种情况，①作BF⊥l于点F，证四边形OBFC是矩形可得
AB=2OC=2BF，结合BD=AB知∠BDF=30°，再求出∠BDA和∠DEA度数可得；②同理BF= BD，
即可知∠BDC=30°，分别求出∠BEC、∠ADB即可得；
（3）分D在C左侧和点D在点C右侧两种情况，作EI⊥AB，证△CAD∽△BAE得 = = ，
即AE= CD，结合EI= BE、EI= AE，可得BE=2EI=2× AE= AE= × CD=2CD，从而
得出结论．
【解答】解：（1）如图1，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
第页（共27页） 24∴∠ACB=90°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA= =45°；
（2）①当∠ABD为锐角时，如图2所示，作BF⊥l于点F，
由（1）知△ACB是等腰直角三角形，
∵OA=OB=OC，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∵l是⊙O的切线，
∴OC⊥l，
又BF⊥l，
∴四边形OBFC是矩形，
∴AB=2OC=2BF，
∵BD=AB，
∴BD=2BF，
∴∠BDF=30°，
∴∠DBA=30°，∠BDA=∠BAD=75°，
∴∠CBE=∠CBA﹣∠DBA=45°﹣30°=15°，
∴∠DEA=∠CEB=90°﹣∠CBE=75°，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE；
②当∠ABD为钝角时，如图3所示，
第页（共27页） 25同理可得BF= BD，即可知∠BDC=30°，
∵OC⊥AB、OC⊥直线l，
∴AB∥直线l，
∴∠ABD=150°，∠ABE=30°，
∴∠BEC=90°﹣（∠ABE+∠ABC）=90°﹣（30°+45°）=15°，
∵AB=DB，
∴∠ADB= ∠ABE=15°，
∴∠BEC=∠ADE，
∴AE=AD；
（3）①如图2，当D在C左侧时，
由（2）知CD∥AB，∠ACD=∠BAE，∠DAC=∠EBA=30°，
∴△CAD∽△BAE，
∴ = = ，
∴AE= CD，
作EI⊥AB于点I，
∵∠CAB=45°、∠ABD=30°，
∴BE=2EI=2× AE= AE= × CD=2CD，
∴ =2；
②如图3，当点D在点C右侧时，过点E作EI⊥AB于I，
由（2）知∠ADC=∠BEA=15°，
第页（共27页） 26∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ACD，
∴△ACD∽△BAE，
∴ = = ，
∴ CD，
∵BA=BD，∠BAD=∠BDA=15°，
∴∠IBE=30°，
∴BE=2EI=2× AE= AE= × CD=2CD，
∴ =2．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，熟练掌握切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、
圆心角定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
第页（共27页） 27
