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广东省广州市 2019 年中考试卷
数 学
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1． ＝ （
）
A． B．6 C． D．
2．广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百
姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，
5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是
（ ）
A．5 B．5.2 C．6 D．6.4
3．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若 ，则此斜
坡的水平距离AC为 （ ）
A．75 m B．50 m C．30 m D．12 m
4．下列运算正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为
（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
1 / 226．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时
间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，□ABCD中， ，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的
中点，则下列说法正确的是 （ ）
A．
B．四边形EFGH是平行四边形
C．
D． 的面积是 的面积的2倍
8．若点 ， ， 在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若 ，则AC的
长为 （ ）
A． B． C．10 D．8
10 ． 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 有 两 个 实 数 根 ， ， 若
，则k的值 （ ）
2 / 22A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，点A，B，C在直线l上， ， ，则点P到直线l的距离是
cm．
12．代数式 有意义时，x应满足的条件是 ．
13．分解因式： ．
14．一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转 （ ），使得三角板ADE的一边所在
的直线与BC垂直，则 的度数为 ．
15．如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为
．（结果保留π）
16．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合）， ，点F在射线AM
上，且 ，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：
①
② 的周长为
3 / 22③
④ 的面积的最大值 ．
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（共9小题，满分102分）
17．解方程组： ．
18．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E， ，
求证： ．
19．已知 ．
（1）化简P；
（2）若点 在一次函数 的图象上，求P的值．
20．某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数
分布表和扇形统计图．
频数分布表：
组别 时间/小时 频数/人数
A组 2
4 / 22B组 m
C组 10
D组 12
E组 7
F组 4
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）求频数分布表中m的值；
（2）求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；
（3）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F组中随机选取2
名学生，恰好都是女生．
21．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前
广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基
站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点 ， 轴于点E，正比
例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A，P两点．
（1）求m，n的值与点A的坐标；
（2）求证： ；
（3）求 的值．
5 / 2223．如图，⊙O的直径 ，弦 ，连接BC．
（1）尺规作图：作弦CD，使 （点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．
24．如图，等边 中， ，点D在BC上， ，点E为边AC上一动点（不与点C重合），
关于DE的轴对称图形为 ．
（1）当点F在AC上时，求证： ；
（2）设 的面积为 ，△ABF的面积为 ，记 ，S是否存在最大值？若存在，求出S的最
大值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．
6 / 2225．已知抛物线 有最低点．
（1）求二次函数 的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线 ．经过探究发现，随着m的变化，抛物线 顶点的纵坐
标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．
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数学答案解析
一、选择题
1．【答案】B
【解析】 的绝对值是 ．故选：B．
【提示】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【考点】绝对值
2．【答案】A
【解析】5出现的次数最多，是5次，所以这组数据的众数为5故选：A．
【提示】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【考点】众数的概念
3．【答案】A
【解析】∵ ， ， ，
∴ ，
解得， ，故选：A．
【提示】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．
4．【答案】D
【解析】A、 ，故此选项错误；
B、 ，故此选项错误；
C、 ，故此选项错误；
D、 ，正确．故选：D．
【提示】直接利用有理数混合运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【考点】有理数的运算，同底数幂的乘法，算术平方根的积
5．【答案】C
【解析】∵ O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，
∴ ，
⊙
∴点P与 O的位置关系是：P在 O外，
∵过圆外一点可以作圆的2条切线，故选：C．
⊙ ⊙
【提示】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．
【考点】圆的切线
8 / 226．【答案】D
【解析】设甲每小时做x个零件，可得： ，故选：D．
【提示】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即
可．
【考点】列分式方程解决实际问题
7．【答案】B
【解析】∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在□ABCD中， ，
∴ ，
∴ ，故选项A错误；
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴ ，
∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；
由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；
∵点E、F分别为OA和OB的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的面积是 的面积的4倍，故选项D错误，故选：B．
【提示】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．
【考点】平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质
8．【答案】C
【解析】∵点 ， ， 在反比例函数 的图象上，
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴ ，故选：C．
【提示】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出 的值，比较后即可得出结论．
【考点】反比例函数的图像与性质
9．【答案】A
【解析】连接AE，如图：
9 / 22∵EF是AC的垂直平分线，
∴ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故选：A．
【提示】连接 AE，由线段垂直平分线的性质得出 ，证明 得出
，得出 ，由勾股定理求出 ，再由勾股定
理求出AC即可．
【考点】矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理
10．【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程 的两个实数根为 ，
∴ ．
∵ ，即 ，
∴ ，
解得： ．
10 / 22∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得： 或 ，
∴ ．故选：D
【提示】由根与系数的关系可得出 ，结合 可
求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式 可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值
范围，进而可确定k的值，此题得解．
【考点】一元二次方程根与系数的关系，根的判别式
二、填空题
11．【答案】5
【解析】∵ ，
∴P到l的距离是垂线段PB的长度5 cm，故答案为：5
【提示】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．
【考点】点到直线的距离
12．【答案】
【解析】代数式 有意义时，
，
解得： ．
故答案为： ．
【提示】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围．
【考点】代数式有意义的条件
13．【答案】
【解析】原式 ，
故答案为： ．
【提示】首先提取公因式y，再利用完全平方进行二次分解即可．
【考点】公式法因式分解
14．【答案】
【解析】分情况讨论：
①当 时， ，∴ ；
②当 时， ．
故答案为：15°或60°
11 / 22【提示】分情况讨论：① ；② ．
【考点】图形的旋转，垂直的判定
15．【答案】
【解析】∵某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，
∴斜边长为 ，
则底面圆的周长为 ，
∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为 ，
故答案为 ．
【提示】根据圆锥侧面展开扇形的弧长＝底面圆的周长即可解决问题．
【考点】圆锥的有关计算
16．【答案】①④
【解析】如图1中，在BC上截取 ，连接EH．
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
12 / 22∵ ，
∴ ，故③错误，
∴ 的周长 ，故②错
误，设 ，则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 时， 的面积的最大值为 ．故④正确，
故答案为①④．
【提示】①正确．如图1中，在BC上截取 ，连接EH．证明 ，即可解决问题．
② ③ 错 误 ． 如 图 2 中 ， 延 长 AD 到 H ， 使 得 ， 则 ， 再 证 明
，即可解决问题．④正确．设 ，则 ， ，构建二次函数，利
用二次函数的性质解决最值问题．
【考点】正方形的性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理
三、解答题
17．【答案】
【解析】 ，
②﹣①得， ，解得 ，
把 代入①得， ，解得 ，
故原方程组的解为
【提示】运用加减消元解答即可．
13 / 22【考点】二元一次方程组
18．【答案】见解析
【解析】证明：∵ ，
∴ ，
在 与 中：
∵ ，
∴
【提示】利用 证明： ．
【考点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质
19．【答案】（1）
（2）
【解析】（1） ；
（2）∵点 在一次函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴
【提示】（1） ；
（2）将点 代入 得到 ，再将 代入化简后的 ，即可求解；
【考点】分式的化简求值和一次函数的性质
20．【答案】（1）
14 / 22（2） ， ，补全扇形统计图如图1所示
（3）恰好都是女生的概率为
【解析】（1） ；
（2） ，
．
补全扇形统计图如图1所示：
（3）画树状图如图2：
共有12个等可能的结果，
恰好都是女生的结果有6个，
∴恰好都是女生的概率为
【提示】（1）用抽取的40人减去其他5个组的人数即可得出m的值；
（2）分别用360°乘以B组，C组的人数所占的比例即可；补全扇形统计图；
（3）画出树状图，即可得出结果．
【考点】频数分布表，扇形统计图，概率的计算
21．【答案】（1）6万座
（2）
【解析】（1） （万座）．
15 / 22答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得： ，
解得： （舍去）
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%
【提示】（1） ，即可求出结论；
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基
站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【考点】一元二次方程的应用
22．【答案】（1） ， ，点A的坐标为
（2）证明见解析
（3）
【解析】（1）解：将点 代入 ，得： ，
解得： ，
∴正比例函数解析式为 ；
将点 代入 ，得： ，
解得： ，
∴反比例函数解析式为 ．
联立正、反比例函数解析式成方程组，得： ，
解得： ， ，
∴点A的坐标为 ．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ ，
∴ ，即 ．
∵ 轴，
∴ ，
∴ ．
（3）解：∵点A的坐标为 ，
16 / 22∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【提示】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解
方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可）；
（2）由菱形的性质可得出 ，利用平行线的性质可得出 ，结合 轴
可得出 ，进而即可证出 ；
（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出 ，再利用正弦的定
义即可求出 的值．
【考点】菱形的性质，反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，三角函数
23．【答案】（1）
（2）四边形 的周长
【解析】（1）如图，线段 即为所求．
（2）连接 ， 交于点 ，设 ．
17 / 22∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 于 ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 的周长 ．
【提示】（1）以 为圆心， 为半径画弧，交 于 ，线段 即为所求．
（2）连接 ， 交于点 ，设 ，构建方程求出x即可解决问题．
【考点】基本尺规作图，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理
24．【答案】（1）证明见解析
（2）存在，理由见解析
（3）
【解析】（1）∵ 是等边三角形
∴
由折叠可知： ，且点 在 上
∴
∴
∴ ；
（2）存在，
18 / 22过点 作 交 于点 ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
∴当点 上时， 最小，
∵
∴
∴ 的最小值
∴
（3）如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∵ 关于 的轴对称图形为
∴
∵
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
19 / 22∴
∴
∴
【提示】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得 ，可证 ；
（2）过点 ，由题意可得点F在以 为圆心， 为半径的圆上，由 的面积
为 的值是定值，则当点 在 上时， 最小时，S最大；
（3）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，由勾股定理可求 的长，通过证明
，可求 的长，即可求 的长．
【考点】等边三角形的性质，平行线的判定，勾股定理
25．【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）∵ ，抛物线有最低点
∴二次函数 的最小值为
（2）∵抛物线 ：
∴平移后的抛物线 ：
∴抛物线 顶点坐标为
∴ ，
∴
即 ，变形得
∵
∴
∴
∴ 与 的函数关系式为
（3）法一：如图，函数 ： 图象为射线
时， ； 时，
∴函数 的图象恒过点
20 / 22∵抛物线 ：
时， ； 时，
∴抛物线 恒过点
由图象可知，若抛物线与函数 的图象有交点 ，则
∴点 纵坐标的取值范围为
法二：
整理的：
∵ ，且 时，方程为 不成立
∴ ，即
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
【提示】（1）抛物线有最低点即开口向上， ，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．
（2）写出抛物线 的顶点式，根据平移规律即得到抛物线 的顶点式，进而得到抛物线 顶点坐标
，即 ， ， 即消去 ，得到 与 的函数关系式．再由 ，即求
21 / 22得 的取值范围．
（3）法一：求出抛物线恒过点 ，函数 图象恒过点 ，由图象可知两图象交点 应在点 、
之间，即点 纵坐标在 、 纵坐标之间．
法二：联立函数 解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用 表示m的式子．由 与 的范围讨论
的具体范围，即求得函数对应的交点 纵坐标的范围．
【考点】二次函数的最值问题，图形的平移，一次函数解析式的确定
22 / 22
