文档内容
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2010 年广州中考数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分，考试用时102分
钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第三面、第五面上用黑色字迹的钢笔或签字笔走宝自已
的考生号、姓名；走宝考场室号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，答案必须
写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，
改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无
效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。）
1． （2010广东广州，1，3分）如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（ ）
A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8%
2． （2010广东广州，2，3分）将图1所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）
l
A ． B．
C． D．
图1
3． （2010广东广州，3，3分）下列运算正确的是（ ）
A．－3(x－1)＝－3x－1 B．－3(x－1)＝－3x＋1
C．－3(x－1)＝－3x－3 D．－3(x－1)＝－3x＋3
4． （2010广东广州，4，3分）在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5，则DE的长是（
）
A．2.5 B．5 C．10 D．15
5． （2010广东广州，5，3分）不等式 的解集是（ ）
A．－ ＜x≤2 B．－3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜－36． （2010广东广州，6，3分）从图2的四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽
车品牌标志的图案是中心对称称图形的卡片的概率是（ ）
图2
A． B． C． D．1
7． （2010广东广州，7，3分）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（ ）
A．52 B．32 C．24 D．9
2
3
4
4
主视图 俯视图
8． （2010广东广州，8，3分）下列命题中，正确的是（ ）
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝0
9． （2010广东广州，9，3分）若a＜1，化简 ＝（ ）
A．a﹣2 B．2﹣a C．a D．﹣a
10．（2010广东广州，10，3分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接
收方由密文→明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，
1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后
所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c
字母 a b c d e f g h i j k l m
序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
字母 n o p q r s t u v w x y z
序号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（ ）
A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc
第二部分（非选择题 共120分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（2010广东广州，11，3分）“激情盛会，和谐亚洲”第16届亚运会将于2010年11月在广州举
行，广州亚运城的建筑面积约是358000平方米，将358000用科学记数法表示为_______．12．（2010广东广州，12，3分）若分式 有意义，则实数x的取值范围是_______．
13．（2010广东广州，13，3分）老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验
成绩的平均分均为90分，方差分别是 ＝51、 ＝12．则成绩比较稳定的是_______ （填
“甲”、“乙”中的一个）．
14．（2010广东广州，14，3分）一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为________．
(结果保留 )
15．（2010广东广州，15，3分）因式分解：3ab2＋a2b＝_______．
16．（2010广东广州，16，3分）如图4，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中的等
腰三角形有_____个．
A
D
B C
三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2010广东广州，17，9分）解方程组
18．（2010广东广州，18，9分）如图5，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．
求证：∠A＋∠C＝180°
A D
B C
19．（2010广东广州，19，10分）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实
数根，求 的值。
20．（2010广东广州，20，10分）广州市某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾
分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非
常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下
表：
等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解
频数 40 120 36 4
频率 0.2 m 0.18 0.02
（1）本次问卷调查取样的样本容量为_______，表中的m值为_______．（2）根据表中的数据计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图6所对应的扇形的圆心角
的度数，并补全扇形统计图．
（3）若该校有学生1500人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人
数约为多少？
不太了解 2%
基本了解
18%
不太了解 2%
非常了解 基本了解
18%
20%
比较了解
60%
21．（2010广东广州，21，12分）已知抛物线y＝－x2＋2x＋2．
（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；
（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
x … …
y … …
（3）若该抛物线上两点A（x ，y ），B（x ，y ）的横坐标满足x ＞x ＞1，试比较y 与y 的大小．
1 1 2 2 1 2 1 2
y
1
-5-4-3-2-1 O1 2 3 4 5 x
-1
22．（2010广东广州，22，12分）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图8所示，新电视塔
高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得
塔顶B的仰角为39°．
（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；
（2）求大楼的高度CD（精确到1米）B
39°
D E
45°
C A
23．（2010广东广州，23，12分）已知反比例函数y＝ (m为常数)的图象经过点A（－1，6）．
（1）求m的值；
（2）如图9，过点A作直线AC与函数y＝ 的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB＝2BC，
求点C的坐标．
y
A
B
C O x
24．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，
点D是 上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作
⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若 ＝4 ，求△ABC的周长.
25．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，
1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线 ＝－ ＋ 交折线OAB
于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与 的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA B C ，试探究
1 1 1
OA B C 与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改
1 1 1
变，请说明理由.
y
D B
C
x
O E A2010 年广东省广州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2010•广州）如果+10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（ ）
A．﹣18% B．﹣8% C．+2% D．+8%
考点：正数和负数。
分析：正数和负数可以表示一对相反意义的量，在本题中“增加”和“减小”就是一对相反意义的
量，既然增加用正数表示，那么减少就用负数来表示，后面的百分比的值不变．
解答：解：“增加”和“减少”相对，若+10%表示“增加10%”，那么“减少8%”应记作﹣8%．
故选B．
点评：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2．（2010•广州）将图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）A． B． C． D．
考点：点、线、面、体。
分析：根据直角梯形上下底不同得到旋转一周后上下底面圆的大小也不同，进而得到旋转一周后得
到的几何体的形状．
解答：解：题中的图是一个直角梯形，上底短，下底长，绕对称轴旋转后上底形成的圆小于下底形成
的圆，因此得到的立体图形应该是一个圆台，故选C．
点评：本题属于基础题，主要考查学生是否具有基本的识图能力，以及对点线面体之间关系的理解．
3．（2010•广州）下列运算正确的是（ ）
A．﹣3（x﹣1）=﹣3x﹣1 B．﹣3（x﹣1）=﹣3x+1 C．﹣3（x﹣1）=﹣3x﹣3D．﹣3（x﹣1）=﹣
3x+3
考点：去括号与添括号。
分析：去括号时，要按照去括号法则，将括号前的﹣3与括号内每一项分别相乘，尤其需要注意，﹣3
与﹣1相乘时，应该是+3而不是﹣3．
解答：解：根据去括号的方法可知﹣3（x﹣1）=﹣3x+3．
故选D．
点评：本题属于基础题，主要考查去括号法则，理论依据是乘法分配律，容易出错的地方有两处，一
是﹣3只与x相乘，忘记乘以
﹣1；二是﹣3与﹣1相乘时，忘记变符号．本题直指去括号法则，没有任何其它干扰，掌握了去括号
法则就能得分，不掌握就不能得分．
4．（2010•广州）在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC=5，则DE的长是（ ）
A．2.5 B．5C．10 D．15
考点：三角形中位线定理。
分析：由D、E分别是边AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，根据中位线定理可知，DE=
BC=2.5．
解答：解：根据题意画出图形如图示，
∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= AB，∵BC=5，
∴DE= BC=2.5．
故选A．
点评：本题考查了中位线的性质，三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段，中位线的特征
是平行于第三边且等于第三边的一半．
5．（2010•广州）不等式 的解集是（ ）
A．﹣ ＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣3
考点：解一元一次不等式组。
分析：先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”
来求不等式组的解集．
解答：解：由①得：x＞﹣3，
由②得：x≤2，
所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
故选B．
点评：解不等式组是考查学生的基本计算能力，求不等式组解集的时候，可先分别求出组成不等式
组的各个不等式的解集，然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分．
6．（2010•广州）从图中的四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽车品牌标志的
图案是中心对称图形的卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．1
考点：概率公式；中心对称图形。
分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．解答：解：在这四个图片中只有第三幅图片是中心对称图形，因此是中心对称称图形的卡片的概率
是 ．
故选A．
点评：本题将两个简易的知识点，中心对称图形和概率组合在一起，是一个简单的综合问题，其中涉
及的中心对称图形是指这个图形绕着对称中心旋转180°后仍然能和这个图形重合的图形，简易概
率求法公式：P（A）= ，其中0≤P（A）≤1．
7．（2010•广州）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（ ）
A．52 B．32 C．24 D．9
考点：由三视图判断几何体。
分析：由所给的视图判断出长方体的长、宽、高，让它们相乘即可得到体积．
解答：解：由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3，由俯视图可知，这个长方体的长和宽
分别为4和2，因此这个长方体的长、宽、高分别为4、2、3，因此这个长方体的体积为4×2×3=24平方
单位，故选C．
点评：三视图问题一直是中考考查的高频考点，一般题目难度中等偏下，本题是由两种视图来推测
整个正方体的特征，这种类型问题在中考试卷中经常出现，本题所用的知识是：主视图主要反映物
体的长和高，左视图主要反映物体的宽和高，俯视图主要反映物体的长和宽．
8．（2010•广州）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．若a•b＞0，则a＞0，b＞0 B．若a•b＜0，则a＜0，b＜0 C．若a•b=0，则a=0，且b=0 D．若
a•b=0，则a=0，或b=0
考点：命题与定理。
分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解答：解：A、a•b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；
B、a•b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；
C、a•b=0可得a、b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；
D、若a•b=0，则a=0，或b=0，或二者同时为0，是真命题．
故选D．
点评：本题主要考查乘法法则，只有深刻理解乘法法则才能求出正确答案，需要考生具备一定的思
维能力．
9．（2010•广州）若a＜1，化简 ﹣1=（ ）A．a﹣2 B．2﹣a C．a D．﹣a
考点：二次根式的性质与化简。
分析：根据公式 =|a|可知： ﹣1=|a﹣1|﹣1，由于a＜1，所以a﹣1＜0，再去绝对值，
化简．
解答：解： ﹣1=|a﹣1|﹣1，
由于a＜1，
所以a﹣1＜0，
所以，原式=|a﹣1|﹣1=（1﹣a）﹣1=﹣a，
故选D．
点评：本题主要考查二次根式的化简，难度中等偏难．
10．（2010•广州）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒
明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个
自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的
字母对应的序号，例如明文s对应密文c
字母 a b c d e f g h i j k l m
序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
字母 n o p q r s t u v w x y z
序号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（ ）
A．wkdrcB．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc
考点：有理数的混合运算。
专题：应用题。
分析：m对应的数字是12，12+10=22，除以26的余数仍然是22，因此对应的字母是w；a对应的数字
是0，0+10=10，除以26的余数仍然是10，因此对应的字母是k；t对应的数字是19，19+10=29，除以
26的余数仍然是3，因此对应的字母是d；…，所以本题译成密文后是wkdrc．
解答：解：m、a、t、h、s分别对应的数字为12、0、19、7、18，它们分别加10除以26所得的余数为22、
10、3、17、2，所对应的密文为wkdrc．
故选A．
点评：本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算
规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（2010•广州）“激情盛会，和谐亚洲”第16届亚运会将于2010年11月在广州举行，广州亚运
城的建筑面积约是358 000平方米，将358 000用科学记数法表示为
3.58×1 0 5 ．
考点：科学记数法—表示较大的数。
专题：应用题。
分析：科学记数法的一般形式为：a×10n，在本题中a应为3.58，10的指数为6﹣1=5．
解答：解：358 000=3.58×105．点评：科学记数法是每年中考试卷中的必考问题，把一个数写成a×10n的形式（其中1≤|a|＜10，n为
整数），这种计数法称为科学记数法．其方法是（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原
数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n
的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
12．（2010•广州）若分式 有意义，则实数x的取值范围是 x≠ 5 ．
考点：分式有意义的条件。
专题：计算题。
分析：由于分式的分母不能为0，x﹣5在分母上，因此x﹣5≠0，解得x．
解答：解：∵分式 有意义，
∴x﹣5≠0，即x≠5．
故答案为x≠5．
点评：本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．
13．（2010•广州）老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验成绩的平均分
均为90分，方差分别是S甲 2=51、S乙 2=12．则成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”、“乙”中的一
个）．
考点：方差。
分析：由于两人的平均分一样，因此两人成绩的水平相同；由于S甲 2＞S乙 2，所以乙的成绩比甲的成
绩稳定．
解答：解：由于S2
甲
＞S2
乙
，故乙的方差小，波动小．
故填乙．
点评：平均数是用来衡量一组数据的一般水平，而方差则用了反映一组数据的波动情况，方差越大，
这组数据的波动就越大．
14．（2010•广州）一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的弧长为 π ．（结果保留π）
考点：弧长的计算。
分析：扇形弧长可用公式：l= ，求得．
解答：解：l= = =π．
点评：与圆有关的计算一直是中考考查的重要内容，主要考点有：弧长和扇形面积及其应用等．
15．（2010•广州）因式分解：3ab2+a2b= a b （ 3b+ a ） ．
考点：因式分解-提公因式法。
专题：计算题。
分析：直接提公因式ab即可．
解答：解：3ab2+a2b=ab（3b+a）．
点评：本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．16．（2010•广州）如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°，∠C=72°，则图中的等腰三角形有
3 个．
考点：等腰三角形的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质。
分析：由BD是△ABC的角平分线，可得∠ABC=2∠ABD=72°，又可求∠ABC=∠C=72°，所以
△ABC是等腰三角形；又∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣2×72°=36°，故∠A=∠ABD，所以△ABD是等
腰三角形；
由∠DBC=∠ABD=36°，得∠C=72°，可求∠BDC=72°，故∠BDC=∠C，所以△BDC是等腰三角形．
解答：解：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD=72°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴△ABC是等腰三角形①．
∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣2×72°=36°，
∴∠A=∠ABD，
∴△ABD是等腰三角形②．
∵∠DBC=∠ABD=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴△BDC是等腰三角形③．
故图中的等腰三角形有3个．
故填3．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件
利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
三、解答题（共9小题，满分102分）
17．（2010•广州）解方程组：
考点：解二元一次方程组。
分析：观察原方程组，两个方程的y系数互为相反数，可用加减消元法求解．
解答：解： ，
①+②，得4x=12，
解得：x=3．
将x=3代入①，得9﹣2y=11，解得y=﹣1．
所以方程组的解是 ．
点评：对二元一次方程组的考查主要突出基础性，题目一般不难，系数比较简单，主要考查方法的掌
握．
18．（2010•广州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC、求证：∠A+∠C=180°．
考点：等腰梯形的性质。
专题：证明题。
分析：由于AD∥BC，所以∠A+∠B=180°，要想说明∠A+∠C=180°，只需根据等腰梯形的两底角相等
来说明∠B=∠C即可．
解答：证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C（等腰梯形同一底上的两个角相等）
又∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°（两直线平行同旁内角互补）
∴∠A+∠C=180°（等量代换）．
点评：本题是一个简单的考查等腰梯形性质的解答题，属于基础题．
19．（2010•广州）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求
的值．
考点：根的判别式。
分析：由于这个方程有两个相等的实数根，因此△=b2﹣4a=0，可得出a、b之间的关系，然后将
化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值．
解答：解：∵ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，
即b2﹣4a=0，
b2=4a，
∵ = = =
∵a≠0，∴ = = =4．
点评：本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题
的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．
20．（2010•广州）广州市某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”
的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较
了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下表：
等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解
频数 40 120 36 4
频率 0.2 m 0.18 0.02
（1）本次问卷调查取样的样本容量为 20 0 ，表中的m值为 0. 6 ；
（2）根据表中的数据计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图所对应的扇形的圆心角的度数，
并补全扇形统计图；
（3）若该校有学生1500人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数约
为多少？
．
考点：扇形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；频数与频率。
专题：图表型。
分析：（1）由于非常了解频数40，频率为0.2，即可计算样本容量；表中的m是比较了解的频率，可用
频数除以样本容量进行计算；
（2）非常了解的频率为0.2，扇形圆心角的度数为=频率×360°；
（3）由样本中“比较了解”的频率0.6，可以估计总体中“比较了解”的频率也是0.6．
解答：解：（1）40÷0.2=200；
120÷200=0.6；
（2）0.2×360°=72°；
补全图如下：（3）1500×0.6=900（人）．
点评：统计图表是中考的必考内容，本题渗透了统计图、样本估计总体的知识，数据的问题在中考试
卷中也有越来越综合的趋势．
21．（2010•广州）已知抛物线y=﹣x2+2x+2．
（1）该抛物线的对称轴是 x= 1 ，顶点坐标 （ 1 ， 3 ） ；
（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
x
y
（3）若该抛物线上两点A（x ，y ），B（x ，y ）的横坐标满足x ＞x ＞1，试比较y 与y 的大小．
1 1 2 2 1 2 1 2
考点：二次函数的性质；二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征。
专题：图表型。
分析：（1）代入对称轴公式 和顶点公式（﹣ ， ）即可；（2）尽量让x选取整数值，
通过解析式可求出对应的y的值，填表即可；（3）结合图象可知这两点位于对称轴右边，图象随着x
的增大而减少，因此y ＜y ．
1 2
解答：解：（1）x=1；（1，3）
（2）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 …
（3）因为在对称轴x=1右侧，y随x的增大而减小，又x ＞x ＞1，所以y ＜y ．
1 2 1 2点评：二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生
熟悉二次函数的相关基本概念即可解题．
22．（2010•广州）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，
远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．
（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；
（2）求大楼的高度CD（精确到1米）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
分析：（1）由于∠ACB=45°，∠A=90°，因此△ABC是等腰直角三角形，所以AC=AB=610；
（2）根据矩形的对边相等可知：DE=AC=610米．在Rt△BDE中，运用直角三角形的边角关系即可求
出BE的长，
CD=AB﹣BE．
解答：解：（1）∵∠ACB=45°，∠A=90°，
∴AC=AB=610（米）；
（2）易知DE=AC=610（米）．
在Rt△BDE中，tan∠BDE= ，
∴BE=DEtan39°．
∵CD=AE，
∴CD=AB﹣DE•tan39°=610﹣610×tan39°≈116（米）．
答：大楼的高度CD约为116米．
点评：主要考查直角三角形的边角关系及其应用，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是仰
角问题常用的方法．23．（2010•广州）已知反比例函数y= （m为常数）的图象经过点A（﹣1，6）．
（1）求m的值；
（2）如图，过点A作直线AC与函数y= 的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB=2BC，求点C
的坐标．
考点：反比例函数综合题。
专题：计算题。
分析：（1）将A点坐标代入反比例函数解析式即可得到一个关于m的一元一次方程，求出m的值；
（2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点E、D，则△CBD∽△CAE，运用相似三角形知识求
出CD的长即可求出点C的横坐标．
解答：解：（1）∵图象过点A（﹣1，6），
∴ =6，
解得m=2．
故m的值为2；
（2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点E、D，
由题意得，AE=6，OE=1，即A（﹣1，6），
∵BD⊥x轴，AE⊥x轴，
∴AE∥BD，
∴△CBD∽△CAE，
∴ = ，
∵AB=2BC，
∴ = ，
∴ = ，
∴BD=2．
即点B的纵坐标为2．
当y=2时，x=﹣3，即B（﹣3，2），
设直线AB方程为：y=kx+b，把A和B代入得： ，
解得 ，
∴直线AB为y=2x+8，令y=0，解得x=﹣4，
∴C（﹣4，0）．
点评：由于今年来各地中考题不断降低难度，中考考查知识点有向低年级平移的趋势，反比例函数
出现在解答题中的频数越来约多．
24．（2010•广州）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是 上
任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B
作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若 =4 ，求△ABC的周长．
考点：三角形的内切圆与内心；三角形的面积；勾股定理；垂径定理；切线长定理。
专题：几何综合题。
分析：（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA=1，OF= ，借助勾股定理
可求得AF的长；
（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内
切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE+∠DBA是定值，那么
CAB+∠ABC就是定值，而∠DAE+∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；（3）由题可知S=S +S +S = DE（AB+AC+BC），又因为 =4 ，所以AB+AC+BC=8
△ABD △ACD △BCD
DE，由于DH=DG=DE，所以在Rt△CDH中，CH= DH= DE，同理可得CG= DE，又由于
AG=AE，BE=BH，所以AB+AC+BC=CG+CH+AG+AB+BH=2 DE+2 ，可得8 DE=2 DE+2
，解得：DE= ，代入AB+AC+BC=8 DE，即可求得周长为 ．
解答：解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA=1．
∵弦AB垂直平分线段OP，
∴OF= OP= ，AF=BF，
在Rt△OAF中，
∵AF= = = ，
∴AB=2AF= ．
（2）∠ACB是定值．
理由：连接AD、BD，
由（1）易知，∠ADB=120°，
∵点D为△ABC的内心，
∴∠CAB=2∠DAE，∠CBA=2∠DBA，
∵∠DAE+∠DBA= ∠AOB=60°，
∴∠CAB+∠CBA=120°，
∴∠ACB=60°．
（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，
连接DG，DC，DH，则有DG=DH=DE，DG⊥AC，DH⊥BC，
∴S=S +S +S
△ABD △ACD △BCD
= AB•DE+ BC•DH+ AC•DG= （AB+BC+AC）•DE= l•DE，
∵ =4 ，
∴ =4 ，
∴l=8 DE，
∵CG，CH是⊙D的切线，
∴∠GCD= ∠ACB=30°，∴在Rt△CGD中，CG= = = DE，
∴CH=CG= DE，
又由切线长定理可知AG=AE，BH=BE，
∴l=AB+BC+AC=2 +2 DE=8 DE，
解得DE= ，
∴△ABC的周长为 ．
点评：本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要
考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题．
25．（2010•广州）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线
段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣ x+b交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O A B C ，试探究
1 1 1 1
O A B C 与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改
1 1 1 1
变，请说明理由．
考点：一次函数综合题。
专题：压轴题；分类讨论。分析：（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角
形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边
上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；
（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积
是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．
解答：解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），
∴B（3，1），
若直线经过点A（3，0）时，则b=
若直线经过点B（3，1）时，则b=
若直线经过点C（0，1）时，则b=1
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤ ，如图1，
此时E（2b，0）
∴S= OE•CO= ×2b×1=b；
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即 ＜b＜ ，如图2
此时E（3， ），D（2b﹣2，1），
∴S=S矩 ﹣（S
△OCD
+S
△OAE
+S
△DBE
）
=3﹣[ （2b﹣2）×1+ ×（5﹣2b）•（ ﹣b）+ ×3（b﹣ ）]
= b﹣b2，
∴S= ；
（2）如图3，设O A 与CB相交于点M，OA与C B 相交于点N，则矩形O A B C 与矩形OABC的
1 1 1 1 1 1 1 1
重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知，∠MED=∠NED
又∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题易知，D（2b﹣2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b﹣（2b﹣2）=2，
设菱形DNEM的边长为a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2﹣a）2+12，
∴a= ，
∴S四边形DNEM =NE•DH= ．
∴矩形OA B C 与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 ．
1 1 1
点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定
这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但
难度较大，具有明显的区分度．
