2009年广东省广州市中考数学试卷及答案_中考真题_2.数学中考真题2015-2024年_地区卷_广东省_广东广州中考数学2008--2021年

2009 年广州市初中毕业生学业考试 数 学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分．考试时间 120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上面用黑色字迹的钢笔或签字笔填 写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂 黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答 案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再 写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以 上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的清洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 （共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．） 1．将图1所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ） A． B． C． D． 图1 2．如图2，AB∥CD，直线l分别与AB、CD相交，若1130°，则2（ ） A．40° B．50° C．130° D．140° 1 A B b 0 a 2 图3 C D 图2 3．实数a、b在数轴上的位置如图3所示，则a与b的大小关系是（ ） A．ab B．ab C．ab D．无法确定 第 1 页 共 15 页4．二次函数y (x1)2 2的最小值是（ ） A．2 B．1 C．1 D．2 5．图4是广州市某一天内的气温变化图，根据图4 温度T ( ℃ 下列说法中错误的是（ ） 26 ) A．这一天中最高气温是24℃ 24 22 B．这一天中最高气温与最低气温的差为16℃ 20 C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高 18 16 D．这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低 14 6．下列运算正确的是（ ） 12 10 1 A．(mn)2 m2 n2 B．m2  (m0) 8 m2 6 4 C．m2n2 (mn)4 D．(m2)4 m6 2 O 2 4 6 108 12 14 16 18 2时0 间t 7．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（ ） 22 24 ( 时 图4 ) 1 1 A．y  B．y  C．y  x3 D．y  x3 x3 x3 8．只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ） A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形 9．已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为（如图5所 示），则sin的值为（ ） 5 5 10 12 A． B． C． D． 12 13 13 13 A D  G B C E F 图6 图5 10．如图6，在ABCD中，AB6，AD9，BAD的平分线交BC于点E，交DC 的延 长线于点F ，BG⊥AE ，垂足为G ，若BG 4 2 ，则△CEF 的周长为（ ） A．8 B．9.5 C．10 D．11.5 第二部分 非选择题 （共120分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 2 11．已知函数y  ，当x1时，y的值是 ． x 第 2 页 共 15 页12．在某校举行的“艺术节”的文艺演出比赛中，九位评委给其中一个表演节目现场打出的 分数如下：9.3，8.9，9.3，9.1，8.9，8.8，9.3，9.5，9.3，则这组数据的众数是 ． 13．绝对值是6的数是 ． 14．已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”， 写出它的逆命题： ． 15．如图7-①，7-②，7-③，7-④，……是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按 照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是 ，第n个“广”字中的棋子个数是 ． …… 图7-① 图7-② 图7-③ 图7-④ 16．如图8是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由 块 长方体的积木块搭成． 正 左 视 视 图 图 俯 视 图 图8 三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分9分） 如图9，在△ABC中，D、E、F 分别为边AB、BC、CA的中点． A 证明：四边形DECF 是平行四边形． D F B C E 图9 18．（本小题满分9分） 3 2 解方程：  ． x x1 第 3 页 共 15 页19．（本小题满分10分） 1 先化简，再求值：(a 3)(a 3)a(a6)，其中a 5 ． 2 20．（本小题满分10分） 如图10，在⊙O中，ACBBDC 60°，AC 2 3cm． （1）求BAC的度数； A （2）求⊙O的周长． D O B C 图10 21．（本小题满分12分） 有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有任何其他区别．现将3个小球放入编 号为①、②、③的三个盒子里，规定每个盒子里放一个且只能放一个小球． （1）请用树状图或其它适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能情况； （2）求红球恰好被放入②号盒子的概率． 22．（本小题满分12分） 如图11，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB的两个端点都在格点上，直线MN 经过 坐标原点，且点M 的坐标是（1，2）． （1）写出点A、B的坐标； y （2）求直线MN 所对应的函数关系式； （3）利用尺规作出线段AB关于直线MN 的对称 图形（保留作图痕迹，不写作法）． A B M 1 1 O 1 x 1 N 第 4 页 共 15 页 图1123．（本小题满分12分） 为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动．某家电公司销售给农户的I型冰箱和II型冰箱 在启动活动前一个月共售出960台，启动活动后的第一个月销售给农户的I型冰箱和II型冰 箱的销售量分别比启动活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售出1228台． （1）在启动活动前一个月，销售给农户的I型冰箱和II型冰箱分别为多少台？ （2）若I型冰箱每台价格是2298元，II型冰箱每台价格是1999元．根据“家电下乡”的有关 政策，政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴，问启动活动后的第一个月销售给 农户的1228台I型和II型冰箱，政府共补贴了多少元？（结果保留2个有效数字） 24．（本小题满分14分） 如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH 分割成四个小矩形， EF 与GH 交于点P． （1）若AG  AE，证明：AF  AH ； （2）若FAH 45°，证明：AG AE  FH ； （3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积． E A D G H P B C F 图12 25．（本小题满分14分） 如图13，二次函数y  x2  pxq（ p0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 5 C(0，1)，△ABC的面积为 ． 4 （1）求该二次函数的关系式； （2）过y轴上的一点M(0，m)作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求 m的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由． y A O B x C 第 5 页 共 15 页 图132009 年广州市初中毕业生学业考试 数学试题参考答案 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 3 分，满分 30 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C A D B D C B A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 3 分，满分 18 分． 11．2 12．9.3 13．6 14．如果一个平行四边形是菱形，那么这个平行四边形的两条对角线互相垂直 15．15；2n5 16．4 三、解答题：本大题考查基础知识和基本运算，及数学能力，满分 102 分． 17．本小题主要考查平行四边形的判定、中位线等基础知识，考查几何推理能力和空间观念． 满分9分． 证法 1：∵D、F分别是边AB、AC的中点， ∴DF∥BC． 同理DE∥AC． ∴四边形DECF 是平行四边形． 证法 2： ∵D、F分别是边AB、AC的中点， 1 ∴DF ∥ BC ． 2 ∵E为BC的中点， 1 ∴EC  BC． 2 ∴DF ∥ EC． ∴四边形DECF 是平行四边形． 18．本小题主要考查分式方程等基本运算技能，考查基本的代数计算能力．满分 9 分． 解：由原方程得3(x1)2x， 即3x32x， 即3x2x3， ∴ x3． 检验：当 x3时，x120 ∴ x3是原方程的根． 19．本小题主要考查整式的运算、平方差公式等基础知识，考查基本的代数计算能力．满 分10分． 解：(a 3)(a 3)a(a6) a2 3a(a6) 第 6 页 共 15 页a2 3a2 6a 6a3． 1 将a 5 代入6a3，得 2 1 6a36( 5 )3 2 6 5 ． 20．本小题主要考查圆、等边三角形等基础知识，考查计算能力、推理能力和空间观念．满分 10 分． 解：（1）∵BC  BC ， ∴BAC BDC 60°． （2）∵BAC ACB60°， ∴ABC 60°． ∴△ABC是等边三角形． 求O的半径给出以下四种方法： A 方法1：连结AO并延长交BC于点E（如图1）． ∵△ABC是等边三角形， D O ∴圆心O既是△ABC的外心又是重心，还是垂心． B C EE 在Rt△AEC 中AC 2 3cm，CE  3cm， 20题（2）图1 ∴AE  AC2 CE2 3cm． 2 ∴AO ，AE 2cm，即O的半径为2cm． 3 方法 2：连结OC、OA，作OE⊥AC 交AC 于点E（如图 2） ∵OAOC，OE⊥AC ， ∴CE  EA． 1 1 ∴AE  AC  2 3  3cm． A 2 2 ∵AOC 2ABC 120°，OE⊥AC ， ∴Rt△AOE中，AOE 60°． E D O AE 在Rt△AOE中，sinAOE  ， B C OA EE AE 3 3 20题（2）图2 ∴sin60° ，即  ． OA 2 OA ∴OA2cm，即O的半径为2cm． 方法3：连结OC、OA，作OE⊥AC 交AC 于点E（如图 2）． ∵O是等边三角形ABC的外心，也是△ABC的角平分线的交点， 1 1 ∴OAE 30°，AE  AC  2 3  3cm． 2 2 第 7 页 共 15 页AE 3 在Rt△AEO中，cosOAE  ，即cos30° ． OA OA 3 3 ∴  ． 2 OA ∴OA2cm，即O的半径为2cm． 方法 4：连结OC、OA，作OE⊥AC 交AC 于点E（如图2）． ∵O是等边三角形的外心，也是△ABC的角平分线的交点， 1 1 ∴OAE 30°，AE  AC  2 3  3cm． 2 2 在Rt△AEO中，设OE  xcm，则OA2xcm， ∵AE2 OE2 OA2， ∴( 3)2 x2 (2x)2． 解得x1． ∴OA2cm，即O的半径为2cm． ∴ O的周长为2πr ，即4πcm． 21．本小题主要考查概率等基本的概念，考查．满分12 分． （1）解法1：可画树状图如下： ①号盒子 红 白 蓝 号合 ②号盒子 白 蓝 红 蓝 红 白 号合 ③号盒子 蓝 白 蓝 红 白 红 号合 共6种情况． 解法2：3个小球分别放入编号为①、②、③的三个盒子的所有可能情况为：红白蓝、红蓝 白、白红蓝、白蓝红、蓝红白、蓝白红共6 种． （2）解：从（1）可知，红球恰好放入 2 号盒子的可能结果有白红蓝、蓝红白共 2种， 2 1 所以红球恰好放入2号盒子的概率P  ． 6 3 22．本小题主要考查图形的坐标、轴对称图形、尺规作图、一次函数等基础知识，考查用 待定系数法求函数解析式的基本方法，以及从平面直角坐标系中读图获取有效信息的能 力，满分12分． 解：（1）A(1，3)，B(4，2)； （2）解法1：∵直线MN 经过坐标原点， ∴设所求函数的关系式是y kx， 又点M 的坐标为（1，2）， 第 8 页 共 15 页∴k 2． ∴直线MN 所对应的函数关系式是y 2x． 解法 2：设所求函数的关系式是y kxb 则由题意得： b0，  kb2. 解这个方程组，得 k 2，  b0. ∴直线MN 所对应的函数关系式是y 2x． （3）利用直尺和圆规，作线段AB关于直线MN 的 对称图形AB，如图所示． 23．本小题主要考查建立二元一次方程组模型解决简单实际问题的能力，考查基本的代数计 算推理能力．满分12分． 解：（1）设启动活动前的一个月销售给农户的 I型冰箱和 II型冰箱分别为x，y台． x y 960， 根据题意得 x(130%) y(125%)1228. x560， 解得 y 400. ∴启动活动前的一个月销售给农户的 I型冰箱和 II型冰箱分别为560台和400台． （2）I型冰箱政府补贴金额：2298560(130%)13%217482.72元， II 型冰箱政府补贴金额：1999400(125%)13%129935元． ∴启动活动后第一个月两种型号的冰箱政府一共补贴金额： 217482.72129935347417.72≈3.5105元 ． 答：启动活动后第一个月两种型号的冰箱政府一共约补贴农户3.5105元． 24．本小题主要考查正方形、矩形、三角形全等等基础知识,考查计算能力、推理能力和空间观 念．满分14分． （1）证明1：在Rt△ADH 与Rt△ABF 中， ∵AD AB，DH  AG  AE  BF ， ∴Rt△ADH ≌ Rt△ABF ． ∴AF  AH ． 证明2：在Rt△AEF中，AF2  AE2 EF2． 第 9 页 共 15 页在Rt△AGH 中，AH2  AG2 GH2 ∵AG  AE，GH  EF ， ∴AF  AH ． （2）证明1：将△ADH 绕点A顺时针旋转90°到△ABM 的位置． 在△AMF 与△AHF中， ∵AM  AH，AF  AF， MAF MAH FAH 90°45°45°FAH ， ∴△AMF≌△AHF ． ∴MF  HF ． E A D ∵MF MBBF  HDBF  AG AE ， G H ∴(m2)4  m6 ． P 证明2：延长CB至点M ，使BM  DH ，连结AM ． 在Rt△ABM 与Rt△ADH 中， M C B F ∵AB AD，BM  DH ， 24题（2）图 ∴Rt△ABM ≌Rt△ADH ． ∴AM  AH，MABHAD． ∵FAH 45°， ∴BAF DAH BADFAH 90°45°45°． ∴MAF MABBAF HADBAF 45°FAH ． ∴△AMF≌△AHF ． ∴MF  FH ． ∵MF MBBF  HDBF  AG AE ， ∴AG AE  FH ． （3）设BF  x，GB y，则FC 1x，AG 1 y．（0 x1，0 y1） 在Rt△GBF中，GF2  BF2 BG2  x2  y2． ∵Rt△GBF的周长为1， ∴BF BGGF  x y x2  y2 1． 即 x2  y2 1(x y)． 即x2  y2 12(x y)(x y)2． 整理得2xy2x2y10． （*） 求矩形EPHD的面积给出以下两种方法： 2x1 方法1：由（*）得y  ． ① 2(x1) ∴矩形EPHD的面积S  PH· EP  FC· AG (1x)(1 y) ② 第 10 页 共 15 页将①代入②得S (1x)(1 y)  2x1  (1x)  1   2(x1) 1 (1x) 2(x1) 1  ． 2 1 ∴矩形EPHD的面积是 ． 2 1 方法2：由（*）得(x y)xy  ， 2 ∴矩形EPHD的面积S  PH· EP  FC· AG (1x)(1 y) 1(x y)xy 1 1 2 1  2 1 ∴矩形EPHD的面积是 ． 2 25. 本小题主要考查二次函数、解直角三角形等基础知识，考查运算能力、推理能力和空间观 念．满分14分． 解：（1）设点A(x，0)，B(x，0)，其中x  x ． 1 2 1 2 ∵抛物线y  x2  pxq过点C(0，1)， ∴102 P0q． ∴q1． ∴y  x2  px1． ∵抛物线y  x2  pxq与x轴交于A、B两点， ∴x，x 是方程x2  px10的两个实根． 1 2 p 求 的值给出以下两种方法： 方法1：由韦达定理得：x x p，x x 1． 1 2 1 2 第 11 页 共 15 页5 ∵△ABC的面积为 ， 4 1 5 1 5 ∴ · OCAB ，即 1(x x ) ． 2 4 2 2 1 4 5 ∴x x  ． 2 1 2 25 ∴(x x )2  ． 2 1 4 ∵(x x )2 (x x )2 4x x ， 2 1 2 1 1 2 25 ∴(x x )2 4x x  ． 2 1 1 2 4 25 ∴(p)2 4 ． 4 3 解得 p ． 2 ∵ p0， 3 ∴ p ． 2 3 ∴所求二次函数的关系式为y  x2  x1． 2 p p2 4 p p2 4 方法2：由求根公式得x  ，x  ． 1 2 2 2 p p2 4 p p2 4 AB x x    p2 4． 2 1 2 2 5 ∵△ABC的面积为 ， 4 1 5 1 5 ∴ · OCAB ，即 1(x x ) ． 2 4 2 2 1 4 1 5 ∴ 1 p2 4  ． 2 4 25 ∴ p2 4 ． 4 3 解得 p ． 2 ∵ p0， 3 ∴ p ． 2 3 ∴所求二次函数的关系式为y  x2  x1． 2 第 12 页 共 15 页3 1 （2）令x2  x10，解得x  ，x 2． 2 1 2 2  1  ∴A   ，0 ，B(2，0)．  2  2 1 5 在Rt△AOC 中，AC2  AO2 OC2    12  ， 2 4 在Rt△BOC中，BC2  BO2 OC2 22 12 5，  1 5 ∵AB 2     ，  2 2 y 5 25 ∴AC2 BC2  5  AB2． 4 4 ∴ACB90°． ∴△ABC是直角三角形． ∴Rt△ABC 的外接圆的圆心是斜边AB的中点． 5 y AB 5 4 ∴Rt△ABC 的外接圆的半径r   ． A O B x 2 4 5 C y ∵垂线与△ABC的外接圆有公共点， 4 5 5 25题（2）图 ∴ ≤m≤ ． 4 4 3 （3）假设在二次函数y  x2  x1的图象上存在点D，使得四边形ACBD是直角梯形． 2  3  ①若AD∥BC ，设点D的坐标为 x，x2  x 1 ，x 0，  0 0 2 0  0 过D作DE⊥x轴，垂足为E，如图1所示． y 求点D的坐标给出以下两种方法： 方法1：在Rt△AED中， 3 x2  x 1 DE 0 2 0 tanDAE   ， AE  1 x     0  2 D OC 1 A O BE x 在Rt△BOC中，tanCBO  ， C OB 2 ∵DAE CBO， 25题（3）图1 ∴tanDAE tanCBO． 第 13 页 共 15 页3 x2  x 1 0 2 0 1  ∴ ．  1 2 x     0  2 4x2 8x 50． 0 0 5 1 解得x  或x  ． 0 2 0 2 ∵x 0， 0 5 5 3 ∴x  ，此时点D的坐标为 ， ． 0 2 2 2 45 3 而AD2  AE2 ED2   BC2，因此当AD∥BC 时在抛物线 y  x2  x1上存在 4 2 5 3 点D  ， ，使得四边形DACB是直角梯形． y 2 2 D 方法2：在Rt△AED与Rt△BOC中，DAE CBO， ∴Rt△AED∽Rt△BOC． DE OC ∴  ． AE OB 3 x 0 2  2 x 0 1  1 F A C O B x ∴ ．  1 2 x     0  2 25题（3）图2 以下同方法1．  3  ②若AC∥BD，设点D的坐标为 x，x2  x 1 ，x 0，  0 0 2 0  0 过D作DF⊥x轴，垂足为F ，如图2所示． 3 x2  x 1 在Rt△DFB中， DE 0 2 0 ， tanDBF   FB 2x 0 OC 1 tanCAO  2 在Rt△COA中， OA 1 ， 2 ∵DBF CAO， ∴tanDBF tanCAO． 第 14 页 共 15 页3 x2  x 1 ∴ 0 2 0 ． 2 2x 0 2x2 x 100． 0 0 5 解得x  或x 2． 0 2 0 ∵x 0， 0 5  5  ∴x  ，此时D点的坐标为  ，9 ． 0 2  2  3  5  此时BD AC ，因此当AC∥BD时，在抛物线y  x2  x1上存在点D   ，9 ，使得 2  2  四边形DACB是直角梯形． 3 综上所述，在抛物线y  x2  x1上存在点D，使得四边形DACB是直角梯形，并且点 2 5 3  5  D的坐标为 ， 或  ，9 ． 2 2  2  第 15 页 共 15 页