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2008 年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2008•广州）计算（﹣2）3所得结果是（ ）
A﹣6 B 6 C ﹣8 D 8
． ． ． ．
2．（3分）（2008•广州）将图按顺时针方向旋转90°后得到的是（ ）
A B C D
． ． ． ．
3．（3分）（2008•广州）下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（ ）
A B C D
． ． ． ．
4．（3分）（2008•广州）若a与b互为相反数，则下列式子成立的是（ ）
Aa﹣b=0 B a+b=1 C a+b=0 D ab=0
． ． ． ．
5．（3分）（2008•广州）方程x（x+2）=0的根是（ ）
Ax=2 B x=0 C x =0，x =﹣2 D x =0，x =2
1 2 1 2
． ． ． ．
6．（3分）（2008•广州）一次函数y=3x﹣4的图象不经过（ ）
A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
． ． ． ．
7．（3分）（2008•广州）下列说法正确的是（ ）
A“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨
．
B “抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上
．
C “彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定会中奖
．
D抛一枚正方体骰子朝正面的数为奇数的概率是0.5“表示如果这个骰子抛很多很多次，那么平均每2次就有1次出
．现朝正面的数为奇数
8．（3分）（2008•广州）把下列每个字母都看成一个图形，那么中心对称图形有（ ）
A1个 B 2个 C 3个 D 4个
． ． ． ．9．（3分）（2008•广州）如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那
么新正方形的边长是（ ）
A B 2 C D
． ． ． ．
10．（3分）（2008•广州）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P，Q，R，S，如图所示，则他们的体重大小关系是（
）
AP＞R＞S＞Q B Q＞S＞P＞R C S＞P＞Q＞R D S＞P＞R＞Q
． ． ． ．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）（2008•广州） 的倒数是 ________ _ ．
12．（3分）（2008•广州）如图，∠1=70°，若m∥n，则∠2= ________ _ 度．
13．（3分）（2008•广州）函数y= 中的自变量x的取值范围是 ________ _ ．
14．（3分）（2008•广州）将线段AB平移1cm，得到线段A′B′，则点A到点A′的距离是 ________ _ cm．
15．（3分）（2008•广州）命题“圆的直径所对的圆周角是直角”是 ________ _ 命题．（填“真”或“假”）
16．（3分）（2008•广州）对于平面内任意一个凸四边形ABCD，现从以下四个关系式①AB=CD；②AD=BC；
③AB∥CD；④∠A=∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是 ________ _ ．
三、解答题（共9小题，满分102分）
17．（9分）（2008•广州）分解因式：a3﹣ab2．
18．（9分）（2008•广州）小青在九年级上学期的数学成绩如下表所示：
测验类别平时 期中期末
测验1考试考试测验2测验3课题学习成绩 88 72 98 86 90 85
（1）计算该学期的平时平均成绩；
（2）如果学期的总评成绩是根据图所示的权重计算，请计算出小青该学期的总评成绩．
19．（10分）（2008•广州）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简： ．
20．（10分）（2008•广州）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E．
求证：四边形AECD是等腰梯形．
21．（12分）（2008•广州）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A、B两点
（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；
（2）求出两函数解析式；
（3）根据图象回答：当 为何值时，
一次函数的函数值大于反比例函数的函数值
22．（12分）（2008•广州）2008年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30千米远的郊区进
行抢修．维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点．已知抢修车的速度
是摩托车速度的1.5倍，求两种车的速度．
23．（12分）（2008•广州）如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且 ．
（1）求证：AC=AE；（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求
证：EF平分∠CEN．
24．（14分）（2008•广州）如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是 上异于A、B的动点，过点C
作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
（2）当点C在 上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；
（3）求证：CD2+3CH2是定值．
25．（14分）（2008•广州）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，
∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿
直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米．
（1）当t=4时，求S的值；
（2）当4≤t≤10，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．2008 年广东省广州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2008•广州）计算（﹣2）3所得结果是（ ）
A﹣6 B 6 C ﹣8 D 8
． ． ． ．
考点： 有理数的乘方．
1405379
分析： 本题考查有理数的乘方运算，（﹣2）3表示3个（﹣2）的乘积．
解答： 解：（﹣2）3=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）=﹣8．
故选C．
点评： 本题考查了乘方运算，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂仍为负数．
2．（3分）（2008•广州）将图按顺时针方向旋转90°后得到的是（ ）
A B C D
． ． ． ．
考点： 生活中的旋转现象．
1405379
专题： 操作型．
分析： 根据旋转的意义，找出图中眼，眉毛，嘴5个关键处按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案．
解答： 解：根据旋转的意义，图片按顺时针方向旋转90度，即正立状态转为顺时针的横向状态，从而可确定为A
图．
故选A．
点评： 本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．
3．（3分）（2008•广州）下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（ ）
A B C D
． ． ． ．
考点： 几何体的展开图．
1405379
分析： 根据三棱柱的展开图的特点作答．
解答： 解：A、是三棱柱的平面展开图；
B、是三棱锥的展开图，故不是；
C、是四棱锥的展开图，故不是；
D、两底在同一侧，也不符合题意．
故选A．
点评： 熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．
4．（3分）（2008•广州）若a与b互为相反数，则下列式子成立的是（ ）Aa﹣b=0 B a+b=1 C a+b=0 D ab=0
． ． ． ．
考点： 相反数．
1405379
分析： 此题依据相反数的概念及性质求值．
解答： 解：∵a与b互为相反数，
∴a+b=0．
故选C．
点评： 此题主要考查相反数的概念及性质．
相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
5．（3分）（2008•广州）方程x（x+2）=0的根是（ ）
Ax=2 B x=0 C x =0，x =﹣2 D x =0，x =2
1 2 1 2
． ． ． ．
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
1405379
专题： 压轴题；因式分解．
分析： 本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
解答： 解：x（x+2）=0，
x=0或x+2=0，
解得x =0，x =﹣2．
1 2
⇒故选C．
点评： 本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解
法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
6．（3分）（2008•广州）一次函数y=3x﹣4的图象不经过（ ）
A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
． ． ． ．
考点： 一次函数的性质．
1405379
分析： 根据k、b的值确定一次函数y=3x﹣4的图象经过的象限．
解答： 解：k=3＞0，图象过一三象限；b=﹣4＜0，图象过第四象限，
∴一次函数y=3x﹣4的图象不经过第二象限．
故选B．
点评： 本题考查一次函数的k＞0，b＜0的图象性质．
7．（3分）（2008•广州）下列说法正确的是（ ）
A“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨
．
B “抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上
．
C “彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定会中奖
．
D抛一枚正方体骰子朝正面的数为奇数的概率是0.5“表示如果这个骰子抛很多很多次，那么平均每2次就有1次出
．现朝正面的数为奇数
考点： 概率的意义．
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分析： 根据概率的意义作答．
解答： 解：A、应该是降雨的可能性有80%，而不是有80%的时间降雨，错误；
B、每次试验都有随机性，2次就有1次出现正面朝上，不一定发生，错误；
C、当购买彩票的次数不断增多时，中奖的频率逐渐稳定1%附近，错误；
D、正确．
故选D．
点评： 本题考查了概率的意义，概率只是反映事件发生的可能性的大小．
8．（3分）（2008•广州）把下列每个字母都看成一个图形，那么中心对称图形有（ ）A1个 B 2个 C 3个 D 4个
． ． ． ．
考点： 中心对称图形．
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分析： 根据中心对称图形的定义和各字母的特点即可求解．
解答： 解：由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，则有字母O、I是中心对称图形．故选B．
点评： 本题考查了中心对称图形的概念：
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中
心．
9．（3分）（2008•广州）如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那
么新正方形的边长是（ ）
A B 2 C D
． ． ． ．
考点： 正方形的性质；算术平方根．
1405379
专题： 几何综合题；压轴题．
分析：
本题中阴影部分可分割成一个小正方形和一个等腰梯形，S阴=12+ •2=5，即重新拼成的正方形的面积为
5，则此正方形的边长为 ，答案选C．
解答： 解：∵阴影部分由一个小正方形和一个等腰梯形组成
∴S阴影=1×1+ （1+3）×2=5
∵新正方形的边长2=S阴影 ∴新正方形的边长=
故选C．
点评： 本题考查了不规则图形的面积的求解方法：割补法．本题中阴影部分可分割成一个小正方形和一个等腰梯
形．
10．（3分）（2008•广州）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P，Q，R，S，如图所示，则他们的体重大小关系是（
）
AP＞R＞S＞Q B Q＞S＞P＞R C S＞P＞Q＞R D S＞P＞R＞Q
． ． ． ．
考点： 一元一次不等式组的应用．
1405379
专题： 压轴题；图表型．
分析：
由三个图分别可以得到 ，而Q+S＞Q+P，代入第三个式子得到P+R＞Q+P，所以R＞Q．所以它们
的大小关系为S＞P＞R＞Q．
解答： 解：观察前两幅图易发现S＞P＞R，再观察第一幅和第三幅图可以发现R＞Q．
故选D．
点评： 本题考查了不等式的相关知识，利用“跷跷板”的不平衡来判断四个数的大小关系，体现了“数形结合”的数学思想．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）（2008•广州） 的倒数是 ．
考点： 实数的性质．
1405379
专题： 计算题．
分析： 由于互为倒数的两个数的乘积为1，由此即可求解．
解答： 解：∵乘积为1的数互为倒数，
∴ 得倒数为 ．
故本题的答案是 ．
点评： 本题考查了倒数的概念和分母有理化，比较简单．
12．（3分）（2008•广州）如图，∠1=70°，若m∥n，则∠2= 7 0 度．
考点： 平行线的性质；对顶角、邻补角．
1405379
专题： 计算题．
分析： 由两直线平行，同位角相等可知，∠2的对顶角等于∠1，所以∠2的大小也与∠1相等，为70度．
解答： 解：∵m∥n，
∴∠2=∠3=70°，
∴∠1=∠3=70°．
故填70．
点评： 本题主要考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；对顶角相等．
13．（3分）（2008•广州）函数y= 中的自变量x的取值范围是 x≠ 1 ．
考点： 函数自变量的取值范围；分式的定义；分式有意义的条件．
1405379
分析： 该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x﹣1≠0，解得x的范围．
解答： 解：根据题意得：x﹣1≠0
解得：x≠1．
点评： 本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．
14．（3分）（2008•广州）将线段AB平移1cm，得到线段A′B′，则点A到点A′的距离是 1 cm．
考点： 平移的性质．
1405379专题： 压轴题．
分析： 根据题意，画出图形，由平移的性质直接求得结果．
解答：
解：在平移的过程中各点的运动状态是一样的，现在将线段平移1cm，则每一点都平移1cm，即AA′=1cm，
∴点A到点A′的距离是1cm．
点评： 本题考查了平移的性质：由平移知识可得对应点间线段即为平移距离．学生在学习中应该借助图形，理解掌
握平移的性质．
15．（3分）（2008•广州）命题“圆的直径所对的圆周角是直角”是 真 命题．（填“真”或“假”）
考点： 圆周角定理．
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专题： 压轴题．
分析： 根据半圆对的圆心角是180°，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到圆周角是90°，所以命题是正确的．
解答： 解：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此，直径所对的圆周角是直角．
∴是真命题．
点评： 本题考查了圆周角的相关知识，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此，直径所对的圆周
角是直角．
16．（3分）（2008•广州）对于平面内任意一个凸四边形ABCD，现从以下四个关系式①AB=CD；②AD=BC；
③AB∥CD；④∠A=∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是 ．
考点： 概率公式；平行四边形的判定．
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专题： 压轴题．
分析： 本题是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．
解答： 解：从四个条件中选两个共有六种可能：①②、①③、①④、②③、②④、③④，
其中只有①②、①③和③④可以判断ABCD是平行四边形，所以其概率为 = ．
点评： 用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平
行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
三、解答题（共9小题，满分102分）
17．（9分）（2008•广州）分解因式：a3﹣ab2．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
1405379
专题： 计算题；压轴题．
分析： 先提取公因式a，再根据平方差公式进行两次分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
解答： 解：a3﹣ab2，
=a（a2﹣b2），
=a（a+b）（a﹣b）．
点评： 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后还能运用平方差公式继续分解因式．
18．（9分）（2008•广州）小青在九年级上学期的数学成绩如下表所示：
测验类别平时 期中期末
测验1考试考试测验2测验3课题学习
成绩 88 72 98 86 90 85
（1）计算该学期的平时平均成绩；
（2）如果学期的总评成绩是根据图所示的权重计算，请计算出小青该学期的总评成绩．考点： 加权平均数；统计表；扇形统计图．
1405379
专题： 图表型．
分析： 根据平均数和加权平均数的概念求解．
解答：
解：（1）平时平均成绩= =86；
（2）小青该学期的总评成绩=86×10%+90×30%+85×60%=86.6．
点评： 本小题主要考查平均数、权重、加权平均数等基本的统计概念，考查从统计表和统计图中读取有效信息的能
力．
19．（10分）（2008•广州）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简： ．
考点： 二次根式的性质与化简；实数与数轴．
1405379
专题： 压轴题．
分析： 本题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉算术平方根的定义．
解答： 解：由数轴知，a＜0，且b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴ ，
=|a|﹣|b|﹣[﹣（a﹣b） ，
=（﹣a）﹣b+a﹣b，
=﹣2b． ]
点评： 本小题主要考查利用数轴表示实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等基础知识，考查基本的
代数运算能力．
观察数轴确定a、b及a﹣b的符号是解答本题的关键，本题巧用数轴给出了每个数的符号，渗透了数形结合
的思想，这也是中考时常考的知识点．
本题考查算术平方根的化简，应先确定a、b及a﹣b的符号，再分别化简 ，
最后计算 ．
20．（10分）（2008•广州）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E．
求证：四边形AECD是等腰梯形．
考点： 等腰梯形的判定．
1405379
专题： 证明题．
分析：
先证四边形AECO是梯形，再说明是等腰梯形．由题意知∠CAE= ∠DAB=30°，
得∠E=90°﹣30°=60°=∠DAB，又由菱形中DC∥AB，AD不平行CE得证．
解答： 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，即DC∥AE，
又∵AD不平行EC，
∴四边形AECD是梯形，
∵四边形ABCD是菱形，
∵∠BAD=60°，
∴∠BAC= ∠BAD=30°
又∵CE⊥AC
∴∠E=∠BAD=60°
则梯形AECD是等腰梯形．
点评： 命题意图：
①检验学生对等腰梯形判定方法的掌握情况．
②将等腰梯形问题与菱形相结合，在考核学生梯形知识的同时又考查了菱形有关性质．
③学生在证明四边形为等腰梯形时，常直接找所需条件：同一底上的两底角相等或两条腰相等，而常忽略﹣
关键要素：已经证明该四边形为梯形了吗？
21．（12分）（2008•广州）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A、B两点
（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；
（2）求出两函数解析式；
（3）根据图象回答：当 为何值时，
一次函数的函数值大于反比例函数的函数值
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
1405379
专题： 压轴题；数形结合；待定系数法．
分析： （1）直接由图象就可得到A（﹣6，﹣2）、B（4，3）；
（2）把点A、B的坐标代入两函数的解析式，利用方程组求出k、b、m的值，即可得到两函数解析式；
（3）结合图象，分别在第一、二象限求出一次函数的函数值＞反比例函数的函数值的x的取值范围．
解答： 解：（1）由图象得A（﹣6，﹣2），B（4，3）．（4分）
（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，
把A、B点的坐标代入得
解得 ，
所以一次函数的解析式为y= x+1，
设反比例函数的解析式为y= ，把A点坐标代入得 ，解得a=12，
所以反比例函数的解析式为 ．（4分）（3）当﹣6＜x＜0或x＞4时一次函数的值＞反比例函数的值．（2分）
点评： 本类题目主要考查一次函数、反比例函数的图象和性质，考查待定系数法求函数解析式的基本方法，以及从
平面直角坐标系中读图获取有效信息的能力，考查数形结合的数学思想，另外，还需灵活运用方程组解决相
关问题．
22．（12分）（2008•广州）2008年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30千米远的郊区进
行抢修．维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点．已知抢修车的速度
是摩托车速度的1.5倍，求两种车的速度．
考点： 分式方程的应用．
1405379
专题： 行程问题．
分析：
设摩托车速度是x千米/时，则抢修车的速度是1.5x千米/时；路程都是30千米；由时间= ，两车同时到达
抢修点，所用时间相等，利用这个条件建立等量关系，列方程．
解答： 解法1：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时．
根据题意得：
即
即
∴x=40
经检验，x=40是原分式方程的根．
∴1.5x=1.5×40=60
答：摩托车的速度为40千米/时，抢修车的速度为60千米/时．
解法2：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时．
根据题意得：
两边同乘以6x去分母，得180=120+1.5x
即1.5x=60
∴x=40
经检验，x=40是原分式方程的根，
∴1.5x=1.5×40=60，
答：摩托车的速度为40千米/时，抢修车的速度为60千米/时．
点评： 本小题主要考查建立分式方程模型解决简单实际问题的能力，考查基本的代数式计算推理能力．找到合适的
等量关系是解决问题的关键．
23．（12分）（2008•广州）如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且 ．
（1）求证：AC=AE；
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求
证：EF平分∠CEN．考点： 圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
1405379
专题： 作图题；证明题．
分析： （1）作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．证△APO≌△AQO，由BC=CD，得CP=EQ后得证；
（2）同AC=AE得∠ECM=∠CEN，由CE=EF得∠FCE=∠FEC= ∠MCE= ∠CEN得证．
解答： 证明：（1）作OP⊥AM于P，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．
∵ ，
∴BC=DE，
∴BP=DQ，
又∵OB=OD，
∴△OBP≌△ODQ，
∴OP=OQ．
∴BP=DQ=CP=EQ．
直角三角形APO和AQO中，
AO=AO，OP=OQ，
∴△APO≌△AQO．
∴AP=AQ．
∵CP=EQ，
∴AC=AE．
（2）∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC．
∴∠ECM=∠CEN．
由于AF是CE的垂直平分线，
∴CF=EF．
∴∠FCE=∠FEC= ∠MCE= ∠CEN．因此EF平分∠CEN．
点评： 本题主要考查圆、等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线、尺规作图等基础知识，考查几何推理能力和空
间观念．
24．（14分）（2008•广州）如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是 上异于A、B的动点，过点C
作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
（2）当点C在 上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；
（3）求证：CD2+3CH2是定值．
考点： 矩形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；圆的认识．
1405379
专题： 几何综合题；压轴题．
分析：（1）连接OC，容易根据已知条件证明四边形ODCE是矩形，然后利用其对角线互相平分和DG=GH=HE可以
知道四边形CHOG的对角线互相平分，从而判定其是平行四边形；
（2）由于四边形ODCE是矩形，而矩形的对角线相等，所以DE=OC，而CO是圆的半径，这样DE的长度不
变，也就DG的长度不变；
（3）过C作CN⊥DE于N，设CD=x，然后利用三角形的面积公式和勾股定理用x表示CN，DN，HN，再利用
勾股定理就可以求出CD2+3CH2的值了．
解答： （1）证明：连接OC交DE于M．
由矩形得OM=CM，EM=DM．
∵DG=HE．
∴EM﹣EH=DM﹣DG．
∴HM=GM．
∴四边形OGCH是平行四边形．
（2）解：DG不变．
在矩形ODCE中，∵DE=OC=3．
∴DG=1．
（3）证明：设CD=x，则CE= ．过C作CN⊥DE于N．由DE•CN=CD•EC得CN= ．
∴ ．
∴HN=3﹣1﹣ ．
∴3CH2=3[（ ）2+（ ）2 =12﹣x2．
∴CD2+3CH2=x2+12﹣x2=12． ]
点评： 本小题主要考查圆、矩形、平行四边形、直角三角形等基础图形的性质与判定，考查计算能力、推理能力和空
间观念．
25．（14分）（2008•广州）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，
∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿
直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米．
（1）当t=4时，求S的值；
（2）当4≤t≤10，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
考点： 等腰梯形的性质；二次函数综合题；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
1405379
专题： 代数几何综合题；压轴题．
分析： （1）首先判定当t=4时，点B与点Q重合，点P与点D重合，则求△BDC的面积即可．
（2）分别从4≤t＜6与6≤t≤10去分析，求得各自的函数解析式，再分析各种情况下的最大值即可求得答案．
解答： 解：（1）当t=4时，CQ=4cm，
过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
∵AE=DF= cm，∠AEB=∠DFC=90°，AB=CD，
∴△ABE≌△DFC，
∴BE=CF，
∵EF=AD=2cm，BC=4cm，
∴BE=CF=1cm，
∴点D与点P重合，
∴S = BC•DF= ×4× =2 （cm2）；
△BDC
（2）当4≤t＜6时，P在线段AD上，作KH⊥QH，过点M作MN⊥BC于N，
∵∠Q=30°，∠1=60°，
∴∠2=∠1﹣∠Q=30°，
∠3=∠2=30°，∴QB=BM=QC﹣BC=t﹣4，
∵∠R=∠Q=30°，∠DCB=∠ABC=60°，
∴∠CKR=∠DCB﹣∠R=30°=∠R，
∴KC=CR=6﹣t，
∴HK=KC•sin60°= （6﹣t）
∴同理：MN= （t﹣4），
∴S=S ﹣S ﹣S = QR•PG﹣ BQ•MN﹣ CR•KH
△PQR △BQM △CRK
= ×6× ﹣ × （t﹣4）2﹣ × （6﹣t）2=﹣ t2+5 t﹣10 ，
∵a=﹣ ＜0，开口向下，
∴S有最大值，
当t=﹣ =5时，S最大值为 ；
当6≤t≤10时，P在线段DA的延长线上，
∵∠1=60°，∠2=30°，
∴∠3=90°
∴RC=t﹣6，BR=4﹣RC=4﹣（t﹣6）=10﹣t，
∴TB= BR= ，TR= BR= （10﹣t），
∴S= TB•TR= × × （10﹣t）= t2﹣ t+ ，
当a＞0时，开口向上，﹣ =10，
∴t=6时，S最大值为2 ；
综上，t=5时，S最大值为 ．
点评： 本小题主要考查等腰三角形、等腰梯形、解直角三角形、二次函数等基础知识，考查运算能力、推理能力和空
间观念．
