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江苏省徐州市2021年中考数学真题与答案解析
一、单选题
1．－3 的相反数是（ ）
A．3 B．－3 C． D．
2．下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙两个不透明的袋子中各有三种颜色的糖果若干，这些糖果除颜色外无其他差
别．具体情况如下表所示．
袋子 糖
红色 黄色 绿色 总计
果
甲袋 2颗 2颗 1颗 5颗
乙袋 4颗 2颗 4颗 10颗
若小明从甲、乙两个袋子中各随机摸出一颗糖果，则他从甲袋比从乙袋（ ）
A．摸出红色糖果的概率大 B．摸出红色糖果的概率小
C．摸出黄色糖果的概率大 D．摸出黄色糖果的概率小
5．第七次全国人民普查的部分结果如图所示．
试卷第1页，总3页根据该统计图，下列判断错误的是（ ）
A．徐州0－14岁人口比重高于全国 B．徐州15－59岁人口比重低于江苏
C．徐州60岁以上人口比重高于全国 D．徐州60岁以上人口比重高于江苏
6．下列无理数，与3最接近的是（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，将二次函数 的图像向左平移2个单位长度，再向上平
移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之
比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
二、填空题
9．我市2020年常住人口约9080000人，该人口数用科学记数法可表示为________人．
10．49的平方根是_____.11．因式分解：x2－36= _________．
12．为使 有意义，则x的取值范围是_________．
13．若 是方程 的两个根，则 _________．
14．如图， 是 的直径，点 在 上，若 ，则
_________°．
15．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长 为 ，
扇形的圆心角 ，则圆锥的底面圆半径 为__________ ．
16．如图，在 中，点 分别在边 上，且 ，
与四边形 的面积的比为__________．
试卷第3页，总3页17．如图，点 分别在函数 的图像上，点 在 轴上．若四边形
为正方形，点 在第一象限，则 的坐标是_____________．
18．如图，四边形 与 均为矩形，点 分别在线段 上．若
，矩形 的周长为 ，则图中阴影部分的面积为
___________ ．
三、解答题
19．计算：
（1）
（2）
20．（1）解方程：
（2）解不等式组：
21．如图， 为 的直径，点 在 上， 与 交于点 ，
，连接 ．求证：（1） ；
（2）四边形 是菱形．
22．如图，将一张长方形纸片 沿 折叠，使 两点重合．点 落在点 处．
已知 ， ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）求线段 的长．
23．某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得
某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？
24．如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，
分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入
口 处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空
隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入
下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．
试卷第5页，总3页25．某市近年参加初中学业水平考试的人数（以下简称“中考人数”）的情况如图所
示．
根据图中信息，解决下列问题：
（1）这11年间，该市中考人数的中位数是______________万人；
（2）与上年相比，该市中考人数增加最多的年份是____________年；
（3）下列选项中，与该市2022年中考人数最有可能接近的是（ ）
A. 12.8万人 ； B. 14.0万人；C. 15.3万人
（4）2019年上半年，该市七、八、九三个年级的学生总数约为（ ）
A. 23.1万人；B. 28.1万人；C. 34.4万人
（5）该市2019年上半年七、八、九三个年级的数学教师共有4000人，若保持数学教
师与学生的人数之比不变，根据（3）（4）的结论，该市2020年上半年七、八、九三
个年级的数学教师较上年同期增加多少人（结果取整数）？
26．如图，点 在函数 的图像上．已知 的横坐标分别为－2、4，直线
与 轴交于点 ，连接 ．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）求 的面积；（3）若函数 的图像上存在点 ，使得 的面积等于 的面积的一半，
则这样的点 共有___________个．
27．如图，斜坡 的坡角 ，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．
前排光伏板的一端位于点 ，过其另一端 安装支架 ， 所在的直线垂直于水
平线 ，垂足为点 为 与 的交点．已知 ，前排光伏板的坡
角 ．
（1）求 的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点 的太阳光线与 所成的角 ．后排光伏板
的前端 在 上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则 的
最小值为多少（结果取整数）？参考数据：
三角函数锐角
13° 28° 32°
0.22 0.47 0.53
0.97 0.88 0.85
0.23 0.53 0.62
试卷第7页，总3页28．如图1，正方形 的边长为4，点 在边 上（ 不与 重合），连接
．将线段 绕点 顺时针旋转90°得到 ，将线段 绕点 逆时针旋转
90°得到 ．连接 ．
（1）求证：
① 的面积 ；
② ；
（2）如图2， 的延长线交于点 ，取 的中点 ，连接 ，求 的
取值范围．参考答案
1．A
【分析】
根据相反数的定义，直接得到答案即可．
【详解】
解：－3 的相反数是：3，
故选A．
【点睛】
本题主要考查求相反数，掌握相反数的定义，是解题的关键．
2．D
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义对选项逐一分析即可
【详解】
A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B.是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D. 是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意
故选D
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，了解轴对称图形和中心对称图形的定义是
解题的关键．
3．A
【分析】
根据幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法法则对选项逐一判断即可
【详解】
A. ，符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，不符合题意故选A
【点睛】
本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，熟悉以上运算法
则是解题的关键．
4．C
【分析】
分别对甲乙两个袋子的红色及黄色的糖果的概率进行计算，再去比较即可．
【详解】
解：P（甲袋摸出红色糖果） ，
P（甲袋摸出黄色糖果） ，
P（乙袋摸出红色糖果） ，
P（乙袋摸出黄色糖果） ，
∴P（甲袋摸出红色糖果）=P（乙袋摸出红色糖果），故A，B错误；
P（甲袋摸出黄色糖果）>P（乙袋摸出黄色糖果），故D错误，C正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了简单概率的计算，掌握概率公式并能灵活掌握是解题关键．
5．D
【分析】
根据题目中的条形统计图对四个选项依次判断即可．
【详解】
解：根据题目中的条形统计图可知：
徐州0－14岁人口比重高于全国，A选项不符合题意；
徐州15－59岁人口比重低于江苏，B选项不符合题意；
徐州60岁以上人口比重高于全国，C选项不符合题意；
徐州60岁以上人口比重低于江苏，D选项符合题意．故选：D．
【点睛】
本题考查条形统计图的分析，正确从条形统计图中读取数据是解题关键．
6．C
【分析】
先比较各个数平方后的结果，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵32=9，( )2=6，( )2=7，( )2=10，( )2=11，
∴与3最接近的是 ，
故选C．
【点睛】
本题主要考查无理数的估计，理解算术平方根与平方的关系，是解题的关键．
7．B
【分析】
先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵ 的顶点坐标为（0，0）
∴将二次函数 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物
线的顶点坐标为（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为 ，
故选B
【点睛】
本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右
减，上加下减”，是解题的关键．
8．C
【分析】
设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即
可求解．【详解】
解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，
∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，
∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，
∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积= =2x2，
∴9πx2÷2x2= ，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形
的面积，是解题的关键．
9．9.08×106
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤a＜10且n为正整数．
【详解】
9080000=9.08×106，
故答案为：9.08×106
【点睛】
本题考查了科学记数法，关键是要准确确定a及n的值．
10．±7
【详解】
∵（±7）2=49，∴49的平方根是±7.
故答案为±7
【点睛】
如果个一个数x的平方等于a，即x2=a,那么这个数x叫做a的平方根.正数a有两个平方根，
它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
11．（x＋6）（x－6）
【分析】
根据平方差公式解答即可．
【详解】
解：x2－36=（x＋6）（x－6）；
故答案为：（x＋6）（x－6）．
【点睛】
本题考查了多项式的因式分解，属于基础题目，掌握平方差公式是解答的关键．
12．x≥1
【详解】
试题分析：根据二次根式的被开方数为非负数，可知x-1≥0，解得x≥1．
考点：二次根式
13．-3
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】
解：∵ 是方程 的两个根，
∴ ，
故答案是：-3．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握 是一元二次方程 的
两个根，则 ，是解题的关键．14．
【分析】
由同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为90°然后根据三角形内角和即可求出
的度数．
【详解】
∵ ，
∴ ，
又∵AB是直径，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
此题考查了同弧所对圆周角的性质和直径所对圆周角的性质，解题的关键是熟练掌握同弧
所对圆周角的性质和直径所对圆周角的性质．
15．2
【分析】
结合题意，根据弧长公式，得圆锥的底面圆周长；再根据圆形周长的性质计算，即可得到
答案．
【详解】
∵母线长 为 ，扇形的圆心角
∴圆锥的底面圆周长
∴圆锥的底面圆半径
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了弧长、圆周长的知识；解题的关键是熟练掌握弧长计算的性质，从而完成求解．16．
【分析】
先证明 ，再根据相似三角形的性质，即可得到 ，进而即可
求解．
【详解】
解：∵ ，
∴
∴
∵∠B=∠B，
∴ ，
∴
∴ 与四边形 的面积的比= ．
故答案是： ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是
解题的关键．
17．（2，3）
【分析】
根据正方形和反比例函数图像上点的坐标特征，设D点坐标为（m， ），则A点坐标为（ ， ），进而列出方程求解．
【详解】
解：∵四边形 为正方形，
∴设D点坐标为（m， ），则A点坐标为（ ， ），
∴m-（ ）= ，解得：m=±2（负值舍去），
经检验，m=2是方程的解，
∴D点坐标为（2，3），
故答案是：（2，3）．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与平面几何的综合，掌握反比例函数图像上点的坐标特征，是解
题的关键．
18．
【分析】
根据矩形性质和矩形周长，得到 ，然后设 ，然后根据列出代数式
即可求解阴影部分面积．
【详解】
∵矩形 的周长为 ，
∴ ，
设 ，则 ， ， ，，
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，和列代数式及整式的化简，关键是读懂题目，列出代数式．
19．（1）1；（2）
【分析】
（1）先算绝对值，零指数幂，立方根和负整数指数幂，再算加减法，即可求解；
（2）先算分式的加法，再把除法化为乘法，进行约分，即可求解．
【详解】
解：（1）原式=
=1；
（2）原式=
=
= ．
【点睛】
本题主要考查分式的混合运算以及实数的混合运算，掌握分式的通分和约分以及零指数幂
和负整数指数幂，是解题的关键．
20．（1） ， ；（2）
【分析】
（1）根据分解因式法求解一元二次方程，即可得到答案；
（2）根据一元一次不等式组的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵∴
∴ ， ；
（2）∵
∴
∴
∴ ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方
程、一元一次不等式组的解法，从而完成求解．
21．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由已知条件根据全的三角形的判定即可证明；
（2）首先根据平行四边形的判定证明四边形 是平行四边形，然后根据一组邻边相
等的平行四边形是菱形即可证明．
【详解】
解：（1）在 和 中，
∵ ，
∴ ；
（2）∵ 为 的直径，
∴ ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ∥ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴四边形 是菱形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质、菱形的判定、圆的基础知识，掌握全等三角形的判
定和特殊平行四边形的判定是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）根据矩形的性质可得 ,则 ,因为折叠， ，
即可得证；
（2）设 用含 的代数式表示 ，由折叠， ，再用勾股定理求解即可
【详解】
（1） 四边形 是矩形
因为折叠，则
是等腰三角形
（2） 四边形 是矩形
,设 ，则
因为折叠，则 ， ,
在 中
即
解得：
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识
点是解题的关键．
23．50
【分析】
该商品打折卖出x件，找到等量关系即可．
【详解】
解：该商品打折卖出x件
解得x=8
经检验： 是原方程的解，且符合题意
∴商品打折前每件 元
答：该商品打折前每件50元．
【点睛】
此题考查分式方程实际问题中的销售问题，找到等量关系是解题的关键．
24．
【分析】
根据题意画出树状图，共有8种等可能的路径，其中落入③号槽内的有3种路径，再由概率公式求解即可.
【详解】
画树状图得：
所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号槽内
的概率为 .
【点睛】
树状图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，当一个事件涉及三个或更多元素时，
为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法．
25．（1）7.6；（2）2020；（3）C；（4）C；（5）721
【分析】
（1）先把11个数据进行排序，再根据中位数的定定义，求解即可；
（2）先算出相邻两年增加的人数，进而即可得到答案；
（3）根据2021年与2020年中考人数的差，即可推出2022年中考人数；
（4）通过2019年中考，2021年中考， 2020年中考人数，即可得到答案；
（5）先算出2020年上半年学生人数，再根据比例求出求出2020年数学教师人数，进而即
可得到增加的教师人数．
【详解】
解：（1）∵11个数据从大到小排列：13.7，11.6，10.3，9.1，8.6，7.6，7.4，6.8，6.6，
6.2，6.1，
∴中位数为：7.6，
故答案是：7.6；
（2）∵6.6-6.1=0.5，7.4-6.6=0.8，9.1-7.4=1.7，11.6-9.1=2.5，13.7-11.6=2.1，
∴该市中考人数增加最多的年份是2020年，
故答案是：2020；
（3）∵2021年与2020年中考人数相差2.1万，∴2022年与2021年中考人数相差约2.1万，
∴2022年中考人数为15.3万人最合适，
故选C；
（4）∵2019年七年级同学在2021年中考，八年级同学在2020年中考，
∴2019年上半年，七八九年级总人数为：9.1+11.6+13.7=34.4（万）
故选C；
（5）由题意得：2020年上半年学生人数约为11.6+13.7+15.3=40.6，
∴ （人）
答：该市2020年上半年七、八、九三个年级的数学教师较上年同期增加721人．
【点睛】
本题主要考查折线统计图，中位数，通过折线统计图，准确提取数据，掌握中位数的定义，
是解题的关键．
26．（1）直线AB的解析式为： ；（2）6；（3）4
【分析】
（1）将 的横坐标分别代入 求出生意人y的值，得到A，B点坐标，再运用待
定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）求出OC的长，根据“ ”求解即可；
（3）分点P在直线AB的上方和下方两种情况根据分割法求解即可．
【详解】
解：（1）∵A，B是抛物线 上的两点，
∴当 时， ；当 时，
∴点A的坐标为（-2，1），点B的坐标为（4，4）
设直线AB的解析式为 ，把A，B点坐标代入得
解得，
所以，直线AB的解析式为： ；
（2）对于直线AB：
当 时，
∴
∴ = =6
（3）设点P的坐标为（ ， ）
∵ 的面积等于 的面积的一半，
∴ 的面积等于 =3，
①当点P在直线AB的下方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，
垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，
∵∴
整理，得，
解得， ，
∴在直线AB的下方有两个点P，使得 的面积等于 的面积的一半；
②当点P在直线AB的上方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，
垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，
∵
∴
整理，得，
解得， ，
∴在直线AB的上方有两个点P，使得 的面积等于 的面积的一半；
综上，函数 的图像上存在点 ，使得 的面积等于 的面积的一半，则
这样的点 共有4个，
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了运用待定系数法示直线解析式，二次函数与图形面积，注意在解决（3）问
时要注意分类讨论．27．（1） ；（2）
【分析】
（1）解Rt△ADF求出AF，再解Rt△AEF求出AE即可；
（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，解Rt△ADF求出DF，Rt△DFG
求出FG，得到AG，解Rt△AMN求出AM，根据AM-AE可求出结论．
【详解】
解：（1）在Rt△ADF中，
∴
=
=
=88cm
在Rt△AEF中，
∴
（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，
则
∴
在Rt△ADF中，在Rt△DFG中，
∴
∴AG=AF+FG=88+75.8=
∵AN⊥GD
∴∠ANG=90°
∴
在Rt△ANM中，
∴
∴
∴ 的最小值为
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．
28．（1）①见详解；②见详解；（2）4≤MN＜
【分析】
（1）①过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，证明 ，即可得到结论；
②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，证明 ，结合 ，
可得GD=EH，同理：FG=AH，从而得 ，进而即可得到结论；
（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，可得∠AMD=90°，MN= EF，HG= 2AD=8，EH+FG= AD=4，然后求出当点P与点D重
合时， EF最大值= ，当点P与AD的中点重合时，EF最小值= HG=8，进而即可得到
答案．
【详解】
（1）①证明：过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，
∵∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，
∴∠FPG=∠CPD，
又∵∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，
∴ （AAS），
∴FG=PD，
∴ 的面积 ；
②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，
∵∠EPH+∠PEH=90°，∠EPH +∠BPA=90°，∴∠PEH =∠BPA，
又∵∠PHE=∠BAP=90°，PB=PE，
∴ （AAS），
∴EH=PA，
由①得：FG=PD，
∴EH+FG=PA+PD=AD=CD，
由①得： ，
∴PG=CD，
∴PD+GD= CD= EH+FG，
∴FG+ GD= EH+FG，
∴GD=EH，
同理：FG=AH，
又∵∠AHE=∠FGD，
∴ ，
∴ ；
（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，
由（1）得： ，
∴∠HAE=∠GFD，
∵∠GFD+∠GDF=90°，
∴∠HAE+∠GDF=90°，
∵∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，
∴∠MAD+∠MDA=90°，∴∠AMD=90°，
∵点N是EF的中点，
∴MN= EF，
∵EH=DG=AP，AH=FG=PD，
∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，
当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，
此时EF最大值= ，
当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，
此时EF最小值= HG=8，
∴ 的取值范围是：4≤MN＜ ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅
助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．
