文档内容
高三数学试卷（理科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.复数 的虚部为（ ）
A.6 B.-6 C.8 D.-8
3.已知 为锐角， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.若圆M： （ ）与双曲线C： 的渐近线相切，则 （ ）
A.1 B.2 C. D.
5.2017年至2022年某省年生产总量及其增长速度如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A.2017年至2022年该省年生产总量逐年增加
B.2017年至2022年该省年生产总量的极差为14842.3亿元
C.2017年至2022年该省年生产总量的增长速度逐年降低
D.2017年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6%
6.已知数列 的通项公式为 ，若 为递增数列，则k的取值范围为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
7.如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.在等差数列 中， ， ，设 ，记 为数列 的前n项和，若 ，则
（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
9.已知函数 则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数 的定义域为 （ ），值域为 ，则 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
11. 如 图 ， 已 知 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 四 边 形 为 等 腰 梯 形 ， ，
，底面积为 ， 且 ，则四棱锥 外接球的表面
积为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
12.已知定义在 上的函数 ，其导数为 ，且满足 ，
， ，给出下列四个结论：
① 为奇函数；② ；③ ：④ 在 上单调递减.
其中所有正确结论的序号为（ ）
A.①② B.①③ C.②③④ D.①②④
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.若x，y满足约束条件 则 的最大值为_____________.
14.青团是江南人家在清明节吃的一道传统点心，某企业设计了一款青团礼盒，该礼盒刚好可以装 3个青团，
如图所示.若将豆沙馅、莲蓉馅、芝麻馅的青团各1个，随机放入该礼盒中，则豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻
的概率为_____________.
15.已知椭圆C： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为A，过 作 的垂
学科网（北京）股份有限公司线，与y轴交于点P，若 ，则椭圆C的离心率为____________.
16.已知P是正六边形 边上任意一点，且 ， ，则 __________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
某企业近年来的广告费用x（百万元）与所获得的利润y（千万元）的数据如下表所示，已知y与x之间具
有线性相关关系.
年份 2018 2019 2020 2021 2022
广告费用x/百万元 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
利润y/千万元 1.6 2 2.4 2.5 3
（1）求y关于x的线性回归方程：
（2）若该企业从2018年开始，广告费用连续每一年都比上一年增加10万元，根据（1）中所得的线性回
归方程，预测2025年该企业可获得的利润.
参考公式： ， .
18.（12分）
在 中，已知 ，D为 上一点， ， ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的面积.
19.（12分）
如图，在三棱柱 中，所有棱长均相等， ， ， .
（1）证明； ⊥平面 .
学科网（北京）股份有限公司（2）若二面角 的正弦值
20.（12分）
已知F是抛物线C： （ ）的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，且A，B到直线
的距离之和等于 .
（1）求C的方程；
（2）若l的斜率大于 0，A在第一象限，过 F与l垂直的直线和过 A与x轴垂直的直线交于点 D，且
，求l的方程。
21.（12分）
已知函数 ，曲线 在 处的切线的斜率为 .
（1）求a的值：
（2）证明：当 时， .
（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分.
22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数），曲线 的参数方程为
（t为参数）.
（1）写出 及 的普通方程；
（2）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 与 交点的极坐标.
23.［选修4-5；不等式选讲］（10分）
已知a，b，c均为正实数，且 ，证明：
（1） ；
（2）若 ，则 .
学科网（北京）股份有限公司高三数学试卷参考答案（理科）
1.B 当 时，满足 ；当 时，满足 ；当 时，不满足
.所以 .
2.C ，所以复数z的虚部为8.
3.B 因为 为锐角， ，所以 ， .
4.A 双曲线C的渐近线方程为 ，不妨取 ，点 到直线 的距离为 .因为
圆M与双曲线C的渐近线相切，所以 .
5.C 2017年至2022年该省年生产总量逐年增加，A正确.2017年至2022年该省年生产总量的极差为
亿元，B正确.2021年该省年生产总量的增长速度比2020年高，C错误.2017
年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6%，D正确.
6.D 结合二次函数的性质可得 解得 .
7.A 由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示， .
8.B 设 的公差为 d.因为 ，所以 ， ，则 ，
， .因为 ，所以 ，解得 .
学科网（北京）股份有限公司9.A 函数 在 上单调递减， 在 上单调递减，且 ，所以
在定义域 上单调递减.因为 ，所以 ，解得 .
10.D 当 时 ， . 由 题 意 可 得 ， 解 得
.
11.D 取 的中点为F.因为 ，面积为 ，所以梯形的高为 ，则 ，连
接 ，所以 为等边三角形，点F为梯形 外接圆的圆心.连接 ，在 中，根据余
弦 定 理 得 ， 所 以 . 因 为 ， ， 所 以
，所以 .因为 ，所以 平面 .过 的中点 F 作
交 于点O，则 平面 ，且O为 的中点，所以点O为 外接圆圆心，
所以O为四棱锥 外接球球心，所以外接球半径为 ，故表面积
.
12.D 令 ，得 ，所以 .
令 ，得 ，所以 为奇函数，故①正确.
学科网（北京）股份有限公司令 ，得 ，
所以 ， ，故③错误.
因为 ，所以 ，…， ，
所以 ，所以 ，故②正确.
当 时， ，所以 在 上单调递减，故④正确.
13.2 由题意，作出可行域（图略），数形结合可得当直线过点 时，z取得最大值，最大值为2.
14. 豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻，则芝麻馅的青团不能放在中间，其概率为 .
15. 设 ，则直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，直线 的方程为 .
令 ， 得 ， 即 . 设 O 为 坐 标 原 点 ， 因 为 | ， 所 以
，解得 .
16. 以正六边形 的中心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设 ，
分别交y轴于点G，H，则 ， ， ， ， ， ，
， .
设 ，则 ， ， .根据正
学科网（北京）股份有限公司六边形的对称性，不妨只研究点P位于y轴的左半部分的情况，分以下四种情形：
①当点P在 上时，则 ， ，则 ，不满足 .
②当点P在 上时，则 ， ，则 ，不满足 .
③当点P在 上时，直线 的方程为 ，则 ， .因为
，所以 ，解得 或 （舍去）， .
④ 当 点 P 在 上 时 ， 直 线 的 方 程 为 ， 则
，不满足 .
所 以 当 时 ， ， ， ， ，
， .
17.解：（1） ， .·······················2分
，·····································································4分
，·············································6分
，······································································7分
.······················································································8分
故所求的线性回归方程为 .···············································································9分
（2）由题可知，到2025年时广告费用为2.2百万元，故可预测该公司所获得的利润约为
（千万元）.···········································································································12分
学科网（北京）股份有限公司18.解：（1）在 中， ，所以 .·3
分
在 中， ， ，所以 .····························6分
故 .······························································································8分
（2）在 中，由余弦定理可得 ，
解得 ，·····································································································10分
则 .····························································································11分
故 的面积为 .··································································12分
19.（1）证明：设D为 的中点，连接 ， ， .
在 中，因为 ， ，所以四边形 是正方形.
因为 ，所以 是等腰直角三角形， .
因为 ，所以 平面 .·········································································4分
因为 平面 ，所以 .
在 中， ，O为 的中点，所以 .
因为 ，所以 平面 .······································································6分
（2）解：设三棱柱 的棱长为 ，以O为坐标原点， 的方向为x轴正方向，建立如图
所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， . ，
， .·······················································································7分
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，
则 可取 .··············································································8分
设平面 的法向量为 ，
则 可取 .
因为平面 平面 ，所以平面 的一个法向量为 .····························10分
， ，
故二面角 的正弦值为 .··············································································12分
20.解：（1）由题意得C的焦点为 ，准线为直线 ，···········································1分
则A，B到准线 的距离之和等于 .·······················································2分
因为 ，所以 ，且 ，得 .
故C的方程为 .·······································································································4分
（2）设l： （ ）， （ ）， ，
由 得 ，则 ····························································6分
学科网（北京）股份有限公司所以 .································································7分
设 ，由 ，得 ，即 ，·············9分
所以 .·····················································································10分
由 ，得 ，代入 ，得 ，即
.
故l的方程为 .······························································································12分
21.（1）解： ，
，解得 .···················································4分
（2）证明：结合（1）可得 ，即证 .···················································6分
设函数 ， .
当 时， ， 在 上单调递增，
.···············································································································8分
设函数 ， .
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
.···············································································································11分
学科网（北京）股份有限公司所以 ， 得证.···················································································12分
22.解：（1） ，即 .
，所以 ，所以 的普通方程为 （ ）.·····················2分
，即 .
因为 ，所以 ，所以 的普通方程为 （ ）.······5分
（2）联立 解得 或 或 ······································8分
与 交点的直角坐标为 ， ， .···················································9分
与 交点的极坐标为 ， ， .································································10分
注：第（1）问， 的普通方程中x的范围写成 ， 的普通方程中x的范围写成 不扣分；若
及 的普通方程没有给出x的范围，则扣1分.
第（2）问答案，交点的极坐标写成其他形式，只要符合题意，不扣分，如极坐标 写成 .
23.证明：（1）
······························································3分
，当且仅当 ，即 ， ， 时，等号成立·········5分
（2）因为 ，由（1）得 ，所以 .····································7分
因为 ，所以 ，
所以 .·············································································································10分
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