文档内容
高三数学试卷（文科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.复数 的虚部为（ ）
A.6 B C.8 D.
3.已知 为锐角， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.若圆 ： （ ）与双曲线 ： 的渐近线相切，则 （ ）
A.1 B.2 C. D.
5.2017年至2022年某省年生产总量及其增长速度如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A.2017年至2022年该省年生产总量逐年增加
B.2017年至2022年该省年生产总量的极差为14842.3亿元
C.2017年至2022年该省年生产总量的增长速度逐年降低
D.2017年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6％
6.已知数列 的通项公式为 ，若 为递增数列，则 的取值范围为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
7.如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.在等差数列 中， ， ，设 ，记 为数列 的前 项和，
若 ，则 （ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
9.已知函数 则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在 中， 是 的中点， 是 的中点，过点 作直线分别交 ， 于点 ，
，且 ， ，则 的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.
学科网（北京）股份有限公司11.将一个母线长为 ，底面半径为 的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的
表面积为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数 ，现给出下列四个结论：
① 的图象关于点 对称；
②函数 的最小正周期为 ；
③函数 在 上单调递减；
④对于函数 ， ， .
其中所有正确结论的序号为（ ）
A.①② B.①③ C.①③④ D.②③④
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.
13.曲线 在点 处的切线方程为______.
14.若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为______.
15.青团是江南人家在清明节吃的一道传统点心，某企业设计了一款青团礼盒，该礼盒刚好可以装3个青团，
如图所示.若将豆沙馅、莲蓉馅、芝麻馅的青团各1个，随机放入该礼盒中，则豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻
的概率为______.
学科网（北京）股份有限公司16.已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，过 作 的垂
线，与 轴交于点 ，若 ，则椭圆 的离心率为______.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
某企业近年来的广告费用 （百万元）与所获得的利润 （千万元）的数据如下表所示，已知 与 之间
具有线性相关关系
年份 2018 2019 2020 2021 2022
广告费用 /百万元 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
利润 /千万元 1.6 2 2.4 2.5 3
（1）求 关于 的线性回归方程；
（2）若该企业从2018年开始，广告费用连续每一年都比上一年增加10万元，根据（1）中所得的线性回
归方程，预测2025年该企业可获得的利润.
参考公式： ，
18.（12分）
在 中，已知 ， 为 上一点， ， ，且 .
（1）求 的值；
（2） 的面积.
19.（12分）
如图，在三棱柱 中，所有棱长均为1， ， ， .
学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ；
（2）求三棱柱 的体积.
20.（12分）
已知函数
（1）求 的最大值；
（2）证明：当 时， .
21.（12分）
已知 是抛物线 ： （ ）的焦点，过 的直线 与 交于 ， 两点，且 ， 到直线
的距离之和等于 .
（1）求 的方程；
（2）若 的斜率大于0， 在第一象限，过 与 垂直的直线和过 与 轴垂直的直线交于点 ，且
，求 的方程.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为
（ 为参数）.
（1）写出 及 的普通方程；
（2）以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 与 交点的极坐标.
23.［选修4—5：不等式选讲］（10分）
已知 ， ， 均为正实数，且 .证明：
（1） ；
学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，则 .
学科网（北京）股份有限公司高三数学试卷参考答案（文科）
1. A .
2. C ，所以复数 的虚部为8.
3. B 因为 为锐角， ，所以 ， .
4. A 双曲线 的渐近线方程为 ，不妨取 ，点 到直线 的距离为 .
因为圆 与双曲线 的渐近线相切，所以 .
5. C 2017年至2022年该省年生产总量逐年增加，A正确.2017年至2022年该省年生产总量的极差为
亿元，B正确.2021年该省年生产总量的增长速度比2020年高，C错误.2017
年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6%，D项正确.
6. D 结合二次函数的性质可得 ，解得 .
7. A 由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示， .
8. B 设 的公差为 .因为 ，
所以 ， ，则 ， ， .
因为 ，所以 ，解得 .
学科网（北京）股份有限公司9. A 函数 在 上单调递减， 在 上单调递减，且 ，
所以 在定义域 上单调递减.因为 ，所以 ，解得 .
10. A 因为 是 的中点，且 ， ，
所以 .因为 ， ， 三点共线，
所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
11. A 能制作的最大零件即为圆锥的内切球，如图，圆锥 内切球的半径等于 内切圆的半径，
设 内切圆的半径为 ，由 ，
得 ，则 ，
所以能制作的最大零件的表面积为 .
12. C ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，所以 的图象关于点 对称，①正确.
，
所以 的最小正周期不是 ，②错误.
当 时， ， ，所以
.
因为函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，即 在 上单调递减，③正确.
当 时， .
， ， ， .
，
所以 ，④正确.
13. 当 时， ，故点在曲线上. ， .
故切线方程为 .
14. 2 由题意，作出可行域（图略），数形结合可得当直线过点 时， 取得最大值，最大值为2.
学科网（北京）股份有限公司15. 豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻，则芝麻馅的青团不能放在中间，其概率为 .
16. 设 ，则直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，直线 的方程为 .
令 ，得 ，即 .设 为坐标原点，因为 ，所以
，解得 .
17.解：（1） ，
，
，
.
故所求的线性回归方程为 .
（2）由题可知，到2025年时广告费用为2.2百万元，
故可预测该公司所获得的利润约为3.3 （千万元）.
18.解：（1）在 中， ，
所以 .
在 中， ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 .故 .
（2）在 中，由余弦定理可得 ，
解得 ，
则 .
故 的面积为 .
19.（1）证明：设 为 的中点，连接 ， ， .
在 中，因为 ， ，
所以 是等边三角形，所以 是正方形.
因为 ， ，所以四边形 是正方形.
因为 ，所以 是等腰直角三角形， .
因为 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
在 中， ， 为 的中点，所以 .
因为 ，所以 平面 .
（2）解： .
学科网（北京）股份有限公司三棱柱 的体积为 .
20.（1）解： .
当 时， ，当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
.
所以 的最大值为0.
（2）证明：令函数 ， .
当 时， ， 在 上单调递增.
.
所以 ， 得证.
21.解：（1）由题意得 的焦点为 ，准线为直线 ，
则 ， 到准线 的距离之和等于 .
因为 ，所以 ，且 ，得 .
故 的方程为 .
（2）设 ： （ ）， （ ）， ，
由 得 ，则
所以 .
设 ，由 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，所以 .
由 ，得 ，代入 ，
得 ，即 .
故 的方程为 .
22.解：（1） ，即 .
，所以 ，
所以 的普通方程为 （ ）
，
即 .
因为 ，所以 ，
所以 的普通方程为 （ ）.
（2）联立 解得 或 或
与 交点的直角坐标为 ， ， .
与 交点的极坐标为 ， ， .
23.证明：（1）
，
当且仅当 ，即 ， ， 时，等号成立.
学科网（北京）股份有限公司（2）因为 ，由（1）得 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
学科网（北京）股份有限公司
