文档内容
铜川市 2024 年高三年级第三次模拟考试
数学（文科）试题
注意事项：
1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2.若复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.设函数 在区间 单调递减，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6.已知圆 经过点 ，则其圆心到原点的距离的最大值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
7.如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱
靶，则其命中9环的概率为（ ）A. B. C. D.
8.已知函数 ，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为
C. 在区间 上单调递增 D.
9.设 的内角满足 ，则“ 是锐角三角形”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.已知原点为 ，椭圆 与直线 交于 两点，线段 的中点为
，若直线 的斜率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11.在正方体 中， 分别为 的中点，若 ，则平面 截正
方体所得截面的面积为（ ）
A. B. C. D.
12.若函数 有两个极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某校高一年级甲，乙两名同学8次历史测试（100分制）成绩如茎叶图所示，则甲，乙两名同学成绩的
中位数之和为__________.
14.已知点 为 外接圆的圆心，且 ，则 __________.
15.已知函数 是定义域为 的偶函数，且 为奇函数，写出函数 的一个解析式为
__________.
16.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，
并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单
的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形
是边长为2的正方形，且 均为正三角形 ，则该木楔子的外接球
的表面积为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
已知数列 满足： .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求正整数 的最大值.
18.（本小题满分12分）
学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲､乙作为代表进行决赛.
决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得-5分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获
得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为 ，各项目的比赛结果相互独立.甲､乙获得冠军的概率分别记为 .
（1）求甲教师总得分为0分的概率；
（2）判断甲､乙获得冠军的实力是否有明显差别（若 ，则认为甲､乙获得冠军
的实力有明显差别，否则认为没有明显差别.）.
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥 的底面是正方形， 平面 ，点 是 的中点， 是线段 上靠
近 的三等分点， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
20.（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
21.（本小题满分12分）
过抛物线 焦点 的直线 交 于 两点，若直线 垂直于 轴，则 的面积
为2，其中 为原点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）抛物线 的准线上是否存在点 ，使得当 时， 的面积为 .若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
（二）选考题：共10分.考生从22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）设 是曲线 上的两点，且 ，求 面积的最大值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）记函数 的最小值为 ，若正数 满足 ，证明： .铜川市 2024 年高三年级第三次模拟考试
数学（文科）试题参考答案及评分标准
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1.D 【解析】 ，即 的取值范围为 .故选D项.
2.A 【解析】复数 .
3.A 【解析】易知 ，令 ，解得 ，故 ，即 ，从而
，从而 的焦点坐标为 .故选A项.
4.D 【解析】设 ，则其对称轴为 ，抛物线开口向下，
是减函数， 要使 在区间 单调递减，则 在区间 单调递增，即
，即 ，故实数 的取值范围是 .故选D项.5.A 【解析】 ，
.故选A.
6.C 【解析】由圆 经过点 ，可得 ，即
，故圆心 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，又
圆心到原点的距离的最大值为 .
7.A 【解析】设中心10环圆的半径为 ，则射击靰所在大圆的半径为 ，面积为 ；环所
在圆环的面积为 ，故所求概率为 .
8.C 【解析】依题意 ，则函数 的最大值为 ，最小值正周期为 ，从而
可排除 选项.
，即 ，故 在区间 上不可能
单调递增，应选C项.
为偶函数，从而
，从而可排除D选项.
9.A 【解析】 是锐角三角形，则 ，于是 ，即充分
性得证；当 时，满足 ，但 不是锐角三角形，必要性不成立.
10.B 【解析】设 ，则 ，则 两式相减可得 ，
，即 ，即 ，故 .
11.D 【解析】如图，过点 作 的平行线交 于点 ，过点 作 的平行线交 于点 ，过点
作 的平行线交 于点 ，易知点 都在截面 内，且都是其所在棱的中点，从而所得
截面是边长为 的正六边形，所求面积 .故选D.
12.B 【解析】 ，
令 ，得 .
令 ，则 .
令 ，则 ，即 ，即 .
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.
，
又当 时， ；当 时， ，当 时，方程 有两个正根，从而函数 有两个极值点.
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.167 【解析】由茎叶图知：甲数据为 ，乙数据为
，所以甲，乙两组数据的中位数分别为 ，故中位数
之和为 .
14. 【解析】由 ，得 ，由 为 外接圆的圆心，得
，如图，结合向量加法的几何意义知，四边形 为菱形，且 ，故
.故 .
15. （答案不唯一） 【解析】由 为偶函数，知 的图象关于 轴对称；
由 为奇函数，知 的图象关于点 中心对称，
据此构造函数 ，则 是偶函数； 为奇函数，符合题
意.
16. 【解析】如图，分别过点 作 的垂线，垂足分别为 ，连接 ，
则 ，故 .
取 的中点 ，连接 ，
又 ，则 .由对称性易知，过正方形 的中心 且垂直于平面 的直线必过线段 的中点 ，且所求
外接球的球心 在这条直线上，如图.
设球 的半径为 ，则 ，且 ，
从而 ，即 ，
当点 在线段 内（包括端点）时，有 ，可得 ，
从而 ，即球心 在线段 的中点，其半径 .
当点 在线段 外时， ，解得 （舍）.
故所求外接球的表面积为 .
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个
试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.解：（1）当 时， ，
当 时， ，
，
两式相减，得 ，
，
显然 也符合上式，
数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，，
解得 .
正整数 的最大值为15.
18.解：（1） 甲教师总得分为0分，
甲教师在三个项目比赛中赢一项输两项.
所求概率为 .
（2）不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为 ，
则教师甲获得冠军的概率
，
则教师乙获得冠军的概率 ，
，
，
甲､乙获得冠军的实力没有明显差别.
19.解：（1）证明：如图，连接 交 于点 ，连接 ，
四边形 是正方形， 为 中点，
是 中点， ，
平面 平面 平面 .
（2） 平面 .
又四边形 是正方形， .
又 平面 .
又 平面 .点 是 的中点， .
又 平面 .
又 平面 .
又易知 .
.
.
又 是线段 上靠近 的三等分点，
，
.
设点 到平面 的距离为 ，则 ，解得 .
点 到平面 的距离为 .
20.解：（1）：当 时， ，
，
，
所求切线方程为 ，即 .（2） ，
，
令 ，则 ，
当 时，易知 ，
单调递增， .
当 ，即 时， ，
函数 单调递增，即 ，符合题意.
当 ，即 时， ，
又当 时， ，
.
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，不符合题意.
综上，实数 的取值范围为
21.解：（1）根据抛物线概念易知 ，
直线 垂直于 轴，
不妨设 ，代入 ，可得 ，
.
，解得 .
抛物线 的方程为 .
（2）由（1）易知抛物线 的准线方程为 ，设点 ，
当直线 的斜率等于0时，不符合题意；
故可设直线 的方程为： ，
联立 消去 得 ，
，得 ，
由韦达定理得 ，
，
，
.
，
原点 到直线 的距离 ，
，解得 .
.
存在点 ，符合题目要求.（二）选考题：共10分.考生从22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.解：（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数），
消去参数 可得 ，即 ，
又由
可得 ，
曲线 的极坐标方程为 .
（2）由（1）易知曲线 的标准方程为 ，
曲线 是以 为圆心，半径为5的圆，且过原点 ，
又 过圆心，且 为直角三角形.
.
，当 时，等号成立.
面积的最大值为25.
23.解：（1）
不等式 等价于 或 或
解得 或 或 .
不等式 的解集为 .
（2）由（1）易知 ，即 ，方法一：
当且仅当 时，等号成立.
方法二： ，
即 ，
当且仅当 ，等号成立.
