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2023年高考考前押题密卷（上海卷）
数学•全解全析
一、填空题
1．已知集合 ， ，若 ，则实数a的取值范围为
___________．
【答案】
【分析】由条件根据补集的定义求 ，再根据子集的定义列不等式求a的取值范围．
【解析】因为 ，
所以 或 ，
又 ， ，
所以 ，
所以a的取值范围为 .
故答案为： .
2．已知 是奇函数，则实数 __________．
【答案】2
【分析】利用奇函数的定义 代入函数式，化简即可求出所要的 值.
【解析】由题意得 ，所以 ，解得 ．
3．已知函数 ， ，则函数 的值域为______．
【答案】
【分析】根据 的范围，得 的范围，数形结合可得 的范围，从而
可得函数 的值域.
！
1
学科网（北京）股份有限公司【解析】当 时， ，
则 ，所以 ，
所以函数 的值域为 .
故答案为：
4．已知实数a，b满足 ，则 的最小值是__________.
【答案】
【分析】先判断出 ，且 .令 ，利用判别式法求出 的
最小值.
【解析】因为实数a，b满足 ，
所以 ，且 .
令 ，则 ，所以 ，
代入 ，则有 ，
所以关于b的一元二次方程 有正根，
只需 ，解得： .
此时，关于b的一元二次方程 的两根 ，所以两根同号，
只需 ，解得 .
综上所述： .
即 的最小值是 （此时 ，解得： ）.
故答案为： .
25．若直线 与圆 相切，则实数 _________．
【答案】 或
【分析】利用几何法列方程即可求解.
【解析】圆 可化为 .
因为直线 与圆 相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即 ，
解得： 或7.
故答案为： 或
lim f (ℎ +1)−f (1)
6．已知函数 ，则ℎ→0 =______．
2ℎ
【答案】 微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
【分析】求出导函数，建立 与 的方程，求出 ，利用极限的运算及导数
的定义求解即可.
【解析】当 时， ，所以 ，
又 ，
则 ，解得 ，
lim f (ℎ +1)−f (1) lim f (ℎ +1)−f (1)
1 1
由定义可知，ℎ→0 = ℎ→0 = f′(1)=5.
2ℎ 2 (ℎ +1)−1 2
故答案为：5
7．已知样本容量为5的样本的平均数为3，方差为 ，在此基础上获得新数据9，把
新数据加入原样本得到样本容量为6的新样本，则该新样本的方差为______．
【答案】8
【分析】根据均值公式与方差公式计算．
【解析】记原来的数据为 ，新增数据为 ，
！
3
学科网（北京）股份有限公司由题意 ，
，
，
则 ，
，
所以新方差为 ．
故答案为：8.
8．已知点 ，若 ，则
__________.
【答案】
【分析】结合平面向量的坐标运算可得 ，进而可得 ，
结合二倍角公式及同角三角函数关系化简 即可求解.
【解析】因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
4即 ，
所以 ，
即 ，
所以
.
故答案为： .
9．在我校运动会期间，为了各项赛事的顺利进行，学生会组织了5个志愿服务小组，
前往3个比赛场地进行志愿服务.若每个场地至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服
务小组只能在1个场地进行服务，并且甲小组不去比赛场地A，则不同的分配方法种
数为_________.
【答案】100 微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
【分析】根据分组分配方法，结合两种计数原理即可得答案.
【解析】5人分成3组有两种方案：“ ”、“ ”共有 种方法
分组方法，
3组分配到3个场地，甲小组不去比赛场地A，有 种方法；
根据乘法原理不同的分配方法数为： .
故答案为：100.
10．在三棱锥 中，平面 平面 ， 是等边三角形且 ，
三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，若球 的体积为 ，则三棱锥
体积的最大值为______.
【答案】
！
5
学科网（北京）股份有限公司【分析】先利用条件求出球的半径和 外接圆的半径，由条件知，要使三棱锥
体积取到最大值，则点 在底面上的投影为 的中点，再利用球的截面圆的
性质建立等量关系，从而求 到底面的最大距离，进而求出最大体积.
【解析】设球的 ，因为球 的体积为 ，所以 ，得到
如图，设 的外接圆的圆心为 ，外接圆的半径为 ，球心为 ，又因为
是等边三角形且 ，
由正弦定理知， ，所以 ，
因为平面 平面 ，由面面垂直的性质知，点 在底面上的投影在 上，
因为三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，要使三棱锥 体积取到最
大值，则点 在底面上的投影为 的中点，
连接 并延长交 于 ，连 ，因为 为等边三角形，所以 为 的中点，
即有 面 ，又易知 平面 ，所以 ,
易知 ，又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
，所以 平面 ，
过 作 面 于 ，由球的截面圆的性质知，点 在 上，所以
所以四边形 为矩形，故 ，
在等边三角形 中， ，所以 ，
6所以 ，
故
所以三棱锥 体积的最大值为 ，
故答案为： .
11．已知数列 满足：对于任意 有 ，且 ， ，
其中 .若 ，数列 的前 项和为 ，则 _________.
【答案】
【分析】对 求导，可证得 是以 为首项，1为公差的等差数列，
可求出 ，再由并项求和法求出 .
【解析】因为 ，则
，
由 ， ，可得 ，
，所以 是以 为首项，1为公差的等差数列，
所以 ， ， ，则 ，
所以 ，
所以
.
！
7
学科网（北京）股份有限公司故答案为：
12．已知定义在R上的偶函数 满足 .若 ，且 在
单调递增，则满足 的x的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由题意可知， 是周期为 的周期函数， 的最小正周期为8，结
合 与 的单调性，易知在一个周期内，由 ，可得
，再结合周期求出范围即可.
【解析】因为 是偶函数，所以 ，
由 ，可得 关于 对称，
因为 ，所以 ，
则 ，
因为 是偶函数，所以 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
所以函数 是周期为 的周期函数.
因为 是偶函数，且在 单调递增，所以 在 单调递减，
令 中 ，则 ，则 ，
又因为 关于 对称，所以 在 上单调递增， 上单调递减，
结合函数 是周期为 的周期函数，
8综上可得 在 ， 上单调递增， ， 上单调递减.
因为 的最小正周期为 ，结合 图象可知，
在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
令 中 ，则 ，则 ，
当 ，又 ，所以 ，
当 ，又 ，所以 ，
所以当 时， ，解得 .
又因为 与 均为周期函数，且8均为其周期，
所以 的x的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题解题的关键是求出 与 的周期性，由 ，
，结合函数的单调性和周期性求解即可.
二、单选题
13．复数z满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 在复平面内对应的点位于第四象限 D．
【答案】D 微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
【分析】由复数除法可得 ，再根据复数的运算和共轭复数、复数对应的点、
！
9
学科网（北京）股份有限公司模的定义判断选项.
【解析】由 可得 ，
所以 ，故A错误；
由 知 ，故B错误；
在复平面内对应的点 位于第三象限，故C错误；
由 知 ，故D正确.
故选：D
14．已知 ，若 ， ，则p是q的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据不等式的解法和指数函数的额性质，分别求得集合 ，结合充分条件、
必要条件的判定方法，即可求解.
【解析】由不等式 ，可得 ，解得 或 ，
即命题 为真命题时，构成集合 或 ，
又由 ，根据指数函数的图象与性质，可得 ，
即命题 为真命题时，构成集合
所以 是 的既不充分也不必要条件.
故选：D.
15．已知菱形 ， ， 为边 上的点（不包括 ），将
沿对角线 翻折，在翻折过程中，记直线 与 所成角的最小值为 ，最大值为
（ ）
A． 均与 位置有关 B． 与 位置有关， 与 位置无关
C． 与 位置无关， 与 位置有关 D． 均与 位置无关
10【答案】C
【分析】数形结合，作 // ，利用线面垂直得到 ，然后找到异面直线所
成角 ，并表示 ，通过讨论点 位置得到结果.
【解析】作 // 交 于点 ，分别取 的中点
连接 ，如图，
由翻折前该四边形为菱形，且 ，所以 为等边三角形
同时 点在 上，由 平面
所以 平面 ,又 // ，所以 平面 ，所以
直线 与 所成角即直线 与 所成角，该角为
所以 ,由点 不与 重合，
所以当点 翻折到与点 重合时， 最小， 为最小与点 位置无关；
当没有翻折时， 最大， 最大，则 最大，与点 位置有关
故选：C
16．在圆锥 中，已知高 ，底面圆的半径为4， 为母线 的中点；根据圆
锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下
面四个命题，正确的个数为
①圆的面积为 ；
②椭圆的长轴为 ；
！
11
学科网（北京）股份有限公司③双曲线两渐近线的夹角正切值为
④抛物线中焦点到准线的距离为 .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据点 是母线的中点，求出截面圆的半径即可判断①；由勾股定理求出椭
圆长轴可判断②；建立坐标系，求出 的关系可判断③；建立坐标系，求出抛物线方
程，可判断④.
【解析】① 点 是母线的中点， 截面的半径 ，因此面积 ，故①
正确；
②由勾股定理可得椭圆的长轴为 ，故②正确；
③在与底面、平面 的垂直且过点 的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标
准方程为 ，则 ，即 ，把点 代入可得 ，
解得 ，设双曲线两渐近线的夹角为 ， ，③不正确；
④建立直角坐标系，不彷设抛物线的标准方程为 ,把点 代入可得
，解得 ， 抛物线中焦点到准线的距离 为 ，④不正确，
故选B .
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查圆锥的性质、椭圆的性质、双曲
线的性质，抛物线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热
点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更
要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌
握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
三、解答题 微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
17．如图，在三棱锥 中， ，O为AC
12的中点．
(1)证明： ⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角 为 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形三线合一得到 ，由勾股定理逆定理得到
，从而证明出线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设 ，利用空间向量及二面角列出
方程，求出答案.
【解析】（1）在 中， ，O为AC的中点．
则中线 ，且 ；
同理在 中有 ，则 ；
因为 ，O为AC的中点．
所以 且 ；
在 中有 ，则 ，
因为 ， 平面ABC，
所以 ⊥平面ABC．
（2）由（1）得 ⊥平面ABC，故建立如图所示空间直角坐标系 ，
！
13
学科网（北京）股份有限公司则 ，
设 ，则 ，
而 ，
，
，
设平面PAM的一个法向量为 ，
由 得， ，
令 ，
又x轴所在直线垂直于平面PAC，
∴取平面PAC的一个法向量 ，
，
平方得 ，令 ，
，
14．
18．在 中，点D在边 上，且 ．
(1)若 平分 ，求 的值；
(2)若 成递增的等比数列， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用余弦定理求出 的关系，再运用正弦定理求解；
（2）运用余弦定理求出AB，BC的值，再求出 ，用面积公式计算即可.
【解析】（1）
设 ，则 ，
因为 平分 ，所以 ，设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
由 ，得 ，
；
（2）因为 成递增的等比数列， ，所以 ，
在 中， ，
！
15
学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
因为 ，所以 ，整理得
，
又 ，所以 ，解得 或 ，
若 ，则 ，不符合题意，
若 ，则 ，符合题意，此时 ，
则 的面积 .
19．某网站计划4月份订购草莓在网络销售，每天的进货量相同，成本价为每盒15元.
假设当天进货能全部售完，决定每晚七点前（含七点）售价为每盒20元，每晚七点后
售价为每盒10元.根据销售经验，每天的购买量与网站每天的浏览量（单位：万次）有
关.为确定草莓的进货量，相关人员统计了前两年4月份（共60天）网站每天的浏览量
（单位：万次）、购买草莓的数量（单位：盒）以及达到该流量的天数，如下表所示：
每天的浏览量
每天的购买量 300 900
天数 36 24
以每天的浏览量位于各区间的频率代替浏览量位于该区间的概率.
(1)求4月份草莓一天的购买量 （单位：盒）的分布；
(2)设4月份销售草莓一天的利润为 （单位：元），一天的进货量为 （单位：盒），
为正整数且 ，当 为多少时， 的期望达到最大值，并求此最大值.
【答案】(1)分布列见解析
(2)当 时 的期望达到最大值， .
【分析】（1）依题意 的可能取值为 、 ，求出所对应的概率，即可得到概率
分布列；
16（2）依题意可得 的可能取值为 或 ，求出所对应的概率，即可得到
【解析】（1）依题意 的可能取值为 、 ，
则 ， ，
所以 的分布列为
（2）当一天的进货量为 （单位：盒）， 为正整数且 时利润 的可能
取值为 或 ，
且 ， ，
所以 ，
显然 随着 的增大而减少，所以当 时 的期望达到最大值，
.
20．已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上， 、 分别为左、右焦点，椭圆的一个
顶点与两焦点构成等边三角形，且 .
(1)求椭圆方程；
(2)对于 轴上的某一点 ，过 作不与坐标轴平行的直线 交椭圆于 、 两点，若存
在 轴上的点 ，使得对符合条件的 恒有 成立，我们称 为 的一个配
对点，求证：点 是左焦点 的配对点；
(3)根据（2）中配对点的定义，若点 有配对点 ，试问：点 和点 的横
坐标应满足什么关系，点 的横坐标 的取值范围是什么？并说明理由.
！
17
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)证明见解析
(3) ， 的取值范围是
【分析】（1）根据已知条件求得 ，从而求得椭圆方程.
（2）设 ，设出直线 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，通
过计算 来证得结论成立.
（3）根据 求得 的取值范围，设出直线 的方程并与椭圆方程联立，化
简写出根与系数关系，由 求得 与 的关系.
【解析】（1）由于椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
（2）由（1）得 ，由于 在椭圆内，
所以，过 且与坐标轴不平行的直线 与椭圆必有两个交点，
设此时直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ，
18设 ，则 ，
设 ，
所以
，
所以 ，所以 ，
所以点 是左焦点 的配对点.
（3）依题意，点 有配对点 ，
设直线 的方程为 ，由于 ，
所以 必须在 之间，而 在椭圆上，结合椭圆的对称性以及直线 与坐标轴不
平行，
可知 的取值范围是 .
此时 在椭圆的内部，直线 必与椭圆有两个交点，
由 消去 并化简得 ，
设 ，则 ，
由于 ，所以 ，
！
19
学科网（北京）股份有限公司即
，
所以 .
【点睛】在圆锥曲线中，求解角度相等的题（ ），可转化为斜率问题来
进行求解，联立直线的方程和圆锥曲线的方程，化简写出根与系数关系后的解题关键
点一个是运算要准确，另一个是利用方程的思想来进行求解.
21．已知函数 .
(1)若函数 为增函数，求 的取值范围；
(2)已知 .
（i）证明： ；
（ii）若 ，证明： .
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）分析可得原题意等价于 对 恒成立，构建 ，
20利用导数求最值结合恒成立问题运算求解；
（2）（i）取 ，根据题意分析可得 ，构建 ，结
合导数证明 即可；
（ii）根据题意分析可得 ， ， ，构建
，结合导数证明 ，即可得结果.
【解析】（1）∵ ，则 ，
若 是增函数，则 ，
且 ，可得 ，
故原题意等价于 对 恒成立，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上递增，在 递减，故 ，
∴ 的取值范围为 .
（2）（i）由（1）可知：当 时， 单调递增，
∵ ，则 ，即 ，
整理得 ，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
！
21
学科网（北京）股份有限公司则 在 上递减，在 递增，
故 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
令 ，可得 ，
故 ；
（ii）∵ ，则 ，
可知 有两个不同实数根 ，由（1）知 ，
可得 ，
同理可得 ，
构建 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
且 ，故 对 恒成立，
故 在 上单调递减，
∵ ，则 ，即 ，
且 ，则 ，故 ，
可得 ；
又∵ ，由（i）可得 ，即 ，
则 ，
且 ，则 ，
可得 ；
22综上所述： .
可得 ，则
故 .
【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形．
(2)构造新的函数h(x)．
(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右
两端两个函数的最值问题．
！
23
学科网（北京）股份有限公司24
