文档内容
2021 年北京市中考数学试卷
一､选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱
2. 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务． 年，中央财政累计投入“全
面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数
法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，点 在直线 上， ．若 ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A. B. C. D.
5. 实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知 ．若 为整数且 ，则 的值为
（ ）
A. 43 B. 44 C. 45 D. 46
8. 如图，用绳子围成周长为 的矩形，记矩形的一边长为 ，它的邻边长为 ，矩形的面积为 ．
当 在一定范围内变化时， 和 都随 的变化而变化，则 与 与 满足的函数关系分别是（ ）
A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，反比例函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系
二､填空题（共16分，每题2分）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是_______________．
10. 分解因式： ______________．
11. 方程 的解为______________．
12. 在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则 的
值为______________．
13. 如图， 是 的切线， 是切点．若 ，则 ______________．14. 如图，在矩形 中，点 分别在 上， ．只需添加一个条件即可证明四边形
是菱形，这个条件可以是______________（写出一个即可）．
15. 有甲､乙两组数据，如表所示：
甲 11 12 13 14 15
乙 12 12 13 14 14
的
甲､乙两组数据 方差分别为 ，则 ______________ （填“＞”，“＜”或“＝”）．
16. 某企业有 两条加工相同原材料的生产线．在一天内， 生产线共加工 吨原材料，加工时间为
小时；在一天内， 生产线共加工 吨原材料，加工时间为 小时．第一天，该企业将5
吨原材料分配到 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到 生
产线的吨数与分配到 生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果
分配了5吨原材料后，又给 生产线分配了 吨原材料，给 生产线分配了 吨原材料．若两条生产线都
能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 的值为______________．
三､解答题（共68分，第17－20题，每题5分，第21－22题，每题6分，第23题5分，第
24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明､演算
步骤或证明过程．17. 计算： ．
18. 解不等式组：
19. 已知 ，求代数式 的值．
20. 《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 处立一根杆，
在地面上沿着杆的影子的方向取一点 ，使 两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在
点 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 处的杆的影子的方向取一点 ，使 两点间的距离为10
步，在点 处立一根杆．取 的中点 ，那么直线 表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作
的中点 （保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线 表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断
直线 表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在 中， ______________， 是 的中点，
（______________）（填推理的依据）．
∵直线 表示的方向为东西方向，
的
∴直线 表示 方向为南北方向．
21. 已知关于 的一元二次方程 ．（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值．
22. 如图，在四边形 中， ，点 在 上， ，垂足为
．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 平分 ，求 和 的长．
23. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位
长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接写出
的取值范围．
24. 如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 于点 ．
（1）求证： ；（2）连接 并延长，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 的半径为5， ，求
和 的长．
25. 为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家
邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了
部分信息．
．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：
）：
．甲城市邮政企业4月份收入的数据在 这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，
11.6，11.8
的
．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入 数据的平均数､中位数如下：
平均数 中位数
甲城市 10.8
乙城市 11.0 11.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 ．在乙城市
抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 ．比较 的大小，并说
明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．26. 在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线 上．
（1）若 ，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点 在该抛物线上．若 ，比较 的大小，并说明理由．
27. 如图，在 中， 为 的中点，点 在 上，以点 为中心，将线
段 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
的
（1）比较 与 大小；用等式表示线段 之间的数量关系，并证明；
（2）过点 作 的垂线，交 于点 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于点 和线段 ，给出如下定义：若将线段 绕
点 旋转可以得到 的弦 （ 分别是 的对应点），则称线段 是 的以点 为中心
的“关联线段”．（1）如图，点 的横､纵坐标都是整数．在线段 中， 的以点
为中心的“关联线段”是______________；
（2） 是边长为1的等边三角形，点 ，其中 ．若 是 的以点 为中心的“关联
线段”，求 的值；
的
（3）在 中， ．若 是 以点 为中心的“关联线段”，直接写出 的最小
值和最大值，以及相应的 长．
