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2021 年北京市中考数学试卷
一､选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．
【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；
故选B．
【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．
2. 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务． 年，中央财政累计投入“全
面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数
法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：将169200000000用科学记数法表示应为 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3. 如图，点 在直线 上， ．若 ，则 的大小为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意易得 ， ，进而问题可求解．
【详解】解：∵点 在直线 上， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选A．
【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键．
4. 下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．
【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为180°；
B、是一个四边形，其内角和为360°；
C、是一个五边形，其内角和为540°；
D、是一个六边形，其内角和为720°；
∴内角和最大的是六边形；
故选D．
【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
5. 实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由数轴及题意可得 ，依此可排除选项．
【详解】解：由数轴及题意可得： ，
∴ ，
∴只有B选项正确，
故选B．
【点睛】本题主要考查实数的运算及数轴，熟练掌握实数的运算及数轴是解题的关键．
6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项．
【详解】解：由题意得：
∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
的
7. 已知 ．若 为整数且 ，则 值为（ ）
A. 43 B. 44 C. 45 D. 46
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可直接进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
8. 如图，用绳子围成周长为 的矩形，记矩形的一边长为 ，它的邻边长为 ，矩形的面积为 ．
当 在一定范围内变化时， 和 都随 的变化而变化，则 与 与 满足的函数关系分别是（ ）
A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，反比例函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【解析】
【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得：
，整理得： ，
，
∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；
故选A．
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键．二､填空题（共16分，每题2分）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
，
解得： ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10. 分解因式： ______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解．
【详解】解： ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
11. 方程 的解为______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式方程的解法可直接进行求解．
【详解】解：
，∴ ，
经检验： 是原方程 的解．
故答案为：x=3．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则 的
值为______________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得 ，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．
【详解】解：把点 代入反比例函数 得： ，
∴ ，解得： ，
故答案为-2．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
13. 如图， 是 的切线， 是切点．若 ，则 ______________．
【答案】130°
【解析】
【分析】由题意易得 ，然后根据四边形内角和可求解．
【详解】解：∵ 是 的切线，
∴ ，
∴由四边形内角和可得： ，
∵ ，∴ ；
故答案为130°．
【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
14. 如图，在矩形 中，点 分别在 上， ．只需添加一个条件即可证明四边形
是菱形，这个条件可以是______________（写出一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】由题意易得四边形 是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
若要添加一个条件使其为菱形，则可添加 或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等
的平行四边形是菱形；
故答案为 （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定定理、矩
形的性质及平行四边形的判定是解题的关键．
15. 有甲､乙两组数据，如表所示：
甲 11 12 13 14 15
乙 12 12 13 14 14
甲､乙两组数据的方差分别为 ，则 ______________ （填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】＞
【解析】
【分析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可．【详解】解：由题意得：
， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ；
故答案为＞．
【点睛】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键．
16. 某企业有 两条加工相同原材料的生产线．在一天内， 生产线共加工 吨原材料，加工时间为
小时；在一天内， 生产线共加工 吨原材料，加工时间为 小时．第一天，该企业将5
吨原材料分配到 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到 生
产线的吨数与分配到 生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果
分配了5吨原材料后，又给 生产线分配了 吨原材料，给 生产线分配了 吨原材料．若两条生产线都
能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 的值为______________．
【答案】 ①. 2∶3 ②.
【解析】
【分析】设分配到 生产线的吨数为 x 吨，则分配到 B 生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得
， 然 后 求 解 即 可 ， 由 题 意 可 得 第 二 天 开 工 时 ， 由 上 一 问 可 得 方 程 为，进而求解即可得出答案．
【详解】解：设分配到 生产线 的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：
，解得： ，
∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），
∴分配到 生产线的吨数与分配到 生产线的吨数的比为2∶3；
∴第二天开工时，给 生产线分配了 吨原材料，给 生产线分配了 吨原材料，
∵加工时间相同，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
故答案为 ， ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的
应用及比例的基本性质是解题的关键．
三､解答题（共68分，第17－20题，每题5分，第21－22题，每题6分，第23题5分，第
24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明､演算
步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解．
【详解】解：原式= ．
【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及
二次根式的运算是解题的关键．18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解．
【详解】解：
由①可得： ，
由②可得： ，
∴原不等式组的解集为 ．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】1
【解析】
【分析】先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可．
【详解】解：
=
= ，
∵ ，
∴ ，
代入原式得：原式= ．
【点睛】本题主要考查整式的乘法运算及完全平方公式，熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值是解
题的关键．
20. 《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 处立一根杆，
在地面上沿着杆的影子的方向取一点 ，使 两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 处的杆的影子的方向取一点 ，使 两点间的距离为10
步，在点 处立一根杆．取 的中点 ，那么直线 表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作
的中点 （保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线 表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断
直线 表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在 中， ______________， 是 的中点，
（______________）（填推理的依据）．
∵直线 表示的方向为东西方向，
∴直线 表示的方向为南北方向．
【答案】（1）图见详解；（2） ，等腰三角形的三线合一
【解析】
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC
的交点即为所求点D；
（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答．
【详解】解：（1）如图所示：（2）证明：在 中， ， 是 的中点，
（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．
∵直线 表示的方向为东西方向，
∴直线 表示的方向为南北方向；
故答案为 ，等腰三角形的三线合一．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等
腰三角形的性质是解题的关键．
21. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值．
【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；
（2）设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，然后根据一元二次方程根与系数
的关系可得 ，进而可得 ，最后利用完全平方公式代入求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，则有：
，∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及
根与系数的关系是解题的关键．
22. 如图，在四边形 中， ，点 在 上， ，垂足为
．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 平分 ，求 和 的长．
【答案】（1）见详解；（2） ，
【解析】
【分析】（1）由题意易得AD∥CE，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由 可进行求解问题．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴AD∥CE，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， 平分 ， ，
∴ ，
∴EF=CE=AD，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握
平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位
长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接写出
的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；
（2）由题意可先假设函数 与一次函数 的交点横坐标为 ，则由（1）可得：
，然后结合函数图象可进行求解．【详解】解：（1）由一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位长度得到
可得：一次函数的解析式为 ；
（2）由题意可先假设函数 与一次函数 的交点横坐标为 ，则由（1）可得：
，解得： ，
函数图象如图所示：
∴当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值时，根据一次
函数的k表示直线的倾斜程度可得当 时，符合题意，当 时，则函数 与一次函
数 的交点在第一象限，此时就不符合题意，
综上所述： ．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
24. 如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 于点 ．（1）求证： ；
（2）连接 并延长，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 的半径为5， ，求
和 的长．
【答案】（1）见详解；（2） ，
【解析】
【分析】（1）由题意易得 ，然后问题可求证；
（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有 ，进而可得
，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意可得如图所示：
由（1）可得点E为BC的中点，∵点O是BG的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的半径为5，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形
中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
25. 为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家
邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了
部分信息．
．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：
）：．甲城市邮政企业4月份收入的数据在 这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，
11.6，11.8
．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下：
平均数 中位数
甲城市 10.8
乙城市 11.0 11.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 ．在乙城市
抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 ．比较 的大小，并说
明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．
【答案】（1） ；（2） ，理由见详解；（3）乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200
百万元．
【解析】
【分析】（1）由题中所给数据可得甲城市的中位数为第13个数据，然后问题可求解；
（2）由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解；
（3）根据乙城市的平均数可直接进行求解．
【详解】解：（1）由题意可得m为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第13家邮政企业
的收入作为该数据的中位数，∵ 有3家， 有7家， 有8家，
∴中位数落在 上，
∴ ；
为
（2）由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，则 最大 12个；乙城市中位数高于平均数，则 至少
为13个，
∴ ；
（3）由题意得：
（百万元）；
答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．
【点睛】本题主要考查中位数、平均数及统计与调查，熟练掌握中位数、平均数及统计与调查是解题的关
键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线 上．
（1）若 ，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点 在该抛物线上．若 ，比较 的大小，并说明理由．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意易得点 和点 ，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进
行求解即可；
（2）由题意可分当 时和当 时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．
【详解】解：（1）当 时，则有点 和点 ，代入二次函数 得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ，∴抛物线的对称轴为 ；
（2）由题意得：抛物线 始终过定点 ，则由 可得：
①当 时，由抛物线 始终过定点 可得此时的抛物线开口向下，即
，与 矛盾；
②当 时，
∵抛物线 始终过定点 ，
∴此时抛物线的对称轴的范围为 ，
∵点 在该抛物线上，
∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为 ，
∵ ，开口向上，
∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，
∴ ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
27. 如图，在 中， 为 的中点，点 在 上，以点 为中心，将线
段 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
（1）比较 与 的大小；用等式表示线段 之间的数量关系，并证明；（2）过点 作 的垂线，交 于点 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1） ， ，理由见详解；（2） ，理由见详解．
【解析】
【分析】（1）由题意及旋转的性质易得 ， ，然后可证 ，
进而问题可求解；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交AB于点H，由（1）可得 ， ，易证
，进而可得 ，然后可得 ，最后根据相似三角形的性质可求
证．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点M为BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明： ，理由如下：
过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交AB于点H，如图所示：∴ ，
由（1）可得 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的
性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是
解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于点 和线段 ，给出如下定义：若将线段 绕点 旋转可以得到 的弦 （ 分别是 的对应点），则称线段 是 的以点 为中心
的“关联线段”．
（1）如图，点 的横､纵坐标都是整数．在线段 中， 的以点
为中心的“关联线段”是______________；
（2） 是边长为1的等边三角形，点 ，其中 ．若 是 的以点 为中心的“关联
线段”，求 的值；
（3）在 中， ．若 是 的以点 为中心的“关联线段”，直接写出 的最小
值和最大值，以及相应的 长．
【答案】（1） ；（2） ；（3）当 时，此时 ；当 时，此时
．
【解析】
【分析】（1）以点A为圆心，分别以 为半径画圆，进而观察是否与 有
交点即可；
（2）由旋转的性质可得 是等边三角形，且 是 的弦，进而画出图象，则根据等边三角形
的性质可进行求解；（3）由 是 的以点 为中心的“关联线段”，则可知 都在 上，且
，然后由题意可根据图象来进行求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：
通过观察图象可得：线段 能绕点A旋转90°得到 的“关联线段”， 都不能绕点A进
行旋转得到；
故答案为 ；
（2）由题意可得：当 是 的以点 为中心的“关联线段”时，则有 是等边三角形，且边
长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：
设 与y轴的交点为D，连接 ，易得 轴，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：
同理可得此时的 ，
∴ ；
（3）由 是 的以点 为中心的“关联线段”，则可知 都在 上，且
，则有当以 为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，
即可得到点A的运动轨迹，如图所示：由运动轨迹可得当点A也在 上时为最小，最小值为1，此时 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
由以上情况可知当点 三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：
连接 ，过点 作 于点P，
∴ ，
设 ，则有 ，
∴由勾股定理可得： ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，在 中， ，
∴ ；
综上所述：当 时，此时 ；当 时，此时 ．
【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、
圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键．
