文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）
黄金卷02·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A B A C D B C A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
BC ABC CD ABC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】(1)，时，儿子比父亲高；时，儿子比父亲矮，儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋
势.(2)0；任意具有线性相关关系的变量，证明见解析
【解析】（1）由题意得，，，所以回归直线方程为，
令得，即时，儿子比父亲高；
令得，即时，儿子比父亲矮，
可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋
势.
（2）由可得，
所以，
又，所以，
结论：对任意具有线性相关关系的变量，
证明： .
18．（12分）【答案】(1)答案见解析 (2)
【解析】（1）由可得，，
令，令，可得，
当，函数单调递减，
当，函数单调递增，
所以函数在时取得最小值，
所以当时，方程无实数解，
当时，方程有一个实数解，
当时，，故，
而，，
设，则，
故在上为增函数，故，
故有两个零点即方程有两个实数解.
（2）由题意可知，
不等式可化为，，
即当时，恒成立，
所以，即，
令，
则在上单调递增，而，
当即时，在上单调递增，
故，
由题设可得，
设，则该函数在上为减函数，
而，故.
当即时，因为，
故在上有且只有一个零点，
当时，，而时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，
而，故，故
因为，故，故符合，
综上所述，实数的取值范围为．19．（12分）
【答案】(1) (2)分布列见解析，
【解析】（1）设“从甲箱中抽取的两件产品均为正品”，“从甲箱中抽取的两件产品为一件正品，一件次品”，
“从甲箱中抽取的两件产品均为次品”，“从乙箱中抽取的一件产品为次品”，由全概率公式，
得
．
（2）的所有可能取值为30，45，60，75．
则；
；
；
．
所以的分布列为
30 45 60 75
的数学期望（元）．
20．（12分）
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】（1）因为定义域为，又，
（ⅰ）当单调递减；
（ⅱ）当，记，则，
当；当，
所以在单调递增，在上单调递减，，
又，所以，
①当，则单调递减，至多一个零点，与题设矛盾；
②当，由（ⅱ）知，有两个零点，
记两零点为，且，
则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为，令，则，
所以，
所以，且趋近0，趋近于正无穷大，趋近正无穷大，趋近负无穷大，
所以函数有三零点，综上所述，；
（2）等价于，即，
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由（1）可得，则，
所以，所以，
则满足，，
要证，等价于证，
易知，令，则，
令得，令得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
下面证明，由，即证，
即证，
即证，
即证，
令，，
令，则，所以，
所以，则，所以，
所以，所以，
所以，所以原命题得证.
21．（12分）
【答案】(1) (2) (3)质量控制系统有奇数个控制单元，增加1个控制单元设备正常工作的概率变小；质
量控制系统有偶数个控制单元，增加1个控制单元设备正常工作的概率变大.答案见解析
【解析】（1）因为质量指标值不低于70的样品数为25件，所以
所以，
因为，
所以，.
由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取100件的平均数为：
.
（2）由题意知，样本方差，故，
所以产品质量指标值，
优等品的概率
（3）假设质量控制系统有奇数个控制单元，
设，
记该生产线正常运行的概率为，若再增加1个控制单元，
则第一类：原系统中至少有个控制单元正常工作，
其正常运行概率为；
第二类：原系统中恰好有个控制单元正常工作，新增1个控制单元正常工作，其正常运行概率为
；
所以增加一个控制单元正常运行的概率为
即，
因为，所以，
即增加1个控制单元设备正常工作的概率变小；·
假设质量控制系统有偶数个控制单元，设，记该生产线正常运行的概率为，若增加1个元件，
则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其正常运行概率为；
第二类：原系统中恰好有个控制单元正常工作，新增1个控制单元正常工作，
其正常运行概率为；
所以增加一个控制单元正常运行的概率为，
即
因为，所以，
即增加1个控制单元设备正常工作的概率变大.
22．（12分）
【答案】(1) (2)答案见解析 (3)
【解析】（1）当时，，定义域为，
所以，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）的定义域是，，，
令，则．
①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增．
②当，即时，由，得或；
由，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减
（3）由（2）当时，在上单调递增，此时函数无极值；
当时，有两个极值点，即方程有两个正根，
所以，则在上是减函数．所以，
因为，
所以
，
令，则，
，
所以在上单调递减，
又，且，
所以，
由，
又在上单调递减，
所以且，所以实数的取值范围为．
