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江苏省连云港市2018年中考数学真题试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2018年江苏省连云港市）﹣8的相反数是（ ）
A．﹣8 B． C．8 D．﹣
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．
【解答】解：﹣8的相反数是8，
故选：C．
【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．（2018年江苏省连云港市）下列运算正确的是（ ）
A．x﹣2x=﹣x B．2x﹣y=xy C．x2+x2=x4 D．（x﹣l）2=x2﹣1
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（B）原式=2x﹣y，故B错误；
（C）原式=2x2，故C错误；
（D）原式=x2﹣2x+1，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题
型．
3．（2018年江苏省连云港市）地球上陆地的面积约为150 000 000km2．把“150 000 000”用
科学记数法表示为（ ）
A．1.5×108 B．1.5×107 C．1.5×109 D．1.5×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：150 000 000=1.5×108，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（2018年江苏省连云港市）一组数据2，1，2，5，3，2的众数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【分析】根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案．
【解答】解：在数据2，1，2，5，3，2中2出现3次，次数最多，
所以众数为2，
故选：B．
【点评】此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
5．（2018年江苏省连云港市）如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指
向大于3的数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值
就是其发生的概率．
【解答】解：∵共6个数，大于3的有3个，
∴P（大于3）= = ；
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中
事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
6．（2018年江苏省连云港市）如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的
俯视图是（ ）
2A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方
形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
7．（2018年江苏省连云港市）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t
（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可
判断D选项．
【解答】解：A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度
不相同，此选项错误；
B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；
C、当t=10时h=141m，此选项错误；
D、由h=﹣t2+24t+1=﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
8．（2018年江苏省连云港市）如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y= 的图象上，
3对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
【分析】根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点A（1，1），
∴OA= ，
∴BO= ，
∵直线AC的解析式为y=x，
∴直线BD的解析式为y=﹣x，
∵OB= ，
∴点B的坐标为（ ， ），
∵点B在反比例函数y= 的图象上，
∴ ，
解得，k=﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，
利用反比例函数的性质解答．
二、填空题（本大题共8小题，毎小题3分，共24分,不需要写出解答过程，请把答案直接填
写在答题卡相应位置上）
9．（2018年江苏省连云港市）使 有意义的x的取值范围是 x ≥ 2 ．
4【分析】当被开方数x﹣2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
【解答】解：根据二次根式的意义，得
x﹣2≥0，解得x≥2．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根
式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．（2018年江苏省连云港市）分解因式：16﹣x2= （ 4 + x ）（ 4﹣ x ） ．
【分析】16和x2都可写成平方形式，且它们符号相反，符合平方差公式特点，利用平方差公式
进行因式分解即可．
【解答】解：16﹣x2=（4+x）（4﹣x）．
【点评】本题考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
11．（2018年江苏省连云港市）如图，△ABC中，点D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，
则△ADE与△ABC的面积的比为 1 ： 9 ．
【分析】根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB=1：3，因而面积的比是1：9，
问题得解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∴S ：S 是1：9．
△ADE △ABC
故答案为：1：9．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平
方是解答此题的关键．
12．（2018年江苏省连云港市）已知A（﹣4，y），B（﹣1，y）是反比例函数y=﹣ 图象上的两
1 2
个点，则y 与y 的大小关系为 y ＜ y ．
1 2 1 2
5【分析】根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y 与y 的大小，从而可以解
1 2
答本题．
【解答】解：∵反比例函数y=﹣ ，﹣4＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵A（﹣4，y），B（﹣1，y）是反比例函数y=﹣ 图象上的两个点，﹣4＜﹣1，
1 2
∴y＜y，
1 2
故答案为：y＜y．
1 2
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性
质，利用函数的思想解答．
13．（2018年江苏省连云港市）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为
2π cm．
【分析】根据弧长公式可得结论．
【解答】解：根据题意，扇形的弧长为 =2π，
故答案为：2π
【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
14．（2018年江苏省连云港市）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交
AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB= 44° ．
【分析】首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得
∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可．
6【解答】解：连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，∠OAB=22°，
∴∠OAB=∠OBA=22°，
∴∠APO=∠CBP=68°，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CPB=∠ABP=68°，
∴∠OCB=180°﹣68°﹣68°=44°，
故答案为：44°
【点评】此题考查了切线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合
思想与方程思想的应用．
15．（2018年江苏省连云港市）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两
点，⊙O经过A，B两点，已知AB=2，则 的值为 ﹣ ．
【分析】由图形可知：△OAB是等腰直角三角形，AB=2，可得A，B两点坐标，利用待定系数法可
求k和b的值，进而得到答案．
【解答】解：由图形可知：△OAB是等腰直角三角形，OA=OB
7∵AB=2，OA2+OB2=AB2
∴OA=OB=
∴A点坐标是（ ，0），B点坐标是（0， ）
∵一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点
∴将A，B两点坐标带入y=kx+b，得k=﹣1，b=
∴ =﹣
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查图形的分析运用和待定系数法求解析，找出A，B两点的坐标对解题是
关键之举．
16．（2018年江苏省连云港市）如图，E、F，G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC= ，则AB的长为 2 ．
【分析】如图，连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，可得 = ，推出 = ，可
得b= a，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题；
【解答】解：如图，连接BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠DCB=90°，AC=BD= ，
∵CG=DG，CF=FB，
8∴GF= BD= ，
∵AG⊥FG，
∴∠AGF=90°，
∴∠DAG+∠AGD=90°，∠AGD+∠CGF=90°，
∴∠DAG=∠CGF，
∴△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，
∴ = ，
∴ = ，
∴b2=2a2，
∵a＞0．b＞0，
∴b= a，
在Rt△GCF中，3a2= ，
∴a= ，
∴AB=2b=2．
故答案为2．
【点评】本题考查中点四边形、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2018年江苏省连云港市）计算：（﹣2）2+20180﹣
【分析】首先计算乘方、零次幂和开平方，然后再计算加减即可．
【解答】解：原式=4+1﹣6=﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握乘方的意义、零次幂计算公式和二次根式的
性质．
18．（2018年江苏省连云港市）解方程： ﹣ =0
【分析】根据灯饰的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
9【解答】解：两边乘x（x﹣1），得
3x﹣2（x﹣1）=0，
解得x=2，
经检验：x=2是原分式方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质将分式方程转化成整式方程是解题关键，要
检验方程的根．
19．（2018年江苏省连云港市）解不等式组：
【分析】根据不等式组的解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案．
【解答】解： ，
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x≥﹣3，
不等式①，不等式②的解集在数轴上表示，如图
，
原不等式组的解集为﹣3≤x＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集的表示方法是解题关键．
20．（2018年江苏省连云港市）随着我国经济社会的发展，人民对于美好生活的追求越来越高．
某社区为了了解家庭对于文化教育的消费悄况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的文化教育
年消费金额进行问卷调査，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图表．
请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调査的家庭有 15 0 户，表中 m= 4 2 ；
（2）本次调查数据的中位数出现在 B 组．扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角是 3 6
度；
（3）这个社区有2500户家庭，请你估计家庭年文化教育消费10000元以上的家庭有多少户？
组 家庭年文化教育消费金额x（元） 户
別 数
A x≤5000 36
10B 5000＜x≤10000 m
C 10000＜x≤15000 27
D 15000＜x≤20000 15
E x＞20000 30
【分析】（1）依据A组或E组数据，即可得到样本容量，进而得出m的值；
（2）依据中位数为第75和76个数据的平均数，即可得到中位数的位置，利用圆心角计算公
式，即可得到D组所在扇形的圆心角；
（3）依据家庭年文化教育消费10000元以上的家庭所占的比例，即可得到家庭年文化教育消
费10000元以上的家庭的数量．
【解答】解：（1）样本容量为：36÷24%=150，
m=150﹣36﹣27﹣15﹣30=42，
故答案为：150，42；
（2）中位数为第75和76个数据的平均数，而36+42=78＞76，
∴中位数落在B组，
D组所在扇形的圆心角为360°× =36°，
故答案为：B，36；
（3）家庭年文化教育消费10000元以上的家庭有2500× =1200（户）．
【点评】本题考查扇形统计图、用样本估计总体以及中位数的运用，解题的关键是明确题意，
找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
21．（2018年江苏省连云港市）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进
行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．
假如甲，乙两队每局获胜的机会相同．
（1）若前四局双方战成2：2，那么甲队最终获胜的概率是 ；
11（2）现甲队在前两周比赛中已取得2：0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出甲至少胜一局的结果数，然后根据概率
公式求．
【解答】解：（1）甲队最终获胜的概率是 ；
故答案为 ；
（2）画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为7，
所以甲队最终获胜的概率= ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再
从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
22．（2018年江苏省连云港市）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接
AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可
得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据
AD=BC，即可得到BC=2CD．
12【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）BC=2CD．
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45°，
∵∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是AD的中点，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两
线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的
位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
23．（2018年江苏省连云港市）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与反比
1
13例函数y= 的图象交于A（4，﹣2）、B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C．
（1）求k，n的值；
2
（2）请直接写出不等式kx+b 的解集；
1
（3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A′B，A′C，求△A′BC的面积．
【分析】（1）将A点坐标代入y=
（2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；
（3）求出对称点坐标，求面积．
【解答】解：（1）将A（4，﹣2）代入y= ，得k=﹣8．
2
∴y=﹣
将（﹣2，n）代入y=﹣
n=4．
∴k=﹣8，n=4
2
（2）根据函数图象可知：
﹣2＜x＜0或x＞4
（3）将A（4，﹣2），B（﹣2，4）代入y=kx+b，得k=﹣1，b=2
1 1
∴一次函数的关系式为y=﹣x+2
与x轴交于点C（2，0）
∴图象沿x轴翻折后，得A′（4，2），
14S =（4+2）×（4+2）× ﹣ ×4×4﹣ ×2×2=8
△A'BC
∴△A'BC的面积为8．
【点评】本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不
等式问题．
24．（2018年江苏省连云港市）某村在推进美丽乡村活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相
同大小规格的红色和蓝色地砖．经过调査．获取信息如下：
购买数量低于5000块 购买数量不低于5000块
红色地砖 原价销售 以八折销售
蓝色地砖 原价销售 以九折销售
如果购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；如果购买红色地砖10000块，
蓝色地砖3500块，需付款99000元．
（1）红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元？
（2）经过测算，需要购置地砖12000块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不
超过6000块，如何购买付款最少？请说明理由．
【分析】（1）根据题意结合表格中数据，购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款
86000元；购买红色地砖10000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元，分别得出方程得出答
案；
（2）利用已知得出x的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案．
【解答】解：（1）设红色地砖每块a元，蓝色地砖每块b元，由题意可得：
，
解得： ，
答：红色地砖每块8元，蓝色地砖每块10元；
（2）设购置蓝色地砖x块，则购置红色地砖（12000﹣x）块，所需的总费用为y元，
由题意可得：x≥ （12000﹣x），
解得：x≥4000，
又x≤6000，
所以蓝砖块数x的取值范围：4000≤x≤6000，
15当4000≤x＜5000时，
y=10x+×0.8（12000﹣x）
=76800+3.6x，
所以x=4000时，y有最小值91200，
当5000≤x≤6000时，y=0.9×10x+8×0.8（1200﹣x）=2.6x+76800，
所以x=5000时，y有最小值89800，
∵89800＜91200，
∴购买蓝色地砖5000块，红色地砖7000块，费用最少，最少费用为89800元．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出函数关系式
是解题关键．
25．（2018年江苏省连云港市）如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC=37°，坝顶DC=3m，
背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB=14m．
（1）求坝高；
（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底间时拓宽
加固，使得AE=2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈
）
【分析】（1）作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N．由题意：tan∠DAB= =2，设AM=x，则DM=2x，在
Rt△BCN中，求出BN，构建方程即可解决问题；
（2）作FH⊥AB于H．设DF=y，设DF=y，则AE=2y，EH=3+2y﹣y=3+y，BH=14+2y﹣（3+y）=11+y，由
△EFH∽△FBH，可得 = ，即 = ，求出y即可；
【解答】解：（1）作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N．
由题意：tan∠DAB= =2，设AM=x，则DM=2x，
16∵四边形DMNC是矩形，
∴DM=CN=2x，
在Rt△NBC中，tan37°= = = ，
∴BN= x，
∵x+3+ x=14，
∴x=3，
∴DM=6，
答：坝高为6m．
（2）作FH⊥AB于H．设DF=y，设DF=y，则AE=2y，EH=3+2y﹣y=3+y，BH=14+2y﹣（3+y）=11+y，
由△EFH∽△FBH，可得 = ，
即 = ，
解得y=﹣7+2 或﹣7﹣2 （舍弃），
∴DF=2 ﹣7，
答：DF的长为（2 ﹣7）m．
【点评】本题考查了坡度坡角的求解，考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数在直角三
角形中运用，解题的关键是学会理由参数构建方程解决问题．
26．（2018年江苏省连云港市）如图1，图形ABCD是由两个二次函数y=kx2+m（k＜0）与
1
y=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．
2
17（1）直接写出这两个二次函数的表达式；
（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；
（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对
应顶点）的点E的坐标
【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先确定出MM'=（1﹣m2）﹣（3m2﹣3）=4﹣4m2，进而建立方程2m=4﹣4m2，即可得出结论；
（3）先利用勾股定理求出AD= ，同理：CD= ，BC= ，再分两种情况：
①如图1，当△DBC∽△DAE时，得出 ，进而求出DE= ，即可得出E（0，﹣ ），
再判断出△DEF∽△DAO，得出 ，求出DF= ，EF= ，再用面积法求出
E'M= ，即可得出结论；
②如图2，当△DBC∽△ADE时，得出 ，求出AE= ，
当E在直线AD左侧时，先利用勾股定理求出 PA= ，PO= ，进而得出PE= ，再判断出
即可得出点E坐标，当E'在直线DA右侧时，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（1，0），B（0，1）在二次函数y=kx2+m（k＜0）的图象上，
1
∴ ，
∴ ，
18∴二次函数解析式为y=﹣x2+1，
1
∵点A（1，0），D（0，﹣3）在二次函数y=ax2+b（a＞0）的图象上，
2
∴ ，
∴ ，
∴二次函数y=3x2﹣3；
2
（2）设M（m，﹣m2+1）为第一象限内的图形ABCD上一点，M'（m，3m2﹣3）为第四象限的图形上一
点，
∴MM'=（1﹣m2）﹣（3m2﹣3）=4﹣4m2，
由抛物线的对称性知，若有内接正方形，
∴2m=4﹣4m2，
∴m= 或m= （舍），
∵0＜ ＜1，
∴存在内接正方形，此时其边长为 ；
（3）在Rt△AOD中，OA=1，OD=3，
∴AD= = ，
同理：CD= ，
在Rt△BOC中，OB=OC=1，
∴BC= = ，
①如图1，当△DBC∽△DAE时，
∵∠CDB=∠ADO，
∴在y轴上存在E，由 ，
∴ ，
∴DE= ，
19∵D（0，﹣3），
∴E（0，﹣ ），
由对称性知，在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE'，
连接EE'交DA于F点，作E'M⊥OD于M，连接E'D，
∵E，E'关于DA对称，
∴DF垂直平分线EE'，
∴△DEF∽△DAO，
∴ ，
∴ ，
∴DF= ，EF= ，
∵S '= DE•E'M=EF×DF= ，
△DEE
∴E'M= ，
∵DE'=DE= ，
在Rt△DE'M中，DM= =2，
∴OM=1，
∴E'（ ，﹣1），
②如图2，
20当△DBC∽△ADE时，有∠BDC=∠DAE， ，
∴ ，
∴AE= ，
当E在直线AD左侧时，设AE交y轴于P，作EQ⊥AC于Q，
∵∠BDC=∠DAE=∠ODA，
∴PD=PA，
设PD=n，
∴PO=3﹣n，PA=n，
在Rt△AOP中，PA2=OA2+OP2，
∴n2=（3﹣n）2+1，
∴n= ，
∴PA= ，PO= ，
∵AE= ，
∴PE= ，
在AEQ中，OP∥EQ，
∴ ，
21∴OQ= ，
∵ ，
∴QE=2，
∴E（﹣ ，﹣2），
当E'在直线DA右侧时，
根据勾股定理得，AE= = ，
∴AE'=
∵∠DAE'=∠BDC，∠BDC=∠BDA，
∴∠BDA=∠DAE'，
∴AE'∥OD，
∴E'（1，﹣ ），
综上，使得△BDC与△ADE相似（其中点C与E是对应顶点）的点E的坐标有4个，
即：（0，﹣ ）或（ ，﹣1）或（1，﹣ ）或（﹣ ，﹣2）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性
质，对称性，正确作出辅助线和用分类讨论的思想是解本题的关键．
27．（12018年江苏省连云港市）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC是边
长为2的等边形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出
来，并证明．
22（2）当点E在线段上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为 ，求AE的长．
（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S 与
1
△DBF的面积S 之间的数量关系．并说明理由．
2
（4）如图2，当△ECD的面积S= 时，求AE的长．
1
【分析】（1）结论：△ABE≌△CBF．理由等边三角形的性质，根据SAS即可证明；
（2）由△ABE≌△CBF，推出S =S ，推出S =S +s =S +S =S = ，由S
△ABE △BCF 四边形BECF △BEC △BCF △BCE △ABE △ABC 四
= ，推出S = ，再利用三角形的面积公式求出AE即可；
边形ABCF △ABE
（3）结论：S﹣S= ．利用全等三角形的性质即可证明；
2 1
（4）首先求出△BDF的面积，由CF∥AB，则△BDF的BF边上的高为 ，可得DF= ，设CE=x，
则2+x=CD+DF=CD+ ，推出CD=x﹣ ，由CD∥AB，可得 = ，即 = ，求出x即可；
【解答】解：（1）结论：△ABE≌△CBF．
理由：如图1中，
∴∵△ABC，△BEF都是等边三角形，
∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF．
（2）如图1中，∵△ABE≌△CBF，
∴S =S ，
△ABE △BCF
∴S =S +s =S +S =S = ，
四边形BECF △BEC △BCF △BCE △ABE △ABC
∵S = ，
四边形ABCF
23∴S = ，
△ABE
∴ •AE•AB•siin60°= ，
∴AE= ．
（3）结论：S﹣S= ．
2 1
理由：如图2中，
∵∵△ABC，△BEF都是等边三角形，
∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF，
∴S =S ，
△ABE △BCF
∵S ﹣S =S﹣S，
△BCF △BCE 2 1
∴S﹣S=S ﹣S =S = ．
2 1 △ABE △BCE △ABC
（4）由（3）可知：S ﹣S = ，∵S = ，
△BDF △ECD △ECD
∴S = ，
△BDF
∵△ABE≌△CBF，
∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，
∴∠ABC=∠DCB，
∴CF∥AB，则△BDF的BF边上的高为 ，可得DF= ，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+ ，
∴CD=x﹣ ，
∵CD∥AB，
24∴ = ，即 = ，
化简得：3x2﹣x﹣2=0，
解得x=1或﹣ （舍弃），
∴CE=1，AE=3．
【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、解直角三
角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，
属于中考压轴题．
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