文档内容
1990年全国硕士研究生招生考试
数学(一)
(科目代码：301)
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)
卜=一 / + 2,
(1)过点M(l,2, - 1)且与直线右=3/ -4,垂直的平面方程为________ .
[z =上一1
(2)设a为非零常数，则lim匸旦
oo \jr ——a
⑶设函数心TM。 *| 工 |二 V 则] 函数兀心沪
(4)积分［djr 2 曲=
J 0
(5)已知向量组 a 1 — (1,2,3,4) ,a2 = (2,3,4,5),a 3 = (3,4,5,6) ,a4 = (4,5,6,7),则该向量
组的秩为________.
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)
(1)设/"(工)为连续函数，F(_z)=[ /(z )dz,则 F'(h)=( ).
(A) -/(j;) (B) -e~V(e_x ) + fCx)
(C)e"V(e-J) -/(^) (D)e^/(e~x) +/(J；)
(2) 已知于(工)具有任意阶连续导数，且于'(工)=『(工)]2,则当"为大于2的正整数时JQ)
的n阶导数/(，，)(工)=( ).
(AM! 了(工)了+1 (B)n[/(jr)]n+1
(C)[y(_z)]2” (D)“！ [/(工)了"
(3) 设a为常数，则级数£ (计磐■—：)( )•
(A)绝对收敛 (E)条件收敛
(C)发散 (D)收敛性与a的取值有关
(4) 已知f (jt )在工=0的某邻域内连续，且/(0) = 0, lim
1
)— = 2,则在点x =0处
h—O 1 ― cos x
心)( ).
(A)不可导 (B)可导，且 /'(O) H 0
(C)取得极大值 (D)取得极小值（5）已知伤，02是非齐次线性方程组AX=b的两个不同解,ai,a2是对应的齐次线性方程组
4X= 0的基础解系,k,,k2为任意常数，则方程组AX=b的通解为（ ）.
B 1 —卩
2
（A）^ ! a ! + &2（。1 +。2）-------Q---
01 +02
(B)^ ] a! + 紅@]—业)+
2
（C）釧5 +紅（为+ “2）+》：庆
趴严
(D)Qai + 紅(0i -02)+
三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分）
ln( 1 + jc )
(2 — jc )2
g2
（2） 设z = f〈2工—y’ysinz）,其中f（u,v）具有二阶连续偏导数，求一f-.
dx dy
（3） 求微分方程y" + 4j/z + 4j/ = e~2j的通解.
四、（本题满分6分）
求幕级数工（2“ + 1）工"的收敛域，并求其和函数.
n = 0
五、（本题满分8分）
求曲面积分I =JJwdN（lz + 2dj?dy ,其中X是球面工？ + y2 + / = 4（n $ 0）的外侧.
2六、（本题满分7分）
设不恒为常数的函数十（工）在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，且/（a）=
fCh）,证明：在（a,6）内至少存在一点F，使得_/■'（£） >0.
七、（本题满分6分）
1 -1 0 0 2 1 3 4'
0 1 -1 0 0 2 1 3
设4阶矩阵8= 厂一 ，且矩阵A满足关系式
? V —
0 0 1 -1 0 0 2 1
0 0 0 1 0 0 0 2.
A（E -C B）tCt=E,其中E为4阶单位矩阵,（?t表示C的逆矩阵,表示C的转置矩
阵,将上述关系式化简并求矩阵A.
八、（本题满分8分）
求一个正交变换，化二次型f （工\ ,攵2 '工3）=# +4工：+ 4jr 3 — 4工1工2 + 4 J7 1 J7 3 ~ 8 J7 23为
标准形.九、(本题满分8分)
质点P沿着以AE为直径的半圆周，从点A(l,2)运动到点£(3,4)的过程中受到力F的
作用(如图)，F的大小等于点P到原点O之间的距离，其方向垂直于线段OP,且与夕轴正
向的夹角小于今,求变力F对质点P所做的功.
十、填空题(本题共3小题，每小题2分，满分6分)
(1) 已知随机变量X的概率密度函数为/■(工)=*「3,—8＜工＜+oo,则随机变量X的概
率分布函数为F(工)—________.
(2) 设随机事件及其和事件A U B的概率分别为0.4,0.3和0.6,设斤为事件B的对立
事件,则P (AB) =________ .
2&
(3) 已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，即P {X —k } =：—— e~2 (.k = 0,1,2,…)，
k !
则随机变量Z =3X — 2的数学期望E(Z) =________ .
H----、(本题满分6分)
设二维随机变量(X ,Y)在区域D = {(_z,y) |0＜工＜1, |＜工}内服从均匀分布，
求关于X的边缘概率密度及随机变量Z=2X + 1的方差D(Z).
y
十二题图
