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2003年数学（一）真题解析
一、填空题
（1）【答案】e~7
【解】 limCcos x )1*1+ 工)=ljm {[1 + (cos jc — 1)]
（2） 【答案】2工+4夕一之一5=0・
【解】令 F （j: 9夕，之）=X1 + y1 — z ,
设切点坐标为（工0,勺）,则切平面的法向量为n = {F； ,F'y ,F；} |（工。,％*0）= {2工0,2夕0, — 1},
因为切平面与平面2広+ 4夕一z = 0平行，
9 T 9 v 一 1
所以—3上=~y2 =—，解得工0=1，夕0=2,从而 zo=j^+y：=5,
L 4 — 1
所求的平面为 2（工—1） + 4（j/ — 2） — （z — 5） = 0,即 2x +4y—z — 5=0.
（3） 【答案】1.
【解】5 =—f x2 cos 2jc djc = — | x2 d（sin 2工）
d(cos 2jc ) = —cos 2工
兀
⑷【答案】（/ _2] _3 /\
【解】 令
A = （aj
,a2）, B =（卩i ,02）.
/ 2 3
设从基
ai,a2
到基趴仇的过渡矩阵为
Q,
则B =A
Q,
于是Q=A~iB = （
\一 1 —
（5）【答案】
4
【解】 P {X -\-Y 1} — /(□? )djr dj^ =
（6）【答案】 (39. 51,40. 49).
v 一 . 一
【解】a 0. 05 ,“o.o25 = 1. 96，统计量— ---=4(X — 〃)〜N(0,l),
716
由P{— 1. 96 < 4（X — 〃）< 1. 96} =0. 95得〃的置信度为0. 95的置信区间为
（I■—乎，工+丁） = （39.51,40.49）.
(39. 51,40. 49).方法点评：对正态总体X〜N（〃y2）的参数〃进行区间估计分两种情况:
情形一：八已知
取 U =———〜N(0,1),由 — ua V ——— — 1一a ,得参数〃的置信度为1—a
[― o — , (T \
的置信区间为(X----—u , X + —zu „
情形二未知
取 丁 =------〜/ （" — 1）,由 P< — t a （t? — 1） V--------— < t a （" — 1） < = 1 — a，得参数卩
7 5 7
S
4n I 4n -
的置信度为1—a的置信区间为（X —t仝（"一'1）,X + s （n — 1） V
\ Jn 2 Jn 2 /
二、选择题
（7）【答案】（C）.
【解】 设尸（工）与丁轴交点的横坐标从左到右分别为a,h,c,显然/（工）有三个驻点工=a,
x =b ,工=c及一个不可导点2 =0.
当x <«时,f'O >0,当工6（a,b）时,/'（工）V0,则鼻=a为心）的极大值点；
当g W （6,0）时,十（工）> 0,则工=b为心）的极小值点；
当工G （0,c）时，/'（z ） V 0,则鼻=0为/（jc ）的极大值点；
当工> C时,/Z（J7 ） > 0,则工=C为/（J7 ）的极小值点，
故/（工）有两个极大值点和两个极小值点，应选（C）.
方法点评：求函数的极值时按如下步骤进行：
（1） 找出fd）的驻点及不可导的点；
（2） 判断每个点是否为极值点（按照具体情况选用第一充分条件和第二充分条件）.
（8）【答案】（D）.
3
【解】方法一 取 a” = — ,b„ == l,c” =—,显然（A）, （B）, （C）不成立，应选（D）
n
方法二 取€ = 因为limb” = 1,所以存在N > 0,当"> N时，
Ci
bn —l|v㊁，从而有bn >*•
当"> N时，I久C ”丨 > ㊁丨C ” I '
由 lime” = oo 得lim | b”c” | = + °° ,故limb”c” = 00 ,应选(D).
（9）【答案】（A）.
【解】 由1此马王呼：了 =1及 23 的连续性，得/（0,0）=0.
2
（2 十 y ）
lo
yf 0再由 lim 弓打" 阳=1，得 _/"(久，夕)—xy =(J；2 + y2Y +。[(工2 + j>2 )2]
2
(乂
JfO + V )
yf 0
或 fCx ,y) =xy + (a- 2 + j^2 )2 + o [(jr2 + j/2 )2 ].
当 y =x 时,/(J7,jr)=jf2 + 4工 4 + o (jc 4) — x2 + o (a- 2 ) > 0 ;
当 y = 一 x 时，/(jr , 一 x ) = 一 x2 + 4j? 4 + o (x4 ) = — x 2 + o ( j? 2 ) VO,则(0,0)不是函数
的极值点，应选(A).
(10) [答案】(D).
【解】 方法一 因为向量组I可由向量组II线性表示，所以r(I) s时，因为r ( I ) < 5 < r ,即向量组I的秩小于向量组I所含的向量个数，所以
向量组I线性相关，应选(D).
方法二 取I：ai=(；),U：0i=C),02 = (；)，显然向量组I可由向量组n线性表
示且r <5,但向量组D线性无关，(A),(C)不对；
取I ：©=(；)，«2=(2)，H :你=(；)，显然向量组I可由向量组n线性表示且r>s,
但向量组n线性无关，(e)不对，应选(D).
(11) 【答案】(B).
【解】 方法一 若AX=0的解为BX=0的解，则AX=0的基础解系所含的线性无关
的解向量的个数不超过BX=0的基础解系所含的线性无关的解向量个数，即n-r(A)<
n — r (B ),从而 r (A ) $r(B)；
若AX = 0与BX =()同解，则厂(A) =r(B),反之不对，故应选(E).
/1 1 — 2 \
方法二 取 A = ( ,B = (1 1 1),厂(A) = 2 $ 厂(JB ) = 1,
\1 0 - U
但X = 为AX =0的解，不是BX =0的解，第2个命题不对；
取 A = (1 1 - 1) , B = (l - 1 - 1) , r(A) =r(B),
但AX =0与BX =0不同解，第4个命题不对，应选(E).
方法点评：本题考查两个齐次线性方程组的解与系数矩阵的秩的关系.
齐次线性方程组系数矩阵的秩即为方程组中约束条件的个数，系数矩阵的秩越大则约束
条件越多，解就越少；系数矩阵的秩越小则约束条件越少，解就越多•设AX =0与BX =0为两
个齐次线性方程组，则：
(1) 若AX =0与〃X =0同解，则r(A) =r(B),反之不对；
(2) 若 AX =0 的解为 BX -0 的解，则 r(A) r(B)；
(3) 若AX =0的解为BX M)的解，反之不对，则r(A) > r(B)；
(4) 若AX =0的解为BX =0的解，且r(A) =r(B),则AX =0与BX =0同解.（12） 【答案】（C）.
【解】 因为X〜/（“），所以存在U〜N（O,1）,V〜杉（“）且独立,
使得—急庁是""骼
注意到b〜x2（i）且与v独立，故y〜F5,i）,应选（C）.
三、解答题
（13） 【解】（I ）方法一 设切点坐标为（a,In a）,
由导数的几何意义得山二=丄，解得a
e,
a a
即切点坐标为（e,l）,故切线为》
e
方法二 设切点坐标为（a,Ina）,所求的切线为
] _ JQ
一
y — \n a =—（工 q）9或夕=---In a — 1,
a a
因为切线经过原点，所以In a — 1 =0,即a =e，故所求的切线为j,=-
e
所以A j X eX 1 - In x dx = ----1.
1 2
（H）切线y =壬，工=e及工轴围成的三角形区域绕鼻=e旋转而成的圆锥体的体积为
e
7re2
Vi =y X Tte2 X 1 3 ,
曲线y = \n x ,x =e及jc轴围成的区域绕z = e旋转而成的体积为V2.
取[工,x + dj? ] U 口，e] , dV2 = 2兀（e — x ） X In jc Xdz,
V2 =2兀 j（ ）In j? djr =2兀e] lnzdz 一 2兀 j j? In xAx = -^-（4e 一 e2 一 1）,
x esln' dy 一 ye 十I e.—sin ）d<7 ,
）工 e_sin，djy 一 『+ e心）de ,
D因为区域D关于y =z 对称,所以]I( esin y + e"sin’)de = + e")dc
D D
」 亠一 」 」 亠 」
于 jc e sin ydy 一 ye sin xaj? x e —sin ydy — ye sin xdr ・
L
L
方法二 令Li :y =0（起点x =0,终点工=兀），
L2 tx =7v（起点 y =0,终点 y 7t),
L3 ：y =兀（起点工=兀，终点工=0）,
L4 ：x = 0（起点y =兀，终点y = 0）,
」 」 ]
左边= x esin dy — y e_sin 'r dx + jc e sin ydy — ye sin xdr 十
Li 1.2
」 亠 」 | 」 亠— 」
x e sin yay 一 ye— sin xdr 十 x e sin ydy 一 ye sin xdr
L3 L4
」 *0 fn
7te sin yay 7te_slnxcljc =7T (esin" +e~sin')d^；
X Jo
0
右边= x e~sin dy 一 y es,n' dr + x e_sin 丿 djy — y esin 才 dr +
L2
」 」
x e~s,n dy 一 y esin" dr + jc e —sin ydy 一 ye sin xdr
5 L4
fn
*0 」 工、」
7re_s,门-v dy — 7re sin hdjr = 7T /( e sin x 十i e sin )clz 9
o n J。
则 > ^esin>dj/ — ye~smTdx = 、 } oc e— sin vd 」 y — ye sin jc d 」 r
t
、 1 _ 丄 小―
（n）＜ } x e sin v aJ y 一 ye —sin xdz=-^-山(/e ^ sin 十 e sin x ）ck +』（e® +已心）站
D D
一丄 、」_
(/ e sin v 十I e —sin y +\ e^s in i 十i e sin x)da
=_2
D
1
（2 + 2）d（x = 2rr2.
2
D
（16）【解】 （I ）设〃次击打桩打进地下深度为工「汽锤第 71 次击打所做的功为W”，则
乂 b 2
= 1 kjc djr = kx dj?=
0 0
2 kx Ax = f (云
W2 —/ ),
! 2
o A
W3 kx djr = —(j? 3 —) 9
2
2
由W2 =rW x 得云 一 a2 =ra2 解得云=(1 + r )a2
由W3 =rW2 =r2Wx ,得云 一 (1 + r)a2 = r2a2 或工]=(1 + r + r2 )<22
于是x 3 = a/1 + r + r2 a 9即汽锤经过3次击打后桩的深度为%/1 +厂+厂? Q米.
(n )由归纳法，设 xn — yi + r + ••• + rn~x a ,
W卄 1 = J "+1 kx dx =专(2 i+i —云)=专[攵 tn — (1 + r + …+ )a2],
由 Wn+1 =r"W1 得1+1 — (1 + r H----+ r"~' )a2] =yr"a2 ,_______________ /I _ 厂”+1
解得 工”+] = J\ + 厂 + ... + 厂” a = /—--------a ,
于是lim^n+1 =』=，即若不限击打次数，汽锤最多可以将桩打进地下二二米.
i 71 -r 71^7
方法点评：本题考查定积分的物理应用.理解元素法的思想本质，掌握元素法的分析方法.
(I)立=丄=」
(17)【解】
dy dy y (j?)
dx
1 1 /
/ ajc
) 』'(攵) y"(工)
dy2 dy dy / dj? j/(h ) y，3 (工)
代入原方程整理得X prix.
d? v
(II) -一2 — y = 0的特征方程为A 2 — 1 = 0,特征值为A ! = — 1,入2 =1,
-~~2 — y =0 的通解为 y = C1 + C2e".
d_z
令—》=sin _z的特解为％ (z ) =acos x + 6sin x，代入原方程得a =0,6 =——\ ,
djr 2
原方程的通解为y — C； e_J + C2eJ----sin oc.
3
X —I 1 •
由初始条件 _y(0) = 0,y'(0)=—得 Ci = — 1 ,C2 =1,故 y = e —e----sin x
方法点评：本题考查原函数与反函数一阶导数与二阶导数之间的关系及微分方程的求解.
函数与其反函数一阶导数与二阶导数之间的关系有如下两点：
(1)j/ =/(j ：)可导且 ff (x )工0,则 y =/(a:)存在反函数工= g(y),_z =g(y)可导
]
且 g'(y)
(2)设y = f (x )二阶可导且fr (j：)工0,则y = f (a:)存在反函数工—g (y) ,j： =g(y)二
d 1 1 /
=d[g，(y)] = _f'(x )_ djc fa) fj)
阶可导且g\y)
dy dy 业 —f'S — f'^xY
djr
(18)【解】 cpf (r2 )dr = 47r I r2/(r2 )dr ,
J o
J
f+ y2)da rf(r2 )dr = 2?r r/(r2 )dr ,
o
D(z)
/(jc 2 )dj? = 2 f
/(jc2 )djc
—t J or2/(r2 )dr rf (r2)dr
则 F(t) = 2 ---------------， G(f)=兀 p- o ------ ・
r/(r2)dr /(j? 2 )djr
J
0
o Jo0
t f r/(r2 )dr 一 f r2/(r2 )dr
Jo
0 o
F'U) = 2tfH
r/(r2)d厂)
令爭(f)=J r/ (r2 )dr — J r2/(r2 )dr ,
cp (0) = 0,
爭'(/) 1 rf(r2)dr > 0(t > 0),
o
^(0)=0, 得 ®(/) >0(/ >0),于是 F'U) >0(/ >0),故 F&)在(0,+oo)
由
(P (t) > Q(t > 0),
内单调增加.
• [ r/(r2 )dr
7t
J o
(n)g&)=—
/(r2 )dr
J o
当 t > 0 时,F(^) G(^) > 0 等价于[f(rz)dr\l r2f(r2)dr 2
>0.
」
77CC J 0 Jo0 0
J /(r2 )dr| r2/(r2 )dr— [] r/(r2 )dr^j 2
令 h(t)= ,h (0) = 0 ,
0
h\t) =/(〃)'/(厂2)(/ _ 厂)2卄，当 £ > 0 时 /'(/) > 0,
J 0
h (0) = 0 ,
由 得 hdt) > 0(/ > 0),于是 F(z) > —G(z).
hit) > 0(1 > 0), 7T
3 2 2
(19)【解】 方法一 |A| = 2 3 2 7,
2 2 3
丄 丄 丄 5_ _2 2
1 1 1 7 7 7 1 0 0 7 _7 7
/3 2 2 1 0 °\
_2 5_ _2 2 _5 2
由 2 3 2 0 1 0 1 0 7 7 '7 —A 0 1 0 '7 7 7
I1
'2 2 3 0 0 2 2 £ _2 §
0 0 1 '7 '7 7 0 0 1 '7 _7 7
，5 -2 -2
得A |A lA-1 -2 5 -2
'-2 -2 5
J: 1 0 1 0 ?)■ p 0 1 0 1 ° 0 \ 卜 卩 0 0 0 1 —
0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0
、0 ♦ 11
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
Q 1 -1
得厂 1 0 0
0 0 1-2 -2 0 1 0 ，7 0 0
于是 B=P A * P = 1 5 -2 1 0 1 -2 5 —4
-2 5 0 0 1 '-2 -2 3
，9 0
B + 2E = _ 2 7
'-2 -2
A - 9 0 0
由丨入E —(B +2E) | = 2 A -7 4 (A -3)(A - 9)2 =0,
2 2 A -5
得〃十2E的特征值为A 1 = 3 ,入2 =入 3 = 9.
当人1 = 3时，解方程组[3E - (B +2E)]X =0,
r6 0 0 \ Z1 0 冷'得…5寺征值「
由 3E - (B +2E) = 2 —4 4—01
' 2 -2/ '0 0 0 '
2
的特征向量为g t
当入2 =入3 =9时，解方程组[9E - (B + 2E)]X =0,
/° 0 °\ I1 1 2\
由 9E-(B+2E)= 2 2 4 -A 0 0 0 ,得B+2E的属于特征值入2 =入3 =9的线
J 'o
2 0
性无关的特征向量为
§2
故 的特征值为； 入 =入 属于入 的全部特征向量为
U + 2E li = 3, 2 3 = 9, i = 3
为任意非零常数)；属于入 =入 的全部特征向量为怡 怡 毎 为不全为
2 3= 9 2§2+ 3§3 2'&3
零的任意常数).
A — 3 — 2 — 2
方法二 由丨 AE-A |= -2 A -3 -2 = (A - 1)2(A -7) = 0 得矩阵 的特
A
—2 — 2 A — 3
征值为入1 = A 2 =】9入3 = 7：
入 1 =& =1 代入 QE — A)X = 0,
/I 1 1、
由 E — A -> 0 0 0 |得A的属于A 1 = A 2 =1的线性无关的特征向量为
'o J
0
/_1\ / — ] \
a i = [ 1 | , a 2 = 0
' 0 ' \ 1丿
入 3 =7 代入 QE-A)X =0,I1 0
-1 ,卓、
由7E — A I 0 1 一1|得A的属于入 =7的特征向量为
3
'o 0 0 '
|A | = 7,A*的特征值为单1=7, J」=7,陶 =1,
入 人 人
1 2 3
因为B ~ A * ,所以B的特征值为入 =心=7,入 =1，从而B +2E的特征值为9,9,3.
1 3
B +2E的相应于特征值9,9,3对应的线性无关的特征向量为
方法点评：本题考查矩阵的特征值与特征向量.
矩阵与其关联的矩阵特征值与特征向量之间有一定的关系，主要有如下结论:
(1)设 Aa =入()。，则 f(A)a —f(X0)a ,
匚-】_ 1
A a = -~~(X
9
人
特别地，若A可逆，则Q 0 , 即A与AT,A "特征向量相同.
(2)设Aa =Aoa且P AP=B,则B • P a =A0P-1a ,即A与B特征值相同，B的属于特
征值;I。的特征向量为P a.
(20)【证明】方法一
必要性：设三条直线交于一点(工。，％)，即方程组AX=O有非零解(Ho，%,l)T,其中
(a 26 3c \
b 2c 3a 9 则 | A | = 0 ,
c 2a 3b'
a 2b 3 c 1 2 3 1 2 3
而A | = b 2c 3a =(Q +b +c) b 2c 3a =(a + 6 + c ) 0 2c -2b 3a —3b
c 2a 3b c 2a 3b 0 2a 一 2c 3b —3c
= — 6(a + b + C)(a? + 快 + C 2 _ ab — ac — be)
=一3(a +6 +c)[(a —bY + (6 —c)2 + (c —a)2~\ 且(a —b)2 + (b —c)2 + (c —a)2 丰 09
故 Q-pb+c = 0・
充分性：设a+b+c=O,将方程组前两个方程相加得方程组的同解方程组为
ax + 2by = 一 3c 9
bx + 2cy = 一 3a ・a 2b
因为 =2〈ac — 62 ) = — 2[a(a + b) + 62] = — [a2 + b2 + (a + bY~\ H 0 ,
b 2c
所以方程组有唯一解，即三条直线交于一点.
方法二
\ax + 2by = 一 3c，
必要性：设三条直线交于一点，即方程组\bx +2cy=-3a,有唯一解，
[ex + 2ay = — 3b
/a 2b
令 A=\b 2c 一 3a 1 ，则 r(A) =r(A) =2,
'c 2a -3丿
从而 |A | = — 3(q + b+ c)[(q — b)2 + (b — c )2 + (c—a)2]=C)9
而(a — 6 )2 + (6 — c )2 + (c — a}2 HO9 故 a + 6 + c = 0.
充分性：设a + 6 + c = 0 ,则厂(A) V3,
a 2b . o
又 =2(ac — b )= — 2[a(a + b)+b2]= — [/ + 尸+(0 + b)2]HC)9
b 2c
[ax + 2by — 一 3c ,
则厂(A ) = 2 9从而r (A ) =r (A ) = 2，即方程组丿处+ 2cy = — 3q ,有唯一解9
]cz + 2ay = — 3b
故三条直线交于一点.
(21)【解】(I)方法一 X的可能取值为0,1,2,3,
9
P{X =0} P{X =1}=
20
1
P{X =2}
20
…为"； 1 2 3 \
_9_ _9_ 丄，于是 E(X)
'20 20 20 20^
人 卩，从甲箱中所取的第Z件产品为次品，
方法二
‘—【0，从甲箱中所取的第2件产品为合格品—’'八
,、 1° M
X：的分布律为X：〜I 1 1 I (z =1,2,3),
'T ~2'
设乙箱中的次品个数为X,则x=x1+x2+x3,
3
故 E(X) =E(X】)+ E(X2)+ E(X3)=》.
(H )令A, =｛X =门(。=0,l,2,3),B =｛从乙箱中取一件产品为次品｝,
12 3
PCB I Ao) =0,P(B I AJ =-,P(B I A2)=-,P(B | A3)=-,由全概率公式得
6 6 6
3 1
P(B)=工P(A,)P(B I A,).
t = o 4方法点评：本题考查一维离散型随机变量的分布及全概率公式.
若一件事需要两步完成，第一步发生的结果未知，求第二步某事件的概率时，一般采用全
概率公式，第一步构造完备事件组A1 ,人2,…，A”，第二步事件为则
PCB)=| A,).
i=l
(22)【解】(I)总体X的分布函数为F(_z ) = P {X W z } = J /(jc )dj;,
当 z <0 时，F(_z)=O；
当 时，F (工)=「2e~2(J-0> 山=— =1 e 一 2（乂_0）
J e o
0, ■r < 0 ,
于是F （工）=
1 —严〜 工—e.
(11 ( j- ) = P {9 J；} = P {min{ Xi ,X?,…，X”} W z }
=1 — P{min{Xi，X2,…，X”} > x }
〉 ・"，
=1 一 P {X}〉_z,X2 h, X” > x }
=1 — P{X1〉z}P{X2 >x}-P{X„ >x}
=1— 口一 P{X1 <^-}][l-P{X2 -F{X„ e今
因为E（0 亠 ）=J C + ° °° 工匕（工）吐= C 「 +8 工「"—叫［2/7（工一。）］
2“(才 一(9) = t J 「 o + 8 0/ +T t \ 「山=9 ° o +°°「山+/ ・+oo r e ' ck =0 + — 1 9
2n
o
所以9不是0的无偏估计量.
