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2007年数学(一)真题解析
—、选择题
(1) 【答案】(E).
1 -U T ,_
【解】In-----------= ln(l+z) — ln( 1 — ,
1 - a/T
1 T
由 ln( 1 + 无)〜x 9 ln( 1 — )〜一9得 In-----------〜，应选(B).
1 — J~x
(2) 【答案】(D).
【解】 由lim/(jr )=°°,得工=0为y =丄+ ln( 1 + eJ )的铅直渐近线；
X
z—O
由 lim f(x ) = 0, lim f〈工)= +°°,得 y =0 为 y =丄 + ln(l + )的水平渐近线；
才— jr
8 x-*4-°o
f ( 1 -4- 1
由 lim -------= 19 lim [/(jr ) — jc ] = lim In----------=。9 得)=无 为 y =------H ln( 1 + e")
jc 丁->+ 8 x-*h-oo oc
的斜渐近线，于是曲线y =- + ln(l + e^ )有3条渐近线，应选(D).
方法点评：曲线的渐近线共有三种类型：
水平渐近线：若limf(x)=A,则y =A为y — f(x)的水平渐近线；
铅直渐近线：若lim/(j: ) —00,则x —a为y —f (j：)的铅直渐近线(f(x )的间断，占、处才可
工
f a
能产生铅直渐近线)；
f (工)
斜渐近线：设lim-------—a (工 0，lim[/(工)—ax J =b ,则 y =ax + b 为曲线 jy =f{x )
X
X-*OO H-*8
的斜渐近线.
(3)【答案】(C).
【解】 方法一 因为/'(工)是奇函数，所以FQ)=「f(t)山为偶函数，
J 0
于是F(-3) =F(3),F(—2) =F(2),根据定积分的几何意义，得
F(2) =* •兀• =守, F(3)=今一* •兀• (*) =等, F(—3)=#F(2),
应选(C).
方法二 根据定积分的几何意义，得
-3 fO
F(-3)= =— =—
o J -3
F(—2) = [ f (t)dt =_ f _ 2L) = 2L
J 0 J —2 2 / 2
F(2) = f /(r)d/=召，F(3)=[于(/)曲=•一 £ ,应选(C).
Jo Z J 0 Zoo方法点评：本题考查定积分的几何意义.
当曲线位于7轴上方时，定积分的值与曲边梯形面积的值相等；当曲线位于.Z轴下方时，
定积分的值与曲边梯形面积的值互为相反数.
（4）【答案】（D）.
f（jr ）丄
【解】 方法一 由lim ------存在，得lim/（jr ）=0,
「
0 X 0
由 /Xz）在工=0 处连续，得 lim/（j?） =/（0） =0；
由 hm /（工）+/（—•）存在，得 =0,
•Tf 0 JC T-^-0
由 /'（工）在工=0 处连续，得 Iim[/（J7） + /（— ）] = 2/（0） =0,于是 /（0） =0；
工-*
0
由lim 了匕丄存在，得lim/（j7） = 0,因为/'Cz）在工=0处连续，所以） = /（0） = 0,
x-*0 X HfO x-*0
再由lim = lim 心）—W 存在，得 十（0）存在，应选（D）.
攵-*
•r-*o X 0 X
方法二 取/（j? ） = “工° '显然lim ）-------—— = 0,但/（j:）在工=0处不
【2, 工=0,
lo x
可导，应选（D）.
方法点评：本题考查连续与可导的概念.
导数定义为_/（◎）= lim "。+节）二/一呂2，其等价定义为
△乂
zlz-*O
/(J： ) — /(^0)
X — X 0
但导数定义要注意以下几点：
（1）趋于零的自变量必须保证从原点两侧趋于零.
/（J；o + Ajt ） — “/ 、 v /（J：o + Aj? ） — ,
lim -------------------------------=丁 +（乂0）, lim --------------------------------=_/_（工°）,
心 Ax 心-
Zki-*oo~-
f'Z存在的充要条件是与fS都存在且相等.
（2）函数增量/（J?o + △久）一于（工0）中，后一项必须为/'（■To）,
如：设f'GQ存在，则lim 十必）：于& +弘）=（a _方”气工0）；反之，若
As 0
h -*-0 h
存在，则厂（…）不一定存在.
iim/（.0+aA）-/U0+m
—0 -h
(5)【答案】(D).
【解】 方法一 取 ) = —In ) = 1>0,"1= /(l) = 0>“2= /(2) = —In 2,
x ,f"G
JC
但｛“”｝发散，(A)不对;
取 /(J?) = A，_/"(z) = 2 > 0,“i = 1〉 = +，但｛“”｝收敛，(E)不对；
u2
jc x 4
取 / (jr) = a-3,/，，(j?) = 6^ >0,“i =1<“2=8,但｛"”｝发散，(C)不对，应选(D).方法二 由拉格朗日中值定理，存在& e（1,2）,乞e（2,3）,-,e„-! e s —1,“），使得
“2 — “I =y（2）—/（1）=/,（^1）,
“3 — UZ =/（3） — y（2） = fW，
Un — “”-1 =/（n） — f（n — 1） =y'（g”_i）,
相加得“” ="1 +_/''（&）+/''（$2）----卜 /"'（£”一1），因为 f"O>0,所以 f\x ）单调增加,
从而 V …V f），于是 $ “1 + G — D/’G ） = "1+ "（"2 — “1），
当 “1 V “2 时，lim“” = +°°,应选（D）.
“f 8
方法三 由f"⑺ > 0得十（工）在（0, +oo）内单调增加.
情形一：存在c e （0, +00）,使得f（c）=o,当工> c时,十（工）>/（c）.
取攵1 >C，当工 > X !时= —工1）,其中 W E （工1，工）.
由 f（jc ） N + /"'（工 i ）（工一工 1 ），两边取极限得 lim /（J7） = +°°,从而 lim/（n） = +°°;
”一►
J-» I 00 00
情形二：对一切的工 6 （0,+O0）,有/•'&） >0,由 fS ^/（1）+ /Z（1）（J7 -1）,两边
取极限得 lim /（jr ） = + 00,从而limf Cn） = + °°;
”一
J- - -» I 00 ►00
情形三：对一切的工e（0,+兀），有十（工）<0,取工> 1,由拉格朗日中值定理，
存在E 6 （1,工），使得/&）=于（1） +/•'（£）（工一1）,两边取极限得lim /（工）=_oo,
工f+ 8
从而 lim/Cn） = — 00,应选（D）.
”一 丿
8
方法点评：本题考查数列极限的存在性，难度较大.涉及由可导函数生成的数列极限的存
在性问题一般采用反例法或微分中值定理.
（6）【答案】（B）.
【解】[于（工，y ）cLr = [ dr, [ /（j? ,3; ）dj/ — [ djy ,
Jr* v r j r j r
因为 dr > 0,dy V 0,所以J f （工，_y）djz =J dj/ V 0,应选（E）.
方法点评：对坐标的曲线积分^P^,y）dx +QCx,y）dy中，当L的方向是从左到右时，
do- > 0,当L的方向是从右到左时，dr V0；当L的方向是从下到上时，dy >0,当L的方向是
从上到下时，dy < 0.
（7）【答案】（A）.
【解】 方法一 由（Oi—a2） + （a2—a3） + （a3~aJ^O,得向量组 a}—az ,a2 ~oi3,
a 3 —a 1 线性相关，应选（A）.
1 1 0 - 1
方法二 (a! ―业 9 (X 2 —(X 3 9 S 一 a )=(么］9。29。3)・| — 1 1 0
' 0 -1 1
1 0 —1 1 0 -1
0
由 -1 1 。! -1 =0,
=
1
0 -1 0 — 1 1
1
得 —U —a 3 9 a 3 a i | — | ct) ? ct 2 9 (X | • 0 — 0 9
2 g 2于是向量组5 — a > ,a2 —a 3,a 3 — a j线性相关，应选（A）.
方法三 令A = （a i ,a 2 ,a 3）,因为a i ,a2 ,a3线性无关，所以r （A） = 3.
I1
0 1
(a! + a2 ,a2 + a3 ,a3 + a 1) = (a j ,a2 ,a3) 1 1 0
'0
1 1
1 0 二”所詁打可逆,
因为1 1
1 'o 1 u
0 1
从而 r (a! + a2 ,a2 + a3 ,a3 + a ,) = r (a j ,a2 ,a3) = 3,艮卩 a】+ a2 ,a2 + a3 ,a3 + ai 线
性无关，(B)不对；
/ 1 0 - 2
(a 1 — 2a 2 ,a 2 — 2a :1,a 3 — 2a!) = (a t ,a 2,a 3) — 2 1 0
' 0 -2 1
1 0 -2 / 1 0 -2\
因为 -2 1 0 =—7H0,所以一2 1 0 可逆，
' 0 -2 1 '
0 - 2 1
^ffnr(a!—2a2,a2—2a3,a3—2aj) =r (a ] ,a2 ,a3) =3,即 a! — 2a2，«2 — 2a3 ,a3 — 2a,
线性无关，（C）不对;
0 2
(a i + 2a 2, a 2 I 2a 3, a 3 I 2a 1) — (a〕，a2，a3)|2 1 0
'0
2 1
1 0 2 /I 0 2、
因为 2 1 0 =9工0,所以2 1 0 可逆,
'o 2 U
0 2 1
从而 r(a ! + 2a2 ,a2 + 2a3 ,a3 + 2a!) =r(a1 ,a2 ,a3) = 3,
即 a i 21,3都是实对称矩阵，且正、负惯性指
数相同，所以A与〃合同，又因为A,B特征值不同，所以A与B不相似，应选（B）.
方法点评：本题考查矩阵的相似与合同关系.
（1） 设为n阶实对称矩阵，则A〜E的充要条件是特征值相同；A二B的充要
条件是特征值中正、负特征值个数相同，故若A,B相似，则A,B —定合同，反之不对.
（2） 设为兀阶不对称矩阵,A〜B的必要条件是A,E特征值相同，其中若A,E都可
对角化，则A〜B；若中一个可对角化，另一个不可对角化，则A,B不相似.
（9）【答案】（C）.
【解】 第4次射击为第2次命中的概率为CM（l—p）%= 3/?（i —“）2,应选（C）.（10） [答案】（A）.
【解】 因为（X,Y）服从二维正态分布，所以X,Y不相关的充分必要条件是X,Y独立,
于是于（工，夕）=心（工）几（夕），故心|丫（工| y）=牛宁¥ = f x & ），应选（A）.
jY（y）
二、填空题
（11） 【答案】 y.
【解】[:护吐=—£屮仔）=]”di — 1疋| ；=亍.
（12） 【答案】yx^f\ +yx\n yf2.
【解】z = f（j：y ,yx ）两边对x求偏导，得产^yx y~l f\ + y T In yf\.
djc
（13） 【答案】Ge’ + C2e3x -2e2"（C1,C2为任意常数）.
【解】j/‘一 4j/ + 3y = 0的特征方程为入$ — 4A + 3= 0,特征值为入1 =1,入2 = 3,
y'-^y' + Zy =0 的通解为 y =d +C2e3j（C1 ,C2 为任意常数）.
令原方程的特解为％（工）=a$，代入原方程得a = —2,于是原方程的通解为
3/=CieJ +C2e3j -2e2j（C!，C2 为任意常数）.
（14） 【答案】字.
【解】由对称性及奇偶性得
+ b I )dS = # I 夕 I dS =*©( 1-^1+ 1^1+ |z|)ds
2
方法点评：本题考查对面积的曲面积分的奇偶性与对称性.
对面积的曲面积分的对称性质如下：
（1）若工关于工0歹平面对称，且位于工Oy平面上方的部分为
当 f Cx ,y , —z) = —/(j： ,y,z )时,z)dS =0
当 f(x,y, — z) — f Cj: ,y ,z)时，］J/(広，夕，z
）dS = 2jJ / （a?，夕，z）dS.
5
（2）若艺关于yOz平面对称，且位于yOz平面前侧的部分为Yi，
当 y（—，n）=—_/（工，$,z)时,y ,z)dS =0
s
当 /（— x ty tz） —f（x 时 ,y ,z）dS =2jJ/（j7 ,y ,z）dS.
■S 2]
（3）若工关于工On 平面对称，且位于工On 平面右侧的部分为工i，当 f (a: , — y ,z) — — f {x ,y ,z)时,y ,z )dS =0
当 ~ y ,z) = ,y ,z) 时I/ (j; ,y ,z)dS =2j I / (a: ,z)dS.
2
(15)【答案】 1.
0 1 0 0、 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 0 0
【解】 由A = ，得M = ，于是 r (A3) = 1.
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0, 0 0 0 0
2
(16)【答案】
【解】 设X,Y为(0,1)内任取的两个数，令D = {(h ,夕)| 0＜工V 1,0 Vy V 1},则二
维随机变量(X,Y)在区域D内服从均匀分布，联合密度函数为
(■r ,歹)6 D ,
(•z @ D.
则 p{| X-Y |0)时9 由
学=4y — 2x2y =0, V = 1 ；
当 x2 y2 =4(j/ $0)时，令 F(j? =x2 +2j/2 — x2 y2 + A(jc2 y2 —4),
=+迈
[F； =2工 一2xy2 + 2Aj? = 0,
由=4夕一 2工纽+ 2入y = 0,得] x = 士 2,
\y = 2, y =0,
[F； = j? 2 + y2 — 4=0,
1 (jq == 0
当 y =0(— 2V«z V2)时,0) = 2 ,由-—f (jc 9O) = 2z = 0 得]
ckz \y = 0.
而 /(+V2 ,1) =2,y(0,2) =8』(士 2,0) =4,”士字，萼)=£,/'(0,0) =0,
故心，y)在D上的最小值为于(0,0) =0,最大值为/(0,2) =&
方法二 当+ j/2 < 4且夕>0时，
由『=2「2目=°得驻点为施'及屁
懐=幼—2宀=0. I"
/(-72 J) =/(a/2 ,1) =2；
当 y =0(— 2W«z £2)时 ,0) = 2,最小值为/(0,0) =0,最大值为/(+ 2,0) = 4；
当工？ + j/=4(，> 0)时，令］ '(0 0,A(a:2) = /(jr2) 一 M < 0,
因为力(厂)力(工2)< 0,所以由零点定理，存在c 6 (口，工2)U (a,b),使得b(c) = 0,于是
h(a) = h(c) = A (6) = 0.
由罗尔中值定理,存在& e(a,c),e2 e a』),使得x(Wi)= h'g= o,
再由罗尔中值定理，存在£ W G，&)U(a”)，使得h"®= 0,即厂(£)= g〃(£).
方法点评：证明形如F(n)(e)=0往往采用罗尔定理进行证明，关键是证明函数满足罗尔
定理的第三个条件.
【例】 设 7"(工)€ C\_a ,h~\,在(a,b)内二阶可导，且 /(a ) = f(b)= 0,/+(a)/L(fe) > 0,
证明：存在£ C (a ,b),使得_/"($) =0.
【证明】 设 f'+(a) > > 0.
由 f+(a )>0,存在工［€ (a,b),使得 J > f(a )=0；由 fL(b) >0,存在工2 6 (a,b),使得 /(jt2) < f(b) =0,
由 f VO,存在 c e Ca,b),使得 /(c) =0.
由罗尔定理，存在 Fi 6 (a,c),f2 6 (c,b),使得厂(&) =_<(5)=0,
再由罗尔定理，存在E 6 (& ,5)U (a,6),使得f"® =0.
(20)【解】(I)令y (工)=》a”z"，贝I]
” =0
夕'(工)=y 72a”H "T ,
n = 1
oo oo
y\jc )=刀 n (n 一 \ }anjcn~2 = 丫 (n + 1) (n + 2)a卄 工"：
2
n=2 n=0
由 7(0)=0,3/z(0) =1 得 a。=0,(1! =1_9
于是 j/‘ 一 2 工 j/ 一 4 j/ = £ (n +1)5 + 2)<2卄 力"—2 刀 nanxn — 4 工
2
n = 0 ” = 1 n = 0
=工("+ 1)(九 + 2)a”+2_r" — 2 另 —
rt = O n = 0 n = 0
=丫[(" + 1)(" + 2)a”+2 —2(" + 2)a”]>z".
n = 0
因为y (z )=另a”z"满足微分方程『一2xy，一 4_y = 0,
ti = 0
所以 G + l)(z? + 2)a 卄 2 —2(x + 2)an = 0,
2
故 a卄 =0,1,2 9 …).
2 =—n + 1
2
(n )由 Qo = 0 及 5(并=0,1,2,…)得 a上=0(怡=1,29…)；
5+2 =— 2
72 + 1
由5 =1及归纳法得。 】=粘("=0,1,2,…),
2”+
卄
00 2 1 00 (/)"
故夕(攵)=工 工 2
=2
” =0 " ! ” = 0 n !
(21)【解】令
工
JC 1 + H 2 + 3 = ° 9
X ! + 2 + CLJC 3 = 0 9
③
V 2
无 工 十0 工 。9
1+4 2 3=
X ! +
2jC
2 + JC 3 =a
— 1・
方程组①、②有公共解的充分必要条件是方程组③有解.
'1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0、
- c = 1 2 a 0 () 1 a — 1 0 0 1 a — 1 0
1 4 a2 0 o 3 a2-l 0 0 0 (a — l)(a — 2) 0
2 1 a ― 1 L0 1 0 a 一 1丿 .0 0 1 — a a — I
当a =1时，方程组③为齐次线性方程组，两个方程组一定有公共解,1 1 r ri i r 1 0 1
1 2 1 0 1 0 0 1 0
由c = 得
1 4 1 0 3 0 0 0 0
.1 2 1, 1° o 0丿 0 0 0.
两方程组的公共解为x=c( 0 j(C为任意常数);
当a H 1时,
1 1 1 0 1 1 1 0
0 1 a — 1 0 0 1 a 一 1 0
C
0 0 a — 2 0 0 0 1 —1
.0 0 1 -1, 0 0 0 a — 2
情形一：当a H 2时，因为r(C)工r(C),所以两个方程组没有公共解；
情形二：当a =2时，由r(C) =r(C) =3得两个方程组有唯一的公共解,
j 1 1 : ° 1 0 0 : 0 '
，0
0 1 1 i ° 0 1 0 ； 1
由c 得唯一公共解％x= 1
0 0 1 一】 0 0 1 ] -1
1
0 0 0 ; o .0 0 0 ; 0 .
(22)【解】( I) 由 Aa i =a 1 ，得
Bet 1 = (AJ — 4A3 + £)ct 1 = A (Xi — 4A3u i H- a( = (1 — 4 + l)ct] = — 2al ,
则S为矩阵B的属于特征值幻=-2的特征向量.
B的其他两个特征值为〃 =A — 4A +1=1, =A 一4入；+1=1,即戶 =〃 =1.
2 2 2 “3 3 2 3
因为A为实对称矩阵，所以B为实对称矩阵，不妨设於的属于特征值〃 宀=1的特征
2=
向量为a =(工
1
，工
2'・3)T.
因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以a?a =0,即'一「+工 =0,于
3
是B的属于特征值〃 2= 心= 1 的线性无关的特征向量为 : 9 a 3
故B的属于特征值知=-2的全部特征向量为紅 剑为任意的非零常数)，
5(
B的属于特征值〃 =宀=1的全部特征向量为k2a2 + k3a3(k2 ^k3为任意的不全为零的
2
常数).
1
(n)方法一令0i
2
单位化得八=1 1
V6
-2 0 0
令P = ，贝lj P rBP = 0 1 0
0 0 1
0
0 0 0 1 -1
于是B 0 1 0 pv 1 0 1
0 0 1 1 1 0
1 1 1
方法二 令 P = (a ] 9业9«3)= I — 1 1 0
' 1
0 1
(_2 0 °\ r2 0 °\ 1 0 i
由 P“BP = 0 1 0 ，得 b =P 0 1 0 pT = 0 1
' 0 J ' 0 j 0 /
0 0 i 1
(23)【解】(I )P{X > 2Y} 于( jc 9 y ) dw d;y = dx 2 (2— 工
J 0o J 0<
x>2y
(U)Fz(z)=P{ZMz}=P{X+YWz}= JJ f (工)clr dy ,
■r+yW：
当 z VO 时，Fz(z) = 0 ；
' z—x ]
当 0 £z< 1 时，Fz(z) = (2 — jc — 3/)dj; = z2----n3 ;
3
o
— f (2 —工一夕)曲=1 —*(2 —N)3
当 1 WnV2 时 9Fz(z)=1 dj? f
J zZ——11 J z
当 z $ 2 时,Fz(z) =1,
2z 一 z2, 0 < z < 1,
于是= z2 — 4z + 4, U V 2,
0, 其他.
~e 1 1 1 , o , i + ^ e , 1
(24)【解】(I)E(X) = x djr + 产.丽二莎也=& + 丁 = 2 +玄'
0 29
— * — 1
令E(X) = X ,得0的矩估计量为e=2X-—.
(n )方法一 E(4X2) =4E(X2) =4{D(X) + [E(X)]2},
因为 E(X2) = 卩 J：2 • 1 — dj? + \2 • ------ i - -----r\ . j r =- e -- 2 - -- , -- i - - + --- - 0 - - + --- - 八 --=-- 护 -- ------ o - ------ i -.
J o lU 0 2(1 -0) 6 66 3 6 6
92 9 . 5
所以 D(X) =E(X?) — [E(X)]2 |~ 9
12 12 48
— 6 1
从而 E(X)=E(X)p + &,
竺土1护+也二10 + 工02 ,故40 不是02的无偏估计量.
于是E(4X2)
3/2 3n 12n方法二
E(4X2) =4E(X2) =4D(X) +4[E(X)]2
4
=—D(X) +4[E(X)]2
n
ri *12 4
=4 —(2^ + 1) +—D(X)
L4 J n
=护 +&+£ + 仝D(X) ＞护，
4 n
故4乂2不是02的无偏估计量.
