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数学（三）参考答案
一、选择题
Cl) C
+-X -+
解 tanx的麦克劳林展开式为X o (x3 ) ,
3
故x— tanx�--x3,则 k =3. 故应选C.
3
CZ) D
解 设f(x)=工5— 5x+k,则 厂(x)=5兀 4— 5'令f 1 Cx)= O,得 x=土1.
1 1
当X<-l时，f (x)> O; 当-l l时，f (x)> 0.
又limf(x)=+=, limf(x)=--=,结 合单调性知，f(-l)>O,f(l)O,J(l) =l-5+k ( -1与矿有关，与 µ 无关
我6 迈6 迈6
故应选A
二、填空题
(9) e-1
1 1 1 1 1 n
…
解 原式=lim(1 ＋ ＋ ＋
n-= 勹丁了 厂言寸
=! 式气飞叶＋（了忙]
(士）
=e
“l
一
im
=
n
=e- 1
．
故应填e-1.
(IO) (六:,-2)
+
解 y'= .s1nx x cosx -2.si n冗 =x cosx -s1nx ,
—
y = cosx- X s1nx - COSX = x s1nx.
令y"=O,得x1=O,x2 =穴，再判断X 1,X 2 两点的左右两侧二阶导数是否异号；
在X 1 左侧y"o,所以拐点为（六' 2).
2
故应填（六'-2).
1
(11)—(1-2,/2)
18 Ia
解 由分部积分法：『 x 2 f(x)dx= -
3
1 fJ I Cx)dx 3 =了 1 x汀ex)Io 1 —
了
1 I x 3 J'(x) dx , CD
又八1) =『五了尸dt=O,J'(x) =./i丁了，代入CD 式：
l
扣 习
a 4
(1)- x 汇了-dx=-_!__·上『五言了dx
3 0 3 4 0
1 2 4 2 3 1 1
＝ · Cl+x ) 1 (1-2迈）．
飞 3 。飞1
故应填一(1-2迈）．
18
(12) 0. 4
= = — — 2 =
解 当PB 20时，QA 500 Pi 20P A + 2• 20 1300 -20P A -Pi,
则f/AA = -— PA — dQ — A =- 刁�-" � 凡 -� �• . ( — 20 — 2P A) = _ _ 2 _ P _ A(P _ _ A _ + 10) - ?'
QA dPA
=
所以f/AA I 0.4. 故应填0.4.
PA =10
(13) 1
。 。 。
解 由题意得
:.-(: —
1 汇
(� —。1 �)-(� —。1 0
1
\
．
。 1 — 1 1 1。 - ．． ． ．
1 a
2
-1 a 0 1 a
2
-1 a 0 a
2
-1 a
1I ．．
= =
要使Ax b有无穷多解，则应使r(A) r(A) < 3,
z— — = =
当a l =a 1 O, 即a l时，r(A) =r(A) =2 < 3.
故应填1.
1 2
（4、
_
丿
3
X
=仁-, O EX -1} = P{F i_ — 1} = P 卢＞ －1
3 4 3 }
纠寸王
= P{X> dx=� .
屈
左2 3
2
故应填—.
3
三解、 答题
(15)解 当X>O时，J'(x) = 2x气lnx+ 1); 当X0 ,
综上 J'(x) = { x +
e (x 1), X <0 .
=— 1
令J'(x) =0,得 驻点x l,x=一．
e
— 一1
当x< l或O j'(x)> 0.
e
(o
—
所以f(x)在区间( 邑-1)和 且－）内单调减少，
e
）
—
在区间( 1,0)和（上，十～ 内单调增加，从而f(x)的极小值为
e
, !( )
— ——1 —1 二
f( 1)= 1 =e''极大值为f(O)= 1.
e e
(16)解 因为
a—g — —
=y-J.(x+y,x y) f,(x+y,x-y),
ax
—
ag —
=x J.( x+ y ,x- y)+ J ,( x+ y ,x -y),
ay
臼＝—
仁(x+ y,x -y)
—
2儿(x+ y,x
—
y)-几(x+ y,x
—
y)'
2
a g —
a 戎 y=1 J• • (x+y,x-y)十几(x+y,x- y),
2
a g — —
2 J• • (x +y,x y)+ 2儿(x+y ,x -y) 儿(x+ y, x -y),
ay
所以
— a 2 g + a 2 g +-a 2 —g — — —
2 2 =1 3f• • (x+y,x-y) 儿(x+ y,x y).
ax a戎Y ay
(17)解 C I)由一阶线性微分方程的通解公式，得
心 l � -f x �
y(x)= i (C+ f e e 扛心）=e (石+C).
2石
因为y(l)=心，所以C=O.
rx
已
从而y(x)= 矿．
(II)D绕x轴旋转所f 得旋转体的体积为
2 x2 xz 2 4 —
V= frc: y (x)心= rcxe dx= 王e 1
1
=王(e e).
2 2
解
(18) 由题意，所求面积为
s += -x I I = （叶1).
= I e SlllX dx= �(�1) "f亡sinx心，
n-0 吓I
-
］(n+l)穴 x (n+l)穴 O, 所以——-< - O,P{Z� —l} > o,
所以
P{X 冬 l,Z 冬-1} # P{X�l}P{Z�-1}.
故X与Z 不相互独立．
(23) 解 C I)由厂f(x矿）dx =I, 得
-w
厂汇了心
l= =AJ: 卜 e-�dt
µ CJ
=A•
三『上
e.. ; dt
=三A,
2�= If; 2
所以A=�.
(I[)设Xi,Xz'…，:r" 为样本X1,X
2
,…，义的观测值，则似然函数为
-�n (x ' -µ)2
L(矿）= IT ,i f(x,;矿 ）＝』卢 六 ）券（矿） 2 n e ;-1 202 , X1 ,Xz'…, x,, 多µ,
,�I lo'
其他，
对数似然函数为
nl L(矿）= 了 n In ； 2 — 了 n nl r, 2 — 2矿 1 � n (x,-µ)2.
d lnL(r, 2) =--n + ] n
z . �(x, -µ)气
dr, 2 加 2矿 ,�I
令 d nl
d
L
a
(
2
矿） o, 得6 2 的最大似然估计值为
(J
A 2 =—
n
1 � n (x, —µ)气
i�I
1 n
所以矿的最大似然估计最为矿＝—�(X, —µ)飞
n ,�1
