数学（三）参考答案
一、选择题
Cl) C
+-X -+
解 tanx的麦克劳林展开式为X o (x3 ) ,
3
故x— tanx�--x3,则 k =3. 故应选C.
3
CZ) D
解 设f(x)=工5— 5x+k,则 厂(x)=5兀 4— 5'令f 1 Cx)= O,得 x=土1.
1 1
当X<-l时，f (x)> O; 当-l<x<l时，_f'(x)< O; 当X> l时，f (x)> 0.
又limf(x)=+=, limf(x)=--=,结 合单调性知，f(-l)>O,f(l)<O时才有三个根，
x-十立， 飞--=-
且三个实根分别在区间(--oo,-1),(-1,1),(1,-f一=)上，
即八— 1)=—1+5+k>O,J(l) =l-5+k <O,则 -4< k< 4. 故应选D.
(3) D
解 由薇分方程通解形式可知，y= CC1 +C
2
x)e一工为齐次方程的通解，
y =e 工 为非齐次方程的特解， -1为特征方程入z +a入+b =0的二重根，
1— a +b= O,
得{ 且l+a +b=c,
a 2 — 4b= O,
由此解得a =Z,b= l,c =4. 故应选D.
(4) B
u I
解 因为l
n-
im
=I nu
"
" I
=O,且 �
n ee)
nu n绝对收敛，由比较判别法可知�
"二 a\
Un也绝对收敛．
2
而当 二条件收敛时,�vn的敛散性不定．
n-1 n n-1
=
(—l)" )i
如果令)i n =(-厅及)in =
ln(n + 1)
时心
n�
：
l
二
n
都是条件收敛，
（沁 = co
而 � )i n = -( 1 ) " 发 散 �， -
(-1)"
收敛，可知�(u n +l!n)的敛散性是不确定的．
n-1 Fl ln(n + 1) n�l
则C、D都不正确．
= I I )/ o·,
2 Un)! n n
再判断 汇)in的敛散性：由于lim n - = n u " I 飞 弝 了 = O , 且 � n u n 绝 对 收 敛 由， 比 较 判 别 法
2 0 1 9 年
n-1 n
二,]
可知区汇））n 是绝对收敛的．故应选B.
n�l
(5) A
解 由线性方程组Ax=O的基础解系中只有2个向械，则2= 4�r(A),故 r(A)=2.
由于当r(A)< n —l时(n 为A的阶数），r(A 补 ）=0. 故应选A.
(6) C
解 设入是A的特征值，根据A 2+A= ZE得入： z+入 2,解 得入�l或—2.）
由于A是3阶实对称矩阵，则A有3个特征值且A的3个特征值的积为IA I的值，
故A的三个特征值的积为1,-2,-2,正惯性指数为1,负惯性指数为2,
T —
故二次型xAx的规范形为Yi—丈 丈．故应选C.
(7) C
解 由P(AB)=P(BA)得
p (AB) = p (A) -p (AB) = p (BA) = p (B)—P(AB)台P(A)=PCB).
故应选C.
(8) A
解 由 X-N(伈矿），Y-N(µ,矿 汃且相互独立，
— X-Y
则E(X Y)=O,D(X-Y)=DX+DY= 2扎得———-N(O,l),
屈6
三仁飞三上} 上）
故P{IX-Y <I l} = P{ = 2cI>( -1与矿有关，与 µ 无关
我6 迈6 迈6
故应选A
二、填空题
(9) e-1
1 1 1 1 1 n
…
解 原式=lim(1 ＋ ＋ ＋
n-= 勹丁了 厂言寸
=! 式气飞叶＋（了忙]
(士）
=e
“l
一
im
=
n
=e- 1
．
故应填e-1.
(IO) (六:,-2)
+
解 y'= .s1nx x cosx -2.si n冗 =x cosx -s1nx ,
—
y = cosx- X s1nx - COSX = x s1nx.
令y"=O,得x1=O,x2 =穴，再判断X 1,X 2 两点的左右两侧二阶导数是否异号；
在X 1 左侧y"<o,右侧y"<o,故(0,2)不是拐点；
—
Xz左侧y"<O ,x2 右侧区间丘竺）内y">o,所以拐点为（六' 2).
2
故应填（六'-2).
1
(11)—(1-2,/2)
18 Ia
解 由分部积分法：『 x 2 f(x)dx= -
3
1 fJ I Cx)dx 3 =了 1 x汀ex)Io 1 —
了
1 I x 3 J'(x) dx , CD
又八1) =『五了尸dt=O,J'(x) =./i丁了，代入CD 式：
l
扣 习
a 4
(1)- x 汇了-dx=-_!__·上『五言了dx
3 0 3 4 0
1 2 4 2 3 1 1
＝ · Cl+x ) 1 (1-2迈）．
飞 3 。飞1
故应填一(1-2迈）．
18
(12) 0. 4
= = — — 2 =
解 当PB 20时，QA 500 Pi 20P A + 2• 20 1300 -20P A -Pi,
则f/AA = -— PA — dQ — A =- 刁�-" � 凡 -� �• . ( — 20 — 2P A) = _ _ 2 _ P _ A(P _ _ A _ + 10) - ?'
QA dPA
=
所以f/AA I 0.4. 故应填0.4.
PA =10
(13) 1
。 。 。
解 由题意得
:.-(: —
1 汇
(� —。1 �)-(� —。1 0
1
\
．
。 1 — 1 1 1。 - ．． ． ．
1 a
2
-1 a 0 1 a
2
-1 a 0 a
2
-1 a
1I ．．
= =
要使Ax b有无穷多解，则应使r(A) r(A) < 3,
z— — = =
当a l =a 1 O, 即a l时，r(A) =r(A) =2 < 3.
故应填1.
1 2
（4、
_
丿
3
X
=仁-, O<x<2,
解 由随机变量X的概率密度f(x) l 可知X的分布函数
o,
其他，
厂�X <
Q,
2
2
F(X)� , O¾x < 2,EX�I. xf(x)dx�L x·fdx�f,
了
l
l, X�2,
P{F(X) > EX -1} = P{F<X) > i_ — 1} = P 卢＞ －1
3 4 3 }
纠寸王
= P{X> dx=� .
屈
左2 3
2
故应填—.
3
三解、 答题
(15)解 当X>O时，J'(x) = 2x气lnx+ 1); 当X<O时，J'(x) = e x (x + 1).
2x— 红lnx —
x 1 = e 1 2xlnx =
因为 lim lim =lim -=, 所以J'(0)不存在．
x一o+ X x-o + X x勺 + X
2x气lnx+ 1) , x >0 ,
综上 J'(x) = { x +
e (x 1), X <0 .
=— 1
令J'(x) =0,得 驻点x l,x=一．
e
— 一1
当x< l或O<x< 时，J'(x)<O ;
淘宝店铺：光速考研工作室—1 时，
当—I<x<O或x> j'(x)> 0.
e
(o
—
所以f(x)在区间( 邑-1)和 且－）内单调减少，
e
）
—
在区间( 1,0)和（上，十～ 内单调增加，从而f(x)的极小值为
e
, !( )
— ——1 —1 二
f( 1)= 1 =e''极大值为f(O)= 1.
e e
(16)解 因为
a—g — —
=y-J.(x+y,x y) f,(x+y,x-y),
ax
—
ag —
=x J.( x+ y ,x- y)+ J ,( x+ y ,x -y),
ay
臼＝—
仁(x+ y,x -y)
—
2儿(x+ y,x
—
y)-几(x+ y,x
—
y)'
2
a g —
a 戎 y=1 J• • (x+y,x-y)十几(x+y,x- y),
2
a g — —
2 J• • (x +y,x y)+ 2儿(x+y ,x -y) 儿(x+ y, x -y),
ay
所以
— a 2 g + a 2 g +-a 2 —g — — —
2 2 =1 3f• • (x+y,x-y) 儿(x+ y,x y).
ax a戎Y ay
(17)解 C I)由一阶线性微分方程的通解公式，得
心 l � -f x �
y(x)= i (C+ f e e 扛心）=e (石+C).
2石
因为y(l)=心，所以C=O.
rx
已
从而y(x)= 矿．
(II)D绕x轴旋转所f 得旋转体的体积为
2 x2 xz 2 4 —
V= frc: y (x)心= rcxe dx= 王e 1
1
=王(e e).
2 2
解
(18) 由题意，所求面积为
s += -x I I = （叶1).
= I e SlllX dx= �(�1) "f亡sinx心，
n-0 吓I
-
］(n+l)穴 x (n+l)穴 <n+D亢 x 心
因为
九亢
尸sinxdx= -e- cosx
“兀 I)
f
n穴 —
e
厂
- c
I
o
)亢
sx
= (-l)"[e 一(n+ 穴十e-n穴J e- x sinxdx.
n穴
厂
得 1) 兀尸 sinxdx= (-1)• [e 一（叶!), 十e-n亢J
n兀 2
穴
所以 S=— 1 � 。[ e -n兀 +e 一 (n+ll六 ］＝ e 六 +1
2 n- 2(e -1)'
淘宝店铺：光速考研工作室= —
(19)解(I)a.+1-a. f x"(x 1) ,Ji-=了dx.
[0,1] — 二7�o o,
因为在积分区间 上，x"(x 1) .jj 且不恒等于
所以a.+1-a.<O,即{a.}单调减少．
三『
当n�2时，因为a. x"/1=了dx
1 2 ' 1 i n —1 1 主
＝－ X n- 1 (1 -X 2 ) + t X n - 2 (l -X 2 ) 2 dx
了 o 3
＝ 二 勹i 一2 /1 -l
3 x " 二飞_n 3 fx· 汀二了dx
0 0
n -l n —1
= —
a.-2 a.,
3 3
—
=n-l = …
所以 a. - a n-2 (n 2'3' ) .
n+Z
c
II)土－＝庄三
．
an-1 n+2 an一1
—
n l —an Jim —a,,
因为{an}单调减少且a,,> O, 所以——-< -<l,从而 -=1.
n + 2 a,,_1 .. -�, a,, 一1
(20)
解 由等价的定义可知：
，
=
P1 ,P2 ,Pa都能由a1,a2,aa线性表示，则有r(a1,a2 ,a3) r(a1 ,a2 ,a:1 ,p口 2,Pa),
对Ca1,a2 ,aa, P1 ,P2 ,Pa)作初等行变换可得：
1
0 1
。
(: � �: : �:)-(� �1 : 2 2
4 4 2 1— 2 0 0 2 -1 2 )
a +3 i a+3 a a + 3 a a-l l-a a -l
=—1
当a 时，有r(a1,a2 ,aa) < r(a1 ,a2 ,aa ,Pi ,P2, 凡）；
= = =
当a l时，有r(a1,a2 ,aa) r(a1 ,a2 ,aa ,P1 ,P2 ,Pa) 2;
= =
可知a#l且a#-l时，此时r(a口a2,a3) r(a1 ,a2 ,as, P1 ,P2 ,Pa) 3,
= —
则有a l或者a#l且a# 1时，Pi,P2 ,Pa可由a1,a2 ,aa线性表示，
，
此时要保证a门a2,aa可由P口 2,Ps线性表示．
�:
对CP1,P2 ,Ps ,a1 ,a2 ,as)作初等行变换可得：
(: : �!)-
+
2 2
a+3 l-a a +3 4 4 a 3
1 1 1
l
2 。 —1
�
3 —
[: : 矿-1 1—a 2a' a I
—2 (1�a)
= =
当a l时，有r(P1,Pz ,p3) r<P1 ,Pz ,p3 ,a1 ,az ,a3) =2,
，
= =
可知当a -=I=-l且a -=/=--l时，此时r(P口 2,p3) rCP1 ,Pz ,p3 ,a1 ,az ,a3) 3,
此时，a1,az ,a3可由P1,Pz ,p3 线性表示．
淘宝店铺：光速考研工作室1 3
综上所述：当a #-1时，向量组O心心与向最组P ,P2 ,p 可相互线性表示．
—\ : ; � � � �;
-
当a ,'c 1时，(a,心心，-(� a' — J (0 1 i � 1 1 )
0 0 a 2 -l :
—
3
则P3=a 1 a2 +a . ! -: 3\
0-
-( 2
: l I
当a�1时，(a,心心,p,)-(�. \ : 』
0 0 0
基础解系为{} 一：
( — —
2) (k E R), 则P,�<3 2k)a, I Ck 2)a, +-ka,.
(21)解 C I)因为矩阵A与B相似，所以tr(A)=t r(B), IA 曰BI,
x-4=y+l, X
即{ — 解得 =3,y =—2.
4x- 8= 2y'
—
C II) 矩阵B的特征多项式为I入E-BI=(入 2)(入十1)(入+2)'
—
所以B的特征值为2' 1,-2.
由于A与B相似，所以A的特征值也为2,-1, -2.
=
1
A的属于特征值2的特征向量为f 0,-2,0)勹
—
A的属于特征值-1的特征向量为名＝（ 2,1,0)勹
A的属千特征值-2的特征向量为名=Cl,-2,—4) T•
°i �)
—
P P
记P,�(名主屯），于是 tA ,�(�
0 0 —2
r;1
B的属千特征值2的特征向量为 =( 1,0, 0)勹
f/2
B的属于特征值-1的特征向量为 =(1,-3,0)勹
T
B的属于特征值--2的特征向量为平=(O,O,l) .
_°I �) .
P P
记P,�(�,,平，平汃于是 ;'B , (� 0 0 -2
1 1 1 1 1
P P1 P P2 P1P P1P
由 -;- A = ;· B , 得C ; )- A( ;- ) =B.
— -'z) 1
2 : 3
P P P 。 。 。 —]
令 � , ;'(�2 1 — 。 。 1 : �F2 : ] :)
4 3
1
P P
则 -1A =zB.
(22)解 CI) 的分布函数为
= —
凡(z)=P{Z冬z} P{XY冬zI Y=—l}P {Y= l}+ P{XY,s;; z I Y=l}P{Y=l}
— —
�pp{ X冬z}+ (1 p)P{X ,s;; z}.+
当z<O时，凡(z)=p P{ X 泛- z} (1 -p)• 0= p e2 ;
+
当z彦0时，凡(z)=p • I Cl -p) P { X�z} =1 -Cl -p) e气
之
pe ， z<o ,
所以Z的概率密度为fz(z)=F卢z)= {
(1 —p) e-z'z彦0.
(Il) Cov(X,Z)=E(XZ) —EX• EZ
=E(X2Y) — EX• E(XY)
=E(X2)• E(Y) -(EX)2• E(Y)
=DX• EY=I — 2p'
1 1
令 Cov(X,Z) =O,得 p=—．所以 p=—时，X与Z 不相关．
2 2
(ill) 因为
P{X�l,Z�— l} =P{X冬l,XY冬—l}=O,
P{X�l} > O,P{Z� —l} > o,
所以
P{X 冬 l,Z 冬-1} # P{X�l}P{Z�-1}.
故X与Z 不相互独立．
(23) 解 C I)由厂f(x矿）dx =I, 得
-w
厂汇了心
l= =AJ: 卜 e-�dt
µ CJ
=A•
三『上
e.. ; dt
=三A,
2�= If; 2
所以A=�.
(I[)设Xi,Xz'…，:r" 为样本X1,X
2
,…，义的观测值，则似然函数为
-�n (x ' -µ)2
L(矿）= IT ,i f(x,;矿 ）＝』卢 六 ）券（矿） 2 n e ;-1 202 , X1 ,Xz'…, x,, 多µ,
,�I lo'
其他，
对数似然函数为
nl L(矿）= 了 n In ； 2 — 了 n nl r, 2 — 2矿 1 � n (x,-µ)2.
d lnL(r, 2) =--n + ] n
z . �(x, -µ)气
dr, 2 加 2矿 ,�I
令 d nl
d
L
a
(
2
矿） o, 得6 2 的最大似然估计值为
(J
A 2 =—
n
1 � n (x, —µ)气
i�I
1 n
所以矿的最大似然估计最为矿＝—�(X, —µ)飞
n ,�1
