经验超市26考研数学一9月月考卷答案解析_06.2026考研数学俞老全程班_00.书籍讲义_经验超市月考卷

经验超市 26 考研数学 9月月考卷——数一答案 1.【答案】： D  【解析】： 1 1 lim(2025xn x2n  x3n)n n 2n x3 1 lim[1n 1n ...1n  xn (x2)n ( )n]n n 2 x3 x3 max{1,x,x2, } (x2). 2 2 故应选 D  . 2.【答案】： D   1 f  x  , f  x 0 x2 0,x0 【解析】：g  f  x    ，而由于 f  x  ，  2 f  x  , f  x 0 x0,x0 需要重新整理等号成立的地方： 1 f  x  , f  x 0 x2,x0 1x,x 0    g  f  x    2 f  x  , f  x 0, f  x 0, x 0g  f  x    2, x 0 .     2 f  x  , f  x 0  x,x0 2x2,x0 x2 2,x0 可合并后面两行： ，故选 D  . 1x,x0 3. 【答案】： D      【解析】：I  2cos(cosx)dx令x u2cos[cos( u)]du 1 0 2 0 2    2cos(sinu)du 2cosudu1， 0 0 1 (1sinx)2 1 1 sinx I   dx   (  )dx 1， 2 12(1sin2 x) 1 2 1sin2 x 1 对于I   f (x)dx，由泰勒公式，有 3 1 f ''() f ''() f(x) f(0) f '(0)x x2 f '(0)x x2，其中介于0与x之间，则： 2 2 1 f ''() 1 f ''() 3 1 I   [f '(0)x x2]dx   x2dx  x2dx 1. 3 1 2 1 2 2 1 故I  I  I .应选 D  . 3 2 1 1经验超市 26 考研数学 9月月考卷——数一答案 4.【答案】： A  【解析】： f(x)在[0,1]上连续，得| f(x)|M,x[0,1]. 1 1 1 |a || nn f(x)dx| nn | f(x)|dx nn Mdx n 1 1 1 n1 n1 n1 1 1 M M  M n(  )  . n n1 n(n1) 3 n2  1 因为 收敛，故原级数绝对收敛.故选 A  . 3 n1 n2 5.【答案】： A     R  A  【解析】：由秩的性质：R  AB R  E n ，而由于R  A n,R  B n nn   R  B  R  A R  B n ，此题由于mnA的行向量无关，列向量相关；B的行向量相关， 列向量无关.故选 A  . 6.【答案】： B  【解析】：取k 0，则排除 A 与 D  .对于 B ，假设Ax k 有解，由已知设 1 2 1 Ax 有解 ，则A(k) AkA k  k  ，该式说明k 是 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Ax  的解，与已知Ax  无解矛盾，故方程组Ax k一定无解， B 正确. 2 2 1 2 对于 C ，若取k 1，则Ax k变为Ax  ，由上述结论知其无解，故 C  1 2 1 2 不正确.故选 B  . 7.【答案】： A  【解析】：二次型矩阵分别为： 2 1 0 1 0 0     A  1 2 0  ，B   0 1 1  .     0 0 a 0 1 0 2经验超市 26 考研数学 9月月考卷——数一答案 由已知，A与B合同，故A与B有相同的正、负惯性指数. 1 0 0 由 |EB| 0 1 1 (1)(21)0 ， 得 B 的 特 征 值 为 0 1  1 5 1 5  1,  0,  . 1 2 2 3 2 2 1 0 由|EA| 1 2 0 (a)(3)(1) ，得A的特征值为a,3,1， 0 0 a 故a0， A 正确. 8.【答案】： B  【解析】：因B A，因而AB  B,AB  A，从而①与②是对的. 至于③：P  BA  P  B P  AB P  B P  B  0， 因而③错误.     P BA P B 至于④：P  B| A   P  B （除非 p  A 1）.     p A p A 9.【答案】： A  x2  【解析】：X 的概率密度为： f (x) 1 e 2 1 2  1 ex2 , x . X 1  2 2 在X  x的条件下，Y 的条件概率密度为： (yx)2  f (y|x) 1 e 2 1 2  1 e(yx)2 , y  . Y|X 1  2 2 X 与Y 的联合概率密度为： 1 f(x,y) f (x)f (y|x) e(2x22xyy2), x, y  . X Y|X  Y 的边缘概率密度为： f (y)   f(x,y)dx    1 e(2x22xyy2)dx  1   e 2(x 1 2 y)2 1 2 y2 dx Y      3经验超市 26 考研数学 9月月考卷——数一答案 (x 1 y)2  2 1  y2  1 2 1 1  y2  e 2  e 4 dx e 2 . 2  1 2 2 2 10.【答案】： B   1 5 5 2 10 【解析】：由于总体X  B5,  E  X  ,D  X    .  3 i 3 i 3 3 9 选项(A)与(B)：  n   X  Cov  X ,X  Cov  X , j1 j  1 Cov  X , n X   1  n Cov  X ,X  . i  i n  n  i j1 j  n j1 i j         当i  j时，X ,X 独立，因而Cov X ,X 0Cov X ,X  i j i j i 1 1 10 Cov  X ,X  D  X  ，(A)错误选 B  . n i i n i 9n 至于选项(C),(D)：    X  X  X   n1 X X  X  X  D X X DX  1 2 n  D X  1 i1 i1 n  i  i n   n i n  n1   X X  X  X  由于样本之间相互独立，因而=D X  D 1 i1 i1 n    n i   n  n1 2 n1 10n1 2 10 n1 10 n23n 10  n3    D  X  D  X  =      .  n  i n2 9  n  9 n2 9 n2 9n 10  n1  D选项类似，结果是 . 9n 11.【答案】：5. f f 【解析】：由已知可得 3x， 4y ，故|gradf(1,1)||3i4j|= 3242 5 . x y 12．【答案】：x yz60. 4经验超市 26 考研数学 9月月考卷——数一答案 i j k 【解析】：平面的法向量为n= 0 1 1 i  j k . 1 2 1 所求的平面方程为(x3)(y2)(z1)0，即x yz60. 1 f  13.【答案】： y . xf z 【解析】：对 y  xf  z  y,z 左右同时对x求导： z z 0 f  z xf  z    y,z 0  y,z  x y z x z f z 1 z z 1 f  整理可得：  ，类似的方法可以得到  y    y . x xf y xf x y xf z z z 【注】：此题中的，即是我们上课讲的, . y z 1 2  14. 【答案】： 4 z 3x2 z 2y 【解析】：由隐函数求导公式可知  ,  ，设D:x2  y2 1，由格林公 x 2ez y 2ez 式可得 z z 原积分 (2x12y 3x2 3y2)dxdy (12x3y2)dxdy x y D D 3 3 2 1   dxdy2xdxdy (x2 y2)dxdy0  d r3dr  . 2 2 0 0 4 D D D 15.【答案】： 0,2,2 T . 【解析】：有题设条件A ,A  ，又 ， 1 1 2 2 2 1 A A  A     0,2,2 T . 2 1 2 1 【注】：如果看不出 ，可以设方程组k k 解出系数k ,k . 2 1 1 1 2 2 1 2 7 16.【答案】： . 8 5经验超市 26 考研数学 9月月考卷——数一答案 【解析】：P  max  X,Y 0  1P  max  X,Y 0  1P  X 0,Y 0 ， 1 1 7 由于X,Y 相互独立，1P  X 0,Y 0 1P  X 0  P  Y 0 1   . 2 4 8 1 17.【答案】： . 2 【解析】：令xt ， 1 1  1 1  e t   1  1 1  1 t t2 原式= lim t2 t1te t lim t 1  e t  lim t  t   t t2   t 1 t 1 1uu2 eu 1uu2 11eu 再令 u，极限=lim lim t u0 u u0 u 1   uu2 1uu2 1 1eu u 1 1  lim  lim 等价替换lim 2  lim  1 . u0 u u0 u u0 u u0 u 2 2 18.【答案】： f(x,y,z)在的最大值为9，最小值为1. 【解析】： f(x,y,z)在有界闭区域上连续，一定存在最大、最小值. f 由 2知 f(x,y,z)在内无驻点，因此 f(x,y,z)在的最大值、最小值都 x 只能在的边界上达到. 求 f(x,y,z)在的边界x2  y2 z2  2上的最大、最小值，即求 f(x,y,z)在 条件x2  y2 z2 20下的最大、最小值. 令F(x,y,z,) 2x2yz25(x2y2z22) ，解方程组 F 22x0.....................(1)  x   F 22y0.....................(2) y   F 2z2z0.................(3)  z  F   x2  y2 z2 2 0.........(4)  由（1），（2）知x y，由（3）知z 0或1.由x y,z 0代入（4） 6经验超市 26 考研数学 9月月考卷——数一答案 知x y 1,z 0.当1时，由（1），（2），（4）也得x y 1,z 0.因此得 驻点P(1,1,0)与P(1,1,0).计算得知 f(P)1, f(P)9. 1 2 1 2 因此， f(x,y,z)在的最大值为9，最小值为1. 19. 【答案】： 6 1 【解析】：( R )R4. 5 4 x2  y2  R, 补平面 : 取下侧，则曲面和平面 形成封闭曲面，由高斯公式，有： 1  z 0, 1 I   (x3z2)dydz(y3x2)dzdx(z3 y2)dxdy  1 (x3 z2)dydz(y3 x2)dzdx(z3  y2)dxdy  1  (3x23y23z2)dv(1)  y2dxdy  x2y2R2 2  R 1 2 R 3 d2d r4sindr  d r3dr 0 0 0 2 0 0 6 1 6 1  R5 R4  ( R )R4. 5 4 5 4 5 3 1 3 20. 【答案】：（1）S(x) ex  ex, x.（2）有极小值S( ln )  15. 2 2 2 5  【解析】：（1）S(x)a xn a a xa x2...,S(0)a 4 ， n 0 1 2 0 n0  S'(x)na xn1a 2a x...,S'(0)a 1， n 1 2 1 n1    S''(x)n(n1)a xn2 a xn2 a xn S(x) ， n n2 n n2 n2 n0 则S''(x)S(x)0，解得S(x)Cex C ex,S'(x)Cex C ex ， 1 2 1 2 C C  4 5 3 又S(0)4,S'(0)1得 1 2 故C  ，C  ， C C 1 1 2 2 2 1 2 5 3 S(x) ex  ex, x. 2 2 7经验超市 26 考研数学 9月月考卷——数一答案 5 3 1 3 （2）由（1）可知S'(x) ex  ex，令S'(x )0，得x  ln ，又 2 2 0 0 2 5 5 3 1 3 S''(x) ex  ex 0，所以x  ln 是S(x)的极小值点， 2 2 0 2 5 1 3 5 1 ln 3 3  1 ln 3 5 3 3 5 故极小值为S( ln )  e2 5  e 2 5    15 . 2 5 2 2 2 5 2 3 a 1 21.【答案】：（1）： ；（2）非0公共解为C 1,1,1,1 T  C 0  . b0 【解析】：（1）由于 II 的通解为C C C ,C 2C ,C 2C ,C T ，代入到 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 C C 0  1 2 方程组 I 中有  b1  C  12b  C 0，看是否有不全为0的C ,C 满足新方程组， 1 2 1 2  2C  3a  C 0  1 2  1 1  1 1      a 1 由于其系数矩阵 b1 12b 初等行变换 0 b ，所以当 时，存在不全为         b0  2 3a  0 1a 0的C ,C 使得存在方程组 II 的非零解也为方程组 I 的解，且此时：C C 0， 1 2 1 2 a 1 （2）因而当 时，非0公共解为C ,C 2C ,C 2C ,C T 中满足C C 0 b0 2 1 2 1 2 2 1 2 的解，即C ,C ,C ,C T C 1,1,1,1 T  C  0 C 1,1,1,1 T  C  0  . 2 2 2 2 2 2  1  1 22.【答案】： a  ,a  . M X L X 【解析】：由题意可知，随机变量X 的分布律为： a 1 P  X k  ( )k,k  0,1,2,.... a1 a1  a 1 a 1  1 1 所以E(X)k ( )k   k( )k1 ， a1 a1 a1 a1 a1 a k0 k1 1  1 因为使得X  ，所以参数a的矩估计量a  . a M X 8经验超市 26 考研数学 9月月考卷——数一答案 对于给定的样本X ,X ,...,X ，设x ,x ,...,x 为样本的观测值， 1 2 n 1 2 n 似然函数为： n L(a) n [ a ( 1 )x i]( a )n( 1 )  i0 x i ， a1 a1 a1 a1 i1 取对数得： n lnL(a) n[lnaln(a1)](x )ln(a1) . i i0 d 1 1 1 n d lnL(a) n(  ) (x ) ，令 lnL(a)0，得 da a a1 a1 i da i0 1 1 1 n  n 1 n(  ) (x )0 ，解得a   . a a1 a1 i0 i L  n X X i i0 9