文档内容
CoCp !"#$%&’()(*+
考前最后 $ 套卷（一）参考答案
一、 选择题
%分!"#$处）
!%&$当 "!# 时，根据导数的定义知
""槡
! #（" （"$% #））#
!=（#）!$.A #
"则# "
!$.A"""（"/"$% ""）
"则#
!$.A为""/@ $.A""$% "
"则# "则#
!#）
当 ""# 时，!=（"）!"""（"/"$% ""）!为""（*/"$% "））
，为""（*/"$% "）， ""#，
因此，!=（"）! 且 !=（"）为奇函数）
#， "!#，
*
令 !=（"）!#，解得 "!# 或 "!H0"，可列表如下：
" （/9，/0 * "） /0 * " （/0 * "，#） # （#，0 * "） 0 * " （0 * "，19）
!=（"） 1 # / # 1 # /
!（"） 单调增加 极大值 单调减少 极小值 单调增加 极大值 单调减少
于是，!（"）有 * 个极小值点，" 个极大值点）应选 处）
C分!"#$处）
!%&$显然 !（#，#）!#，于是根据二元函数的偏导数定义知
-.%（"·#）
/#
#! !（"，#）/!（#，#） " #/#
!$.A !$.A !$.A !#，
#"
（#，#）
"则# " "则# " "则# "
#! !(#，’) /!（#，#） ’/#
!$.A !$.A !*，
#’
（#，#）
’则# ’ ’则# ’
#! #!
即 !#， !*，故!正确，"错误）
#" #’
（#，#） （#，#）
"!考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
再根据二元函数可微的定义知
［!（"，’）/!（#，#）］/［!=（#，#）"1!=（#，#）’］ !（"，’）/’
$.A " ’ !$.A ）
槡 槡
"则# ""1’" "则# ""1’"
’则# ’则#
若（"，’）沿直线 "!# 趋向于（#，#）时，
!（"，’）/’ ’/’
$.A !$.A !#）
槡 槡
"则# ""1’" "则# ""1’"
’则# ’则#
若（"，’）在 ""# 的平面区域内趋向于（#，#）时，
-.%（"’）
/’
!（"，’）/’ " -.%（"’）/"’
（（（（（（（（$.A !$.A !$.A
槡 槡 槡
"则# ""1’" "则# ""1’" "则# " ""1’"
’则# ’则# ’则#
*
（"’）:
?
!/$.A
槡
"则# " ""1’"
’则#
* ""’:
!/ $.A ）
槡
? "则# ""1’"
’则#
’ ’ ’
又因为 槡 ， 槡 !*，所以槡 是有界变量，于是
""1’" ’" ""1’"
""’: ( ’ )
$.A !$.A ""’"· !#）
槡 槡
"则# ""1’" "则# ""1’"
’则# ’则#
［!（"，’）/!（#，#）］/［!=（#，#）"1!=（#，#）’］
因此，$.A
槡
" ’ !#，从而知 !（"，’）在（#，#）处可微，进而
"则# ""1’"
’则#
）! !）’，故$正确）
（#，#）
应选 处）
）分!"#$处）
）
!%&$如右图所示，当 #>">* 时，0"/*7"723452% "7 "，于是
为
0"/* 23452% "
7 ，
*1"" *1""
* 0"/* * 23452% "
! !
进而 ）"7 ）"，即 设7)）
#
*1""
#
*1""
槡 ） *
又因为当 #>">* 时， "7""，23452% "7 "7 "，于是
为 "
于于CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（一）参考答案
*
"
23452% " "
7 槡，
*1"" *1"
* 23452% " * "
! !
进而 ）"7 槡 ）"，即 )7*）
# *1"" # "（*1"）
综上所述，设7)7*，故应选 处）
$分!"#$)）
81" 81" - .
!%&$令 !（"）! ! ! 1 ，通分得
"/"/"" （*/"）（"1"） */" "1"
-（"1"）1.（*/"）!81"，
解得 -!"，.!*）
因为
" * *
!（"）! 1 ·
*/" " "
*1
"
9 * 9 ( ") +
（!"$"+1 $（/*）+ （（ " >*）
" "
+，# +，#
9 ） （/*）+]
（!$ "1 "+（（ " >*），
"+1*
+，#
（/*）+
所以 , !"1 ，进而
+ "+1*
9 , /, 9 ( * * )
（（ $ +1* + !$ /
（, /*）（, /*） , /* , /*
+，# + +1* +，# + +1*
）( * * ) ( * * ) ( * * ) ]
（!$.A / 1 / 1…1 /
+则9 ,
#
/* ,
*
/* ,
*
/* ,
"
/* ,
+
/* ,
+1*
/*
( * * )
（!$.A / ，
+则9 ,
#
/* ,
+1*
/*
* 8 9 , /, " *
又因为 , !"1 ! ，$.A, !$.A, !"，于是 $ +1* + ! /*!/ ，应选 )）
# " " +则9 + +则9 +1* +，# （, + /*）（, +1* /*） : :
小分!"#$(）
!%&$由题设知，& （*）已& !矩，于是
为* *为
已!［& （*）］/*矩&/*!& （/*）矩&
为* *为 为* *为
"）考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
# , , *
# * , ,
!& （/*） &
为* *为
# , * ,
阵 , , *
# , , * * , , #
# * , , , * , #
! & ! ）
*为
# , * , , , * #
阵 # # # # # # 阵
由于 已的各阶顺序主子式为
* , ,
)!*，)!（*/,）（*1,），)! , * , !（*/,）"（*1",），)!阵)，
* " : 为 :
, , *
于是二次型 !!#=已# 为正定二次型时
（*/,）（*1,）7#，（*/,）"（*1",）7#，
*
解得/ >,>*，应选 (）
"
p分!"#$处）
!%&$向量组 !，!，! 与 ，，，，， 等价的充要条件是
* " : * " :
若（!，!，!）!若（，，，，，）!若（!，!，!，，，，，，））
* " : * " : * " : * " :
对矩阵（!，!，!，，，，，，）施以初等行变换，得
* " : * " :
* /" /"
.
* * ,
（!，!，!，，，，，，）! * , , . * , * （（（（（（
* " : * " : .
, 为 , ., * *
* /" /" * * ,
则 # ,1" ,1" # ,/* */,
# 为1", :, # */, */,"
* /" /" * * ,
则 # ,1" ,1" # ,/* */, ）
# # ,/为 # :/:, /（,/*）"
若 ,!/" 时，有
* /" /" * * /" * /" /" * * /"
（!，!，!，，，，，，）则 # # # # /: : 则 # # /" # : /: ，
* " : * " :
# # /? # 阵 /阵 # # # # /* *
"，CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（一）参考答案
则 若（!，!，!）"若（!，!，!，，，，，，），故舍去）
* " : * " : * " :
当 ,!为 时，若（!，!，!）!"，若（!，!，!，，，，，，）!:，故舍去）
* " : * " : * " :
当 ,"/" 且 ,"为 时，若（!，!，!）!若（!，!，!，，，，，，）!:）又
* " : * " : * " :
* * ,
，，，，， ! * , * !/（,/*）"（,1"），
* " :
, * *
于是当 ,"* 且 ,"/" 时，若（，，，，，）!:）
* " :
因此，当 ,"/"，,"为 且 ,"* 时，若（!，!，!）!若（，，，，，）!若（!，!，!，，，，，，）!:，
* " : * " : * " : * " :
此时向量组 !，!，! 与 ，，，，， 等价，应选 处）
* " : * " :
｝分!"#$值）
!%&$已#!， 有解的充分必要条件是 若（已）!若（已，，））
已= o
不妨设 ，!（,
*
，,
"
，…，,
+
）=，依次将矩阵
，= *
最后一列的（/,
*
）倍，（/,
"
）倍，……，
（/, ）倍加至第 * 列，第 " 列，……，第 + 列，得
+
已= o ）已= o]
则 ，
，= * o *
已= o ）已= o]
于是 若 !若 !若（已=）1*!若（已）1*）
，= * o *
又因为
已= 已= o
若（已，，）!若 ，（若 !若（已）1*，
，= ，= *
已= 已= o 已= ）o]
所以 已#!， 有解有若（已）!若（已，，）有若 >若 ，即 %! 无解，应选 值）
，= ，= * ，= *
* #
）* #] ）#] 已=
已=
若取 已! ，，! ，则 若 !若 # # !"，即 %!o只有零解，但 已#!， 无解，故 (错误）
# # * ，= ，=
# *
* # #
* * * #
已=
* # #
已=
若取 已! # # # ，，! * ，则 若 ，= !若 * # # !">:，即 ，= %!o 有非零解，但 已#!，
# # # #
# * #
无解，故 )错误）
）* #] ）#]
若取 已! ，，! ，显然
# # *
"%考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
* # * # #
已=
已= o
若 !若 # # !"，（若 !若 # # # !"，
，= ，= *
# * # * *
已= ）o]
即 %! 有唯一解，但 已#!， 无解，故 处错误）
，= *
已= o
本题的重点在于首先需要确定出矩阵 的秩，该矩阵的秩也可利用广义初等
，= *
变换来求解，过程如下：
已= o 将第“"”列的（/，=）倍加到第“*”列 ）已= o]
”””””””””””””则 ，
，= * o *
已= o ）已= o]
于是 若 !若 !若（已=）1*!若（已）1*）
，= * o *
有分）"#$)）
0［-1（-（.（/）］
）%&$0（- -（.（/）!
0（-（.（/）
0（-）
!
0（-）10（.）10（/）/0（-.）/0（-/）/0（./）10（-./）
*
为 为
! ! ）
* * * * * * * D
1 1 / / / 1
为 为 为 @ @ @ *?
（—（— （— （—
（0（-./）!0（-.）/0（-./）
!0（-）/0（-.）/0（-/）10（-./）
* * * * *
! / / 1 ! ）
为 @ @ *? *?
（—（— （— （— （—（— *
根据对称性知，0（-./）!0（-./）!0（-./）! ，
*?
于是，-，.，/中有且仅有一个发生的概率为
（—（— （— （— （—（— :
0（-./）10（-./）10（-./）! ，
*?
"，CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（一）参考答案
为 : @8
故 为! ，为! ，则 为1为! ，应选 )）
* D " *? * " **"
-分!"#$处）
* *
!%&$A2B｛2，3｝! （213）1 2/3 ）
" "
( * ) *
由（2，3）E4#，#；*，*； ，知 2E4（#，*），3E4（#，*），相关系数 为 ! ，故
" 23 "
则（2/3）!则（2）/则（3）!#，（（（（（（（（（（
>（2/3）!>（2）1>（3）/"4CI（2，3）
槡 槡
!>（2）1>（3）/"为 · >（2）· >（3）
23
*
!*1*/"G G*G*!*，
"
* 7"
于是 2/3E4（#，*））记 B!2/3，则随机变量 B的概率密度函数为 !（7）! 槡 0/ "，故
B
"）
则（ B ）!! ［9 7!（7））7!! ［9 7槡 * 0/ 7 " " ）7
B
（9 （9 "）
!" ! ［9 7·槡 * 0/ 7 " " ）7
# "）
槡
!/ " ! ［9 0/ 7 " " ） ( / 7")
） "
#
槡
" 7"
19 槡
"
!/ 0/
"
! ，
） ）
#
(213) ( 2/3) * * * *
于是，则［A2B｛2，3｝］!则 1则 ! 则（2）1 则（3）1 则（ 2/3 ）! 槡 ，故应选 处）
" " " " " "）
%o分!"#$值）
# *
!%&$由题意可知，2E * * ，2E4（#，*），根据分布函数定义可知，212 的分布函
* " * "
" "
数为
是（"）!0｛212，"｝
* "
!0｛2!#，212，"｝10｛2!*，212，"｝（（全概率公式）
* * " * * "
!0｛2!#，2，"｝10｛2!*，2，"/*｝
* " * "
!0｛2!#｝0｛2，"｝10｛2!*｝0｛2，"/*｝（（2 与 2 相互独立）
* " * " * "
"）考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
* *
! 0｛2，"｝1 0｛2，"/*｝
" " " "
* *
! 是（"）1 是（"/*），
" " " "
故应选 值）
二、 填空题
%%分!"#$/"6
!%&$方程 """1’"17"1""’/""/"’/为71为!# 两边同时对 "求偏导数，得
#7 #7
为"1"7 1"’/"/为 !#，
#" #"
#7 #7
整理得 ""17· 1’/*/" !#） !
#" #"
再对!式两边同时对 "求偏导数，得
#7 #7 #"7 #"7
"1 · 17· /" !#） "
#" #" #"" #""
当 "!#，’!* 时，代入原方程中，解得 7!* 或 :，又因为 77"，则 7!:）
#7
当 "!#，’!*，7!: 时，代入!式中，解得 !#）
#""!#
’!*
#7 #"7
当 "!#，’!*，7!:， !#，代入"中，解得 !/"）
#""!# #"" "!#
’!* ’!*
*
%C分!"#$/ 6
"）
!%&$由于
（（（（（, !
* !）
!（"）4C-+"）"
+ ） （）
! * ! # "4C-+"）"1 * !） ""4C-+"）"
） （） ） #
! * ! # "）-.% +"1 " !） "）-.% +"
+）
（）
+）
#
! ( * "-.% +" ) # / * ! # -.% +"）"1 ( " "-.% +" ) ） / " !） -.% +"）"
+）
/）
+）
（）
+）
#
+）
#
( * ) # ( " ) ）
! 4C-+" 1 4C-+"
+"） +"）
/） #
* "
! （*/4C-+））1 （4C-+）/*）
+"） +"）
"）CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（一）参考答案
*
! （4C-+）/*）
+"）
*
! ）（/*）+/*] （+!*，"，:，…））
+"）
于是
* " *
, ! ·（/"）!/ · ，
"+/* ）（"+/*）" ） （"+/*）"
( ") +" *
进而$.A+", !$.A / · !/ ）
+则9 "+/* +则9 ） （"+/*）" "）
*
%）分）"#$ $% "）
"
， "
" ， ">#，
）%&$!（"）!$.A !*1""
,则19*1""10,"
#， "(#）
* ( *) *
曲线 ’!!（"）与直线 ’! "的交点为 /*，/ ，直线 ’! "
" " "
( * )
与"!* 的交点为 *， ）
"
" *
由于当/*>"># 时， > "，如右图所示，所求平面图形的面
*1"" "
积为
# ( * ") *
< !! "/ ）"1
（*
" *1"" 为
） * * ] # * *
! ""/ $%（*1""） 1 ! $% " ）
为 " 为 "
/*
*
( ") :
%$分）"#$ ）
"
）%&$令函数 K（"，’）!"函1函为，0（"，’）!"函1"’函）
#K #0
由 ! （"1"’）函）"1（"1函:）函）’在右半平面与路径无关，知 ! ，即
#" #’
且
）函 ）函
函1" 1为函: !"函，
）" ）"
）函 函 ）" *
整理得 ! ，于是 / "!为函"，根据一阶非齐次线性微分方程求解公式，知
）" 为函:1" ）函 函
"知考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
"!0
!*
函 ）函
(!
为函"
0（!*
函 ）函 ）函1/
)
!函（"函"1/），
*
( ") :
将 函（"）!* 代入，解得 /!#，因此 函（"）! ）
"
*:
%小分）"#$ 6
"
）%&$由 已矩!已/矩1&，知
已（矩/&）1矩/&!阵，
（已1&）（矩/&）!阵，
于是 若（已1&）1若（矩/&），:）
又因为
:!若（已1矩）!若［（已1&）1（矩/&）］，若（已1&）1若（矩/&），:
所以 若（已1&）1若（矩/&）!:）
因为 矩"&，即 矩/&"阵，所以 若（矩/&）(*，于是 若（已1&），"）又因为
" " *
已1&! : 8 , ，
* " :
" "
已1&中存在二阶子式 "#，所以 若（已1&）("，因此，若（已1&）!"，于是
: 8
" " * # /" /8
已1& ! : 8 , ! # /* ,/阵 !*:/",!#，
* " : * " :
*:
解得 ,! ）
"
%p分）"#$:6
*
）%&$由题意可知，每次取到白球的概率为 ）
为
( * )
设随机变量 2表示“在箱子内取 + 次球中白球的个数”，则 2E.+， ，于是可得 2的分布
为
律为
( * ) I ( : ) +/I
0｛2!I｝!值I· · ，I!#，*，"，…，+）
+ 为 为
因此，在箱子内取 + 次球，至少取出一次白球概率为
白次CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（一）参考答案
( * ) # ( : ) + ( :) +
0｛2(*｝!*/0｛2!#｝!*/值#· · !*/ ）
+ 为 为 为
* ( :) + *
令 0｛2(*｝7 ，即 */ 7 ，解得 + 最小为 :）
" 为 "
三、 解答题
9
%｝分!%&$（（） 由题意可知，<（"）!$ , ""+且 <（#）!, !*）
+ #
+，#
9
因为 <=（"）!$ "+, ""+/*，所以
+
+，*
9
（*/""）<=（"）!（*/""） $ "+, ""+/* （
+
+，*
9 9
!$ "+, ""+/*/$ "+, ""+1*
+ +
+，* +，*
9 9
!$ （"+/*）, ""+/*/$ "+, ""+1*
+/* +
+，* +，*
9 9
!$ （"+1*）, ""+1*/$ "+, ""+1*
+ +
+，# +，*
9 9
!$ （"+1*）, ""+1*/$ "+, ""+1*
+ +
+，# +，#
9 9
!$ , ""+1*!"$ , ""+!"<（"），
+ +
+，# +，#
"
于是可得微分方程（*/""）<=（"）!"<（"），即 <=（"）/ <（"）!#，故
""/*
<（"）!/· 0 ! "" " （* ）"! 槡 / ）
*/""
*
又因为 <（#）!*，解得 /!*，因此 <（"）! 槡 ）
*/""
（’） 如右图所示，>绕 "轴旋转一周所得旋转体的体积为
L * !! （ * " " * ） ( 槡 * * /"" )" ）"!/"） ! # * " "" * /* ）"!/ ( "）· * " $% " " 1 / * * ) # * " !）$% :）
* *
在 >内任取一点（"，’），点（"，’）到直线 "! 的距离为 若! /"）
" "
*
于是，>绕直线 "! 旋转一周所得旋转体的体积为
"
L!* "） ( * /" ) ）"）’!! * " ）" !槡 * * （"" "） ( * /" ) ）’
" " * "
（ #
> "
转旋考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
* * * "
!） !"
槡
）"/"） !"
槡
）"
（ * */"" （ * */""
" "
* *
!"） !"
槡
）"
# */""
*
!"）234-.% " "
#
( ） ) ）"
!"） /# ! ）
? :
%有分!%&$平面区域 >如右图阴影部分所示，且第一象限部分区
， ） }
域为 >，其极坐标表示为 >!（若，，） #，，， ，*，若，"4C-，）
* * :
’
由于 槡 关于 ’为奇函数，于是
（*1""1’"）· ""1’"
’
* ）"）’!#）
槡
（*1""1’"） ""1’"
>
"1’ "
因此， *
槡
）"）’!" *
槡
）"）’
（*1""1’"） ""1’" （*1""1’"） ""1’"
> >*
!" !
）
: ），· !
"4C-， 若4C-，
若）若!" !
）
: 4C-，），· !
"4C-， 若
）若
# *
（*1若"）·若
# *
*1若"
） ） * "4C-，] ）
!" !: 4C-，· $%（*1若"） ），!!: 4C-，［$%（*1为 4C-"，）/$% "］），
"
# * #
槡
） :
!!: $%（8/为 -.%"，））-.% ，/ $% "
"
#
槡 槡
2
令
2
-
2
.%
2
，!
2
#!" :
$%（8/为#"））#/
:
$% "
"
#
槡 : 槡 : #" 槡 :
!［#·$%（8/为#"）］ " 1@ !" ）#/ $% "
# # 8/为#" "
槡 槡 槡 槡
: : 为#" : : ( 8 )
! $% "/" !" ）#/ $% "!/" !" *1 ）#
"
#
为#"/8 "
#
为#"/8
槡
槡 槡 :
槡 : * 槡 * "#/8 "
!/:/8 !" 槡 ）（"#）!/:/8· 槡$% 槡
# （"#）"/（ 8） " " 8 "#18
#
槡 槡 槡
槡 8 8/:
!/:/ $% 槡 槡 ）
" 81:
#·CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（一）参考答案
%-分!%&$由 ）!（"，’）!/（*10’）-.% "）"1（4C-"/*/’）0’）’，知
#! #!
!/（*10’）-.% "，（ !（4C-"/*/’）0’，
#" #’
于是
#!
!（"，’）!! ）"!/! （*10’）-.% "）"!（*10’）4C-"1*（’），
#"
又因为
#!
!0’4C-"1*=（’）!（4C-"/*/’）0’，
#’
所以 *=（’）!（/*/’）0’，故 *（’）!/’0’1/）因此，!（"，’）!（*10’）4C-"/’0’1/，
将 !（#，#）!" 代入解得 /!#，因此 !（"，’）!（*10’）4C-"/’0’）
#!
!/（*10’）-.% "!#，
#" ，"!+），
令 解得 故当 + !"I1* （I!#， H*， H"，…） 时，
#! ’!（/*）+/*，
!0’4C-"/0’/’0’!#，
#’
，"!（"I1*））， ，"!"I），
当 +!"I（I!#，H*，H"，…）时，驻点为
’!/"， ’!#，
又
#"! #"! #"!
!/（*10’）4C-"，（ !/0’-.% "，（ !（4C-"/"/’）0’）
#"" #"#’ #’"
，"!（"I1*））
当 （I!#，H*，H"，…）时，-!*10/"，.!#，/!/0/"，."/-/!0/"（*10/"）7#，所以
’!/"
（（"I1*）），/"）不是函数 !（"，’）的极值点）
，"!"I），
当 （I!#，H*，H"，…）时，-!/"，.!#，/!/*，."/-/!/"># 且 ->#，所以（"I），#）
’!#，
是函数 !（"，’）的极大值点，且极大值为 "）
"/* ’ 7 ，"!*，
Co分!%&$（（） 由题意可知，直线 -.的方程为 ! ! ，即
# * * ’!7）
在曲面 ）上任取一点（"，’，7），并过该点作一垂直于 7轴的截面，该截面与直线 -.交于点
，"!*，
#
（"，’，7），显然 7!7，且点（"，’，7）满足直线方程，有 又点（"，’，7）与点（"，’，7）到 7
# # # # # # # ’!7） # # #
# #
轴距离相同，于是
""1’"!""1’"，
# #
将 "!*，’!7!7代入上式，可知直线 -.绕 7轴旋转而成的旋转曲面 ）的方程为
# # #
的的考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
""1’"!*17"，
即 ""1’"/7"!*）
（’） 记 0（"，’，7）!"!（"’）/""，K（"，’，7）!’"/’!（"’），M（"，’，7）!（71*）"，则有
#0 #K #M
!!（"’）1"’!=（"’）/"， !"’/!（"’）/"’!=（"’）， !"（71*），
#" #’ #7
#0 #K #M
于是 1 1 !"’1"7）
#" #’ #7
补面 ）：7!#（""1’"，*），方向朝下；）：7!*（""1’"，"），方向朝上）且记 ），） 与 ） 所围成
* " * "
的封闭区域为 (）
由高斯公式，知
(#0 #K #M)
3 0）’）71K）7）"1M）"）’!4 1 1 ）L!4 （"’1"7））L，
#" #’ #7
）［）*［）" ( (
根据对称性，有 4 ’）L!#，且
(
* * :
4 7）L!! 7）7 * ）"!） ! （717:））7! ），
为
# #
( ""［’"，*［7"
:
于是， 3 0）’）71K）7）"1M）"）’! ））
"
）［）*［）"
又因为
* 0）’）71K）7）"1M）"）’!* ）"）’!/ * ）"）’!/），
）* ）* ""［’"，*
* 0）’）71K）7）"1M）"）’!* 为）"）’! * 为）"）’!@），
）" ）" ""［’"，"
: **
所以，原式! ）/（/））/@）!/ ））
" "
C%分）%&$（（） 由题意可知，二次型可化为
!（"，"，"）!"""1"""1,""1"""1"8""1"""，
* " : * " : * " * : " :
" * 8
记二次型 !的对应矩阵为 已，且 已! * " * ）
8 * ,
由二次型 !经正交变换所化标准型 !!’"1’"1为’"，知 已的特征值为 （!（!*，（!为，于是
* " : * " :
，53（已）!（1（1（， ，为1,!?，
* " :
（即（
已 !（（（， "（"/8）（81*）!为，
* " :
，,!"， ，,!"，
解得 或
8!# 8!*）
#，CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（一）参考答案
/* /* #
当 ,!"，8!# 时，若（&/已）!若/* /* /* !:，于是 （!（!* 对应线性无关的特征向量个
* "
# /* /*
数为 :/若（&/已）!#，与实对称矩阵 已一定可以相似对角化矛盾，故舍去）
" * *
因此，,!"，8!*，且 已! * " * ）
* * "
当 （!（!* 时，由方程组（&/已）#!o，即
* "
/* /* /* * * *
（&/已）! /* /* /* 则 # # # ，
/* /* /* # # #
解得特征向量 !!（/*，*，#）*，!!（/*，/*，"）*）
* "
当 （!为 时，由方程组（为&/已）#!o，即
:
" /* /* * # /*
为&/已! /* " /* 则 # * /* ，
/* /* " # # #
解得 !!（*，*，*）*）
:
因为 !，!，! 已经正交，仅需将 !，!，! 单位化，得
* " : * " :
槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡
( " " ) * ( ? ? ?) * ( : : :) *
，#!/ ， ，# ，（，#!/ ，/ ， ，（，#! ， ， ，
* " " " ? ? : : : : :
槡 槡 槡
" ? :
/ /
" ? :
槡 槡 槡
" ? :
因此，所求正交矩阵为 ’!（，#，，#，，#）! / ）
* " : " ? :
槡 槡
? :
#
: :
*
（’） 由（（） 知，’*已’!’/*已’! * ，于是
为
* *
已!’ * ’/*!’ * ’*
为 为
H* H*
!’ H* H* ’*
H" H"
是于考研数学考前最后 $ 套卷（数学一）
H* H*
!’ H* ’*’ H* ’*
H" H"
H* "
!’ H* ’* ）
H"
又因为 矩为正定矩阵，所以
槡 槡 槡 槡 槡
" ? : " "
/ / / #
" ? : " "
* 槡 槡 槡 * 槡 槡 槡
" ? : ? ? ?
矩!’ * ’*! / * / /
" ? : ? ? :
" "
槡 槡 槡 槡 槡
? : : : :
#
: : : : :
为 * *
*
! * 为 * ）
:
* * 为
CC分!%&$（（） 则（2）!! ［
（
9
9
"!（"；""））"!!
#
［9
"
""
"
0/
"
"
"
" "）"
"
令槡 !#
222 "" 22 ! ［9 "#"0/#"· 槡 ""）#
#
!"
槡
"" !
［9
#"0/#"）#
#
槡 槡
槡 ） "）
!" "" ! "）
为 "
槡
令 则（2）!
（
2
—
，其中
（
2
—
!
*
$
+
2，解得 "!
" （
2
—
，于是 "" 的矩估计量为"
（量
"!
"（
2
—
"）
+ E ） ）
E，*
（’） 设 "，"，…，"是所给样本的样本值，则似然函数
* " +
且（""）!
， 5
E，
+
* "
" E
"
0（
"
"
"
" E "， "
*
N#，"
"
N#，…，"
+
N#，
#， 其他
! ， "（"+·5 + " E ·0（ "" * " E $ ， + * "" E， " * N#，" " N#，…，" + N#，
E，*
#， 其他）
#他CoCp 年全国硕士研究生招生考试考前最后 $ 套卷（一）参考答案
显然 且（""）的最大值只能在 "7#，"7#，…，"7# 内取到，于是当 "7#，"7#，…，"7# 时，
* " + * " +
+ +
$% 且（""）!$% (5 " E ) 1$% （""）/+1$% 0（ "" * " E $ ，* "" E
E，*
+ * +
!$ $% "/+$% ""/ $ ""）
E，*
E """
E，*
E
）$% 且（""） + * + * +
令 !/ 1 $ "" !#，解得 "" ! $ 2"）由于 且（""）必可取到最大值，故
）"" "" ""为
E，*
E "+
E，*
E
""!
*
$
+
2" 即为 且（""）的最大值点）因此，"" 的最大似然估计量"
（量
"!
*
$
+
2"）
"+ E "+ E
E，* E，*
这里总结了概率论与数理统计中常用的几个公式：
（*） !
［9
0/""）"!" !
［9
0/""）"!
槡
）；
（9 #
槡
（"） !
［9
""0/""）"!" !
［9
""0/""）"!
）
；
"
（9 #
（:） !
［9
"+0/"）"!+！ （+%（））
#
本题第（（） 问中使用到了公式（"））
#）
