(258)--概率强化测评笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

概率统计强化阶段测试1
内
.
随
假
机
设
取
盒
出
内
一
有
个
1 0
产
件
品
产
发
品
现
，
它
其
是
正
正
品
品
数
，
为
则 原
0 ，
来
1
盒
，
内
…
有
， 1
7
0
个
个
正
是
品
等
的
可
概
能
率
的 ， 今 向 盒 内 放 入 一 件 正 品 ， 然 后 从 盒
 
.2
则
A
. 已

P
知

(
m
A
X
)
a x

，

Y
X
为
, Y
随

机
 0
变

，
，
量
B
P
且
(

B
P

)

m

X
a x


0
X
, Y
, Y


0


0
.

, m
3
7
i
，
n 
P
X

, Y
X



0
0



，
P
C


Y


m
0
a

x

 X
4
7
,
，
Y 
设
 0 , m i n  X , Y   0  ，3. 已知随机变量 X 的分布函数为F(x)，概率密度为 f (x).当 x  0时， f (x)连续且
f (x)  F(x).若F(0) 1，则 F(x)  ， f (x)  .4
（
（
（
.
1
2
3
已
）
）
）
知
Y
Y
Y
随



机

e
X
变

1
x
1
,
的
量
,
的
X
X
概
概
X


率
率
~
1
1
密
的
密
N
度
分
度
(
；
0 , 1
布
. （
)
函
结
，
数
果
求
；
可 以 用 标 准 正 态 分 布 函 数  ( x ) 表 示 ）4
（
（
（
.
1
2
3
已
）
）
）
知
Y
Y
Y
随



机

e
X
变

1
x
1
,
的
量
,
的
X
X
概
概
X


率
率
~
1
1
密
的
密
N
度
分
度
(
；
0 , 1
布
. （
)
函
结
，
数
果
求
；
可 以 用 标 准 正 态 分 布 函 数  ( x ) 表 示 ）4
（
（
（
.
1
2
3
已
）
）
）
知
Y
Y
Y
随



机

e
X
变

1
x
1
,
的
量
,
的
X
X
概
概
X


率
率
~
1
1
密
的
密
N
度
分
度
(
；
0 , 1
布
. （
)
函
结
，
数
果
求
；
可 以 用 标 准 正 态 分 布 函 数  ( x ) 表 示 ）5
件
（
（
（
. 设
下
1
2
3
）
）
）
(
，
X
(
Y
P
, Y
Y
X
的

的
,
X
)
Y
边
是
条
)

的
缘
二
件
2
概
概
Y
维
概
率
率

随
率
.
密
密
机
密
变
度
度
度
量
为
f
f
Y
，
f
( x
( y
X
Y |X
, y
) ；
的
(
)
y
；
边
|
缘
x )
概

率

密
3 y
x
0
2
3
,
度
,
为
0
其

他
f
X
y
(

x )
x

，
 3
求
x
0
2
,
, 0
其
 x
他
 1
. 在 给 定 X  x ( 0  x  1 ) 的 条
（1）由题设得 ( X , Y ) 的概率密度为
f ( x , y )  f
X
( x ) f
Y X
( y x ) 
 9 y
x
0
2
,
, 0 
其
y 
他
x  1
（2）由 Y 的边缘概率密度 f
Y
( y )  
 
 
f ( x , y ) d x ，
当 0  y  1 时， f
Y
( y )  
1
y
9 y
x
2
d x  9 y 2 l n x 1y   9 y 2 l n y
从而Y 的边缘概率密度为
9y2ln y,0 y 1
f (y) 
Y 0, 其他
5
件
（
（
（
. 设
下
1
2
3
）
）
）
（
(
，
X
(
Y
P
3
, Y
Y
X
的

）
的
,
X
)
Y
边
是
条
)

的
缘
二
件
2
概
概
Y
维
概
率
率

随
率
.
密
密
P
机
密

变
度
度
度
X
量
为
f
f
Y

X ，
f
Y |X
( x , y
( y ) ；
 2 Y
的
(
)

y
；
边
|

x 
缘
x )
2
y
概

f (
率

x
密
3 y
x
0
, y
度
2
3
,
) d
为
, 0
其
x d

y
他
f
X
y

( x )
 x
 
x  2
0  y 

yx

，
1

9
3
求
y
x
2 x
0 ,
2
,
d
0
x

其
d y
x
他



1
1
0
.
d x
在

给
x
2
0
9
定
y
x
2
X
d y


x (
1
8
0  x  1 ) 的 条6 . 设 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 为 P  X  k  
C
k !
, k  0 , 1 , 2 , ， 则 E X 2  .7. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
f ( x , y ) 
 1
0
, 0
其 ,

他
x  1 , 0  y  2 x
求（1） ( X , Y ) 的边缘概率密度 f (x)， f (y)；
X Y
（2） Z  2 X  Y 的概率密度 f
Z
( z ) .
（3） P

Y 
1
2
X 
1
2

.
（1） X 的边缘概率密度为
f
X
( x )  
 
 
f ( x , y ) d y 


2
0
x
d y 
0 ,
2 x , 0
其

他
x  1
Y 的边缘概率密度为
f
Y
( y )  
 
 
f ( x , y ) d x 


1
y
2
d x 
0
1
,

y
2
, 0
其

他
y  27 . 设
求
（
（
二
（
2
3
维
）
）
1
随
）
Z
P
机


变
(
Y
X
2
量
X

,
(
Y

1
2
X
) 的
Y
X
, Y
边
的

)
概
的
缘
1
2
率

概
概
.
率
率
密
密
密
度
度
度
f
Z
为
f
f
X
( z
( x ,
( x
) .
y
)
)
，

f

Y
1
0
(
, 0
其 ,
y )

；
他
x  1 , 0  y  2 x
【方法一】（分布函数法）Z的分布函数为
F
Z
( z )  P  Z  z   P  2 X  Y  z 
当 z  0 时， F
Z
( z )  0 ；
当 0  z  2 时，
F ( z )
Z


2
1
x


y

1
2
z

f
1
(

x ,
z
2
y )

d
(
x
2
d

y
z

)
1


z
 
2 x  y
1

4
 z
z
f
2
( x , y ) d x d y  1  
1
z2
d x 
2
0
x  z
d y
当 z  2
（公式法）由二维连续型随机变量函数的概率密度公式得
时，F (z)1.
Z
故Z 2X Y的概率密度为
 1
1 z,0 z2
f (z)F (z) 2
Z Z
  0, 其他
f
Z
( z )  
 
 
f ( x , 2 x  z ) d x
其中
f ( x , 2 x  z ) 



1 , 0
其 0 ,
1 , 0
其 0 ,


他
他
x
x


1
1
, 0
, 0


2
z
x


2
z
x
 2 x
当 z  0 或 z  2 时， f
Z
( z )  0 ；
当0 z2时， f
Z
( z )  
1
z2
1 d x  1 
z
2
.
故 Z  2 X  Y 的概率密度为
 1
1 z,0 z2
f (z) 2
Z
  0, 其他7. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
f ( x , y ) 
 1
0
, 0
其 ,

他
x  1 , 0  y  2 x
求（1） ( X , Y ) 的边缘概率密度 f (x)， f (y)；
X Y
（2） Z  2 X  Y 的概率密度 f
Z
( z ) .
（3） P

Y 
1
2
X 
1
2

.
（3）
P

X 
1
2

 
12
 
f
X
 x  d x  
12
0
2 x d x 
1
4
P

X 
1
2
, Y 
1
2

 
12
0
d y 
12y2
1 d x 
1
3
6
由条件概率公式得
 1 1 3
PX  ,Y  
 1 1  2 2 16 3
PY  X    
 2 2  1 1 4
PX  
 2 48. 设随机变量 X
1
, X
2
,   , X
n
相互独立，且都服从期望为 1 的指数分布， Z  m i n  X
1
, X
2
,   , X
n
 求 Z 的
期望和方差.9.设 X
1
, X
2
, , X
n
为来自总体 N ( , 2 )  的样本，令 Y
1
n
i
n
1
X
i
  

 ，则 E Y  ，
DY  .晓千老师概率统计测试题
1 0 .设 总 体 X 的 分 布 函 数 为
F ( x ; , )
1
1
0
x
,
, x
x
 



其 中 0 , 1



 


 
（ 1 ） 当

1
 ， X
1
, X
2
, . . . , X
n
为 来 自 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本 .
  时 ， 求 未 知 参 数 
（ 2 ） 当 1
的 矩 估 计 量 ；
  时 ， 求 未 知 参 数 
（ 3 ） 当 2
的 最 大 似 然 估 计 量 ；
  时 ， 求 未 知 参 数  的 最 大 似 然 估 计 量 .
（1）当 1   时， X 的概率密度为
f ( x ; ) x
0
1
,
, x
x
1
1

  




   
EX   xf (x;)dx   x dx 
 1 x1 1
 X
ˆ
令  X ，解得的矩估计量为 .
1 X 1晓千老师概率统计测试题
1 0 .设 总 体 X 的 分 布 函 数 为
F ( x ; , )
1
1
0
x
,
, x
x
 



其 中 0 , 1



 


 
（ 1 ） 当

1
 ， X
1
, X
2
, . . . , X
n
为 来 自 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本 .
  时 ， 求 未 知 参 数 
（ 2 ） 当 1
的 矩 估 计 量 ；
  时 ， 求 未 知 参 数 
（ 3 ） 当 2
的 最 大 似 然 估 计 量 ；
  时 ， 求 未 知 参 数  的 最 大 似 然 估 计 量 .
（2）对于总体 X 的样本值 x
1
, x
2
, , x
n
，似然函数为
 n
n  ,x 1,i 1,2, n
L() f (x;) (x x x )1 i
i 1 2 n
i1  0, 其他

两边取对数，得
l n L ( ) n l n ( 1 )
i
n
1
l n x
i
      

对求导
d l n
d
L ( ) n
i
n
1
l n x
i

 
  

dlnL() n n
ˆ
令 0，解得 ，故的最大似然估计量为 .
d n n
lnx ln X
i i
i1 i1晓千老师概率统计测试题
1 0 .设 总 体 X 的 分 布 函 数 为
F ( x ; , )
1
1
0
x
,
, x
x
 



其 中 0 , 1



 


 
（ 1 ） 当

1
 ， X
1
, X
2
, . . . , X
n
为 来 自 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本 .
  时 ， 求 未 知 参 数 
（ 2 ） 当 1
的 矩 估 计 量 ；
  时 ， 求 未 知 参 数 
（ 3 ） 当 2
的 最 大 似 然 估 计 量 ；
  时 ， 求 未 知 参 数  的 最 大 似 然 估 计 量 .
（3）当 2   时， X 的概率密度为
2 2
,x
f(x; ) x3
0, x





 


 
对于总体 X 的样本值 x
1
, x
2
, , x
n
，似然函数为
2n 2n
n ,x ,i 1,2, n
L( ) f(x; ) (x x x )3 i
i 1 2 n
i 1 0,
 



  
 
  其他 
当x (i 1,2, n)
i
   时，  越大， L ( )  越大，但  最大不能超过 x
i
( i  1 , 2 , n ) ，故  的最大似
然估计量为 ˆ minX ,X , ,X 
1 2 n
  .
【评注】当似然函数关于未知参数严格单调，则似然函数的最大值在未知参数取值范围的端点取得.谢谢大家！