(258)--概率强化测评笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

概率统计强化阶段测试1 内 . 随 假 机 设 取 盒 出 内 一 有 个 1 0 产 件 品 产 发 品 现 ， 它 其 是 正 正 品 品 数 ， 为 则 原 0 ， 来 1 盒 ， 内 … 有 ， 1 7 0 个 个 正 是 品 等 的 可 概 能 率 的 ， 今 向 盒 内 放 入 一 件 正 品 ， 然 后 从 盒   .2 则 A . 已  P 知  ( m A X ) a x  ，  Y X 为 , Y 随  机  0 变  ， ， 量 B P 且 (  B P  )  m  X a x   0 X , Y , Y   0   0 .  , m 3 7 i ， n  P X  , Y X    0 0    ， P C   Y   m 0 a  x   X 4 7 , ， Y  设  0 , m i n  X , Y   0  ，3. 已知随机变量 X 的分布函数为F(x)，概率密度为 f (x).当 x  0时， f (x)连续且 f (x)  F(x).若F(0) 1，则 F(x)  ， f (x)  .4 （ （ （ . 1 2 3 已 ） ） ） 知 Y Y Y 随    机  e X 变  1 x 1 , 的 量 , 的 X X 概 概 X   率 率 ~ 1 1 密 的 密 N 度 分 度 ( ； 0 , 1 布 . （ ) 函 结 ， 数 果 求 ； 可 以 用 标 准 正 态 分 布 函 数  ( x ) 表 示 ）4 （ （ （ . 1 2 3 已 ） ） ） 知 Y Y Y 随    机  e X 变  1 x 1 , 的 量 , 的 X X 概 概 X   率 率 ~ 1 1 密 的 密 N 度 分 度 ( ； 0 , 1 布 . （ ) 函 结 ， 数 果 求 ； 可 以 用 标 准 正 态 分 布 函 数  ( x ) 表 示 ）4 （ （ （ . 1 2 3 已 ） ） ） 知 Y Y Y 随    机  e X 变  1 x 1 , 的 量 , 的 X X 概 概 X   率 率 ~ 1 1 密 的 密 N 度 分 度 ( ； 0 , 1 布 . （ ) 函 结 ， 数 果 求 ； 可 以 用 标 准 正 态 分 布 函 数  ( x ) 表 示 ）5 件 （ （ （ . 设 下 1 2 3 ） ） ） ( ， X ( Y P , Y Y X 的  的 , X ) Y 边 是 条 )  的 缘 二 件 2 概 概 Y 维 概 率 率  随 率 . 密 密 机 密 变 度 度 度 量 为 f f Y ， f ( x ( y X Y |X , y ) ； 的 ( ) y ； 边 | 缘 x ) 概  率  密 3 y x 0 2 3 , 度 , 为 0 其  他 f X y (  x ) x  ，  3 求 x 0 2 , , 0 其  x 他  1 . 在 给 定 X  x ( 0  x  1 ) 的 条 （1）由题设得 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y )  f X ( x ) f Y X ( y x )   9 y x 0 2 , , 0  其 y  他 x  1 （2）由 Y 的边缘概率密度 f Y ( y )       f ( x , y ) d x ， 当 0  y  1 时， f Y ( y )   1 y 9 y x 2 d x  9 y 2 l n x 1y   9 y 2 l n y 从而Y 的边缘概率密度为 9y2ln y,0 y 1 f (y)  Y 0, 其他 5 件 （ （ （ . 设 下 1 2 3 ） ） ） （ ( ， X ( Y P 3 , Y Y X 的  ） 的 , X ) Y 边 是 条 )  的 缘 二 件 2 概 概 Y 维 概 率 率  随 率 . 密 密 P 机 密  变 度 度 度 X 量 为 f f Y  X ， f Y |X ( x , y ( y ) ；  2 Y 的 ( )  y ； 边 |  x  缘 x ) 2 y 概  f ( 率  x 密 3 y x 0 , y 度 2 3 , ) d 为 , 0 其 x d  y 他 f X y  ( x )  x   x  2 0  y   yx  ， 1  9 3 求 y x 2 x 0 , 2 , d 0 x  其 d y x 他    1 1 0 . d x 在  给 x 2 0 9 定 y x 2 X d y   x ( 1 8 0  x  1 ) 的 条6 . 设 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 为 P  X  k   C k ! , k  0 , 1 , 2 , ， 则 E X 2  .7. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y )   1 0 , 0 其 ,  他 x  1 , 0  y  2 x 求（1） ( X , Y ) 的边缘概率密度 f (x)， f (y)； X Y （2） Z  2 X  Y 的概率密度 f Z ( z ) . （3） P  Y  1 2 X  1 2  . （1） X 的边缘概率密度为 f X ( x )       f ( x , y ) d y    2 0 x d y  0 , 2 x , 0 其  他 x  1 Y 的边缘概率密度为 f Y ( y )       f ( x , y ) d x    1 y 2 d x  0 1 ,  y 2 , 0 其  他 y  27 . 设 求 （ （ 二 （ 2 3 维 ） ） 1 随 ） Z P 机   变 ( Y X 2 量 X  , ( Y  1 2 X ) 的 Y X , Y 边 的  ) 概 的 缘 1 2 率  概 概 . 率 率 密 密 密 度 度 度 f Z 为 f f X ( z ( x , ( x ) . y ) ) ，  f  Y 1 0 ( , 0 其 , y )  ； 他 x  1 , 0  y  2 x 【方法一】（分布函数法）Z的分布函数为 F Z ( z )  P  Z  z   P  2 X  Y  z  当 z  0 时， F Z ( z )  0 ； 当 0  z  2 时， F ( z ) Z   2 1 x   y  1 2 z  f 1 (  x , z 2 y )  d ( x 2 d  y z  ) 1   z   2 x  y 1  4  z z f 2 ( x , y ) d x d y  1   1 z2 d x  2 0 x  z d y 当 z  2 （公式法）由二维连续型随机变量函数的概率密度公式得 时，F (z)1. Z 故Z 2X Y的概率密度为  1 1 z,0 z2 f (z)F (z) 2 Z Z   0, 其他 f Z ( z )       f ( x , 2 x  z ) d x 其中 f ( x , 2 x  z )     1 , 0 其 0 , 1 , 0 其 0 ,   他 他 x x   1 1 , 0 , 0   2 z x   2 z x  2 x 当 z  0 或 z  2 时， f Z ( z )  0 ； 当0 z2时， f Z ( z )   1 z2 1 d x  1  z 2 . 故 Z  2 X  Y 的概率密度为  1 1 z,0 z2 f (z) 2 Z   0, 其他7. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y )   1 0 , 0 其 ,  他 x  1 , 0  y  2 x 求（1） ( X , Y ) 的边缘概率密度 f (x)， f (y)； X Y （2） Z  2 X  Y 的概率密度 f Z ( z ) . （3） P  Y  1 2 X  1 2  . （3） P  X  1 2    12   f X  x  d x   12 0 2 x d x  1 4 P  X  1 2 , Y  1 2    12 0 d y  12y2 1 d x  1 3 6 由条件概率公式得  1 1 3 PX  ,Y    1 1  2 2 16 3 PY  X      2 2  1 1 4 PX    2 48. 设随机变量 X 1 , X 2 ,   , X n 相互独立，且都服从期望为 1 的指数分布， Z  m i n  X 1 , X 2 ,   , X n  求 Z 的 期望和方差.9.设 X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 N ( , 2 )  的样本，令 Y 1 n i n 1 X i      ，则 E Y  ， DY  .晓千老师概率统计测试题 1 0 .设 总 体 X 的 分 布 函 数 为 F ( x ; , ) 1 1 0 x , , x x      其 中 0 , 1          （ 1 ） 当  1  ， X 1 , X 2 , . . . , X n 为 来 自 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本 .   时 ， 求 未 知 参 数  （ 2 ） 当 1 的 矩 估 计 量 ；   时 ， 求 未 知 参 数  （ 3 ） 当 2 的 最 大 似 然 估 计 量 ；   时 ， 求 未 知 参 数  的 最 大 似 然 估 计 量 . （1）当 1   时， X 的概率密度为 f ( x ; ) x 0 1 , , x x 1 1             EX   xf (x;)dx   x dx   1 x1 1  X ˆ 令  X ，解得的矩估计量为 . 1 X 1晓千老师概率统计测试题 1 0 .设 总 体 X 的 分 布 函 数 为 F ( x ; , ) 1 1 0 x , , x x      其 中 0 , 1          （ 1 ） 当  1  ， X 1 , X 2 , . . . , X n 为 来 自 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本 .   时 ， 求 未 知 参 数  （ 2 ） 当 1 的 矩 估 计 量 ；   时 ， 求 未 知 参 数  （ 3 ） 当 2 的 最 大 似 然 估 计 量 ；   时 ， 求 未 知 参 数  的 最 大 似 然 估 计 量 . （2）对于总体 X 的样本值 x 1 , x 2 , , x n ，似然函数为  n n  ,x 1,i 1,2, n L() f (x;) (x x x )1 i i 1 2 n i1  0, 其他  两边取对数，得 l n L ( ) n l n ( 1 ) i n 1 l n x i         对求导 d l n d L ( ) n i n 1 l n x i        dlnL() n n ˆ 令 0，解得 ，故的最大似然估计量为 . d n n lnx ln X i i i1 i1晓千老师概率统计测试题 1 0 .设 总 体 X 的 分 布 函 数 为 F ( x ; , ) 1 1 0 x , , x x      其 中 0 , 1          （ 1 ） 当  1  ， X 1 , X 2 , . . . , X n 为 来 自 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本 .   时 ， 求 未 知 参 数  （ 2 ） 当 1 的 矩 估 计 量 ；   时 ， 求 未 知 参 数  （ 3 ） 当 2 的 最 大 似 然 估 计 量 ；   时 ， 求 未 知 参 数  的 最 大 似 然 估 计 量 . （3）当 2   时， X 的概率密度为 2 2 ,x f(x; ) x3 0, x            对于总体 X 的样本值 x 1 , x 2 , , x n ，似然函数为 2n 2n n ,x ,i 1,2, n L( ) f(x; ) (x x x )3 i i 1 2 n i 1 0,             其他  当x (i 1,2, n) i    时，  越大， L ( )  越大，但  最大不能超过 x i ( i  1 , 2 , n ) ，故  的最大似 然估计量为 ˆ minX ,X , ,X  1 2 n   . 【评注】当似然函数关于未知参数严格单调，则似然函数的最大值在未知参数取值范围的端点取得.谢谢大家！