(312)--周周清第二十周（7.21-7.27）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 7.21-7.27 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设曲线 y x2 1(x0)上有一动点P(a,a2 1)，点P沿曲线运动，速度 da 始终沿曲线在点P处的切线方向，且 0.以点(0,1)为起点，点P为终点的这段曲线与 dt 坐标轴以及直线xa所围成平面区域绕x轴旋转一周得到一个旋转体,记该旋转体的体积 1 5 2 为V .若当点P 运动到点 , 时，点P 的速度为 ，则此时V 关于时间的变化率为 2 4  ____ . x2 y2 2.（数一二三）函数 f(x,y)4x2 3y2 3x2y在椭圆  1上的最大值与最小值 3 4 之差的绝对值为____ 3.（数一二三）设区域D为圆(x1)2  y2 1与圆x2 (y1)2 1所围成的公共部分，计 算 xy(xy1)ex2y2 dxdy D 4.（数一三）独立地投掷一颗均匀骰子，根据切比雪夫不等式，投掷10次的总点数之和满 足25 X 45的概率不小于____ . 5.（数一二三）设常数 ， ，则 在 零点个数是 1 0< < e ( )= − (0,+∞) ______. (A)0. (B)1. (C)2 (D)3. 6.（数一二三）函数 在区域 上的最大值与最小值之积为 2 2 , =1+ + + ≤1 __. 7.（数一二三） 已知向量组 线性相关，而 T T T 1 = 1,1, 线, 性2 =无关1,， ,则1 , 3 = ,1,1 1 = T T T (1,3,2) ,β2 .= 2,7, +4 ,β3 = .0, +2,3 . . (A) ≠−3 (B) =1 (C) =−2 (D) =−3周周清 7.21-7.27 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设曲线y = x2 +1(x0)上有一动点P(a,a2 +1)，点P沿曲线运动，速度始 da 终沿曲线在点P处的切线方向，且 0.以点(0,1)为起点，点P为终点的这段曲线与坐 dt 标轴以及直线x=a所围成平面区域绕x轴旋转一周得到一个旋转体,记该旋转体的体积为 1 5 2 V .若当点P运动到点 , 时，点P的速度为 ，则此时V 关于时间的变化率为 2 4  _ _ _ _ . [知识点]：微分学的综合应用 25 2 [解析]：答案： 16 a 由旋转体的体积公式，旋转体的体积V = (x2 +1)2dx.根据链式法则，V 关于时间 0 的变化率为 dV = dV  da = ( a2 +1 )2  da dt da dt dt da 下面求 ，即点P的速度在x轴上的分量. dt 1 5 1 |  由于曲线在点 , 处的切线斜率为y   =2x =1，故切线与x轴的倾角为 ， 2 4 2 x= 1 4 2 2  2 2 2 故此时点P的速度在x轴上的分量为 cos =  =  4  2  因此，此时的体积V 关于时间的变化率为 ( a2 +1 )2|  2 = 25 2 a= 1  16 2 [易错点]：把实际问题转化为数学问题需要一定的建模能力，这需要平时多积累。x2 y2 2.（数一二三）函数 f(x,y)=4x2 +3y2 −3x+2y在椭圆 + =1上的最大值与最小值 3 4 之差的绝对值为____ [知识点]：拉格朗日乘数法 [解析]：答案：2 43 x2 y2 由于在椭圆 + =1上，4x2 +3y2 =12，故函数 f(x,y)在椭圆上等价于函数 3 4 g(x,y)=12−3x+2y 建立拉格朗日函数 L(x,y,)=12−3x+2y+ ( 4x2 +3y2 −12 ) 求导有 L(x,y,)=−3+8x=0, (1) x  L(x,y,)=2+6y =0, (2) y  L(x,y,)=4x2 +3y2 −12=0. (3)   3 1 9 整理（1）式可得x= ，整理（2）式可得y =− ，由此可得x=− y.代入（3） 8 3 8 43 8 9 式并整理可得 y2 =4，解得y = ，相应的，x= .于是，点 16 43 43  9 8   9 8  − , , ,−      43 43  43 43  9 8   9 8  为可能的极值点，g − , =12+ 43,g ,− =12− 43.比较可      43 43  43 43 得，12+ 43为g(x,y)在椭圆上的最大值，12− 43为g(x,y)在椭圆上的最小值. 因此，所求最大值与最小值之差的绝对值为2 43. [易错点]：将问题转化为拉格朗日乘数法来解决，并注意解方程的一些技巧的使用。3.（数一二三）设区域D为圆(x−1)2 + y2 =1与圆x2 +(y−1)2 =1所围成的公共部分，计 算 xy(x− y+1)ex2+y2dxdy D [知识点]：二重积分的计算 1 [解析]：答案： 2 (x−1)2 + y2 =1 计算两圆的交点.联立两圆方程 ，可得x= y，代入第一个方程可得 x2 +(y−1)2 =1 2x2 −2x=0，解得x=0或x=1，于是，两圆的交点为(0,0)，(1,1).连接两交点的直线 方程为y= x.进一步可得区域D关于直线y= x对称. 由轮换对称性可知， 1 原积分= xy(x− y+1)ex2+y2 +xy(y−x+1)ex2+y2dxdy =xyex2+y2dxdy   2 D D 记区域D位于直线y= x下方的部分为D ，则由轮换对称性可得 1 xyex2+y2 dxdy =2xyex2+y2 dxdy D D 1 xyex2+y2dxdy= 极 = 坐 = 标 =  4cossind 2sin r3er2dr 0 0 D 1 = 1   4cossind 2sin r2er2 d(r2)= t= = r = 2 1   4cossind 4sin2 tetdt 2 0 0 2 0 0 = 1   4cossin  tet | 4sin2 − 4sin2 etdt  d 2 0  0 0  = 1   4cossin ( 4sin2e4sin2−e4sin2+1 ) d 2 0 u=4sin2 1 2 1 2 1 =====  (ueu −eu +1)du =  (u−1)d(eu)+ 16 0 16 0 8= 1  (u−1)eu | 2 − 2 eudu  + 1 = 1 (e2 +1−e2 +1)+ 1 = 1 . 16  0 0  8 16 8 4 1 故xyex2+y2dxdy =2xyex2+y2dxdy = 2 D D 1 [易错点]：合理地使用轮换对称性，并在后续正确计算出积分值，本题计算量较大，需要一 定的耐心和计算能力。4.（数一三）独立地投掷一颗均匀骰子，根据切比雪夫不等式，投掷10次的总点数之和满 足25 X 45的概率不小于____. [知识点]：切比雪夫不等式 17 [解析]：答案： 24 10 设X 为第i(i=1,2, ,10)次投掷骰子时的点数，且X =X i i i=1 计算X 的数字特征. 1 P{X =k}= , k =1,2,,6, i 6 1+2+3+4+5+6 7 E(X )= = , i 6 2 12 +22 +32 +42 +52 +62 91 E(X2)= = , i 6 6 91 49 35 D(X )= E(X2)−[E(X )]2 = − = . i i i 6 4 12 由于X 相互独立，故 i 10 7 10 35 175 E(X)=E(X )=10 =35, D(X)=D(X )=10 = . i 2 i 12 6 i=1 i=1 由切比雪夫不等式可得 P{25 X 45}= P{−10 X −3510}= P{| X −35|10} D(X) 175 17 =1−P{| X −35|10}1− =1− = . 102 600 24 [易错点]：对切比雪夫不等式的概念不熟悉，不会代公式求解。5.（数一二三）设常数0<𝑏 < 1 ，𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−𝑥𝑏，则𝑓(𝑥)在(0, +∞)零点个数是______. e (A) 0. (B) 1. (C) 2 (D) 3. [知识点]：通过求导确定函数单调性区间，分析极值符号和边界极限。 [答案]： C. [解析]：(1)求𝑓(𝑥)的单调性区间： >0,0<𝑥 <𝑥 1 𝑏 1 0 𝑓′(𝑥)= −𝑏𝑥𝑏−1 = ( −𝑥𝑏){=0,𝑥 =𝑥 0 𝑥 𝑥 𝑏 <0,𝑥 >𝑥 0 1 其中𝑥 =( 1 )𝑏 ⇒𝑓(𝑥)在(0,𝑥 ]单调递增，在[𝑥 ,+∞)单调递减，𝑓(𝑥)<𝑓(𝑥 )(𝑥 ∈ 0 0 0 0 𝑏 (0,+∞),𝑥 ≠𝑥 ) . 0 (2) 考察极值的符号： 1 1 𝑏 1 𝑏 1 𝑏 1 1 1 1 1 1 𝑓(𝑥 )=ln( ) −[( ) ] = ln − = (ln −1)> (ln𝑒−1)=0. 0 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 (3) 求边界处极限值： ln𝑥 lim𝑓(𝑥)= lim(ln𝑥−𝑥𝑏)=−∞, lim 𝑓(𝑥)= lim 𝑥𝑏( −1)=−∞. 𝑥→0+ 𝑥→0+ 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑥𝑏 因此𝑓(𝑥)在(0,𝑥 ]连续，单调递增，𝑓(𝑥 )与lim𝑓(𝑥)异号⇒𝑓(𝑥)在(0,𝑥 )存在唯一零点. 0 0 0 𝑥→0+ 𝑓(𝑥)在[𝑥 ,+∞)连续，单调递减，𝑓(𝑥 )与 lim 𝑓(𝑥)异号⇒𝑓(𝑥)在(𝑥 ,+∞)存在唯一零点. 0 0 0 𝑥→+∞ 综合起来,𝑓(𝑥)在(0,+∞)有且仅有2个零点.选(C). [易错点]：求导找单调区间时计算错误，分析极值、极限符号及零点存在性时逻辑不严 谨，遗漏零点情况。6.（数一二三）函数𝑓(𝑥,𝑦)=1+𝑥+𝑦在区域𝑥2+𝑦2 ≤1上的最大值与最小值之积为__. (A) −1. (B) 1. (C) 1+√2. (D) 1−√2. [知识点]：用拉格朗日乘数法求函数在圆域边界的极值，结合无内部驻点，确定最值后求积。 [答案]：A. [解析]：显然𝑓(𝑥,𝑦)=1+𝑥+𝑦在区域𝑥2+𝑦2 ≤1内无驻点，令 𝐹(𝑥,𝑦,𝜆)=1+𝑥+𝑦+𝜆(𝑥2+𝑦2−1)， 令 𝐹′ =1+2𝜆𝑥 =0 𝑥 { 𝐹 𝑦 ′ =1+2𝜆𝑦=0 ，得𝑥 =𝑦=± 1 . √2 𝐹′ =𝑥2+𝑦2−1=0 𝜆 1 1 1 1 𝑓( , )=1+√2为最大值，𝑓(− ,− )=1−√2为最小值，(1+√2)(1−√2)=−1. √2 √2 √2 √2 即应选(A). [易错点]：拉格朗日乘数法解方程出错，或判断最值时符号、计算失误，导致乘积结果错 误。7.（数一二三） 已知向量组𝛼 =(1,1,𝑡)T,𝛼 =(1,𝑡,1)T,𝛼 =(𝑡,1,1)T线性相关，而𝛽 = 1 2 3 1 (1,3,2)T,β =(2,7,𝑡+4)T,β =(0,𝑡+2,3)T线性无关，则 2 3 (A) 𝑡 ≠−3. (B) 𝑡 =1. (C) 𝑡 =−2. (D) 𝑡 =−3. [知识点]：向量组线性相关、线性无关的充要条件。 [答案]：C. [解析]：𝛼 ,𝛼 ,𝛼 相关⇔∣𝛼 ,𝛼 ,𝛼 ∣=0 1 2 3 1 2 3 1 1 𝑡 ⇔|1 𝑡 1|=−(𝑡+2)(𝑡−1)2 =0 𝑡 1 1 故 𝑡 =1 或−2. 𝛽 ,𝛽 ,𝛽 无关⇔∣𝛽 ,𝛽 ,𝛽 ∣≠0 1 2 3 1 2 3 1 2 0 1 0 0 ⇔|3 7 𝑡+2|=|3 1 𝑡+2|=−(𝑡+3)(𝑡−1)≠0 2 𝑡+4 3 2 𝑡 3 𝑡 ≠−3 且 𝑡 ≠1. 因此𝑡 =−2. [易错点]：计算行列式时出错，或求解线性相关、无关对应的参数范围时，未准确取交集/ 并集，导致参数值判断错误。