(400)--专题二无穷小量阶的比较笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课
专题2：无穷小量阶的比较
（P44-54）
主讲 武忠祥 教授一、基本概念与方法
1）无穷小量的概念 若函数 f (x) 当 x  x （或 x   ）时的
0
极限为零，则称 f (x) 为 x  x （或 x   ）时的无穷小量.
0
设
2) 无穷小的比较 (x)  0, (x)  0
( x)
（1）高阶： 若 lim  0 ； 记为 ( x)  (( x));
( x)
( x)
（2）低阶： 若
lim  ;
( x)
( x)
（3）同阶：若
lim  C  0;
( x)
( x)
（4）等价：若 ；记为
lim  1 (x) ~ (x);
( x)
(x)
（5）无穷小的阶: 若 lim  C  0 ，称 ( x) 是 ( x) 的 k 阶无穷小.
[(x)] k3) 无穷小的比较方法
1
1）洛必达法则（求导定阶） f (x)  x 2  ln cos x
2
若 x  0 时 f (x) 是无穷小量，且 f  ( x) 是 x 的 k (k  0)
阶无穷小，则 f (x) 是 k  1 阶无穷小量.
2) 等价无穷小代换
f (x)  (1  cos x)sin x
若 x  0 时 f (x) 是无穷小量，且 f (x) ~ Ax k (A  0,k  0),
则 f (x) 是 x  0 时的 k 阶无穷小量.
2
x
 x 2 x 4 x 2 1 x 2
3）泰勒公式
f (x)  cos x  e 2  [1   (x 4 )] [1   ( ) 2 (x 4 )]
2! 4! 2 2! 2
4
x
  (x 4 )
12二、经典例题
一. 无穷小阶的比较及阶的确定
sin x
【例1】(1993年1,3）设 f (x)   sin(t 2 )d t, g(x)  x 3  x 4 ,
0
则当 x  0 时， f (x) 是 g(x) 的（ ）.
（A）等价无穷小 （B）同阶但非等价无穷小
（C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小
f (x) sin(sin 2 x)cos x x 2 1
【解1】定义
lim  lim  lim 
x0 g(x) x0 3x 2  4x 3 x0 3x 2  4x 3 3
1 1
sin x sin x
【解2】等价代换 f (x)   sin(t 2 )d t ～  t 2 dt  sin 3 x ～ x 3
3 3
0 0
g(x)  x 3  x 4 ～ x 32
x t sin x
【例2】设 f (x)   d t  t ln(1  u 2 )du, g(x)   (1  cos t)dt,
0 0 0
则当 x  0 时， f (x) 是 g(x) 的（ ）.
（A）等价无穷小 （B）同阶但非等价无穷小
（C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小
x
 x ln(1  u 2 )du
f (x)
【解1】定义
lim  lim 0
x0 g(x) x0 [1  cos(sin x 2 )]cos x 2  2x
x
x  ln(1  u 2 )du  x ln(1  u 2 )du
 lim 0
 lim 0
1
x0
x 4  2x x0 x
4
2
ln(1  x 2 ) x 2
 lim  lim  
3 3
x0 4x x0 4x2
x t sin x
【例2】设 f (x)   d t  t ln(1  u 2 )du, g(x)   (1  cos t)dt,
0 0 0
则当 时， 是 的（ ）.
x  0 f (x) g(x)
（A）等价无穷小 （B）同阶但非等价无穷小
（C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小
x x
【解2】估阶
f  (x)   x ln(1  u 2 )du  x  ln(1  u 2 )du
0 0
2
sin x
g(x)   (1  cos t)dt,
0
【解3】估阶 t t
 t ln(1  u 2 )du  t  ln(1  u 2 )du
0 0
x t
f (x)   d t  t ln(1  u 2 )du,
0 0f (x) sin 2 x
【例3】设 f (x) 连续， lim  2, 且当 x  0 时  f (t)dt
x0 1  cos x 0
是 的 阶无穷小，则
x n n 等于
（A）3； （B）4； （C）5； （D）6.
f (x) f (x)
【解】由 知
lim  2 lim  2 ，
x0 1  cos x x0 1
2
x
2
2
sin x

f (t)dt
0【例4】当 x  0 时， 1  cos(sin x) ln(1  x 2 ) 是 x 的多少阶无穷小？
【解】
1  cos(sin x) ln(1  x 2 )
2 4 4
sin x sin x x
 1  [1   (x 4 ) [x 2  (x 4 )]
2! 4! 2
2 4 4
sin x sin x x
  (x 4 ) [x 2  (x 4 )]
2 4! 2
1  cos(sin x) ln(1  x 2 ) 1
lim  
2
x0 x 2
1 1
若   , 是 x 的2阶无穷小. 若   , 则
2 2
1  cos(sin x) ln(1  x 2 )
lim
4
x0 x
1 sin 2 x  x 2 1 1 1 1 1 1
 lim         0
4
2 x0 x 4! 4 6 4! 4 241  x
【例5】已知当 x  0 时, 2arctan x  ln 是 x 的 n 阶无穷小，则 n  ( )
1  x
(A) (B) (C) (D)
1 2 3 4
1  x 2 2
2arctan x  ln 
【解1】 1  x 1  x 2 1  x 2
lim  lim
n n1
x0 x x0 nx
(1  x 2 )  (1  x 2 ) x 2
 2lim  4lim
x0 nx n1 (1  x 2 )(1  x 2 ) x0 nx n1
【解2】排除法【例】当 x  0 时, x sin(sin x)  sin 2 x 与 x k 是同阶无穷小,则
k
（）
（A） （B）
3 4
（C） （D）
5 6
【解】偶函数，排除（A）(C).
x sin(sin x)  sin 2 x x[sin(sin x)  sin x] [x  sin x]sin x
lim  lim  lim
x0 x 4 x0 x 4 x0 x 4
1 1
x[ sin 3 x] [ x 3 ]sin x
6 6
 lim  lim  0
4 4
x0 x x0 x
3
sin x
x sin(sin x)  sin 2 x x[sin x  (x 3 )] sin 2 x
3!
lim  lim
4
x0 x
x0 x
4
sin x(x  sin x) 1
 lim   0
4
x0 x 6n
2 n!
【例6】已知 x  0, x  1  e x n ,(n  1,2,), y  , 则当 n   时,( )
1 n1 n n
n
(A) x 是 y 的高阶无穷小； (B) y 是 x 的高阶无穷小；
n n n n
(C) x 与 y 是等价无穷小； (C) x 与 y 是同阶但不等价无穷小.
n n n n
y
【解】令 z  n , 则 x
若 lim n1  a, 且 a  1, 则 lim x  0.
n
x n
n x n
n n
z y x x 2 2
lim n1  lim n1  n  lim n  
n z n x y n 1  e x n 1 e
n n1 n (1  ) n
n
2
由于  1, 则 lim z  0, 故应选B.
n
e n二. 无穷小按阶排序或求最高（低）阶无穷小
【例1】（2016年2）设
  x(cos x  1),  x ln(1  3 x),  3 x  1  1.
1 2 3
当 x  0  时，以上3个无穷小量从低阶到高阶的排序是
（A） , , . （B） , , .
1 2 3 2 3 1
（C） , , . （D） , , .
2 1 3 3 2 1
【解】1
【例2】设   1  x 3  1  x 4 ,  (1  tan 5 x)sin x  1,  e x 2  e sin x ,
1 2 3
6
x
  , 则当 x  0 时，以上4个无穷小量从低阶到高阶的排序是( )
4
1  cos x 2
（A） , , , . （B） , , , . （C） , , , . （D） , , , .
1 2 3 4 2 3 1 4 2 1 3 4 3 4 1 2
x 3  x 4
【解】   1  x 3  1  x 4 
1
1  x 3  1  x 4
1
  (1  tan 5 x)sin x  1
2
2
  e x  e sin x
3
6
x
 
4
1  cos x 2【例3】(2020年1,2） x  0  时,下列无穷小量中最高阶的是
x x
2
（A） (e t  1)dt. （B） ln(1  t 3 )dt.
0 0
sin x 1cosx
（C）  2 （D）  3
sin t dt. sin tdt.
0 0
【解】【例4】当 x  0 时，下列无穷小中最低阶的是( )
x
（A) ln(1  x 2 )  23 (e x  1) 2 （B) x  sin x   t 2 e t 2 dt
0
x  ln( x  1  x 2 )
（C) x  sin x cos x co s 2 x （D)
x
【解】 ln(1  x 2 )  23 (e x  1) 2
x
2
x  sin x   t 2 e t dt
0
x  sin x cos x cos 2x
x  ln( x  1  x 2 )
x2
x x
【例5】把 x  0  时的无穷小   ln(1  t )dt,   t tan x 2  t 2 dt,
sin x 0
x
   e xt (3 sint  1)dt
0
进行排序，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排到顺序是
(A) ,, (B) ,, (C) ,, (D) ,,
【解】 x 2 x 2 sin x
  ln(1  t )dt   ln(1  t )dt   ln(1  t )dt
sin x 0 0
1 2
x x
   t tan x 2  t 2 dt x 2  t 2  u  tan udu
0 2 0
x x x
   e xt (3 sint  1)dt  e x (3 sint  1)dt ～  (3 sint  1)dt
0 0 0三. 确定无穷小阶的比较问题中的参数
【例1】(2011年2,3）已知当
x  0
函数 f (x)  3sin x  sin 3x 与 cx k 是等价无穷小，则
（A） k  1,c  4. （B） k  1,c  4.
（C） k  3,c  4. （D） k  3,c  4.
【解1】洛必达
【解2】泰勒【例1】(2011年2,3）已知当
x  0
函数 f (x)  3sin x  sin 3x 与 cx k 是等价无穷小，则
（A） k  1,c  4. （B） k  1,c  4.
（C） k  3,c  4. （D） k  3,c  4.
【解3】等价代换
【解4】代入法【例2】(1996年1,2)设 f (x) 有连续导数, f (0)  0, f  (0)  0,
x
F(x)   (x 2  t 2 ) f (t)dt ,且当 x  0 时, F  (x) 与 x k 为同阶无
0
穷小,则 等于
k
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
【解1】直接法
x x
F(x)  x 2  f (t)dt   t 2 f (t)dt
0 0
x x
F  (x)  2x  f (t)dt  x 2 f (x)  x 2 f (x)  2x  f (t)dt
0 0
x

 f (t)dt
F (x)
f (x)
lim  2lim 0  2lim
x0 x k x0 x k1 x0 (k  1)x k2
f  (x) f  (0)
 2lim  2  0 (k  3)
x0 (k  1)(k  2)x k3 (k  1)(k  2)【例2】(1996年1,2)设 f (x) 有连续导数, f (0)  0, f  (0)  0,
x
F(x)   (x 2  t 2 ) f (t)dt ,且当 x  0 时, F  (x) 与 x k 为同阶无
0
穷小,则 等于
k
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
【解2】排除法【例3】(2013年2,3) 当 x  0 时, 1  cos x  cos 2x  cos 3x 与
ax n 为等价无穷小,求 n 与 a 的值.
1  cos x  cos 2x  cos 3x
【解1】
lim
n
x0 ax
sin x  cos 2x  cos 3x  2sin 2x  cos x  cos 3x  3sin 3x  cos x  cos 2x
 lim
n1
x0 nax
sin x  cos 2x  cos 3x  2sin 2x  cos x  cos 3x  3sin 3x  cos x  cos 2x
 lim
x0 2ax
1  4  9 7
 
则 a  7
2a a【例3】(2013年2,3) 当 x  0 时, 1  cos x  cos 2x  cos 3x 与
n 为等价无穷小,求 n 与 a 的值.
ax
1  cos x  cos 2x  cos 3x
【解2】 1  lim
n
x0 ax
2 2 2
x (2x) (3x)
1  [1  (x 2 )][1  (x 2 )][1  (x 2 )]
2 2 2
 lim
n
x0 ax
2 2 2
x (2x) (3x)
 
2
14x
2 2 2
 lim  lim
n n
x0 ax x0 2ax
则 n  2,a  7.【例3】(2013年2,3) 当 x  0 时, 1  cos x  cos 2x  cos 3x 与
ax n 为等价无穷小,求 n 与 a 的值.
1  cos x  cos 2x  cos 3x
【解3】 1  lim
n
x0 ax
(1  cos x)  cos x(1  cos 2x)  cos x cos 2x(1  cos 3x)
 lim
n
x0 ax
1 1  cos x cos x(1  cos 2x) cos x cos 2x(1  cos 3x)
 [lim  lim  lim ]
2 2 2
a x0 x x0 x x0 x
2 2
1 1 2 3 7
 [   ]  (n  2)
a 2 2 2 a
a  7【例3】(2013年2,3) 当 x  0 时, 1  cos x  cos 2x  cos 3x 与
ax n 为等价无穷小,求 n 与 a 的值.
1  cos x  cos 2x  cos 3x
【解4】 1  lim
n
x0 ax
ln cos x  ln cos 2x  ln cos 3x
  lim
n
x0 ax
[cos x  1] [cos 2x  1] [cos 3x  1]
  lim
n
x0 ax
1 1 1 14
x 2  (2x) 2  (3x) 2 x 2
2 2 2 2
 lim  lim
x0 ax n x0 ax n【例4】(2015年1,2,3) 设函数 f (x)  x  a ln(1  x)  bx sin x.g(x)  kx 3 .
若 与 在 时是等价无穷小,求
f (x) g(x) x  0 a,b,k
2 3
x x
【解1】 ln(1  x)  x   (x 3 )
2 3
3
x
sin x  x  (x 3 )
3!
3
a ax
则 f (x)  (1  a)x  (b  )x 2  (x 3 )
2 3
由于当
x  0 时， f (x) ~ kx 3 ,


1  a  0
 1 1
a
则 b   0 故 a  1,b   ,k   .
2 3
2

a

 k

3【例4】(2015年1,2,3) 设函数 f (x)  x  a ln(1  x)  bx sin x.g(x)  kx 3 .
若 与 在 时是等价无穷小,求
f (x) g(x) x  0 a,b,k
f (x) x  bx 2  a ln(1  x)  bx(sin x  x)
【解2】 1  lim  lim
x0 kx 3 x0 kx 3
x  bx 2  a ln(1  x)
 lim
3
x0 kx
2 3
x x
x  bx 2  a(x   (x 3 ))
2 3
 lim
3
x0 kx
1 1
a  1,b   ,k   .
2 31
b
【例5】(2020年,3）已知 a,b 为常数,若（ 1  ) n  e 与 在
n n a
n   时是等价无穷小,求 a,b.
1
1 1
(1  ) n  e nln(1 ) nln(1 )1
e n  e e e n  1
【解1】 n
1  lim  lim  lim
n b n b b n 1
n a n a n a
1 1 1
nln(1  )  1 n[ln(1  )  ]
e e
n n n
 lim  lim
b n 1 b n 1
a a
( ) ( )
n n
1 1 1
n ( )( ) 2
e e e
2 n n
 lim   lim 则 a  1,b   .
b n 1 2b n 1 2
a a
( ) ( )
n n1
b
【例5】(2020年,3）已知 a,b 为常数,若（ 1  ) n  e 与 在
n n a
n   时是等价无穷小,求 a,b.
1
1 nln(1 )
【解2】（ 1  ) n  e  e n  e
n
1

 e [nln(1  )  1]
n
1 1
～ en[ln(1  )  ]
n n
 1 
～ en  
2
 2n 
e
e
 
a  1,b  
2n
2祝同学们
考研路上一路顺利！