(400)--专题二无穷小量阶的比较笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课 专题2：无穷小量阶的比较 （P44-54） 主讲 武忠祥 教授一、基本概念与方法 1）无穷小量的概念 若函数 f (x) 当 x  x （或 x   ）时的 0 极限为零，则称 f (x) 为 x  x （或 x   ）时的无穷小量. 0 设 2) 无穷小的比较 (x)  0, (x)  0 ( x) （1）高阶： 若 lim  0 ； 记为 ( x)  (( x)); ( x) ( x) （2）低阶： 若 lim  ; ( x) ( x) （3）同阶：若 lim  C  0; ( x) ( x) （4）等价：若 ；记为 lim  1 (x) ~ (x); ( x) (x) （5）无穷小的阶: 若 lim  C  0 ，称 ( x) 是 ( x) 的 k 阶无穷小. [(x)] k3) 无穷小的比较方法 1 1）洛必达法则（求导定阶） f (x)  x 2  ln cos x 2 若 x  0 时 f (x) 是无穷小量，且 f  ( x) 是 x 的 k (k  0) 阶无穷小，则 f (x) 是 k  1 阶无穷小量. 2) 等价无穷小代换 f (x)  (1  cos x)sin x 若 x  0 时 f (x) 是无穷小量，且 f (x) ~ Ax k (A  0,k  0), 则 f (x) 是 x  0 时的 k 阶无穷小量. 2 x  x 2 x 4 x 2 1 x 2 3）泰勒公式 f (x)  cos x  e 2  [1   (x 4 )] [1   ( ) 2 (x 4 )] 2! 4! 2 2! 2 4 x   (x 4 ) 12二、经典例题 一. 无穷小阶的比较及阶的确定 sin x 【例1】(1993年1,3）设 f (x)   sin(t 2 )d t, g(x)  x 3  x 4 , 0 则当 x  0 时， f (x) 是 g(x) 的（ ）. （A）等价无穷小 （B）同阶但非等价无穷小 （C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小 f (x) sin(sin 2 x)cos x x 2 1 【解1】定义 lim  lim  lim  x0 g(x) x0 3x 2  4x 3 x0 3x 2  4x 3 3 1 1 sin x sin x 【解2】等价代换 f (x)   sin(t 2 )d t ～  t 2 dt  sin 3 x ～ x 3 3 3 0 0 g(x)  x 3  x 4 ～ x 32 x t sin x 【例2】设 f (x)   d t  t ln(1  u 2 )du, g(x)   (1  cos t)dt, 0 0 0 则当 x  0 时， f (x) 是 g(x) 的（ ）. （A）等价无穷小 （B）同阶但非等价无穷小 （C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小 x  x ln(1  u 2 )du f (x) 【解1】定义 lim  lim 0 x0 g(x) x0 [1  cos(sin x 2 )]cos x 2  2x x x  ln(1  u 2 )du  x ln(1  u 2 )du  lim 0  lim 0 1 x0 x 4  2x x0 x 4 2 ln(1  x 2 ) x 2  lim  lim   3 3 x0 4x x0 4x2 x t sin x 【例2】设 f (x)   d t  t ln(1  u 2 )du, g(x)   (1  cos t)dt, 0 0 0 则当 时， 是 的（ ）. x  0 f (x) g(x) （A）等价无穷小 （B）同阶但非等价无穷小 （C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小 x x 【解2】估阶 f  (x)   x ln(1  u 2 )du  x  ln(1  u 2 )du 0 0 2 sin x g(x)   (1  cos t)dt, 0 【解3】估阶 t t  t ln(1  u 2 )du  t  ln(1  u 2 )du 0 0 x t f (x)   d t  t ln(1  u 2 )du, 0 0f (x) sin 2 x 【例3】设 f (x) 连续， lim  2, 且当 x  0 时  f (t)dt x0 1  cos x 0 是 的 阶无穷小，则 x n n 等于 （A）3； （B）4； （C）5； （D）6. f (x) f (x) 【解】由 知 lim  2 lim  2 ， x0 1  cos x x0 1 2 x 2 2 sin x  f (t)dt 0【例4】当 x  0 时， 1  cos(sin x) ln(1  x 2 ) 是 x 的多少阶无穷小？ 【解】 1  cos(sin x) ln(1  x 2 ) 2 4 4 sin x sin x x  1  [1   (x 4 ) [x 2  (x 4 )] 2! 4! 2 2 4 4 sin x sin x x   (x 4 ) [x 2  (x 4 )] 2 4! 2 1  cos(sin x) ln(1  x 2 ) 1 lim   2 x0 x 2 1 1 若   , 是 x 的2阶无穷小. 若   , 则 2 2 1  cos(sin x) ln(1  x 2 ) lim 4 x0 x 1 sin 2 x  x 2 1 1 1 1 1 1  lim         0 4 2 x0 x 4! 4 6 4! 4 241  x 【例5】已知当 x  0 时, 2arctan x  ln 是 x 的 n 阶无穷小，则 n  ( ) 1  x (A) (B) (C) (D) 1 2 3 4 1  x 2 2 2arctan x  ln  【解1】 1  x 1  x 2 1  x 2 lim  lim n n1 x0 x x0 nx (1  x 2 )  (1  x 2 ) x 2  2lim  4lim x0 nx n1 (1  x 2 )(1  x 2 ) x0 nx n1 【解2】排除法【例】当 x  0 时, x sin(sin x)  sin 2 x 与 x k 是同阶无穷小,则 k （） （A） （B） 3 4 （C） （D） 5 6 【解】偶函数，排除（A）(C). x sin(sin x)  sin 2 x x[sin(sin x)  sin x] [x  sin x]sin x lim  lim  lim x0 x 4 x0 x 4 x0 x 4 1 1 x[ sin 3 x] [ x 3 ]sin x 6 6  lim  lim  0 4 4 x0 x x0 x 3 sin x x sin(sin x)  sin 2 x x[sin x  (x 3 )] sin 2 x 3! lim  lim 4 x0 x x0 x 4 sin x(x  sin x) 1  lim   0 4 x0 x 6n 2 n! 【例6】已知 x  0, x  1  e x n ,(n  1,2,), y  , 则当 n   时,( ) 1 n1 n n n (A) x 是 y 的高阶无穷小； (B) y 是 x 的高阶无穷小； n n n n (C) x 与 y 是等价无穷小； (C) x 与 y 是同阶但不等价无穷小. n n n n y 【解】令 z  n , 则 x 若 lim n1  a, 且 a  1, 则 lim x  0. n x n n x n n n z y x x 2 2 lim n1  lim n1  n  lim n   n z n x y n 1  e x n 1 e n n1 n (1  ) n n 2 由于  1, 则 lim z  0, 故应选B. n e n二. 无穷小按阶排序或求最高（低）阶无穷小 【例1】（2016年2）设   x(cos x  1),  x ln(1  3 x),  3 x  1  1. 1 2 3 当 x  0  时，以上3个无穷小量从低阶到高阶的排序是 （A） , , . （B） , , . 1 2 3 2 3 1 （C） , , . （D） , , . 2 1 3 3 2 1 【解】1 【例2】设   1  x 3  1  x 4 ,  (1  tan 5 x)sin x  1,  e x 2  e sin x , 1 2 3 6 x   , 则当 x  0 时，以上4个无穷小量从低阶到高阶的排序是( ) 4 1  cos x 2 （A） , , , . （B） , , , . （C） , , , . （D） , , , . 1 2 3 4 2 3 1 4 2 1 3 4 3 4 1 2 x 3  x 4 【解】   1  x 3  1  x 4  1 1  x 3  1  x 4 1   (1  tan 5 x)sin x  1 2 2   e x  e sin x 3 6 x   4 1  cos x 2【例3】(2020年1,2） x  0  时,下列无穷小量中最高阶的是 x x 2 （A） (e t  1)dt. （B） ln(1  t 3 )dt. 0 0 sin x 1cosx （C）  2 （D）  3 sin t dt. sin tdt. 0 0 【解】【例4】当 x  0 时，下列无穷小中最低阶的是( ) x （A) ln(1  x 2 )  23 (e x  1) 2 （B) x  sin x   t 2 e t 2 dt 0 x  ln( x  1  x 2 ) （C) x  sin x cos x co s 2 x （D) x 【解】 ln(1  x 2 )  23 (e x  1) 2 x 2 x  sin x   t 2 e t dt 0 x  sin x cos x cos 2x x  ln( x  1  x 2 ) x2 x x 【例5】把 x  0  时的无穷小   ln(1  t )dt,   t tan x 2  t 2 dt, sin x 0 x    e xt (3 sint  1)dt 0 进行排序，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排到顺序是 (A) ,, (B) ,, (C) ,, (D) ,, 【解】 x 2 x 2 sin x   ln(1  t )dt   ln(1  t )dt   ln(1  t )dt sin x 0 0 1 2 x x    t tan x 2  t 2 dt x 2  t 2  u  tan udu 0 2 0 x x x    e xt (3 sint  1)dt  e x (3 sint  1)dt ～  (3 sint  1)dt 0 0 0三. 确定无穷小阶的比较问题中的参数 【例1】(2011年2,3）已知当 x  0 函数 f (x)  3sin x  sin 3x 与 cx k 是等价无穷小，则 （A） k  1,c  4. （B） k  1,c  4. （C） k  3,c  4. （D） k  3,c  4. 【解1】洛必达 【解2】泰勒【例1】(2011年2,3）已知当 x  0 函数 f (x)  3sin x  sin 3x 与 cx k 是等价无穷小，则 （A） k  1,c  4. （B） k  1,c  4. （C） k  3,c  4. （D） k  3,c  4. 【解3】等价代换 【解4】代入法【例2】(1996年1,2)设 f (x) 有连续导数, f (0)  0, f  (0)  0, x F(x)   (x 2  t 2 ) f (t)dt ,且当 x  0 时, F  (x) 与 x k 为同阶无 0 穷小,则 等于 k (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【解1】直接法 x x F(x)  x 2  f (t)dt   t 2 f (t)dt 0 0 x x F  (x)  2x  f (t)dt  x 2 f (x)  x 2 f (x)  2x  f (t)dt 0 0 x   f (t)dt F (x) f (x) lim  2lim 0  2lim x0 x k x0 x k1 x0 (k  1)x k2 f  (x) f  (0)  2lim  2  0 (k  3) x0 (k  1)(k  2)x k3 (k  1)(k  2)【例2】(1996年1,2)设 f (x) 有连续导数, f (0)  0, f  (0)  0, x F(x)   (x 2  t 2 ) f (t)dt ,且当 x  0 时, F  (x) 与 x k 为同阶无 0 穷小,则 等于 k (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【解2】排除法【例3】(2013年2,3) 当 x  0 时, 1  cos x  cos 2x  cos 3x 与 ax n 为等价无穷小,求 n 与 a 的值. 1  cos x  cos 2x  cos 3x 【解1】 lim n x0 ax sin x  cos 2x  cos 3x  2sin 2x  cos x  cos 3x  3sin 3x  cos x  cos 2x  lim n1 x0 nax sin x  cos 2x  cos 3x  2sin 2x  cos x  cos 3x  3sin 3x  cos x  cos 2x  lim x0 2ax 1  4  9 7   则 a  7 2a a【例3】(2013年2,3) 当 x  0 时, 1  cos x  cos 2x  cos 3x 与 n 为等价无穷小,求 n 与 a 的值. ax 1  cos x  cos 2x  cos 3x 【解2】 1  lim n x0 ax 2 2 2 x (2x) (3x) 1  [1  (x 2 )][1  (x 2 )][1  (x 2 )] 2 2 2  lim n x0 ax 2 2 2 x (2x) (3x)   2 14x 2 2 2  lim  lim n n x0 ax x0 2ax 则 n  2,a  7.【例3】(2013年2,3) 当 x  0 时, 1  cos x  cos 2x  cos 3x 与 ax n 为等价无穷小,求 n 与 a 的值. 1  cos x  cos 2x  cos 3x 【解3】 1  lim n x0 ax (1  cos x)  cos x(1  cos 2x)  cos x cos 2x(1  cos 3x)  lim n x0 ax 1 1  cos x cos x(1  cos 2x) cos x cos 2x(1  cos 3x)  [lim  lim  lim ] 2 2 2 a x0 x x0 x x0 x 2 2 1 1 2 3 7  [   ]  (n  2) a 2 2 2 a a  7【例3】(2013年2,3) 当 x  0 时, 1  cos x  cos 2x  cos 3x 与 ax n 为等价无穷小,求 n 与 a 的值. 1  cos x  cos 2x  cos 3x 【解4】 1  lim n x0 ax ln cos x  ln cos 2x  ln cos 3x   lim n x0 ax [cos x  1] [cos 2x  1] [cos 3x  1]   lim n x0 ax 1 1 1 14 x 2  (2x) 2  (3x) 2 x 2 2 2 2 2  lim  lim x0 ax n x0 ax n【例4】(2015年1,2,3) 设函数 f (x)  x  a ln(1  x)  bx sin x.g(x)  kx 3 . 若 与 在 时是等价无穷小,求 f (x) g(x) x  0 a,b,k 2 3 x x 【解1】 ln(1  x)  x   (x 3 ) 2 3 3 x sin x  x  (x 3 ) 3! 3 a ax 则 f (x)  (1  a)x  (b  )x 2  (x 3 ) 2 3 由于当 x  0 时， f (x) ~ kx 3 ,   1  a  0  1 1 a 则 b   0 故 a  1,b   ,k   . 2 3 2  a   k  3【例4】(2015年1,2,3) 设函数 f (x)  x  a ln(1  x)  bx sin x.g(x)  kx 3 . 若 与 在 时是等价无穷小,求 f (x) g(x) x  0 a,b,k f (x) x  bx 2  a ln(1  x)  bx(sin x  x) 【解2】 1  lim  lim x0 kx 3 x0 kx 3 x  bx 2  a ln(1  x)  lim 3 x0 kx 2 3 x x x  bx 2  a(x   (x 3 )) 2 3  lim 3 x0 kx 1 1 a  1,b   ,k   . 2 31 b 【例5】(2020年,3）已知 a,b 为常数,若（ 1  ) n  e 与 在 n n a n   时是等价无穷小,求 a,b. 1 1 1 (1  ) n  e nln(1 ) nln(1 )1 e n  e e e n  1 【解1】 n 1  lim  lim  lim n b n b b n 1 n a n a n a 1 1 1 nln(1  )  1 n[ln(1  )  ] e e n n n  lim  lim b n 1 b n 1 a a ( ) ( ) n n 1 1 1 n ( )( ) 2 e e e 2 n n  lim   lim 则 a  1,b   . b n 1 2b n 1 2 a a ( ) ( ) n n1 b 【例5】(2020年,3）已知 a,b 为常数,若（ 1  ) n  e 与 在 n n a n   时是等价无穷小,求 a,b. 1 1 nln(1 ) 【解2】（ 1  ) n  e  e n  e n 1   e [nln(1  )  1] n 1 1 ～ en[ln(1  )  ] n n  1  ～ en   2  2n  e e   a  1,b   2n 2祝同学们 考研路上一路顺利！