2025考研数学基础过关660题答案册（数学一）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_00.配套书籍_26版660题数一_2025版

0,所以点(0,0)是极大值点. 注意/(0,0) =0,在D的边界上点(4,1)处顶(4,1) = 7 >顶(0,0),即/(0,0)不是/(x,>) 在D的最大值，(0,0)不是在D的最大值点.因此选(B). 【评注】(1)本题考察当二元函数的两个偏导数都存在的条件下取得极值的必要条件 和充分条件. (2)该题表明了多元函数与一元函数的一个区别：区域D上的连续的二元函数f(x,y) 在D内有唯一的极值点，若是极小(大)值点，不一定是f(x,y)的最小(大)值点. 254 【答案】A 由 lim 点)+4z，—;/ 【分析】 =1 可知,f(0,0) = 0 且 勺 +寸 (*(x0,,y0))- 2 /怎以)+ 4^2 — J =1 +°(1以), ^+打+寸 其中 lim a(x9y) = 0,则 = y2 —'4x2 + x* + x2 y2 + *y +«(x,y)(x4 + x2 y2 + >4). 又，(0，V)= + >4 + o(y4) , f(x,0) =— 4x2 + x4 + o(x4). 由此可知在点(0,0)的任何去心邻域内都存在点(0,3/)和愆,0),使得 /(0,jz) > 0,/(x,0) < 0. 又/(0,0) = 0,由极值定义可知点(0,0)不是f(x,y)的极值点.故应选(A). 255 【答案】D 【分析】 此问题归结为求函数 公众号：旗胜考研 u = xyz{x >0，v>0,z>0) 在条件工+ 丁+ z = a下的最大值. 方法1 用拉格朗日乘数法. 令 F(x,j/,z,A) = xyz + y + z — a} 解方程组 =猝+义=o dx 3F n c — XZ A = 0 寡=功+义=0 dz dF .. 八 —= x-\-y + z — a = Q oA ・114・高等数学 用*，V，Z分别乘第一、二、三个方程得Z = V = Z,再代入最后一个方程式得 a x = y = z = 0 =岌 由题意最大值一定存在，因此当Z = 时"取最大值 _ 27' 方法2 化为简单最值问题. 从条件JC + y-\- z = a中解得z = a — x — y,代入u = xyz得"=xy (a — x — y)，转化为 求函数u = xy (a — x — y)在开区域 D = ((x,j/) | x>O,j/>O,x + ><；a} 中的最大值.这个最大值一定存在，它在D内的驻点达到.令 羿=y{a — x — y) — xy =0 I dx 》工=V du z 、 n \2x + y = a —=— x — y) — xy = \) 解得 z = ■，丁 =导 是唯一驻点，也就是最大值点.因此“的最大值是"=f • f (a-f-|)= 256 【答案】A 【分析】连接0B，将原积分域分为两部分， △CBO,记为 D2 ,ABOA，记为 D3. 由于D2关于x轴对称，而xy + cos isin 丁是:y的奇函数，贝!I JJ(巧 + cos rrsin y) do = 0 D2 而D3关于y轴对称，巧是z的奇函数，cos xsin夕是z的偶函 数，则 』可切=。』cos xsin yAa = 2』cos zsin yda D3 D3 故应选(A). 257 t分析】 原积分域为直线)= z,z +、= 2,与;y轴围成的三角形区域，故应选(C). 258 【分析】 首先确定被积函数，由于在极坐标系(厂，。)中面积元do = rdrd(9,从而题设二重 积分的被积函数应是-/(rcos0,rsin ff).其次由题设知二重积分的积分区域D在极坐标系3, r 。)中的不等式表示是 D= ((r,W | 普,一 2 < 2>与z 2。所确定的右半圆，故应选（C）. 260 【答案】B 【分析】方法1直接计算不方便,这是二重积分 & 」/ 7T+y 的累次积分，其中D:02)d(r = 2tc + 6tt = 8tt.故应选(B). Di 263 【分析】 在二重积分I中积分区域D被直线）=]分割成关于 丁 =z对称的两个部分区域D】=｛（z，w）|0WzWl,0W'<]｝， D2 =｛（x9y） | = ｛（z,）） | 0 < 3/ < 1,0 Z （、｝（如图所示），被积函数f（w）关于变量对称，即r（z,少= ，从而 故 设z = rcos = rsin。，在极坐标系（厂,。）中瓦可表示成｛（厂,。）I 0（。<乎，0《厂< 名垢｝' 所以 考研电子书网站：www. pdf2book. com -117 ・数学基础过关660题•数学一（答案册） I = 2《d补尚 rdr 3 =广而|■尚d(l + r? (]+厂 (]+厂 节 Jo J 0 2)2 J 0 J 0 2) .A 4 r ] cos 6 "(1-- )d<9 de = 2 ° yrr^ o 0 a/1 + cos2 9 f-2 d(sin。) 夸一2arcsin 理' ° a/2 — sin2 5 o 7C O 1 7T 7t _7T_ --2arcS1n- = - T 即应选（D）. 【评注】 若区域。关于直线J = H对称，则』少击= D D 264 【答案】B 【分析】 因D = Di —D29其中 =｛（⑦以）| I z I《1, I jy |< 1｝, d2 = ｛&,/）|x2 + y < x）, 于是小 I dtr = jj I I dcr —JJ | xy \ da. D 玲 D2 由于I巧I对于Z和y都是偶函数,D关于Z轴和J；轴都对 称，从而|功I在D上的积分可化简为区域D在第一象限部分 ｛（］,'） | 0<^<1,0<3；<1｝上的积分的四倍，即 « dz| | xy | dy \ xy \ da = Di 0 =4j xyAy = 41 xAx\ yAy = 1 0 0 0 由于I巧I对于V是偶函数,D2关于z轴对称，从而|巧|在以上的积分可化简为区域 以在第一象限部分（ （jc,y） | 了 +丁 以 。｝上的积分的两倍，令z = rcos 0,y = rsin。引 2 2 2 入极坐标，贝U有 e 9 \ xy \ d(j = 2 2 de ,cos r3 sin 0cos Odr = 2 sin 0cos Odd •cos r3dr J D2 o ■ 0 o . 0 —cos 0 y1 j =sin ^cos5 Odd 湿=击 2 j d<7 = 1 —药=应选(B). 故 D I X u j.乙 265 1答案】c 【分析】 积分区域D如图.由被积函数的特点，应选择先工后了的积分顺序，。表示为 02 J o J o =”2"| dy = \ 2严-，2 d) J 0 0 ' = 1-1. =—e e o 应选(C). 266 【答案】c 【分析】 由题设知D = | 0 < j/ < l,y < x < j/),如 图所示.从而 岩y |心 些叽=「匝型心 ' dx y y 0 Jo =I (1 — 3/)sin nydy =— — | (1 —))d(cos Tty) 7T J 0 J 0 v 0 1「‘J 、 1 兀；yd(l —))] =------(1 — y) cos Tty cos n L 0 =--(-1 + COS 7t. ydy) = * 1_ cos nyAy 7t ' 7t . o 1 1 . _1_ — ——T-sin Tty K 7t 0 7t 故应选(C). 267 【答案】C 【分析】 由于积分区域D分别关于z轴以轴对称，而被积函数f(x9y) = ■ + 5VT分别是自变量1与X的偶函数.若记玖是D在第一象限的部分，即 Di = {(x,y) | z N 0以〉0, V\ X I + V\ y I W 1} ={(x,j/) I — a/x)2 } 则 jj(y| x | + y| y | )d(r = 4jj( v"I x | + a/| y \)d(j =可*(" + 石)de D D1 ~°1 又因积分区域Di关于直线v = z对称，从而又有 『= jj 4ydo Di 0 于是 •d-7^)2 jj( J| z | + | y | )da = 8jJ Vxd(r = sj* di 插&y D Dj o =8j V^"(l — y/x)2dx = 8 *f a/^(1 — 2 \fx + x)dx 0 考研电子书网站：www. pdf2book. com • 119 ・数学基础过关660题•数学一（答案册） 「 3_ =8J 1 （插_ —2z + 二 ）dz = 8（/ 亏9 ®A 8（" +言）=8 传 §）=4 【评注】（1）在计算二重积分时，要注意利用被积函数与积分区域的特点来简化计算: ①若区域 D关于r轴对称，则 0, fg）是Z的奇函数 jJ/（jc，3/）da '2jJ/（z，3/）dcT, f<~x,y）是x的偶函数 D 、％ 其中 D = D fl {^>0）. ②若区域 D关于工轴对称，则 r 0, Sy）是"的奇函数 J/（j：，3»）dcr = 2ffy（^,jz）da, f（x,y）是;y 的偶函数 其中 O2 = D n {y>0}. ③若区域 D关于直线' =M对称，则 D D D 除此之外，在计算二重积分时还要注意利用二重积分的几何意义：JJ db = D的面积. D （2）我们也可利用三角函数替换来计算本题中的积分.令z= sin",则 [ 插（\ — a/z）2 Ax = [2 sin2icos4Z ・ 4sin3icos tdt J o J o 才 sin'2W = y：s*die=£. sin5 0（16 0 _ 1 V4X2 _ 1 -FX 5X1 1*5 268 【分析】 引入极坐标（厂,<9）,令z = rcos 0,y = rsin（9,则 D =]（厂,8） | 告 <9《吝，1〈厂《3）,且 arctan — = d9 故 16 3 ） " 『arctan 乏费=「我"dr =写（§一奈）X §（9 — 1）=令. JJ z 房 Ji 2\ 9 36/ 2 6 269 【分析】直接计算是不方便的，这是二重积分 J 的累次积分，其中D：0 Wv V 1. D 120 -高等数学 如图所示，现改用极坐标变换的极坐标表示 6 5 。 私。 土 • 21 于是 "dO r • rdr = g- 0 右血 0 . 0 3. 方法1 嘉而= 崂 d(sin 0) d(sin。) _ 传 0 (1 — sin2 8)之 cos4^ o J 0 0 1 2 = dt J 4 \1 —. 1 + ? 0 _ _1 _1_ __ _, ____1_______1_ + 1 dz _ 7 -02 1-f 1+L (1+疥 1 1 +/- |* l\l-t 1—t 1 + t) \ o —+ ln<±! — - 1 I 1 —— 成一1 1 + — V2 V2 =§[2 也 + 21nC/^"+1)]. 方法2 厂％而= '苧 sin2^+ cos2^!^ *1- 1 . n. 1 + 0 —云 有’湖= -r-sin(9d COS 7 Z cos2^ cos 6 J 0 0 o = Sin。| 学 _ [「十 1 in I 「学 1 in 2 cos2 9 2 J cos d J cos 9 10 0 0 =专+号「李& =手+§, (1> +昌TdsinO 2 2 1 — sin 0 2 \ 1 — sin 9 1 + sin d) J 0 4 J 0 =^+ llnl + sinj|f =^+ lln(V2 + 1) 2 4 1 — sin 6 2 2 10 因此 1 =省+=ln 成+1) 6 6 应选(C). 270 【分析】 显然在。上0 Vz + j/W 1,则 ln(z + j/)3 V 0,0 V sin(j： + j/)3 < (jc + yY 从而有 + jO'dzdjy < jjsin(z + jO'dzd、V JJ& + jO'dzdy D D D 故应选(C). ’ 【评注】 本题用到一个常用的不等式，即 sin x < x < tan x, x C (0,马) 2 考研电子书网站：www. pdf2book. com -121 -数学基础过关660题•数学一（答案册） 271 【答案】D 1分析】 D1:x2+y2 < 1,。2：衣+寸 < （V2）2 为圆域， y D3：-^-2• + J <1,D4 ：廿+淫二M1为椭圆域，它们的关系如图所示. (72) 2 （V2） _J 被积函数fg） = 1 一 （衣+ ）为连续函数，在口上了愆点）2 o,芝 o,而在 d4 之外 <0,^0. 因a・Di=>I4 > A ,d4与 d2的公共部分是 d4 ,d2的其余部分fg） < 0,芝0》 h >侦。4与D3的公共部分记为D* ,d4的其余部分2 0,芸0,而的其余部分 r（z，：y）< °，尹 o=>L > L・ 因此 max（Ii J2 ,L ,L} = L.故选（D）. 272 【答案】C 【分析】 由于平面域。既*轴关对称于 ，也关于V轴对称，且tan XJZ2是了的奇函数，了勺 是少的奇函数，则 jjtan xy2dxdy = 0, jjz 勺ckcdy = 0, D D Ii = jj^x2 d^dj; j*2jtan y2 dxdy, D D 又由于平面域。关于V =1对称，则 jj2tan y2dxdy = jj^tan x2dxdy > JJ 2x2dxAy = L , Iz '■ D D D =JJ( I 巧 I + 丁)dzdy < jj ( * + y2 ) dxdy = jj ( 尸 + x2 ) dxdy 13 D D D =JJzj;2 Ax Ay = L , D 则h 0 A-l 2 + A 3 _5 -5 -4 A _ _0 5A-5 6 5+A_ _0 0 —5A — 4 A - 10_ 当一 5A-4 0,A ^-4且义一 1夭0,义乂1时，r(A) = r(A) = 3,显然只有唯一解 □ 10.【答案】一%<<% 72 72 【分析】 若要使二次型/是正定的，则应有系数矩阵的各阶顺序主子式全为正. 「21 0- 二次型的系数矩阵为4= 1 1 t，其各阶顺序主子式 _0 t 1. 2 1 0 Di = 2 ,D2 = 1,D3 = 1 1 t = 1 — 2/ > 0 0t 1 故一会<‘<£・ 线性代数水平自测二答案 本自测10个小题都是基本的概念与计算，难度不大。同学你应当在规定时间内完成解答，并且不感到有什么困难。 如果确实有困难，请自行补课，推荐《考研数学复习全书•基础篇》。 1.【答案】A 【分析】构造行列式 1 0 4 0 2 -1 -1 2 Di = 0 -6 0 0 1 1 1 1 则 Di = 1 ・ A4i +1 • A42 + 1 • A43 + 1 . A44 ・ 而对Di按第3行展开，得 1 4 0 1 4 0 。］=—6 ・ 2 -1 2 =6 0 -3 0 =-18 (—1)3+2 1 1 1 1 1 1 故选 (A). -125 - 考研电子书网站：www. pdf2book. com2. 【答案】D 【分析】A + B = (‘ + />,2形，273,2竹). \ A + B \ = | « + ^,2y2,2及，2勿 | = 8 | a + p，Y2,外 I =8(| a,/2,73,74 1+1 夕，形，为，外 I) =8(| A | + | B |) = 40. 3. 【答案】D 【分析】本题相当于讨论方程组 xi«i + x2a2 + x3a3 = P 无解时,a,6应满足的室件. 对方程组的增广矩阵无作初等行变换， -1 -3 4 -1 ；o _ 一］ -3 4 -1 0 -1 4 -5 a b 0 -1 1 -1 -1 ——> 2 _ 1 3 3 :5 0 5 -5 5 5 -1 2 -3 0 :—1_ _0 1 -1 a — 1 b -1 0 1 2 3 _ 0 1 -1 1 1 0 0 0 a—— 2 i b-1 * 0 0 0 0 0 . 当a = 2且。乂 1时,r(A) = 2 r(A) = 3,方程组无解，即p不能由a】，a2，a3,a<线性表 示.选(D). 4.【答案】A 【分析】〃个方程笈个未知数的齐次方程组Ax = 0有非零解| A |= 0, 1 1 °| I1 0 0 11 | A | = 2 3 1= 2 1 1 =!•(- 1)计1 ］ ］ = 2 一 a. 5. 【答案】A 【分析】本题考查判断矩阵相似对角化的原理. 矩阵［:；］的特征值为1,1,且4 = 1只有一个线性无关的特征向量，故(A)不能相似对 角化. 矩阵［I ；］的特征值为1，2,矩阵匚；］的特征值为3,0,都是有2个不同的特征值，必与 对角矩阵相似，而匚是对称矩阵必与对角矩阵相似. 6. 【答案】B 【分析】由已知有 PA = B,BPT = C 故 RlpT = C,选(B). 7. 【答案】a'—3a%+胪 【分析】直接展开 a 1 0 1 0 0 D = a(—I*) b a 1 +6(-1)1+2 b a 1 0 b a 0 b a • 126 •=a(a3 — 2ab) — b(.a2 — b') =a，— 3a2 b + b2 或各列加到第1列，有 0 1 0 0 0 1 0 b — a2 a 1 0 0 a 1 —ab b a 1 —ab + "(a2—b) b a 0 Q b a b3 — b) 0 b 0 1 0 0 0 a 1 0 =，—^a2b + b2. 0 b a 1 -a4 +3a2b~b2 0 b a p 2 r 8.【答案】0 0 0 .0 0 0. 【分析】 由A2-AB = E,有 AB = A2 -E 因I A |=—1,矩阵A可逆，上式左乘A-。所以 -1 1 -r 一］ 1 -r-1 B = A —AT1 = 0 1 1 — 0 1 1 _o 0 -i_ _0 0 -1 1 - r ■1 -1 — 2- ■0 2 r =0 1 1 — 0 1 1 = 000 _o 0 -1_ _0 0 — 1_ _o 0 o_ 【答案】一 9. g Li 【分析】(% * ,。 3) =(。 1 + 2a2,2% +S3,3。 3 + 2«i) 0 2一 ，。 2 2 0 =(ai , 2 2 0 =0. _0 k 3_ 0 & 3 所以k =-y. 10.【答案】一1 【分析】 由| A | =[[兀，知| * | = 1 X 2 = 2. | A 一 3A"1 \ = \ EA- 3A"1 | = I A"1 (A2 一 3E) | = | A-1 |X| A2 -3E | 因矩阵A的特征值为1,2,知1的特征值为1,4,故A2-3E的特征值为一2,1, 所以 | A — 3AT | = § X (― 2) =— 1. 考研电子书网站：www. pdf2book. com ・ 127 -线性代数 埴 空 题 276 【答案】一36 【分析】 方法1 用行列式的性质与展开定理计算，由于第二行的元素为1,1,0,0,我们 将第一列的（一1）倍加到第二列，将（2,2）位置的元素变为零，之后按第二行展开，变为计算三 阶行列式， 0 1 2 3 0 1 2 3 1 2 3 1 3 3 1 1 0 0 1 0 0 0 3 3 =— -2 2 0 =— -2 0 0 =—36. 2 0 2 0 2 -2 2 0 -3 3 一 3 0 3 -3 -3 3 3 0 0 3 3 -3 0 3 方法2 这是一个爪形行列式，用主对角线上的元素将第一列除（1,1）位置以外的元素消 为零.为此将第二列的（一1）倍加到第一列，将第三列的（一1）倍加到第一列，再将第四列的 （一1）倍加到第一列，得 0 1 2 3 -6 1 2 3 1 1 0 0 0 1 0 0 =—36. 2 0 2 0 0 0 2 0 3 0 0 3 0 0 0 3 b …b fli b a2 0 【评注】 方法2可以用来计算一般的爪形行列式，例如。= b 0 …an =1,2,•••,”）.我们将第，列的-『到第-列G = 2,F,将其化为上三角形行列式, fix b …b fll — >7 —— o ,,, 0 b a2 0 =何_察比右 D = = 0 a2 0 b 0 ,,, an 0 0 …an KM 【答案】 -4 10 2 0 10 2 0 12 0 0 0 3 0 4 3 0 4 0 3 4 0 0 【分析】方法1 =— = 3 0 4 0 0 3 0 4 0 0 3 4 0 10 2 0 10 2 0 0 12 ・128・线性代数 1 2 3 4 (-2) X 2 =一4. 3 4 1 2 方法2按第1行直接展开 3 0 4 0 3 4 3 4 3 4 D = 1 • 0 4 0 + 2 3 0 0 =4 -6 =8-12 =-4. 1 2 1 2 1 0 2 0 1 2 278 【答案】 _ 48 【分析】 由于行列式每一列元素和均为6,首先各行加到第一行上，再用行列式的性质计算. 6 6 6 6 1111 1111 2 0 2 2 2. 0 2 2 0-2 0 0 =6 =6 =-48. 2 2 0 2 2 2 0 2 0 0-20 2 2 2 0 2 2 2 0 0 0 0 -2 【评注】 利用本题的方法可以计算类似的n阶行列式 a b b b b D = b b a 这个行列式每一列均有一个a,(”一1)个》，首先将各行加到第一行，第一行元素均变为 a + (" — 1)们之后用行列式的性质计算. a b b a + (n — 1)6 a + (n — 1)6 a + (n—l)b b a ••• b b a b D = = • • • • • • b b a b b a 1 1 1 b a b 也+ 3 — 1)危 b b a 1 1 1 0 a — b 0 [a + (n 一 1)5] 0 0 a — b [g+(〃一 1)6] (a-"】. 279 【答案】一120 【分析】 把第一行加到第四行，提出公因数10,再把第四行逐行互换到第一行，由范德蒙 行列式，得 考研电子书网站：www. pdf2book. coin ・ 129 -数学基础过关660题•数学一（答案册） 1 2 3 4 1 1 1 1 1 22 32 42 1 2 3 4 1 23 33 43 1 22 32 42 1 1 1 1 1 23 33 43 =—10(2 — 1)(3 — 1)(4 — 1)(3 — 2) (4 — 2)(4 — 3) =-120. 280 【分析】 方法1 按定义直接计算各元素的代数余子式： All = (一 1)1+1 : = 6,&2 =(― 1)1+2 = 0,&3 = (― 1)1+3 = 0, U O v O U U 类似地：A21 = 0 9A22 = 3, A23 = 0, A31 = 0 5 A32 = 0, A33 =2， 从而g% = 11. ，所以立A, 方法2 对于三阶矩阵A,其伴随矩阵A' = A12 A22 A32 ,所以习A&.为A* 所有元 AAA i,j=l 素之和. 由于A = ，于是妇 ⑷=6,所以 -6 0 0' A* = |A|A-1 = 6 0 3 0 0 0 2 从而Ay = 【评注】第一种方法比较直接，易于理解，但计算量比较大，相比之下第二种方法考核 的知识点略多，但计算量比较少.如果给出的是4阶行列式，建议用第二种方法・ 281 【分析】 由行列式的定义知含/的有两项，一项为口11。22口33口44 = ，符号为正，另一项 为口14。22口33如=16工2，符号为负，故X2项的系数为一13. 本题也可以通过计算行列式的值求得衣项的系数，不过计算量较大. 282 【分析】因为 A + 2B = [a, y2，r3 >?41 + ,2y2,2y3,2y4] = [a + 2p,3y2,3y3,3y4] • 130 •线性代数 故有 I A + 2B \ = | a + 2夕，3力，3勿，3y< | = 27 | a 十 2/J,y?，为，I =27(1 a,%,73,/ 1 + 2 | P，Y1，r3,y4 I) =27(1 A 1+2 | B I) = 108. 【评注】 矩阵行列式在考研中多次出现，当A,B均为如阶矩阵时，有 I AB | = | A |.| B 但 | 4 + B |尹| A | + | B |,而 | a + /J,y,5 | = | a,y,5 | + | p，Y，6 | 两者不要混淆. 又若三阶矩阵 A = [a,。,？],则 kA = [_ka ,kp ,ky~\,那么 | AA | = k3 | A | , 而\ ka ,fl，Y \ = k \ A \两者也不要混淆. 283 【答案】 *(-1) •音 【分析】 由 | / | = kn | A | , | AB | = I A | • | B | , | At I = I A I , | A-1 | = -r-^-r 有 I A | \-ATB~1 | = (- l)n | ATB1 |= (-l)n | AT |-| B1 | =(-D" I A I， r 0 2 -61 284 14 24 0 ~1 2 3~ [1 — -1 4 一 3「 【分析】AA = 4 5 6 2 = 4 10 -6 J 8 9_ [ -1_ 7 16 -9_ -1 2 3- _ 1 2 3 一 AA = 2 4 5 6 = 8 10 12 —— 1. J 8 9_ _- 7 — 8 --9_ 「0 2-6 AA — AA = — 4 0 — 18 . _14 24 0 【评注】 由本题可引申到： FA1 ] 设A = 是〃阶矩阵,A = "，则AA = [XsJ’AA =[人皿日. - A„. ■ 8 0 0- 【答案】 285 24 0 0 -16 0 0_ _ 1 【分析】 因为A =邱丁 = 3 -2 考研电子书网站：www. pdf2book. com ・ 131 -数学基础过关660题•数学一（答案册） _ 1 又因 Ra = [2,0,0] 3 =2,所以 -2 A3 =(即 丁)(哪丁)(必 T) = a(pTa)(pTa)pT =如扩=44. 【评注】 矩阵的运算要正确、熟练.注意，若a=（钓，。2,。3）丁邢=（缶，缶，缶）T，则 □1^3 A = aflT = az ［缶，万2，缶］= 弓2缶 弓2、2 。2缶 _^3_ 。3缶 口3方2 仁3妃 B — fiTa = [S ,t>2 ,b3] =<2i b\ + Uzbz + Us 前者afiT是秩为1的三阶矩阵，而/fa是一个数. 当秩厂（A）= 1时,妒=ZA,其中1 = = aTft=、如，进而A" = lm~xA. 286 【答案】一 3 财 【分析】 由r(A) = 1,有A? = ZA,其中/=，则 A” = /l%. 现在 Z = 2 + (—2) + (—3) =-3,所以 =-39A. 一 ■0 1 0 0 1 0 0 0 287 【答案】 0 0 24 ~24 _0 0 -24 24 . _A OT 'An O - 【分析】 ・O B- -O ■o 1- (1) 是两行互换的初等矩阵 -1 0- ■o r2n -0 r2»+1 -0 I- =E, _1 0- .1 0. .1 0. (2)如厂(A) = 1,则 A” = rTA,l =习" 288 【答案】E 【分析】 因为矩阵P可逆，由PA = BP得A = P~ BP,那么 A2 = (F-1BP)(P~1BP) = P-1B2P 归纳得 A100 = = P-'EP = E. 【评注】 . 132 .线性代数 -1 2 0 0- 3 4 0 0 289 【答案】 X 0 0 0 ~2 _0 0 0 2- 【分析】因为AA* = A E,故， I A | *)(A- 1,由已知得 | *A |=—8,又 | A* | = | A |3,得 | A | =— 2. -_1_ -1 0 0 ~~2 '4 -2 0 o - __3_ -3 1 0 0 -2 0 0 ~~2 又 0 0 -4 0 0 0 0 _ 0 0 0 -1_ T -0 0 0 -1 2 0 0- 3 4 0 0 所以 A = | A | *(A )-'= O c O c -5 1 -O八 乙 .0 0 0 2. 【评注】 由A可求*A ,由A* 也应会求丸本题求(*)A' 1时，既可用初等行变换也可用 分块矩阵求逆公式. -1 1 1 - 290 【答案】 1 -1 1 _ 1 1 -1_ 【分析】由A* A =| A I E,有 )T 杰A = I A"1 | A 因为(AT)T A,求出AT的逆矩阵就是求出矩阵A. _o 1 1 1 0 o- ~1 0 1 0 1 0~ 口 0 1 0 1 ()■ ―A (A"1 | E)= 1 0 1 0 1 0 —► 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 _i 1 0 0 0 1 _1 1 0 0 0 L _0 1 -1 0 -1 1_ 2 x ■ 1 0 0 ~2 y ~2 ~1 0 1 0 1 0- ——► 0 1 1 1 0 0 —A 0 1 0 i_ _i 2 2 _0 0 -2 -1 _ 1 1_ 0 0 1 T_ ~2 ~2 =(E I A) -1 1 1 _ 可知A = -j- 1 -1 1 .又因 I A— 】 1=2, 故 _ 1 1 -1_ 考研电子书网站：www. pdf2book. com ・133・数学基础过关660题-数学一（答案册） -1 1 1 一 (*A )T = | A-1 | A = 1 -1 1 _ 1 1 -1. 291 【答案】E 【分析】 因A,B均为〃阶矩阵，且期=E,于是A,8均可逆，且期=昭=E，进而疽8丁 = BTAT = E. 从而(E + BA ) [E - B(E + ATBT )_1 A] = (E + E) [E - B(E + E)-1 A] =2E(E-§BA) =2E •翱 =E. ■ 1 0 O' 292 【答案】 -2 1 0 0 0 1 ri o oi 【分析】 由初等变换与初等矩阵的关系可得2 1 0 A = B,于是 0 0 1 -1 0 0- -1 ■ 1 0 0一 AB1 = 2 1 0 = -2 1 0 0 0 1_ _ 0 0 1 ■ 0 0 3 293 【答案】 -2 1 0 3 0 0 【分析】 （姐）T ±A 3A =3A-1 ri =3 o Lo 记住初等矩阵逆矩阵的3个公式，以及左乘行变换右乘列变换的法则. 294 【答案】27 _ 1 0 0~ 【分析】 由初等矩阵知,4 一 5 1 0 = B,于是 0 0 1 ・ 134 -线性代数 一 1 0 0一 ~ 1 0 O' ■ 1 0 o- *A B = A* A -5 1 0 = \A\E -5 1 0 =3 -5 1 0 0 0 L 0 0 1 _ 0 0 1_ 1 0 0 故 I A B |= 33 5 1 0 = 27. 0 0 1 一 3 0 o- 295 【答案】 -4 3 0 0 0 3 【分析】 由 BA =A + 2B 有 B (A — 2E) = A, ~1 0 0' 因 A-2E = 2 1 0 可逆，故 0 0 1 B = ACA-2E)-1 注意A —2E是初等矩阵. 一2 . 5 13 _ 296 【答案】 _1 — 3 -6. 【分析】 利用分块矩阵，有 '2 -1 3 ' ,。 ，皿］ =\_Aa\，&2，&3〕 2 -1 1 -4. 1 1 -1 其中 I Oh ,。2 03 0 2 1 =1尹0,［口1 ,血，。3〕可逆•上式两边右乘，千2，。3广. 0 -1 0 -r -1 1 "2 -1 3 - 那么 A = 0 2 i _1 1 -4. 0 -1 o _ '1 1 3 - "2 -1 3 - r2 5 13 - — 0 0 -1 .1 1 -4- _1 -3 -6- 0 1 2 _ 【评注】 当| "1 ，。3 I =。，［。1，。2，«3］不可逆时，你能求出A来吗？ ~2 — t 3 — u~ 297 【答案】 ，机 为任意实数 U U -1 I- 工 【分析】 由于矩阵 不可逆，故可设A = 1 3^1 ，于是 .2 2- LZ2 丁2」 -1 1]「了 1 3^1 _ "2 3' 2」 -2 L^2 丁2」 ・4 6- 考研电子书网站：www. pdf2book. com -135 ・' .................... 数学基础过关660题•数学一（答案册） S + 血=2 'T\ = 2 — t 2e + 2x2 = 4 x2 = t 得方程组 => * 3^i + y2 = 3 >1 = 3 — u •2^1 + 2y2 ==6 )2 = U '2 —t 3 — u- 所* 以 = ，如 为任意常数. U t u 【评注】由于方程组［：'+'： = 2与［：+［：=③的系数矩阵完全一样，区别仅 （2^1 + 2%2 = 4 \2yx + 2力=6 在常数项，所以解这一类方程组可以合并在一起加减消元.即 ■1 1 ： 2 31 「1 1 ： 2 3一 _2 2 ： 4 6」f LO 0 M 0- 土「1 1 ； 21 =2~t ri 1 : 3]r值 S = 3 — “ 由 可得 .由 可碍 ・ L0 0 ： OJ \x2 ~ t LO 0 ： OJ \y2 = u 请你用这种方法判断矩阵方程 _11 in r 1 2 2 ■ 0 1 -1 X= 2 1 1 _2 3 a 2_ + 3 a + 6 a + 4_ 无解的条件. (答案a=—1) -2 -4 0 O- _ 2 -2 0 0 298 【答案】 0 0 2 2 _ 0 0 -1 2_ 【分析】 化简矩阵方程，矩阵方程两边左乘A-】、右乘A有 2B = BA+6E 于是 BC2E-A) = 6E. -1 - 2 0 0 1-1 -1 -1 0 0 所以 B = 6(2E — A)T = 0 0 2 -2 0 0 1 2 _ -X _ A 0 0 T _-3~ _2 -2 -4 0 O' -T 0 0 ―亏 -2 -2 0 0 =6 j_ 0 0 2 2 o o T T _ 0 0 -1 2_ 2 1 o o 矿 ~6 -136 ・线性代数 【评注】 求二阶矩阵的伴随矩阵有规律：主对角线对调，副对角线变号，即 'a 叮 _「d —b~ _c d J L— a - 因此二阶矩阵求逆用A-1 = 是简捷的. I A I 对于分块矩阵，要会用两个公式 f _「A-】 o I ro A]-4 _「o B1' -OB」—L o 虹」'3 oJ — La-1 O」 另外kA =[如，门不要出错，不要与行列式性质混淆. 由这4个求矩阵A和B的题目可得两种思路： (1)求逆矩阵和矩阵运算得到矩阵4；(2)解方程组，用方程组的解构造矩阵A. 299 【答案】一3 2 0 q =— 3. 故 A M B^a =— 3. 曲|【答案】3或4 【分析】 矩阵A和B等价^r(A) = r(B).由 1 2 1 1 A | = 2 3 a + 2 =- (a + l)(a-3) 1 q -2 1 1 a 1 B 1 = —1 a 1 = (a + 1) (4 — a) 1 - 1 2 当 <2 = 3 时，厂(A) = 2,r(B) = 3,当 a = 4 时 9r(A) = 3,r(B) = 2,所以 a = 3 或 q = 4 时，矩阵A和B不等价. 301 【答案】5 【分析】 〃个〃维向量ai ,。 2，…，a”线性相关<=> |。1 工 2 ,••• I = 0. 1 3 2 1 3 2 ai ,。 2 ，％ 1 = 2 -1 3 = 0 -7 -1 =—7(^ — 5) 3 2 t 0 -7 i-6 所以t = 5. -137 ・ 考研电子书网站：www. pdf2book. comP -----i— W 数学基础过关660题•数学一(答案册) 302 【答案】(一8, +8) 【分析】 由于本题向量的个数与维数不一样，不能用行列式去分析，而要用齐次方程组 只有零解，或矩阵的秩来进行分析. _ 1 2 0 ■ ~1 2 0「 "1 2 0 ' A = 「 ，。 ，。 」1 = 2 0 -4 —► 0 -4 -4 0 1 1 2 3 t 5 0 ：+ 2 5 0 0 3 — t 1 0 t 0 -2 t 0 0 ：+ 2 由于V L恒有r(A) = 3,所以向量组 «1 ,«2 ,口 3 必线性无关. 【评注】ai ,血，…，％线性无关0秩r(ai血，…，垢)=5<=>方程组I】a】 +x2a2 H— + 了0, =0只有零解. 〃个处维向量 "1 ,。 2 ，•••，。”线性无关<=> | «1 ，…，。“ |尹 0. 303 【答案】一1或一2 【分析】 72 个 72 维向量 ai ,。 2 ，…，□”线性相关0 |，。 2 ，…，a” I = 0. a + 1 a a-1 2a+ 2 0 0 ai ,a2 ,。3 1 = 1 -2 f = 1 -2 -3 a 2 — a 4 — a 2 — a 4 — a Q = -2(a + l)(a + 2) 本题把每行都加到第1行略简便. 304 【分析】 因为tti +。 + aa2,3«2 +。 线性相关，故有不全为0的Zi ,x2皿使 + 2«2 3 3 11 (a】+ 2血 +a3) + 互(ai + aa2) +^3 (3a2 + a3) = 0 即(e + 血)ai + (2zi + ax2 + 3x3 )a2 + 6 + 工3)% = 0. 由于ai ,a2,a3线性无关，故必有 任 +皿=0 1 < 2xi + ax2 + 3j；3 = 0 、 +正= 11 0 因为$ ,了2，了3不全为0,所以上述齐次方程组有非零解，系数行列式必为0,于是 1 1 0 1 0 0 2 a 3 2 a — 2 3 =Q + 1 = 0 1 0 1 1 -1 1 从而a =— 1. 1 1 0 【评注】 若看清行列式2 a 3的书写规律，这一类填空题就很容易计算了. 1 0 1 -1 1 0一 另夕卜［。 +2。 +。 ，依 + 如 +口 〕= ，。 ，。 〕2 CL 3 ,r(ai »a2，％)= 3,下 1 2 3 2，3a2 3 2 3 _1 0 1 面如何处理? ・ 138 --a 线性代数 / 【答案】 305 【分析】由于 ■ 1 a 2「 [ai 一 3 。 +a2 + 2a3,2ai + 3 血 +<^]=[依,a2 0 1 3 3，Si ,a3] -3 2 1 那么 «i — 3a3 +。 + 2a3,2 员 + 3a2 + a3 线性无关 2 O r[ai — 3 。 ，血 +。 + 2 必，2ai + 3a2 +<^] = 3 3 1 2 因(X1 9 (X2 ,。 线性无关，秩厂(。 ,。 ，口 3. 3 1 2 3)= 所以 r[ai — 3 。 ，如 +。 +2 。 ，2 口 +3 。 +。 〕= 3 3 1 2 3 1 2 3 r 1 a Z 1 Q 2 e 0矩阵 0 1 3 可逆 0 1 3 =1 — 9q 夭 0. -3 2 1_ 一 3 2 1 306 【答案】 3 【分析】 设 了 。 +x2a2 +x3a3 =夕，由题意 1 1 P可由a19a2 03线性表示且表示法不唯一0方程组Ax = p有无穷多解 <=^r(A)= r(A) < 3 r -1 2 1 ~1 2 1 1 - Eai ,。 I Pl = 2 3 Q + 2 3 —► 0 -1 a 1 A = 3 _1 a -2 0_ _0 0 az — 2a — 3 a — 3_ 可见 r(A) — r(A) < 3Oa = 3. 308 【答案】 Q尹 1 【分析】 ,。 ，0>3 可表示任一个三维向量 2 仁^。 1 ,。 2 03 与 £1 = =(1,0,0)丁，£ 2 = (0,1,0)t,«3 = (0,0,1)T 等价 0秩厂(a】，如,a3)= 3 I ai ,a2 ,必 I # 0 1 2 0 1 0 0 由 4 7 1 = 4 -1 1 =1—Q 尹 0,所以。乂1. 2 3 a 2 -1 a -139 ・ 考研电子书网站：www. pdf2book. com数学基础过关660题•数学一(答案册) 【评注】 若。1 02，…，。”可以表示任一个n维向量，那么,。2，可以表ZK 81 = (1,0,0,・・・,0)丁,£2 = (0,1,0,…,0)T,•・・,£“ = (0,0,0,・•• ,1)T 显然,82，…，8”亦可表示，。2，…，。",于是口1 ,。2，…，a”与81 ,彘，…，&可互相线性表 出，从而它们有相同的秩•故 r(ai ,a2，…，a”)= r(ei ,£2，…，玲)=n 所以仙血，…，。”线性无关. 反之，若a】，。2 线性无关，则因依，。2 ♦••• »a„ ,fi是〃 + 1个九维向量必线性相关， 从而。可由，。2，线性表出. 即。1 ,。2，…，a”线性无关的充分必要条件是，。2，…，a”可表示任一个n维向量. 309 【分析】,。2 03是3个3维向量，若其线性无关，则任一个3维向量均可由02，。3线 性表示，现存在y不能由ai ,。2,。3线性表示.故必有 1 1 a I ai，。3 I = 1 — 1 2 = (a — 4)(q + 1) = 0 -1 a 1 如 a=—1, -* -1 1 -1 4 - ri 1 -1 4 一 ("1 ,。2，。3，0)= 1 -1 2 -4 —A 0 -2 3 -8 -1 -1 1 1 _ _o 0 0 5 _ P不能由ai ,a2 ,。3线性表示，故。=4. 当然也可以 「1 1 a 4 - 「1 1 a 4 一 (。1 ,。2，。3 /)= 1 -1 2 -4 ——> 0 2 a — 2 8 -1 a 1 a2 _ _0 0 (a + 1) (a — 4) 2q(4 — a)_ 再分析判断. 310 【分析】 秩,a2 ,a3) = 2说明向量组ai ,a2 ,a3线性相关. a a 1 2a+ 1 2a+ 1 2a+ 1 | ai 2 3 1 = 由 ,口 ,口 a 1 a = 1 a 1 a a 1 a a =—(2a + 1) (a — l)2 = 0 如a = 1时，a】=化=S ,秩r(«i ,a2 ,a3) = 1不合题意 所以a =一 !时ai,a2 ,a3线性相关，秩为2. 或者,经初等变换向量组的秩不变，有 a a r -1 a a'' -1 a a a 1 a ―> a 1 a —► 0 1 — a2 a — a2 _1 a a_ a a 1_ 0 q — 1 1 — a _ 140・线性代数 如 a = 1,秩厂(。1 ,口2 03)= 1. 下设Q尹1 ,有 「1 Q a ~ "1 a a ~ ,a2，。3〕— 0 1+a a —> 0 1 一 1 _0 1 -1_ 0 0 2a +1_ 所以02 >«3)= 20Q =---- 第一，二，五列三阶子式不为0,故极大无关组可以是02，。5. 312 【答案】 1或一 3 【分析】山，％是向量组依，。2 ,。3的极大线性无关组，意味着秩厂(。1 ,a2 ,。3)= 2且％可 由ai ,a2线性表示. 因ai ,。2坐标不成比例，丫。,。1 ,。2必线性无关,下面只需检查Q为何值时a3可由ai ,a2线 性表示. -1 2 a + l~ '1 2 a + 1 - [a】02 03 ]= 4 a 3 ——► 0 7 3a+ 2 _3 - 1 1 _ ,0 0 a2 4- 2a — 3_ 所以a =— 3或a = 1. 3131 【答案】尹3 【分析】 经初等变换矩阵秩不变 一1 1 a 4 A — 0 1 a — 2 4 — a _0 0 (。+ 1)(3 — a) Q(Q — 3) r(A) = 30(a + 1)(3 — q)与 a(a — 3)不全为 O0Q 丰 3. 314 【答案】 2 【分析】 由AB+2A (=*B + 2E),而 ~2 1 -1 2一 0 1 2 3 B + 2E = 0 0 3 4 0 0 0 4_ 是可逆矩阵，故 r(AB + 2A) = r(A(B + 2E)) = r(A). 经初等变换矩阵的秩不变，易见 考研电手书网站：www.pdf2book.com • 141 •数学基础过关660题-数学一(答案册) -1 2 3 4- -1 2 3 4- 一1 2 3 4 一 2 3 4 5 1111 0 -1 -2 -3 3 4 5 6 1111 0 0 0 0 |_4 5 6 7_ _1 1 1 1_ 0 0 0 0 _ 所以 r(AB + 2A)= 2. 315 【答案】 2 【分析】 因厂(A) = 4的列秩. 由ai ,a2坐标不成比例知线性无关，于是r(ai ,a2 ,必)> 2,又三维向量a4不能由 9a2 9«3线性表示，必有«i ,。3线性相关，有r(ai血,妫)V 3. 从而有 r(A) = r(«i ,a2，皿)=2. 316 【答案】2 【分析】r(AT) = r(A),又齐次方程组Ax = 0的基础解系中，解向量的个数为九一技人). 因 72 — r(A) = 4 — r(A) = 2 知 r(A) = 2,故 r(AT) = 2. 317 【答案】(—1, — 1,1,0)T ,(1, -- 1,0,1)T 【分析】 对系数矩阵加减消元，有 令 JC3 = 1 ,14 = 0 令孔=0 ,14 = 1 得=2 =— If = 1. 所以基础解系为(-1, -l,l,0)T,(l, -l,0,l)T. 318 【答案】2 n, r(A) = n, 【分析】 注意对于n阶矩阵A ,我们有)=彳1, r(A) = n — 1, 、0, r(A) V n. 由于3阶矩阵A的秩为2,则A* 的秩为1,从而方程组A* x = 0基础解系中解向量的个数 为 3 — 1 = 2. 319 【答案】一 5 或一 6 【分析】 齐次方程组Ax = 0有无穷多解的充分必要条件是r(A) < n(n是未知量的个 数).现在是三个未知数三个方程的齐次方程组，故可以用系数行列式I A 1=0. a -3 3 a 0 3 1 Q + 2 3 = 1 Q + 5 3 2 1 -1 2 0 -1 -142 ・线性代数 a 3 = (q + 5) =(q + 5)(— q — 6)=0 2 — 1 故 a =— 5 或。=—6. 【评注】 对1个未知数"个方程的齐次线性方程组作是否有非零解的判定时，既可以 用秩也可以用行列式.如果方程个数与未知数个数不相等，那么一定用秩. 320 【答案】1 【分析】Ax = b有无穷多解0尸(A) = r(A) V n ~a 1 1 a — 3 a 1 1 a — 3 = 1 a 1 -2 ——> 1 — a a — 1 0 1-a _1 1 a -2 _ _1 — a 0 a — 1 1 — 如 g = 1 ,r(A) = r(A) = 1 < 3,方程组有无穷多解, 如Q尹1 a-r a 1 1 a-3~ / + 2 0 0 1 -1 0 1 ——> 1 -1 0 1 _1 0 -1 1 - _ 1 0 -1 1 _ 此时方程组可能有唯一解，可能无解，不存在无穷多解. 从而仅Q = 1时，方程组有无穷多解. 或者| A |= (q + 2)(q —1)2,方程组有无穷多解的必要条件| A |= 0. 然后按 q = 1 =一 2分别讨论Ax = b解的情况亦可. 321 【答案】(l,0,l)T+^(l,l,0)T 【分析】 因方程组Ax = b有两个不同的解，有公众号：旗胜考研 r(A) = r(A) V 3 —1 2 I 又A中存在 「 」夭°，知厂(A)^2. 5 — 4 I 故必有 r(A) =2,n — r(A) = 3 — 2 = 1,通解为 a + ki]. 由解的性质a2~a1 = (1,1,0)T是Ax = 0的解. 本题当然也可用解的概念求出。，们再来求解. 322 【答案】4 【分析】基础考题，由特征多项式 A 2 2 A 2 2 AE-A | = —2 A — 2 2 = —2 A — 2 2 2 2 A -2 0 A A A 0 2 == -2 A-4 2 = f (A —4). 0 0 A 考研电子书网站：www. pdf2book. com * 143 •数典础过关660题•数学一（答案册） 323 【答案】9,-1,-1 【分析】 A = aaT 2A的特征值：10,0,0. 从而2A-E的特征值：10 — 1,0—1,0-1. 【评注】aTa = （1,0,2） ^oj = 1 + 0 + 4 = /a是矩阵的非零特征值. 324 【答案】 一5 【分析】 设a是矩阵A」】属于特征值人°的特征向量，按定义有A~'a = Aoa,于是a = A0Aa.即 即 由（2）或（3）知％夭0,（2） — （3）易见a =— 1,那么义° =—.因为A和的同一个特征向 0 量对应的特征值互为倒数，故a是矩阵A中义=-5所对应的特征向量. 【评注】 若已知4的特征向量，通常可用定义法，由Aa =Aa建立方程组来求参数.本 题不要去求A-】，而要通过转换. 325 【答案】 一2, —号 【分析】 由于矩阵A + 2E与2A + E均不可逆，所以\A + 2E\ = 0,\2A + E\ = 0,于是 |-2E-A| = 0, 一§E —A = 0,从而矩阵A的特征值为一2,—号. 【评注】 特征值为特征方程，（Q = |AE-A| = 0的根，所以由|2A + E|= 0推出 —§E — A =0,得到一§为矩阵4的一个特征值. 326 【答案】 以夭o 【分析】 矩阵4各行元素之和均为5,即 • 144 •线性代数 。 +。 11 12 + Q13 = 5 < 口 + 心 +。 21 22 23 = 5 、。 +。 + 心 31 32 33 = 5 327 【答案】互（O,1,1）T以尹0 【分析】 因为A是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，设A=-2的特征 向量是。3 = （了 1 ,了 2，Z3）T ,那么 aTaz = 4 — 2 — 2。= 0 =+ 2^2 — 2%3 = 0 。?。 2 =4xi — x2 +在3 = 0 可先求出。=1,再由 I X1+ 2x2— 2j：3 = 0 工 （4^1 — 2 +%3 = 0 得到基础解系（0,1,1）。所以。3 = （0以以）T以夭0. 328 【分析】 复习：若义是矩阵A的特征值，则甲。）是矩阵P（A）的特征值・ 设;I是矩阵A的特征值，则足是矩阵A3 =O的特征值，由特征值的定义可知，零矩阵的特 征值均为零,于是冲=0,故A = 0,即矩阵4的特征值均为零.所以矩阵A2-A + 2E的特征 值均为02 -0 + 2 = 2. 329 【答案】2 【分析】 由相似的性质：an = 加及I A | = | B | ,有 3 +。+ 3 = 3 + 4+ (— 1) 3(3a — 2b) =— 12 可解出b = 2. 330 【分析】 由A〜B有*+娅:〜B +娅，进而r(A + kE) = r(B + ^E). -0 0 0- ~2 0 0- 于是A-E〜B-E = 0 0 2 ,A + E 〜B + E = 0 2 2 0 2 0 0 2 2_ 从而 r(A — E) +r(A + E) = r(B - E) + r(B + E) = 2 + 2 = 4. 331 【答案】8 【分析】 由A ~ B有A+娅:〜B +硒，进而|A+娅| = |B +硒|,故 2 1 I A + 2E |= 0 =8. z 0 考研电子书网站： ww. pdf2book. com ・ 145 -数糠础过关660题•数学一（答案册） 332 【答案】 加依+奶。2以1 不全为。 【分析】 因= A,知A的主对角线元素是A的特征值，故A的特征值为1,1, 一1. 当P- AP = A时,F = （% 02 ,必）的每列是A的相应的特征向量，从而人=1的特征向量 为（Xi +为2。2，为1以2不全为0. 333 【答案】一 2 A — 3 -1 -2 【分析】因为I涸一A | = 0 A — 2 —a =(A — 2)(人—3)2 9 0 0 A — 3 所以矩阵A的特征值为2,3,3,因为矩阵4的特征值有二重根，所以 A〜A <=U = 3有两个线性无关的特征向量 0（3E —A）x = 0有两个线性无关的解 <=>r(3E — A) =1. -0 -1 -2' ■0 -1 -2 _ 那么3E — A = 0 1 —a ——► 0 0 —a — 2 ，可见a =— 2. 0 0 0」 _0 0 0 _ 【评注】 A是上三角阵，可直接得出其对角元素即是其特征值. 【答案］ 334 【分析】 由题设得 A（ai ,。2，。3）= （&1 ,&23）= （。2 +。3，。1 +。3 01 +。2）=（«1， 0 1 r ，。3） 1 0 1 ，由于 0T1 02 ,a3线性无关，矩阵P = （ai,a2,a3）可逆，于是P~ AP = .1 1 0, '0 1 ］、 ‘0 1 1、 1 0 1 ，即矩阵A与B = 1 0 1 相似.又|AE-B| = (A + l)2Q-2),所以矩阵A与 1 1 0 1 1 0 B的特征值均为一1,—1,2. 1 1 ］■ V3 V2 V6 _x O 335 V3 1 1 _1_ 73 _ 72 V6 【分析】 因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交. 设口3 = （e ,%2，了3）丁是矩阵A属于A = 6的特征向量，贝！J alai = zi — x3 =0 =>a3 =(1,-1,1)T a]a2 = Z2 + 工3 =0 由于A = 3的特征向量％ ,。2不正交，故需正交化处理. ・146・线性代数 , 1 [01 1 T 令仇=。 1 0 ' Q 伍 一 一 「 阪页 （。 2 "） Q _ 一 2 0 一 . _ ~ 1 2 _ 2 ，再单位化得 11J -1 -1. [1、 1、 1 1 _ 1 0 ,y2 =— 2 ,73= — -1 73 -1] 1, 1 , J_ ]' 76 V3 2 __1_ 那么。= 0 为所求. V3 J_ V3 _ 336 【答案】。或5 ~a 3 0" 【分析】二次型矩阵 A = 3 2 1 0 1 a_ 二次型的秩为2,即矩阵A的秩r（A） = 2. a 3 0 3 2 由 I A |= 3 2 1 = 2a2 — 10a,且A中有二阶子式 尹。. 0 1 a 所以。=0或。=5时,二次型的秩为2. 337 + 丁 ， =）1 2 【分析】 方法1 对f （工1，了 2工 五作可逆线性变换 yi，二次型化为 2，^3）= 1 =Vi — 了 3 =)3， 2y\ 一 2yl，从而其规范形为好一弱. 一0 1 0- 方法2 二次型f （工1 口 ，工 2j?iX2 的矩阵为A = 1 0/ 0，由于 2 3）= 0 6 0_ A -1 0 | AE — A | = — 1 A 0 = A（A2 — 1） = A（A — 1）（A + 1）, 0 0 A 故矩阵A的特征值为1,0, — 1,即正惯性指数为1,负惯性指数为1,从而规范形为zl-zl. 【评注】如果仅仅求二次型的规范形，只需求出正负惯性指数.有两种方法确定二次 型的正负惯性指数，方法1,配方法求出二次型的标准形，正（负）平方项的个数=正（负）惯 性指数.方法2,求出二次型矩阵的特征值，正（负）特征值的个数=正（负）惯性指数. 考研电子书网站：www.pdf2book.com ・147・数学基础过关660题•数学一（答案册） 338 【答案】 3 O' 【分析】二次型，的矩阵为4= 3 4 1，因为，正定0A的顺序主子式全大于零，即 0 1 a_ △ 1 = Q > 0 , a 3 △2= _ . = 4a — 9 > 0, 3 4 △3 = IA I = 4az — 10a > 0, 故f正定0。> y." 【评注】 二次型『仙正定e vX夭0,恒有寸仙〉0 0 A的特征值全大于0 0二次型的 正惯性指数p = n^A与E合同,即有可逆矩阵C使A = CTC<=>A的顺序主子式全大于0. 二次型xTAx正定的必要条件>0与I A |>0. 【答案】（蓦 T 339 【分析】 若,。2，。3是空间的基，而+^2«2 +^3«3 =夕，则称向量夕在基口1 ,。2，% 下的坐标是（工1 ,五，亿3）丁. %】+ 12 + X3 = 1 对于方程组 y —血 + 3x3 =— 2 4ii + x2 + 9x3 = 4 可解出=— =身口3 = 1，因此P在基"1 ,口2，口3下的坐标是（一・ U O \ O 0 / t评注】本题的方程组用克拉默法则与范德蒙行列式较简捷. rl 0 1 1 340 Ll 1 0 J 【分析】按过渡矩阵定义 Epi ,02，夕3] = [a】，a2 9（X3~\C 可见矩阵C的第1列就是同在基底。]02，口3下的坐标，由于已知。1 =依+血+。3,所以矩阵 C的第1列应当是 ，其余类同. 【评注】 设n维向量空间给定两组基 «1 ,。2,…，On 与 Pl，。2，•••，"， Pi =勺1。1 +。21。2 --------cnla„, 在 。2 = a。】+ c22a2 H-------F cn2an, 若 3 ・・• •・・ ・・・ ・・・ fin = clnai + c2na2 H--------F cman， ・ 148 -线性代数 则矩阵C是由基心，如，…,a”到基的过渡矩阵. 若页=[；]，阪= 1 ' ，仇 -1_ 3 则因"1 = 2(X1 += 2ai - a2而知由基a1；a2到基仇，侏的过渡矩阵 或者由，妇=[«i ,a2]C知 C=[ L a i，a 」 j 一 顷 [*] =& 「 —』1 r_-1] 一 ] 11「3 1 3 1 J = 「 |_1 2 ~ 2 1 要会用这两种求过渡矩阵的方法・ 选 择 题 341 【分析】行列式是不同行不同列元素乘积的代数和，其一般项是 (—1)'""源a% a2j2 本题中作为z，项，必须每行元素都要有z项出现，因而只能是=工、又 ”4321) = 3 + 2 + 1 = 6 于是z，的系数为+ 1. 对于^3项，必须有1行(列)不出现工项，因而只能是 Q11Q23Q32Q44 = 此时r(1324) = 1,从而^的系数为一1. 1 2 3 Z 1 2 3 X-1 1 2 z 3 1 2 z 2 或 /(X)= — 1x23 112 2 x A. 2 jc z 1 2 0 再分析逆序 口 。 。 。 x3（X — 1）. 14 23 32 41 = 对于逆序不熟悉的同学,也可考虑通过计算行列式来处理. 342 【答案】D 1 1 1 1 2 2 0 1 1 1 2 2 0 【分析】 】】 0 3 3 —4 2 2 0 A +A12 + A13 +A14 = 0 3 3 0 0 4 0 3 3 4 0 0 4 本题也可以直接计算代数余子式,计算量较大. 考研电子书网站：www.pdf2book.com -149 ・数学基础过关660题•数学一（答案册） 110 0 1111 0 2 2 0 0 2 2 0 【评注】由于行列式 与行列式 只有第一行元素不同，从而 0 0 3 3 0 0 3 3 4 0 0 4 4 0 0 4 这两个行列式第一行元素的代数余子式相同. 343 【答案】 D 【分析】 1 B 1= (― I*)* 、! =24 0 1 0 1 C|= 4(-1)4+4 2 0 2 = 24 3 0 0 0 0 2 | O | = 1 •(— 1*) 3 0 0 =- 24. 0 4 0 344 【答案】 C -0 2 O' 【分析】 因(如，2 。 1 +a2,3a2) =(Oi,% ，。 3) 0 1 3，故 _1 0 0_ 0 2 0 I B | = l A |. 0 1 3 = 6 | A | = 12 1 0 0 或者,用行列式性质 I B | = | %，2 。 + &，3 。 3 口 ，2 。 +。 ，。 1 2 I = I 3 1 2 2 =3 I 。 ，2 。 ,。 I = 6 I % 血 I 3 1 2 02 =6 | ai ,a2 ,«3 | = 6 | A | = 12. 345 【答案】 c 【分析】 本题考查行列式的性质,分别对每个行列式作适当的列变换，向 靠拢・ I «1 02 03 I (A) I 。 1 — %，«2 — ，口 I = I 0,a2 — «3 9«3 — (Xl I = 0. 3 — (B) I «1 + a2 +。 ，。 +。 I = | 2( 。 +。 +口 ，血 02 3 3 1 1 2 3) +«3，"3 + «1 | 。 +。 ，。 ，% +。 =2 I 1 +% 3 2 +«3 1 | =2 | «i ,a2 + a3 ,a3 + ai I 】,。 ，奶 =2 | a I = 2 | A |. k 2 +% (C) | ai + 2a2 1 = 1 a2 ,a3 +a2 I = I a2 ,a3 I = I A I . ,% ,ai + % ,«i ,。 ，% (D) I I = I I =—I I . 11 02 + a3 >«1 + «2 1 = 1 ai 2 + 11 ,03 02 A 请说出每个等号成立的理由，作的什么变换，用的什么性质？ _1 0 1 或对（C）如上题有（。 +2% ，。 ，。 +。 2 0 1 1 3 1 2） 0 1 0 1 0 1 则 I C | = | ai ,a2 ,a3 I 2 0 1 = | A | • 1 = | A | 0 1 0 • 150 •线性代数 故应选（C）. 346 【答案】D ［分析］ 由于 3A―B = （3（Zi,3cf2,3°i） ~~ （a】，a2 邢2）= （2a】，2%，3仇一02），所以 | 3A — B | = | 2ai ,2久，3$ —佐 | = 4 | % ,口2,3。— % | =4（ | a】02,3$ | + | a】，处，—佻 |）= 4（3。一 6）. 【评注】注意|A+B序|A|+ |B|. 347 【答案】A 【分析】 由 A4- =| A | E,有 | AA，| = | | A | E | ,即 I A |-| A- | = | A |" | ^ I A 可逆有 | A |^0,故 | A* | = | A I"'1. 348 【答案】B I | = | A I"-1 【分析】由 kA \ = kn \ A\, \ A' I |A，l=^7（|A ,）2 = h' 349 【答案】B 【分析】因（A-E）-1 == A2 +A + E.有 （A-E）（A2 +A+E） = E,即 A3 = 2E 那么 I A I，= | 出 | = | 2E | = 23 | E | = 23,故 | A | = 2. 350 【答案】c 由于A是3阶可逆矩阵，所以A* = |A|AT = 2妒。于是 【分析】 |A-1 +A' | = |A"1 +2A-1 | = I3A"1 | = 33 | A-1 | = y. 351 【答案】B ［分析】 设口 = （口1 , 口2，）T，。=（A 土 2 土 3）丁 , ，「 aTp = （ai ,a2 >a3） b2 = axbx + a2b2 +a3b3 A_ ~ai~ pTflr =（缶，缶，缶）a2 = + a2b2 +a3b3 。 3_ 所以（B）正确. 注意：A =ap\B = paT都是n阶矩阵,=B,故（A）不一定正确.（C）中一个是矩阵，一 个是数不可能相等.（D）中其实是kaT与耶丁，也不一定相同. -151 - 考研电子书网站：www. pdf2book. com数学基础过关660题•数学一(答案册) 352 【分析】 利用行列式代数余子式的定理有A* A = A*A =| A | E, 按矩阵乘法定义，有 o- 0 0 3 0 0_ 0 0 一 3 0 0 <21 0 。2 0 b2 0 0 a2b2 0 0 b2 0 a2 0 0 0 a3 0 妃 0 0 0 0 b3 0 因为矩阵乘法有结合律:=A^ = # • A".又 CA + E)(A-E) = A2 - E = (A-EXA + E) 请你举例说明 AAt与AtA,AA,与A】A可以不相等. 353 【分析】 矩阵的乘法没有交换律,4,B可逆不能保证AB = BA，例如 o- -1 1" -1 A = ,B = .0 1J .0 2. ri 21 ri 11 有AB= 而BA= ，可知(A)(C)均不正确. —U 乙」 L V Li — 可逆时,A + B不一定可逆，即使A + B可逆，其逆一般也不等于4一】+B \例如 -1 r _1 :］有(A -2 r -3 -r _o 有(A + B)-1 .0 1_ 乙- _0 3_ _0 2 . 口 0］ 「1 —11 而A-1 +B-1 = ° + 1 = 3 ，所以(B)不正确. L0 1」［0 钥 7. 因为A可逆时,A* = | A以：故 (*AB) = | AB | (AB)T = | A | | B | B^A1 = (| B | A | A-1) = B A* , 即(D)正确. 【评注】因为矩阵乘法没有交换律，所以中学代数的乘法公式不能用，但(A+E)"可用 乘法公式展开. 354 【分析】 由 r(ATA) = r(A),因"A = O,有 r(A) = r(ATA) = 0, 故必有A = O.即(D)正确. 「］ 0 7 若4= 有A2 = E,但且人夭一_E,即(A)错误. _0 — 1 _ 「0 11 若A = ° °有A2 = O,但A 乂 O,即(B)错误. 「1 01 若A = Lo 0」有A2 =A且A/O,但A/E,即(C)错误. 355 【分析】 由行列式乘法公式I AB 1 = 1 A | | B |. ・152・线性代数 当AB =O时，有| A | | B | = 0,所以| A |和| B |至少有一个为0,即(C)正确. 令人 A=[ 「 11 「。 1 则 m = 「 [ 1 oJ 1 L 「 ° 1 1 J =O 八 ， 可知(A)(B)均不正确. 人 「1 1 「2 1 m 「1 1「2 1 「2 1 n 令 A = ,B = ，则 AB = = = B. L oJ L oJ L oJL oJ L oJ 但A#E,知(D)不正确. 356 【答案】 B A” A21 A31 【分析】按A* = A12 a22 a32 本题只要计算出a31 ,a22 ,a13 中两个代数余子式的值即 人 _Ai3 A23 33_ 可.因 Ab =(—1严1 ° : =-ab 可排除(A)(C). b 0 再由 A22 = (—1)2+2 ° a =—ac 可知选(B). c 0 或者作为选择题增强条件，假设A是可逆的.有 0 0 c x 0 0 b 1 0 0 a 亦知选(B). 357 【答案】 B 1 -1 1 【分析】 由 I A-1 | = 0 2 — 1 = 3,知 | A|=§,于是 10 2 ri -1 1_ A* = | A | A-】=§ 0 2 -1 1 0 2 故 。+ § = 2 An + A12 + A13 = § + I 0 o 358 【答案】 D 【分析】(A)(B)(C)是基本公式.关于(D) O A~ 2_ O Airo A~ AB 0 _ .B Ou .B oJLb O- _ 0 BA_ O A"3 ab 0 nro A' -O ABA~ .B O_ _ O BA J LB O. .BAB C> _ - O A-4 AB O T '(AB) O -B O. _ 0 ba\ O (BA)2J 考研电子书网站：www. pdf2book. com ・153・数学基础过关660题•数学一（答案册） 359 【答案】c 【分析】 XA+2E = X + B 有 X(A-E) = B-2E,于是 -o X = (B-2E)(A — E)T = .1 _0 r 1 01 -0 2 - _3 _1 -3_ 0 1 1 如果你选的是（A）,检查一下是哪里出错了，注意矩阵乘法！如果你选的是（B）或（D）,又 是哪里的问题？ 360 【答案】C 【分析】 (A + At)t = At + (At)t = a+at (AAT)T = (At)tAt = AAT (ATA)T = AT(AT)T = ATA 又AA * =\ A\ E,所以①③④⑤均是对称矩阵. 而 (A-At)t = At-(At)t =—(A—AD 是反对称矩阵. 361 【答案】c 【分析】（A）中零行（第二行）不在矩阵的最下面. （B）中主元所在的列（第四列）其余元素不全为0. （D）中非零行的第1个非零元（第二行）不是1. 362 【答案】D 【分析】单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵是初等矩阵，而（A）（B）（C）均需要单 位矩阵作两次初等变换才能得到. 363 【答案】c _1 0 o - '1 2 3- -1 0 0- 【分析】 P2AP,= 0 1 -1 4 5 6 0 1 0 Lo 0 1 _ _7 8 9_ 0 -1 1_ ■ 1 2 3 ] 「1 0 0一 1 -1 3 ■ = — 3 -3 -3 ° 1 0 = —-3 0 -3 Lo _ 7 8 9 一 — 1 1_ 7 -1 9 _ 注意(A)是 FjAPzJB) 是 RRA,(D)是 APS. 364 【分析】矩阵4作两次行变换可得到矩阵B,而AP3P2,AP1P3描述的是矩阵A作列变换, 故应排除. 把矩阵A第一行的2倍加至第三行后，再一、二两行互换可得到B. 或者把矩阵4的一、二两行互换后,再把第二行的2倍加至第三行亦可得到B,而P2P3A正 是后者.所以应选（B）. • 154 •线性代数 【评注】本题考查行变换是左乘初等矩阵，列变换是右乘初等矩阵.希望能看清楚 。 21 ^23 P1P3A = 。 Q11 12 □13 。 心 口 知 @31 + 2 21 32 + 2(^22 33 + 2 3 _ □ 12 Oil + 2^13 □13 AP3P2 =AP]p3 = ^22 Q21 + 2&23 “23 。 。 A 32 31 + 2 33 a33_ □12 + 2^13 an G13 。 。 。 AP3P1 = AP2P3 = 22 + 2 23 21 “23 。 弓 + 2fl33 31 33_ 365 【答案】 A 【分析】 按已知条件，有 0 1 0一 '1 0 0一 0 1 0一 _ 1 0 0- 1 0 0 A = B,B 0 1 0 =E,即 1 0 0 A 0 1 0 =E, _0 0 1_ -2 0 1. _0 0 1_ -2 0 1_ 0 1 0「 -1 ■ 1 0 0' -1 ro 1 o- ri 0 0一 「° 1 0] 故A = 1 0 0 E 0 1 0 = 10 0 0 10 = 1 0 0 0 0 1 -2 0 1 0 0 1 2 0 1 2 0 1 366 【答案】B 【分析】由已知条件，有 -2 1 A = B 1 -_x - - 1 「-2 -1 -2 -1 ~~2 那么 B1 1 1 A =A-1 1 =A'1 1 1_ 1_ - 1_ 所以妒】的第一列乘以一§得矩阵矿】.故应选（B）. 367 【答案】 C 【分析】 一 E O「1 ~E O~ ■ E 0一 由于 -C e\ _—C E. .O E. ，所以P-1 -C E. .又 _ E O' A 也]= ' A】 a2 - p-y = _—C E_ La3 A，4 _ -—C4i + A3 —CA2 + A4 _ 故正确选项为（C）. 考研电子书网站：www.pdf2book.com . 155 .数学基础过关660题•数学一(答案册) 368 【分析】 注意对矩阵秩概念的理解.当r(A) = r时： A中一定有r阶子式不为0,但并不要求所有的r阶子式都不为0. A中r-1阶子式一定有不为0的，也不要求所有的r-1阶子式全不为0. 而r+1阶子式则必须全为0. 369 【答案】 D 1 0 1 【分析】(A)中三阶于式 0 1 a 乂 0,且没有四阶子式，其秩必为3. 0 0 1 1 0 1 1 0 0 (B)中V。，由于0 1 。 =Q， 0 1 0 =q + 1,至少有1个三阶子式不为0,其秩 0 0 Q 0 0 q + 1 必为3. 类似地(C)中 q 和。+ 1不可能同时为0,必有三阶子式不为0,而四阶子式一定为0,故其 秩必为3. 当 q + 1 = 0时，可见(D)的秩为2. 370 【答案】 c 【分析】 因A,B均为四阶非零矩阵，那么1 V r(A) < 4,1 V r(B) < 4. 又 AB =O,有 r(A) + r(B) < 4. 所以r(A) = 3时，必有r(B) = 1,即(C)正确. 当r(A) =4时，只有r(B) =0,(D) 一定不可能. 当r(A) = 1时，r(B)可能为1,可能为2,也可能为3. 即(A)不一定必成立. -1 1 1 V … 1111 例如A= ] 1 1 ]，B可以是 1111 ■ 1 0 0 0一 ■ 1 1 0 0- ■ 1 1 1 0' -10 0 0 -10 0 0 -1 0 0 0 9 0 0 0 0 0-100 0-100 _ 0 0 0 0 0 0 0 0_ _ 0 0 — 1 0_ 同理(B)也不是必然的. 【评注】 本题考查矩阵秩的概念以及AB=O中关于秩的信息. 若AB = O,将B按列分块,B = ，版，…，，」，有 AB = ,p2，…0] = LAfii ,Afi2，-- — [0,0,••- ,0] 从而部,=0(i = 1,2,•••,”)，即pi是方程组Ax = 0的解.这样向量组仇，。2，”遥 可由 Ax = 0的基础解系线性表出，从而，&，…,仇])<〃一式4).故有r(A)+r(B)^«,以 上得到的命题“若AB=O,则r(4)+r(B)W/在考试中可直接使用.由这一命题及r(A) > 0,r(B) >0,立刻可得出A与B的秩均小于n. • 156 •线性代数 【分析】 因BKO,必有r(B) >1. 又因妃 UO,即存在& R 0,中于* 有是 2阶子式非零，知r(A)2 2. 由 AB = O,有 r(A) +r(B) < 3,故必有 r(A) = 2,r(B) = 1. 【分析】 由于ai = a2+a3,所以向量ai ,a2 ,a3线性相关，故向量组ai ，«3的秩< 2, 于是r(A) < 2.另一方面，由题设*A O* , 所以矩阵A中有2阶非零子式，故r(A) > 2. 综上，r(A) = 2. 【分析】 A是四阶矩阵，那么由伴随矩阵秩的公式 71, r(A) = n r*(A ) = <1, r(A) = n-1 0, r(A) < n — 1 可见 r*(A ) = !<=> r(A) = 3. 对矩阵A作初等变换，有 _1 1 1 r "1 1 1 r 1 1 1 一 0 1 -1 a 0 1 -1 a 0 1 _ 1 a 2 3 a 4 0 1 a — 2 2 0 0 a — 1 2 — a _3 5 1 9_ _0 2 -2 6_ _0 0 0 6-2a_ -1 3 3测A 秩 r(A) = 3. 2 -1 0 2 若。=2,则A 秩 r(A) = 4. 0 2 若a 1,则A 秩 r(A) = 3. 所以,a = 1或。=3时均有*r(A ) = 1.应选(D). Kgi【答案】 D 【分析】 由2AB = 4得AC2B-E) = O.于是 r(A) +r(2B-E) < 4 又因A是5X4矩阵且A的列向量线性无关，有r(A) = 4,从而r(2B-E) = 0即2B-E = O. 于是 B = = 4,故 r(B' ) = 4. ・157・ 考研电子书网站：www. pdf2book. com数学基础过关660题•数学一(答案册) 375 【答案】 D 【分析】 向量组①是四个三维向量，从而线性相关,可排除(B). 由于(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)线性无关，添上两个分量就可得向量组②，故向量组②线 性无关.所以应排除(C).向量组③中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 ai，a2 ,a4线性相关，那么添加a3后，向量组③必线性相关.应排除(A),由排除法，应选(D). 【评注】 关于向量组④亦可直接计算行列式，由 1 -1 2 4 1-12 0 1 — 1 2 1 — 1 2 0 3 1 2 0 3 1 0 = =031=031=0 3 0 7 14 3 0 7 0 3 0 7 0 3 1 1 -2 2 5 1-221 而知其线性相关. 376 【分析】 由于向量组a】02,…，久线性相关，则存在不全为零的力1以2，…，虬使得 幻+ k2a2 4------ ksas = 0, 不妨设ki尹0,则有Ui =—牛--- --孕St —华"。£+1 —…一牛故选项(C)正确. 底 ki ki k i 选项(A)(B)(D)为充分条件，不是必要条件. 377 【答案】 C 【分析】(Xi ,a2 ,。3 相关<=> I021=0 1 1 t 0 1:1 =—(7 + 2) (/— 1)2 =0 t 1 1 故t = 1或一2. fl ,02 ,03 无关0 1 Pl 9p2，03 1^0 1 2 0 1 0 0 5 3 7 t + 2 3 1 z + 2 =—(t + 3) —1)夭 0 2 一 4 3 2 t 3 t 尹一3 且 I 乂 1. 378 【答案】 C 【分析】"个？2维向量ai ,a2，•-- ,an线性相关0行列式I依a” I = 0. 0 1 -1 由 I ai ,a3 ,oh I = 0 -1 1 =0 (一、二两行成比例). Cl C3 C4 注意 I ai »a2I =一 ci, | ai ,a2 »a4 I =勺，I a2 ,a3 ,。4 I =— c3 — c4. 379 【答案】 A 【分析】ai,% >••• ,an线性相关0(ai ,% ,••• ,a”)x = 0有非零解 -158 -线性代数 0 I ai ,a2, ,a„ I = 0 故(A)正确,(O(D)均为充分条件，不是必要的. 380 【分析】 必要性(反证法) 如果ai = H--------Ui-i +辰+1"汁1 H----------------Ms, 贝U --------F ai-i — ai + 辰+1。汁1 ~\--------F ksas = 0. 因为bi , fki-i , — 1，知+i ,…，队不全为0.于是(Xi ,。2 线性相关.矛盾. 充分性(反证法) 如果1102,…，％线性相关，则有不全为0的蜘以2,…，奴使妇依+ k2a2 H--------ksas = 0,不妨设 ks 尹 0,则有 as =— + k2a2 H--------矛盾. k5 注意(A)(B)都是必要条件，不是充分条件.例如(1,0),(0,1),(1,1). 而(C)是充分条件. 由S ,。2，…，％ ,。什1线性无关=>口1 ,。2 ,••・，％线性无关, 但由ai 02，…，必线性无关，…，Os，。41线性无关. 381 【答案】 B 【分析】 由于(A)(C)两个命题互为逆否命题，一个命题与它的逆否命题要正确就全正 确，要错误就全错误.按本题的要求仅有一个命题是正确的，所以(A)(C)均谬误.其实亦可考 查下面的例子： 。1 = (1,0,0),% = (0,1,0),% = (0,0,0)与 01 = (1,0,0,0) ,p2 = (0,1,0,0) ,p3 = (o, 0,0,1). 显然r(«i ,a2 ,。3)= 2,r(/Ji ,.)=3.即当ai ,a2,%线性相关时，其延伸组01,03可 以线性无关.所以(A)(C)错误. 如果Pl 9p2 9p3线性相关，有不全为0的9^2 9X3使了1。1 + %2。2 +亿3。3 =。，即 ‘Q11Z1 +。21^2 +。31^3 = ° <212-^1 +。22 ⑦ 2 +。32亿3 = ° Y Q13Z1 +。23^2 +。33工3 = ° 014^1 +知4%2 +。34二3 = 0 有非零解，那么齐次方程组 伊11山 +。2皿 +。31%3 = 0 5 <212^1 +。22卫2 +。32刀3 = 0 +。23%2 +。33飞3 = ° 必有非零解，即久 ,处，必线性相关.所以(D)错误. 【评注】 要会用定理,若(I)无关，则(,)无关,即若向量组3皿，线性无关，则 其延伸组ft部2，…，&必线性无关. 382 【分析】 若a】=(1,0,0)T ,a2 = (0,1,0)T,则a】，阪线性无关. 当。3 = (1,1,0)T 时 01 ,口2 03 线性相关；当。3 = (0,0,1)T 时 01 ,。2 03 线性无关. 可知当(I )线性无关时，(□)既可能线性无关亦可能线性相关，所以(A)(B)均错误.(C) 是(A)的逆否命题，当然是错误的. 考研电子书网站：www. pdf2book. com ・159・数学基础过关660题•数学一（答案册） 【评注】要区分本题的（D）与上一题的（B）, 一个是向量个数的增减，一个是向量分量 的增减，两者不要混淆. 383 【答案】B 【分析】（DI）线性相关<=> | AB | = 00 | A | = 0或| B | = 0. 可见应选（B）. .______________________________________________ 【评注】 本题选项中，若（A）或（C）或①）成立，则（B）成立.因是四选一的选择题，只 能有一个选项正确.故（A）（C）（D）均可排除，应选（B）. 384 【答案】D 【分析】用观察法 （A） （«1 + 42）—（。2 + a3）+（。3 + "4）—（。4 +）=0 （B） （。1 —）+（。2 —。3）+（。3 —）+（。4 一）=0 （C） （。1 +）—（CT2 —。3）—（。3 — 口4）— （。4 + 口1）= 0 知（A）（B）（C）均线性相关,故应选（D）. 或者 '1 0 0 -1" 110 0 （。1 +处，。2 一。3，。3 一，口4 一 口1）=（。1，。2，。3，。4） 0 — 1 1 0 0 0 -1 1 _ 10 0-1 ,1 1 0 0 由。—1 1 0 =2夭°，故皿 0 0-11 厂（。1 +。2，。2 —，。3 —，。4 — 口1）=厂（。1 ,。2，。3，） = 4 故（D）必线性无关. 385 【分析】 因（ai —。2）+（。2 — 口3）+ 耸3 —。1）=0， （«1 +）—（。2 —。3）—（。3 +）= 0， （CT1 + a2）+（。2 十）—（。1 + 2。2 + 口3）= 0， 知（B）（C）（D）都线性相关. 一1 o r 或者 （。1 +阪，。2 +。3，。3 +ll）=（。1，。2 03）110, 0 1 1 ~i o r 由于1 1 o是可逆矩阵，那么 0 1 1_ r（«i + a2，％ +。3，。3 +«i）= r（ai ,a2，必）=3 亦知（A）正确. • 160 •线性代数 386 【分析】 加。1 + k2a2 =以1,0,5处)丁 若P是休，血的线性组合，则。的第2个元素必须是0,第1个、第3个元素是独立的，故选(C). 387 【答案】 A 【分析】 Pl ,依 可由。1，。2 线性表示 + X2a2 = Pl +丁2。2 = p2 都有解. 一1 -2 4 r 「］ -2 4 7 「1 -2 4 7 ~ 2 1 -2 b —> 0 5 -10 5—14 —> 0 5 -10 5 — 14 _3 -1 a 4_ _0 5 Q — 12 —17 _ _0 0 a-2 一b — 3_ 所以 a = 2,b =— 3. 388 【分析】 由，。2，。3线性无关，知,。2必线性无关，又因31 ,%，。4线性相关，故。4必可 由。1 ,%线性表示.因此。4必可由。1，%，<»3线性表示.故应选(D). 如= (1,0,0)T,a2 = (0,l,0)T,a3 = (0,0,1)T,a4 = (0,0,0)T, 可知(A)(B)(C)均不正确. 389 【分析】 由于，，3线性无关,。2不能由OL\ 9(X2，。3线性表ZK知CC1 02，。2线性无关, 从而部分组«1 02 ,阪线性无关,故应选(B). 取 Cfl = (1,0,0,0)T 02 = (0,1,0,0)T ,必=(0,0,1,0)T ,。2 = (0,0,0,1) T ,知 (A)与(C)选项错误. 关于选项(D)，由于。1 02，。3线性无关，若,。2，。3，。1 +夕2线性相关，则pl +02可由, %，。3线性表示，而。1可由。1，。2，。3线性表示，从而。2可由外，％03线性表示，与假设矛盾, 从而(D)错误.______________________________________________________________________ 【评注】 若仅■不能由。| 02，♦,线性表出是不能推导出■，，2，。3，■线性无关的，请考 查 a】=(1,0,0)T ,a2 = (2,0,0)丁，。3 = (3,0,0)丁，。= (0,1,0)T. 390 【分析】 因％,%，・・・0S可由人邠2，…出线性表出，有 r(«i ,a2 9 ••• 9as) < r(jJi 9p2， 若 ai ,a2»a 线性无关，则厂(ai 血，…， 0 a -1 1 — a 0 _0 0 （1一 a） （a 4- 2） 3a 4- 6_ 当 a = 1 时，秩厂（口1 02 03 04）= 2, 而当Q =— 2时亦有秩厂（久02 ,。3，。4）= 2, 所以a = 1是秩r（«i ,妫，口4）=2的充分而非必要条件. ,a2 394 t答案】 c 【分析】 将表出关系合并成矩阵形式有 . 162 .线性代数 0 0 0 % 0 1 0 1 ] 记记 Lpl，。2 ,03 ,04 ,05】=，。2，％，口4〕 ]^=== [口1 ,02 ,。3，心]。=AC 1 0 1 1 _1 -1 1 0 0_ 因四个四维向量0102 0304线性无关，故I «1，。2 ，。4 | 乂 0. A = [ 0 P = I2a — 2 WO . 170 .线性代数 420 【答案】D 【分析】 二次型经正交变换标准形为yl + 3展一yl. 说明二次型矩阵A的特征值是：1,3, -1. 分别求每个矩阵的特征值 -0 0 r ~1 2 0] 「2 1 0 ~ ■ 1 -2 0 一 0 3 0 9 2 1 0 1 2 0 -2 1 -2 _1 0 0 一 _0 0 1_ _0 0 -1_ _ 0 -2 1 _ 可知应选（D）. 421 【答案】 A 【分析】 方法1 用特征值 A-1 1 0 A-1 0 1 -A I AE-A | = 1 A 1 = 1 A 1 （A — 1） （A — 2） （A + 1） 0 1 A-1 0 1 A -1 二次型经正交变换标准形是"+ 2展-乂，故规范形是zl+zl-zl. 方法2 用配方法 f = （xf — 2x1^2 +瑟）一蓦+瑟一2初孔 =（了1 —工2 尸一（隽 + 2x2 X3 + Z? ） + 2^3 =（X1 — % 尸—（工2 + 必）2 + 2愚 亦知0 = 2,g = 1,规范形为zl + zl — zj. 422 【答案】A 【分析】由于 /（•T1，工2，而）=（了1 +了2），+ （了2 +$3）2 + （工3 ■— Xx V =2xi + 2x2 + 2j ：3 + 2xi Xi + 2x2X3 — 2了1了3 =2招 + 2工1 （互一工3）+ §（^2 —心）2 —-（孔一了3）' + 2话 + 2x1 + 2x2x3 乙 乙 =2（Z1 + — 2 + — Q X2 + Q + 3互13 =2 9 （ / JT1 + , 1 — X2 —万 1 工3 2 + 字 Q （互+%3）2, 所以规范形为妨+砂，正确的选项为（A）. Zj =叫+血， 【评注】 本题常见错误的做法是作线性变换」边=互+工3,二次型化为规范形Zl+zl "1 1 0" Zi = Xi + x2, +感.注意由于矩阵 0 1 1 不可逆，所以变换＜ 北=孔+% 不是可逆线性变换. 3, -1 0 1_ z3 = Z3 — 423 【答案】C 【分析】二次型正定的必要条件是:给＞ 0. 考研电子书网站：www. pdf2book. com -171 -数学基础过关660题•数学一（答案册） 在（D）选项中，由于a33 = 0,易知/'（0,0,1） = 0与x丈0,xTAx > 0相矛盾. 二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零.在（A）中，二阶主子式 在（B）选项中，三阶主子式A3 = I A | =— 1. 因此选项（A）（B）（D）中的矩阵均不是正定矩阵.故应选（C）. 2 2 对（C）选项，因 Di — 2 > 0, Di =弓仁=6 >。， 6 5 2 2 -2 2 2 -2 = ,2 5 -4 = 0 3 -2 =10 > 0 -2 -4 5 0 -2 3 故选项（C）中的矩阵是正定二次型. 【评注】利用正定的必要条件，先排除不正定的矩阵是方便的.关于（C）,用顺序主子 式判别最简捷.当然，利用特征值或配方化标准形来看正惯性指数是否为”也是可以的. 424 【答案】B 【分析】 由 A 0 -1 I AE-A | = 0 A-1 0 = (A-1)(A2 -1) -1 0 A 知矩阵4的特征值为bl,-1. A + kE的特征值为以+.1以+ 1以一1. > 0 =>k〉1. 互一1 >0 425 【答案】B 【分析】 由A的特征多项式 A 1 -1 I AE-A | = 1 A 1 = AQ + DQ-3) -1 1 A-2 知A的特征值是3, — 1,0,从而p = l,q = 1. 172 -概率论与数理统计水平自测一答案 本自测题极容易，你应当快速完成测试，毫无压力。 如果你解答这些题还有困难，请自行补课，推荐《考研数学复习全书-基础篇》。 1.【答案】A 【分析】第二次取得新球，有两种情况. 第一种情况是第一次取得旧球，第二次取得新球,概率为M X手=会. □ 4 1U 第二种情况是第一次取得新球，第二次取得新球，概率为§ X号=畚 故第二次取到新球的概率为建+来= 10 1U □ 2.【答案】A 【分析】 因为 BUA,故 AB = B,而 F(A —B) = P(A)-P(AB) = P(A) - P(B\ 3.【答案】B 【分析】 由概率密度的性质可知「(c + z)dz = = #+c = 1,故c = §. J o Z I o Z Z 4.【答案】B 【分析】E(2-X2) = E(2) — E(X') = 2-E(X2) =-4,E(X2) = 6. 又因为D(X) = E(X2) - [E(X)T，设泊松分布的参数为人，则E(X) = D(X)=，故 A = 6 — A2 ,A = 2,A =— 3(舍去) 90 p-2 故 X 服从泊松分布 P(2).P{XV 1} = F{X = 0} = -J- = e-2. 5.【答案】A 【分析】 因为随机变量X,y都服从［0,1］上的均匀分布，因此有E(X) = E(Y) = J. 故 E(X + Y) = E(X) +E(Y) = ! + § = 1. 乙 乙 6.【答案】D 【分析】 随机变量X服从参数为0.5的指数分布，其方差D(X) = 4,期望E(X) = 2. 切比雪夫不等式为P{| X — E(X) I2e}〈竺代入可得 e P{| X-2 |>3} 7.【答案】0. 9 -173 ・ 考研电子书网站：www. pdf2book. com【分析】P(B | A)= 寄费=牛号=0.8,故F(AB)= 0.4. r (A) U. u P(A + B) = P(A)+P(B) — P(AB) = 0.5 + 0. 8-0. 4 = 0.9. 【答案】 8. 4 【分析】 因为随机变量X〜N(0,l),故D(X) = 1. D(y)= D(2X+10) = 4D(X) = 4. 9. 【答案】音，§ 【分析】 设 P{X=U=al,P{X = 2} =a2 ,P{Y = 1} = Zh ,P{Y=2} = b2 ,F{Y = 3} = b3. 1 ? P{X = l,y = 1}+P{X = 1,Y= 2} +P{X = l,y = 3} = = y,a2 = y P{X = 1,Y= 1}+P{X = 2,y= 1}=缶=§, P{X = 1 ,Y = 2} = axb2 = \b2 = #，缶=§，故缶=g・ 3 9 3 6 9 1 9 a = P{X = 29Y=2} = P{X = 2}P{Y=2} = a2b2 =：X# =号， □ o y 9 1 1 p= P{X = 2,Y= 3} = P{X= 2}P{Y=3} = a2b3 =号 X 普=告・ / 3 6 9 10. 【答案】 ［力X, n i=i 「+8 「+8 f+°° ~ x 【分析】E(X) = = —e-^ Ax = xd(—e~ 习) J —8 Jo u J o =z(-eT) I；' +亨& = 0「气-如(乒)=_灸专 I：" = 9 故2=普渗. 概率论与数理统计水平自测二答案 本自测10个小题都是基本的概念与计算，难度不大。同学你应当在规定时间内完成解答，并且不感到有什么困难。 如果确实有困难，请自行补课，推荐《考研数学复习全书-基础篇》。 【答案】 1. B 【分析】 这是一个古典型概率P{X = 4}=堕=事件嚣'占%默点数. n Q中样本点总数 方法1 取球有先后次序，取了两个总共有可能/2 = 4・3. 1 = 4,取一个为4号,另一个为1,2,3中一个，共有可能1・3,再考虑先后，应有总的可能 = 2 • 1 • 3, 故 F{X = 4} = 2-：一1 U = -y = 0. 5. 4*o Z -174 -方法2不考虑取球次序，取了两个球总共有可能n = C,取上4号，1种可能，再在1,2, 3中另取一个，总的可能1 • C；,故P{X = 4}=匕痒 =I = 0.5. 方法3 只考虑4号球：一种是被取出，另一种是不被取出. 由于取出两只球，余下也是两只球，因而4号球被取出与不取出等可能. P{X = 4} = j = 0. 5. 【答案】 2. C 【分析】 设随机事件A=]X<号},则 F(A) = P(X < 号]=「= J； 2zdz = x2 | o2 = y 丫表示对X的三次独立重复观察中A出现的次数，所以Y〜B(3,§). 因此 P{Y = 2} = C； (+「(¥)= ^.答案应选(C). 【答案】 3. C * 【分析】 方法1 分布函数必满足F(-8)= 0,F(+8)= 1. (A)FJ+8)+Fz(+8)=2. (B)Fi (+8)_Fz (+8)=0. (D)"厂 结果不确定. r2 \ — °°z 答案选(C). 方法2 记X = max(Xi,Xz),则X的分布函数 Fx(x') — P{X W 工} = P{max(Xi ,X2) < 工} = P{Xi < x,X2 V x} =F{Xi〈工}F{Xz = Fi (x) • Fz(z) 所以(C)是X = max(Xi ,XQ的分布函数. 【答案】 4. D 【分析】 当X〜N3，/),则尧二力〜N(0,l),记N(0,l)的分布为中(工)， a 所以 P{| X 一妇Wb} =f] =^(1)-0(- 1) =。(1) 一口一中(1)] = 20(1) — 1. 因P{| X—妇V。}为常数2中(1) — 1.答案选(D). 【答案】 5. D 【分析】 D(X) = 4,D(Y) = 4,X,Y独立，所以2X与3Y也独立， ZX2X - 3Y) = ZX2X) + D(3Y) = 4D(X) + 9D(Y) = 4 • 4 + 9 • 4 = 52. 【答案】 6. B 考研电子书网站：ww. pdf2book. c< * "5 ,【分析】(1)(X1 — X2)〜N(0,21 不可能，取 0= P{X=3}=0(1-0)2=|(|)2=A 【答案】双②+ 9. “3 【分析】(x,v)〜NSm；//；o).即有x〜 n(2)，y〜n("),且x与y相互独 立,EX = EY = ",DX = DY = /, E(XY2) = EX • ET = “[DV+(EY)Z] = +次)=或 十/A 【答案】 10. 10 【分析】S2 = 则 E(S2) = DX = 1. n _ 1 i=] E [史 (X,・-工) 2]= E[(n-l)S2] = (n-1) • 1 = n-1 = |^,10n-10 = 9n,n = 10. ・176・概率论与数理统计 埴 空 题 【答案】 426 (l-a)(l-6) = 【分析】所求的概率为P(月EC),已知“事件C发生必导致A、B同时发生”，显然是用于 化简ABC的.事实上已知CUAB,故职 = XUBu。,所以,ABC=AB,又A与B独立， 故所求的概率为 P(ABC) = P(AB) = P(A)P(B) = (l-a)(l-6). 【答案】 427 0.9 【分析】 由题设P^AB U AB) = 0.3,又AS与互斥，所以 P(AB U AB) = P(AB) + F(AB) = PCA) - P(AB) + P(B) ~ P(AB) =P(A) + P(B) -2P(AB) = 0. 3, 又PCA) + P(B) = 0.5,于是P(AB) = 0.1,那么所求的概率为 P(A U B)= P(AB) = 1 一 P(AB) = 1-0. 1 = 0. 9. I 428 t答案】 I 八、］P(ABC) 【分析】 pCa u b c) =1-PCAB | C) = 1-~p(cr 1 2 P(AB) i 1 =1- I I 2_ T 【答案】 429 0.3 【分析】 F(AB) = P(A — B) = PCA) 一 P(AB), PCA U B) = P(A)+ P(B) — P(AB) = 0. 4 + 0.3-P(AB) = 0. 6, 所以 F(AB) = 0. 1. 总之，尸(承)=P(A)—F(AB) = 0.4-0. 1 = 0.3. 【答案】亲 430 lb 【分析】记A = “经过两次交换，甲袋中白球数不变",B = "从甲袋中取出的放入乙袋的 球为白球",C = "从乙袋中取出放入甲袋的球为白球”，则A = BC U BC. 那么，P(A) = P(BC) + P(BC) = P(B)P(C|B) +F(B)F(C|B) _ 3 6 , 6 5 _ 8 -Vxio + T>)',即(1 —力)4 =二，解得p = 1 —” =吉. lb Z 现求为四次都命中的概率. F(百)= // = *, 故 P(B) = 1 — 土 =卷 16 16 16 【评注】 从F(A)=尊求得0 = 1 —力=即中与不中的概率一样,按对称性可以 10 Z 马上得出P(B) = P(A)=竺. I5 432 【答案】 【分析】掷硬币是独立重复试验，记X为将硬币掷5次中出现正面向上的次数，而出现反 面向上的次数Y= 5 — X,且X〜B(5,§). 记正、反面都至少出现2次为事件人,则A = {X= 2} U {X= 3},所以 F(A) = F(X=2}+P{X = 3) =C|(y)5+Q(y)5 = 10X(y)5+10X (j)5 =|. 433 【分析】 如果用X表示两次调整之间生产的产品件数测P{X=k}^P{前为一1个产品合 格，第&个产品不合格} = 0. 9-1X0.13 = 0.1的几何分布)，龙=1,2,-.所求概率为P{X2 3}= 1-F{X< 3} = 1-P{X = 1}-P{X = 2} = 1-0.1-0. 9 X 0.1 = 0.9-0.9X0.1 = 0.81. 【评注】 若记A =“两次调整之间至少生产3件产品将A用简单事件运算表示，从 而用概率性质计算P(A).事实上，令A,.= “第，次生产的产品为合格品”，则4独立.A = A】 Az瓦 +A1A2A3瓦 + - ,P(A) = 0. 92 X 0. 1 + 0. 93 X 0, 1 +0.驴 X0.1 + …=0.81. • 178 •________________________ 概率论与数理统计 434 【分析】 若记A,= “第，次取出4个球为2白2黑”，由于是有放回取球，因而A.相互独 立，根据超几何分布知P(A{)= 警=吝，所以 J I P{X = k} = F(瓦…砧&) = (1 —奇厂.若=(奇广.草以=1,2,…). 435 【答案】 vln2 【分析】应用独立试验序列概型，可求得结果.事实上已知 X〜了(了)= ： ' 记A={X>2},Y为对X作三次独立重复观察事件A发 【0, z W 0, 生的次数，则Y〜8(3/),其中p = P{X> 2} = =广气 依题意 p {丫三 1} = 1 —p{y = o} = 1 —(1 —0)3 = ? 7 ,故 1 一？ = 1以* =岑,1又 o Z Z p = e~2A，由号=次解得义=-i-ln 2. 【答案】芬 436 【分析】x = 2,就由两个合格品，一个不合格品组成，有三种情况 第—为次品;.M.手，第二个为次品§. § , M，第三个为次品§ , -f- * v ' ' 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 8 12 24, 437 【答案】 e 1 —___ e—2 【分析】P(3>X>2 | X>1) =P{X>2 | X>1}-P{X>3 | X>1) =P{X> 1} -P(X> 3 | X> 1} = eT — F{X> 2} = e-1 -e~2. 【评注】本题求解直接应用了指数分布两个常用的公式： 当 X 〜E(A)时，①P{X >?} = = e~u,t>0, ② P{X > f + s | X > s} = Ps} P{X>s} =广"=F{X> £},t,s> 0. I 438 【答案】 【分析】 本题为古典概型，用概率公式F(A)= n 1计算：恰好取3次停止，每次有2种不同颜色，又有放回的，所以总的情况n = 23 = 8. m计算:第3次取得颜色一定不同于前2种颜色，这样第3次颜色有2种可能，而前2次必 同色且与第3次不同色，共有2种可能. 考研电子书网站：www. pdf2book. com • 179 •数学基础过关660题・数学一（答案册） 2_ = X F(A)= 19 439 【答案】 27 【分析】F{Xi 21} = 1 —P{X】<1} = 1 —F{X】=0} = l-(l-p)2 = y 解得(1 — py = y ,1 — p = y. P{X2 21} = 1 — P{X2<1} =1 — F{X2 =0} =1 — =l—(g)3 =1一隽=* \ / u ( ul 1 0<3/<4 440 【答案】y 4 \[y 0, 其他 【分析】 先求出在（0,4）上Y的分布函数Fly）.当0 V 丁 V 4时, 玲(仞=P{Y^y} = P{X2^y} = P{一石 WXWV?} 、右 fCx^dx = —■/y 故 fY(y)= F'y3)= . 4心 441 【答案】1 【分析】方法1 F（/Z + + F（“一力7） =P{X＜a + jizt}+F{XW； z-的} 4+ =?（令＜ 叫宇＜—刁 =0（X）+ 中（一X） =中&） +口一中&）] = 1. 方法2 由正态分布密度对称性，如图显示, F（" +力y）+F（、一力?）= 1. 442 = p(Yy)=P(ex<2) fin 2 = F{X In 2} = 1 — *河 =1 — u u概率论与数理统计 443 【分析】P(min(X,y)>1} = P{XNl，y〉l} = P{X>1}F{Y》1} 444 【分析】 由题设X与y独立得X—丫〜n(一“，书+占)，即随机变量X—丫的密度的对 称中心z =—//. 现p (x-y > 1} = §，即对称中心在工=1处，一“ =1,就有兴=一1. 445 【分析】 应用公式F{(X,Y) e D} =J]/(x^)即可求得结果.1 事实上, P{X + Y< 1}= fCx ,y)dxdy o dx e~y dy 2 (e~x — e—) Ax =1 + e-1 — 2eT\ 【评注】 在在应应用用公公式式PP({((XX,,YY))£e-DD}} = 实际上就是求积分 jpS，V)dzdy,其中积分区域D：x + ><1就是由随机变量的范围X + Y< 1而来的.由于 被积函数顶(工,»丰0的范围是0 V工< V，因此实际要积分的区域应该是0 V工V v与 x+><1 的公共部分，即图中水平阴影线与垂直阴影线的交集，这种计算方法在计算概率 和求随机变量函数分布时是经常要遇到的. 由P{X = k) = §知£p{X = k} = 1,根据全概率公式得 【分析】 3 i=i F(y<2.5} =、、PF{{YY<<22.. 55,,XX = k} 、P{X = k}P{Y^2. 5 | X = f(1+1+¥ 8. 5 _ 17 T ~ 18, 考研电子书网站：www. pdf2book. ・ 181 -数学基础过关660题•数学一（答案册） 447 【答案】 -|f （^）+ |f （^-i ） 由全概率公式 FY(y) = F{X| +X2 9} = P{X| =0}F{X|+X2〈刃 Xi =0}+P{Xi = l}P{X,+X2^y\ X, = 1} =^P{X2^y\ X】=0}+^-P(l + X2 I X, = 1) =jP(X2 ^y}+^P{X2^y-l} =§F3)+ ¥f ( v — i ). 【评注】 如果Xi +%中有一个是离散型的随机变量，则一般对离散型的随机变量可 能取值用全概率公式来求解，就如本题所用的方法. 【答案】| 448 【分析】由分布函数定义得 F(§,1)= pjx "} — P{min(X,Y) < 产} =l-F(max(X,Y) < 〃 一口一 P{min(X,Y) 2兴门 =-F{max(X,y)< G + P{min(X,Y) > 心 =—F{X V“,y"}p{vnG 【评注】 如果本题x与y不相互独立，结论也一样，推导稍麻烦些. 451 【分析】X — Y〜N(0,2),其概率密度函数 3 、 1 _W 1 W jQx) = ————e 2-2 = — e 4 —8 < 工 <；+ 8 v2tt • V2 2 Vk f&)的最大值在X = Q处，最大值为呈 2姊 452 【答案】“2 【分析】（X,Y）〜N（gi ,“2以屈;0），所以X,Y相互独立. F&,少=Fx （QFy3）,X 〜NQziS）,Y 〜NS，般） 由正态分布密度函数对称性,Fx（"i）= P{X<"i} = 乙 F（#1 ,丁）= Fx （#i ）Fy3）= §Fy3）=手，就有 FyCy）=言■，即 丁 = #2. 乙 弓 u 453 【答案】n（— 土* 是井 ；0） 【分析】（X,Y）的分布函数为虱2z+l）虱2、一1）可知X,y必独立. l（-§） 1 中（2工+ 1）中（2、一1）=中 T 0 =Fx （工）玲（、） ~2 ~2 由正态分布X〜N质帅②）的标准化可知 Fx(工) =F(X-x}+J^(x) =§[1 一 P{X V—/] + §。(工)=§[1 —F{XW—了}] + §。(*) =§口 — 0(—工)]+ =；中(工)+ ；中(z) = 0(x). 【评注】本题解法常用于两独立随机变量其中一个为离散型的情况，一般先处理离散 用全概率公式. 455 【分析】 首先要求出了(工)中的未知参数a,们而后由P{|X|0} = 1 —P(X】+X2《0} = l — F{Xi +X2 = 0} =l-P(Xi = 0,X2 = 0) = l-F{Xi = 0}P{X2 = 0) =1 一 e~A1 • e* = 1 一 e~(A1+A2)= 1 - e-1 所以Al +心=1. 故 E(X1+X2)2 = (Al +A2) + Q! +A2)2 =2. ・ 184 -概率论与数理统计 457 【答案】(72 (<72 + 2y«2 ) 【分析】D(XiXQ = E(XiXy — [E(XiXz)了 = E(X?X|) — (EX】EX). 显然X?与X/也相互独立.EX】=EX?=产,所以 D(XiXQ = EX, • EX3 - ________ 【评注】X1 与 X,独立,E(X|XQ = EXi • EX”而 D(XiXz)铲 DX| • DX2. 458 2(Ve — 1) 【分析】 记 c = —一,A = {，则 P{X = k} = %c,b = 1,2,… 提-1 2 k\ 00 k °° 女 00 > k E(X) = »•告=*!>• = (»咯广冷.c = E， k=-[ 尺• k = Q R • ' A=0 K -' 福 =lei. J = 2 4^- 1 2(Ve-1), 00 , 这里用到泊松分布的期望公式» •吉故=A. k = 0 " • 【答案】匚 459 【分析】D(Xi —X) = D(Xi - * Z xj = D 【X i - ： X Xi) 丁四+§©。瓦=^^ + (〃-1)5 =孑儿 【评注】 本题计算D(Xl 次)充分利用X”的相互独立性，计算量较小，如果用 其他方法会加大计算量,例如： D(Xi 一次)=DXj +DX-2Cov(X1,X)=…； D(Xj -X) = ECXi -X)2-[E(X)-X)]2 =…. 所以本题的方法应作为基本方法加以掌握. 460 【答案】1 【分析】DX = DY= 4 1 = ZXX + V) = DX + DY + 2Cov(X,Y) = + 2Cov(X,Y) 4 4 1 解得 Cov(x,v)= *p= 4 ^DX VDY a/t/F 461 【分析】 如果把丫看成x的函数，先求出y的概率密度,然后求 e ( y )会较麻烦.可以直 -185 - 考研电子书网站：www. pdf2book. com数学基础过关660题•数学一（答案册） 接用公式： E(g(x))= 其中 f(z)为 x 的密度函数. J —OO 现 E(Y) = E(min{ | X | ,1)) = | min( | x | ,l)，(z)dz =f min( | x | , 1) e~xdx = f xe~x Ax + [ 1 • e~xdx J 0 J 0 J 1 =1 — 2e-1 + e-1 = 1 — e-1. 462 【答案】 1 z>° ■八心厂,、 gHef, x>0 miI “、 传漕， 【分析】 F（z）= 一八，则，&）= F&）= 八 八 对比指数分布的概率密度函数/（X）= \ o, * z w1 oc ，E（X） = *. a 得 X = 1 = b. ZXX） = p- = 1. 463 【答案】 1一里 7T 【分析】 X]与X2独立均服从N(0,§),记Z = X]-X2,则Z〜N(0,l),有概率密度函 数 g)(z) = v 2tt D(| Xi — X, I) = D(| Z |) = E(| Z 19 — (E | Z I)。= E(Z2) - (E | Z |)2 =D(Z)■+[E(Z)T -(E | Z I)， 显然，D(Z) = 1,E(Z) = 0, 因此,D(| & -X2 |) = 1 + 0 —七9 =1 — 4 9 . 7t 7T 464 【答案】 N（O/2；1，X；P） 【分析】显然（丝亍红，丫）也服从二维正态. 由于 E（^^）= 0,_D（玉亍竺）=1.故（苴三,Y）〜N（0,“2；l，。抑）, 其中0是圣二也与Y的相关系数. <71 p （ X — .1 y \ 0 = 5叫 °,，）= Cov（x —灼,丫） = Cov（X,Y） = p. I / X ——\ /---- bl （72 , 186 •_________________________ 概率论与数理统计 465 【答案】 1 【分析】 E[(X — 1)(X —2)] = E(X2 -3X + 2) = E(X，) — 3E(X) + 2 =D(X) + (EX)2 —3义 + 2 =A + A2 — 3人 + 2 = A2 — 2A + 2 = 1 即 A2 — 2A + 1 = 0,(A — l)2 = 0,A = 1. 466 【答案】 3 — 2看 n n—1 n n—1 【分析】 Cov(Yi，巴)=Cov(、X”、XQ =、£Cov(X,,X,) i = 2 )=1 i = 2 j=l n—1 n—1 n—1 n =习 Cov(X,,X,) +、、Cov(X,,X,) +、Cov(X,, X】) J = 1 1=2 j = 2 i = 2 n—1 =o+、Cov(X“)X*+0 = (n-2)ff2. k=2 467 【答案】 2 【分析】 切比雪夫不等式为F{| X-EX |2e}《穿，现EX = 号 =1,即 6 = 3 £ 乙 所以 X 〜U[— 1,3].故 DX =。号)'=4- J.乙 O 现穿=§，即 = 4-，e = 2. S o o 【答案】| 468 【分析】 题目要求我们计算 X = +£x,— 匚?为此我们需要应用大数定律或依概率收 X”…，x“ 敛的定义与性质来计算.由题设知 独立同分布： , 1 2 3 4 5 6 Xi〜 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 且 EX； = + 2 + 3+ 4 + 5 + 6)=与=# 0 b Z p 7 根据辛钦大数定律:X— ?3一 8). 乙 469 【答案】 N()0*, 【分析】 显然乙，乙，•••，？,，•••独立同分布.EZ, = E(Xz, — Xz—i) = 0, DZi = D(X2l - Xzt ) = DX2i + DXz’t = 3 + ==刍 根据中心极限定理，当“充分大时，近似服从N（0,并） ・187・ 考研电子书网站：www. pdf2book. com数学基础过关 660 题•数学一(答案册) 470 【答案】n(o,eJ) 【分析】Xi —工=X1力X； = X]—【X】一【力X, = —4宛X, 、=] n n 72 i=2 〃 〃\=2 所以Xi-X是相互独立的儿个标准正态分布随机变量的线性组合，X1 — X必服从正态分 布 N( * , * ). ^iEXi E(Xi -X) n Tdx，+§£dx,= 3-1)2 n~l D(Xx -X)= n2 ' n2 n2 所以(Xi -X)〜N(o,彳^). 471 【答案】 [F3)]” 【分析】FY(y) = P(Y y} = P{max(Xi ,X2, >X„)《 =P{Xi < j/,X2 < j/,…，X” < y} =P{X】< y}P{X2 W y}-P{Xn < y) =F(3/)F(;y)・・・F(3/) = 472 1答案】 F(l,l) 【分析】 由题设知(X,Y)的密度 f(x,y) = □勺〜N(0,l；l,l；0) Z7t 故X〜N(0,l),Y〜N(l,l),且X,Y独立，X与(Y- 1)为两相互独立的标准正态. X71 X2 服从 F(l,l). (Y-D71 (Y-1)2 473 【答案】 ci 【分析】X,〜为一次伯努利试验的结果，X,相互独立3 = 1,2,•••/. 所以Xi +% +…+乂”可以看成”次独立重复试验.即£jX,.〜 P何= §}=P冏*(§=姐广=户{习瓦=时=席(§) =C昭) 474 【答案】 2 【分析】 显然 E(S') = D(X),而 DX = E(X —EX)' p4-o° ,4-00 -I *4-00 现求EX = xf (z)d]= x • ye-1^1 dx x • dx + x e/z-x dx r- 4-00 - 1 =〃・ e-/z Cxex — ex) + V (— xe~x — e~x ) 2 1- —oo -188 -___________ 概率论与数理统计 「+ 「+ C4-OO 1 8 8 DX = (1 一#)2 . e—f 丑= 尹e—'ck = 2 t^dt = 2. J -OO Z J 0 J 0 【评注】 EX可以由r(z)在x = /JL处的对称性，直接得出EX =g. 475 【答案】0.8 【分析】X〜1(儿)，所以根据t(n)分布随机变量的典型模式.可以表示 X = X 〜t(n) 其中①Xi〜N(0,l)；②K〜如);③XiX 相互独立. 现来考虑X，=赤=猊〜FQ,”),其中①XS〜寸⑴；②匕〜％以)，匕相 互独立. 由于t(rz)的概率密度是偶函数，故P{X>C} = 0.6,可知C<0. P{Y>C2} = P{X2 > C2} = P{X>-C} +P{XC}] = 2[1-F{X>C}] = 2(1-0. 6) = 0. 8. 476 【答案】2和4 m,囹、(挥+苗+囹—⑷, 【分析】 且它们是相互独立的. ? xf + X3 F(2,4). xi + xi + xi + xi 【答案】g 477 A ET = §»；E(Xf) = § 史[DX； + (EX)] 【分析】 = $(§ + §)=§. 【答案】4T 478 A2 总体 X 〜EGO,E(X) = ：，D(X) = p- 【分析】 ET = E(X-S2) = E(X) -E(S2) =E(X) - D(X) = y-i A-1 A2 . 【答案】房 479 【分析】 只有一个参数0,矩估计量用EX = X. EX = 0 •俨 + 1 • 2。(1 一。)+ 2 • (1 —0)2 = 2(1-5) -189 - 考研电子书网站：www. pdf2book. com数学基础过关660题-数学一(答案册， 成=佥|^ =佥(5・1 + 3・2 + 2.0) = 3 11 a 9 总之,2(1-5) =时= 2*0 480 【分析】由于六的双侧置信区间的上，下限卒论/已知或者/未知，都关于样本平均值 或是对称的，现置信下限为7. 8,则置信上限应为成+G—7. 8) = 9.0 + C9.0-7.8) = 10.2, 故置信上限应填10.2. 【答案】点豪 481 【分析】 由于EX = 0,总体一阶矩没有包含未知参数a,故采用二阶矩. 总体二阶矩ex ，= Dx + ( Exy = g罗=冬，样本二阶矩为 EX2 =4郭即写2 482 ， 工1 ，］ ^2 【分析】X 〜f(x) = v。' ° J ''''似然函数 L(ff) = /(x,)=〈伊'° ： W 仞 .0, 其他. i=1 召 .0, 其他. 要使L(0)最大，只有使。最小，但由于g使63 = 1,2,-. 所以，取。=maxz,最小了，即最大似然估计量9 = maxX；. 或者 0 = max(Xi ,X2, •・•，X”). 483 【答案】-=- 似然函数 L = JJ/(x；) = • e A.?iX' ,Xi > 0. 【分析】 i=l t=1 等式两端取对数，In L = 2n\n A + In q —义、而•. i=i i=i din L 2n _ 手-=竺=w = o,解得、=x. ~dT 5^ nx x X i=i 484 【答案】 大 【分析】 检验水平a为检验犯第一类错误的概率.即H。为真的条件下，拒绝H。而犯错误 • 190 •------------------------------------- u _______________________概率论与数理统计 的概率，显然a变大时，拒绝H。的范围变大. 485 【答案】 0. 5548 【分析】 当H。成立时，X〜N(0. 5,0.04) 八 Ng,察)=N(°.5,(写「)_ a = 0. 05 = P{拒绝 Ho | Ho 成立} = P{X > C} C — 0. 5 =1 - P{X < C} = 1 -0 0.1 = 1-0(3OC-15). 所以①(30C—15) = 0. 95 = 0(1. 645),即 30C- 15 = 1. 645,C = •气籍=o. 5548. 选 择 题 486 【分析】因为A U B =月U瓦所以A U (A u B) = A u (A U B). 即 A (J B = n UB = n,因而 A\JB = A\JB = Q. 故A U百=瓦即AB = 0.答案应选(B). 487 【答案】 B 【分析】A,B独立，则A,E相互独立，月,B也相互独立. 0. 3 = P(A-B) = P(AB) = P(A)F(B) = P(A)[1 — P(B)] = 0. 6 • F(A), 所以 P(A) = 0.5. PCB-A) = P(BA) = F(B)F(A) = 0. 4 - [l-P(A)] = 0. 4 • 0. 5 = 0. 2. 答案应选(B). 488 【分析】 由题设知，试验的基本事件共有4个： 叫=“正，正”，叫=“正，反”，％ = “反，正”，叫=“反，反”， — 2 1 所以 A =“叫,w2,f,B = i(w2 ,b 「'，C = Ww2 ,w3 ,w4,,,P(A) = P(B) = -— 4 = — u ,P(C)= 辛，显然A与B独立，BUC,故B,C不独立，选项(A)不成立. 又 BC = B,ABC = AB,P(ABC) = P(AB) = P(A)F(B) = P(A)P(BC),即 A 与BC 独 立，选项(B)正确. 而 P(ABC) = P(A)P(B)=斗 K P(B)F(AC) = § X *,F(ABC) = * K P(C)PG4B)= tL 乙 任 ~L jXy,故选项(C)(D)不正确. 考研电子书网站：www. pdf2book. com -191 -数学基础过关 660 题•数学一(答案册) 489 【答案】 C 【分析】 已知P(A | B) = P(B | A)，与零=碧票，即F(B) = P(A) = 1 — P(A), P(A) 所以P(A) + P(B) = 1.选项(A)(B)是A与B独立的充要条件，因此不能选.由“对称性”知 选项(C)正确，应选(C). 事实上，P(E | A) = P(A | E),碧斐=々佟)，即 P(A) = P(B) = l-F(B),所以 P(B) P(A)+F(B) = 1. 选项(D)未必成立，这是因为 F(A | B) = P(A | B) = 1-P(A | B)0F(A I B) = § 即 号瑛=^-,P(AB) = #F(B),此与 PCA | B) = P(B | A)不等价. 490 【分析】A,B,C已两两独立，只要满足P(ABC) =P(A)P(B)P(C)就有A,B,C相互独立. 现A-B和C独立，即有P(屈C) = F(屈)F(C).又因为A,B独立，所以A,百也独立,P(AB)= F(A)P(E).所以P(屈C) = P(A)P(E)P(C).又A,B,C两两独立，即有A,B,C两两独立，所 以A,B,C相互独立，也就有A,B,C相互独立，答案应选(C). 491 【分析】 已知AB = 0,我们无法断言= 0或丈0,因此(A)(B)不能选.由于 AB =00AuE,所以 A \J B = B,选择(D). 【评注】 P(AB) = O与F(石E)?0,并非是逻辑关系中的“非此即彼”，因为并不 是事先给出的确定的事件,而是满足条件“AB =0”的无穷多个事件，所以P(AB) = 0有 时成立，有时不成立.例如A = B,则AB =EB = 0,石E =BB = 0,所以P(AB) = 0；又 如事件A= = 停 WX<“，其中随机变量X在［0,1］上服从均匀分 布，则 AB = 0,而 AB = (-oo 0. 493 t答案】 B 【分析】 这是一道考查概率性质的选择题，应用概率运算性质知，F(A U B)= P(A) + • 192 •概率论与数理统计 P(B)-F(AB) < F(A)+ F(B),选项(A)不成立.P(A-B) = PCA) - P(AB) > P(A)- F(B),故正确选项为(B).而P(A|B)=号熊2 V岑偿,所以①)不成立.至于选项(C),它可能 r^JD) r\D) 成立也可能不成立，例如AB = 0,P(A) >O,P(B) >0,则P(AB) = 0< F(A)P(B)；如果A U B,则 F(AB) = P(A) 2 P(A)P(B). 494 【答案】C 号票 =1,即P(AB) = F(A),所以 【分析】P(B I A)= P(A-B) = P(A)-P(AB) = 0. 答案应选(C). 495 【答案】B 【分析】P[(Aj U | B] = P[(A\ UA)g] = P(AiB 日 P(B) P(B) P(A】| B) + P(A2 I B) = P*. + P") 而 故 F(Ai U A2 | B) = P(Ai | B)+P(Az | B),就有 P(A|B U A2B) = POl.B) + F(A2B). 答案应选(B). 496 【答案】D 【分析】F(AB) 2 尸(4)专己(旦).,即 2P(AB) ^P(A) + P(B), 也就有 P(AB) P(A) + P(B) - P(AB) = P(A U B).显然 P(AB) < P(A U B), 所以必有 P(AB) = P(A U B),也必有 P(AB) = P(A) = P(B) = F(A U B). F(A -B) = F(A) — P(AB) = 0,答案应选(D). 497 【答案】B 【分析】 分布律必定成立j^P{X = k} =1,即1 = e-z = Ce~2 豆 咨=C ■ e-】 h = 0 代• k=0 所以C= e.这里用到了公式e，= W若，一8 V工V+8. k = Q " • 本题也可对比泊松分布P{X = k) = ,k = k! 可以看出当人=1时，就有P{X = k} = ^-e-1 ,k = 0,1,2,…，即C = e,选(B). k! 498 【答案】D 【分析】 由图形立即得到正确选项为(D),事实上，由题设知 X 〜/(x)= 其他， 考研电子书网站：www. pdf2book. ・193・数学基础过关 660 题•数学一(答案册) 所以 F(A) = j)=^/(x)dx = y, 旦 P(B) = P 什 WX1} = 1-P{X>2|X>1} = 1 — F{X}2 | X>1} =1 — P{X2 1} = 1 -e-1. 【评注】 当随机变量X服从指数分布E(A)时，必具有性质:无记忆性，即 P{X^s + t | X^t} = P{X^s},其中 s”N0. 方法2就用了这性质. 这性质证明：P{X2"=J f (x)dx = J = e~" " 2 0. 璧 P{X^s + t | X>r}= = e-‘ = P{XNs},s"20. 509 【答案】c 【分析】X 落入(一8,1] ) , 6 ,%2)，(工2，^3), (了3，%4), &4，+ °°)的概率应为 即 °，‘°，24，。・ 38,0. 24,0. 07. P(X j:4 ) = 1 — P{X > x4} = 1 — 0. 07 = 0. 93 =中(1.5). ・196・___________________ 概率论与数理统计 ： 而X〜N(15,4),所以X 套〜N(O,1). 所以似；均=1.5,解得工，=18.又 P{X w 孔} = 1 一 F{x > *3} = 1 — 0・ 24 — 0. 07 = 0. 69 =中(0. 5) P{X0,也就有P{Z = a}= Fz(a) — Fz(a — 0) > 0. 由全概率公式知，对任意实数a F{X + Y = a} = P{X + Y = a,Y = 1} + P{X+ Y = a,Y =-1} =P{X = a-l,Y = 1}+P{X = a + l,Y=—l} =P{X = a~l}P{Y = 1} +F{X = a + l}P(Y =-1} =^-LP{X = a-l}+P{X = a + 1}] = §(0 + 0) = 0 所以X + Y= Z的分布函数Fz(z)是连续函数.选择(A). 【评注】 本题也可用直接求出Fz(z)来确定Fz(z)是连续函数. 512 【分析】记事件A = {土M 1} ,B = {V <)}，则 P(X>x9Y> y} = P(AB) = 1-P(A U B) = 1 - P(A) - P(B) + P(AB) =i —p{XQ} — p0 FG)= 0, z < 0 显然不等于E(2A)的分布函数FJQ = 八 I”所以选择(D). 事实上，min(X,Y)的分布函数 P(min(X，丫)< 了} = 1 — P{min(X,V) > x) =l-P{X>x,Y>x} = l-P{X>x}P{Y>x} 1 - e~2Al i > 0 =1 — [1 — F(x)]2 = 0, z < 0 即 min(X,Y)〜E(2A). 【评注】应用数字特征可以判断随机变量不服从某种分布. 515 【答案】A 【分析】 p{x = y}= 、P{X = Y = k} = ^P{X = k,Y = k} k=1 k=1 oo ^P{X = k}P{Y = k}= *=1 A=1 -____pL (l + q)(l —g) *=i 1 q 1 + g 2 — p 516 【答案】C 【分析】 显然,我们需由等式F{X + Y< 1} = |确定兴,为此需要知道X + V的分布.由 题设X与丫独立知X+Y〜N(2“,l),所以由正态分布概率密度对称性知P(X+Y<2/z} = y, • 198 •____________________概率论与数理统计 得到2# = 1/ =号，选择(C). 517 【分析】(X,y)〜fCx,y) = ^e-半=土e-# • 土e# 可以看出X〜N(O,1)，丫〜N(O,1),且X与Y相互独立. fx&)= = fx(工)fY(y) 心3 =柴芬=建* =") 片3) 显然/y(3/) >0.答案应选(A). 【答案】 518 B 【分析】 两个随机变量即使是独立同分布，也不能认为X = Y,所以不能选(A). 事实上,P{X = Y} = P(X = Y= 1}+P{X = Y= 0) P{X = 1,Y = 1} +F{X = 0,y = 0) P{X = l}F{y = 1}+F{X = 0}P{Y= 0} 2 2 十 2 2 2 , 519 【答案】c 【分析】 由题设知P{X1 +Xz丈0} = 0,而 P{Xi+Xz 夭 0} =P{Xi =-l,X2 =—1} + P{X1 =—l,Xz = 0}+P{X1 =0,Xz =-1} + P{X1 = 0,Xz = 1}+P{X1 = 1,X2 = 0} + P{X1 = 1,X2 = 1), 所以等式中的各加项概率都等于零，据此可求得 (X|,Xz)的联合分布表，并算得 P{X1 =瓦} =F{Xi =-l,X2 =—l} + P{Xi = 0,X2 = 0) +P{Xi = 1 ,X2 = 1) = g,选择(C). u 【答案】 520 D 【分析】 二维正态分布应具有密度函数 = ---------- I 1 - e _ 2 _ (i- I— p2>L 「 (E 4 2P(x~E 。 ] 1 f ) f2 ( y-“2) * (尸 g “ 2 )2 」"1 27TC71 Oz v 1 — P 其中 灼"2，勾 >os>o, — ivpvi均为常数，记作(x,y)〜 ns ”2浦屈/). 显然本题的f(x,y)不具这种形式，因此(X,V)不服从二维正态，所以(A)(B)不正确.由 斗 于sin ze遵是奇函数，因此 ,+oo 8 _^2 sin x€~~ dx = sin ye~2 dy = 0. ‘+8 1 + sin zsin^e-^dv 而fx(工)= f(.x,y}Ay = 2穴 —oo ・199・ 考研电子书网站：ww. pdf2book. com。 ----— 厂 数学基础过关660题-数学一(答案册) ==厂(「8 e-V dy + r°°sin «zsin 灭f dy ) = =eW ■ 扃=, Zn \J-8 J -oo / Ztt ^/2tz 即X〜N(0,l),同理可证Y〜N(0,l).由此可知，虽然联合分布(X,Y)不服从二维正态分 布,但其边缘分布X与Y均为正态分布.故选(D). 521 【分析】 方法1由于联合分布决定边缘分布，但边缘分布不能决定联合分布.因此(A) 不成立，由(A)不成立，可以推知(C)(D)不一定成立，所以选择(B). 方法2 也可以举例给以说明.例如 \ V 0 " 1 1 f : t 1 L (X,Y)〜 和(U,V)- 1 +1 + 1 万 显然,(X,Y)与(U,V)具有相同的边缘分布，均服从但联合分布不同.且 x + v 0 2 U + V 1 X-Y 0 u-v 一1 1 以I'l Vr p T T p 1 P 1 ' p T ~2 522 【分析】分别对四个函数验证分布函数的性质： (1) F&,/)是二元函数，且 0 < F(x9y) < 1. 当 X f — 8 或丁 f 一 OO 时-► 0；当 X -►+ 8 且 W -►+ OO 时,F(z, J/) f 1. (2) F(x,j/)单调不减，即对任意xi < x2 ,yi V必，有 FOi 9y) W F(x2 ,F(z,j/i)W F(x,j,2)，F(zi ,少)< F(x2 ,y2)- (3) F(x9y)在z和j;的任一方向上都右连续，即对于任意的和:Vo,有F(x0 ,j/0)= limFCxo 和 F(力。，外)=limFCx,^). y-^yo x~*xo (4) 落在矩形域e VXWm，叫VY W%上的概率非负. 即 P{li V X (血以1〈丫 W 丁2 } = F(Z2 ,关)+F(JC1 ,丁1)— F(«Z1 ,力)一F&2 ,丁1 ) 2 °・ 验证(B)选项，在0 jr} =1 —P{X>z,Y>z} = P{X> z}P{Y> x} =l-[l-P{Xz). 527 【答案】c 【分析】 P{1 Vmax(X,Y) W2}= P{max(X,Y) <2} - P{max(X,Y) < 1} P(X< 2,Y<2) -P{X< 1,Y< 1} P{X W 2}P{Y V 2} — F{X V 1}P{V< 1} 2 2 _ 1 1 _ 1 TXT TxJ-r 528 【分析】P{min(X,y)> 1} = P{X> l,y> 1} = F(X> 1}P(Y> 1} — g—A ・ g—(A+2) = e~2(2+1) 【评注】 利用公式:X〜EQ）时9P{X>t}=厂”">0）. 考研电子书网站：、www. pdf2book. com ・201・数学基础过关660题•数学一(答案册) 529 【答案】c r 00 > 00 , 【分析】 £(x)E(TTx)= A • § T+k " " = A * S(^ + i)!e" dl)! k = 0 1=0 答案选(C). 530 【答案】D 【分析】 E[X(X + Y—2)] = E(X2 +XY-2X) = E(X2) +E(XY) -E(2X) =DX + CEXY + EX • EY-2EX = 3 + 4 + 2 — 4 = 5. 531 【分析】 由于DX = EX，— (EX/ 20,故EX，2 (EX)。，选择(D).选项(A)(B)对某些 随机变量可能成立,对某些随机变量可能不成立.例如，随机变量X在区间［0,1］上服从均匀 分布，则 EX = §,DX = A，EX，=DX + (EX)2 = A + 申=§ <§ = EX,选项(A)成 乙 J. u Llj ~e 0 u 立.此时(B)不成立.又如X〜，EX = ”DX =子‘EX' =ffz+/,取= §，则 乙 EX，2 2；/ = 2 •斗=§ = EX ,即选项(B)成立.此时(A)不成立. 4r cj 532 【分析】 由于 DX = D(X — c) = E(X-c)2-[E(X-c)]2,所以 E(X-c)2 = DX + [E(X-c)]2, 选择(C). 或者是，由于 E(X-c)2 = E(X2 -2cX +c2) = E(X2)-2cEX + cz, [E(X — c)T = (EX 一 c)2 = (EX)2 一 2cEX + c2, 故 E(X — c)2 - [E(X-c)T = E(X2)-(EXy = DX,E(X-c)2 = DX + [E(X —c)]' 选择(C). 533 【答案】B 【分析】 当(B)成立时，即［ "(z + Q)dz = 0. J —oo 令 Z + Q = t. 「+8 J 』心+ a)& = ,4-00 (t — a)f(t)dt tf (i) — a f+°O /(Odi J —oo =E(X) —q = 0 即E(X) = ・ 202 -概率论与数理统计 【答案】 534 D 【分析】 E(X)= xf (x)dx = 2,令 t =音，则有 -OO 乙 C+oo +°°2i/(2i)d(2i) = 4 tf (20dz = 2 9 —oo < —oo f+o° 1 即 xf (2i)±r =—. J —8 Z 535 【答案】 C 【分析】 F(z) = 0. 40 'X — 5 + 0. 6 个 亨)，故 、2 z — 5 中停 z — 5 /(x) = F‘(工)=0. • + 0. 6 + 0. 2 2 u 其中平危)为标准正态分布的概率密度. E(X) = f xf (^x^dx = 匚*+°oo ・ 呼(¥)丑+「°・ 妃亨) 2 2 dx J-oo J 「+8 甲 > f (3： — At =0. 4 (2r + 5) +)dt + 0. 6 J —8 J —oo ， =0. 4 • 5 + 0. 6 • (— 1) = 2. 0 — 0. 6 = 1. 4. 答案应选(C). 【评注】 当随机变量X〜N(g)时，(<7>0),其分布函数 X — “ v z —以 工—u F(x) = P{X0.选择(B). VDY VDZ TOY \a\ I a | 540 【答案】 D 【分析】 (711 <712 =。 。 —勿 。 11 22 2 21 。 如 21 2 =Cov( Xi, Xi) Cov( X?, Xz) - Cov (Xi, Xz) Cov (X?, Xi) =DXiDXz — [Cov(Xi,X2)T = 0 Cov(X】，X2)]2 (Tn (712 =0等价于 ToxT ynxrJ =P2 = 1,即 |p|= 1,选择(D). w-e* b21 b22 541 【分析】 直接用定义通过计算确定正确选项，已知DX = DY,故 Cov(X.,yi = CovCX.Y)= ^DXVDY Cov(X,X) 即 Cov(X,Y) = Cov(X,X),所以 Cov(X,X-Y) = Cov(X,X) — Cov(X,Y) = 0,即 Cov(X — Y,X) = 0,选择(D). 其余选项均不正确，这是因为当DX = DY时必有 . 204 .概率论与数理统计 Cov(x + y,x-y)= Cov(x,x)— Cov(x,y)+cov(y,x)— Cov(y,y) =DX — DY = 0, 选项(C)成立，不能推出P= 1.选项(A)(B)可推出 Cov(X,y)=-Cov(X,X) =—DX 或 Cov(X,y)=-Cov(y,Y) =-DY, 由此得 p = Cov(x,y)= —dx =—1. VDX^DY~ dx 542 【分析】 应用公式D(X 士丫)= DX + DY±2Cov(X,y)确定正确选项• 10 由于x与丫的相关系数P =挡 些，故 p>0就是Cov(x,v)>0.所以 ^DX VDY D(X + Y) = DX +DY+ 2Cov(X,Y) > DX + DY. D(X-Y) = DX + DY-2Cov(X,Y) < DX + DY.选择(D). 543 【分析】直接通过计算协方差来判断. 已知X与Y独立，故Cov(X,Y) = 0, Cov(X,X + Y) = Cov(X,X) + Cov(X,Y) = DX > C. 所以X与X+Y 一定相关，选择(A). 又由于 Cov(X,XY) = EX2Y-EX • EXY = EX2 - EY- (EX)2 • EY -9 1=0, EY = 0 =[EX2 - (EX)2JEY = DXEY . J I/O, EY^O 故选项(C)(D)有时成立，有时不成立. 【评注】 如果将选项中的“相关"改为独立，“不相关”改为不独立，那么正确选项应该 是( ) 由原题计算知X与X+Y 一定相关，从而推知X与X+Y 一定不独立，选择(B). 544 【答案】D 【分析】E(X — c)2 = E[(X_")+ ("_c) 了 =E[(X — “)z + 2(X — g — c) + (么—eV] =E(X 一“淀 +2顷一c)E(X 一六)+E(“一eV =E(X — ")z + 2Q — c) • 0 + E(“一c)， N E(X — .2 答案应选(D). 545 【答案】 B 【分析】 根据分布函数的充要条件limF(x) = 1.所以，常数6必不可能小于也不可 工―+8 能为0,因为6 = 0就不可能有D(X) = 4. 由此得到Q = 1 ,》> 0. ・ 205 - 考研电子书网站：www. pdf2book. com数学基础过关 660 题•数学一(答案册) 口一井，^>0 X _ Wz x x>0 F(:c) = | -c，即有 f(工)—F (z) — \ . 〔0, zVO 1 0, :c w 0 因此X〜 E(A),DX =手=4,即 4 = ?,也就有 3 = A 乙 Z 答案应选(B). 546 【答案】 D 【分析】 通过计算协方差来确定正确选项.由于X,相互独立，故 Cov(X；,Xj) = 0 G乂 ；),Cov(X,X) = DX V < Cov(Xi -X,X2 -X) = Cov(Xi ,Xz) —Cov(Xi ,X) - Cov(X,X2) + Cov(X,X) =一.史 Cov(Xi，K)-—力 Cov(X"Xz)+DX n 1=1 n 1=1 1 -J- C\ ——]2(J — ―0 2 7= U. n n n 所以Xx-X与 —x相关.因此X] —X与X2 — X不独立，选择(D). X2 547 【分析】 由于X与丫相互独立，故eX与2Y+ 1相互独立，选择(D). 事实上，当了>0时， P{eX V 工，2丫+1 < 们= =F(X}. 而当 z V 0 时,P{ex x} = 0, 所以 P{ex} = 0 = F{ex <了} • P{2Y+l^y},由此可知 e* 与 2 Y+l 相互独立. 选项(A)(B)(C)不成立，是由于 Cov(3X + l,4Y-2) = 12Cov(X,Y) = 0,所以 3X+1 与 4丫 一 2 不相关;Cov(X + Y,X-Y) = Cov(X,X)-Cov(Y,Y) = DX - DY 0 得出 X + y 与X~Y并非不相关；Cov(X + y,2Y+l) = 2Cov(X,Y)+2Cov(Y,y)= 2DY尹 0 得出 X + Y与2Y+1并非不相关,也就有X + Y与2Y+1不相互独立. 【答案】 C 【分析】 由题设知 XY〜| ‘° 1 )所以 尸 ii — p{x= i,y = 1} p{x = i,y = 1/ EXY = P{X = 1,Y = 1}=号， o F{X + Y< 1} = 1-P(X + Y> 1} = 1-P{X = 1,Y = 1) = = 4 o o 故选择(C). 549 【答案】 A 【分析】 X】的分布律有对称性，所以EXi =" + 1. • 206 .概率论与数理统计 D(Xi)= E% 一(” + 1)了 =3—6 + 1)了 • 0.3 + [*( + 1) —(儿 + 1)了 • 0.4 + [(” + 2) 一(儿+1)了. 0.3 =0. 3 + 0 + 0. 3 = 0. 6 答案选(A). 550 【答案】 A D _ Cov(x,y) E(XY)_EX ■ EY x + y 【分析】 rxY 2. Vox Vdy Vdx VDY ， X,y 均服从 B(2,y)分布,EX = EY= 19DX = DY = j. XY 0 1 i xy 的分布为--------- ~~ ,e ( xy )= 4 p _ _ 乙 2 2 ——1. 1 总之,Qxy =—1.答案选(A). 【评注】 本题也可以更简单解为 X + Y = 2,y= 2-X. PXY = Cov(X,y)= Cov(X,2-X) = Cov(X,2) — Cov(X,X) = 一 DX ~ ■/DX a/DY — -/DX JD(2 — X) — DX DX 如果对相关系数性质了解，由Y= 2 —X可以直接得出Pxy =-1. 551 【分析】 显然,EX = 1,DX = 1. F{X> 3} = F(X-1 >2} = P{\ X-l |22}—F{X — 1〈一 2} =X —1 |次2}+0 = P{| X-EX 122} <琴=§. 答案应选(B). 【评注】 如果直接计算P{X23},就有P{X23}=J：7(z)& = K.比用切比雪夫 不等式的估计要更精确,但切比雪夫不等式不用涉及X的分布，较简单. 552 【分析】直接应用辛钦大数定律的条件进行判断，选择(C).事实上，应用辛钦大数定律, 随机变量序列Xi…，X,,…必须是：“独立同分布且数学期望存在"，选项(A)缺少同分布条 件，选项(B)(D)虽然服从同一分布但不能保证期望存在.因此选择(C). 553 【分析】 切比雪夫大数定律为：X】，X2,…，X”，…两两不相关，存在常数C,使。(X,)Wc, (1 = 1,2,…),则对任意e > 0 考研电子书网站：www. pdf2book. com ・ 207 -数学基础过关 660 题•数学一(答案册) 对股办T争(X,) <6=1 现Xi，Xz,…，X”,…两两独立推出不相关，但从(A),(B),(C)得不出D(X,)(%1)=万，显然 D(X,) w./2} = a,U 〜N(0,l). 本题 n = 9 = 10,a = 1 — 0. 90 — 0. 10,ua/2 = u0.os. 答案应为(10 一 JMo.05.10 + ywo.05 )，选(C). 574 【答案】A 【分析】 检验水平a为检验犯第一类错误的概率，即H。为真的条件下，拒绝H。而犯错误 的概率.显然，当a变大时，拒绝H。的范围应变大，接受Ho的范围应变小.所以a = 0. 01条件 下拒绝H。，则在a = 0. 05条件下必拒绝Ho，答案应选(A). 575 【分析】 检验犯第二类错误:接受实际不真的假设H。所犯的错误凡 现在 X 〜N(5. 75,2),X 〜N(5.75,§),原假设 H。：“ V 5.拒绝域 W = (X> 5.5}. (■-5.75 — 5.5 — 5.75] rX-5. 75 P{X<5.5} = P\ [T 、 [T -1~ W—u.J VT V7 J 1 2 J =0(— 0. 5) = 1 —中(0. 5). 应选(B). -212 -基础过美 3 ■ nn曷寺效字 续 空 题 576 【答案】③ 【分析】 要分别考察每个级数的敛散性. 对级数①易求它的部分和 Sn = 1-1 1 + .・・ + 1 1 =1一出 2 3 n n + 1 从而limS„ = 1,即级数①收敛.或考察它的一般项a„ = 1 1--，1八、 §，故力a, n n-\-1 n\n H- 1; k->8 〃 n=l 收敛，即级数①收敛. 对级数②的部分和S”有 s2n = 1—§+4—§+…——^―r = 1 — ] 1 L L 3 n n+1 n + 1 1 故limSz” = 1,又Sf = 5, + 土 也满足limSgi = 1,这表明limS" = 1,级数②也收敛. 8 72 ~I 1 71—8 *—8 对级数④也有部分和 3__^ 72 + 1 _ 7Z + 2 S, 2 —)* + .・・ + =2 — ” + 2 =1 — --------► 1 n n + 1 n + 1 n + 1 可见级数④也收敛.或同样考察它的一般项a” —如 + l —" + 2 1 ,,-z , 也可知④收敛. n n~r~ L n\n 十 1) n 对级数③的部分和S有 S2 = 2 ——+ —— — H------F 丑+ 1 — ■士. 2 = 1-----i1___► 1 2” 2 十 2 3 十十〃 n + 1 n+1 但Sz 土 =s*+半 f 2,即limS,不存在，故级数③发散.或考察它的一般项a“，其中a,” = Tl I- 1 n-*oo 7? + 1 性4,故lima”不存在.于是③是发散的.因此应填③. ，仁 n 2〃 71 1 ZJf 8 ） （3, +8 577 【答案】 【分析】 当n = 2,3,4,-时浅 >1，从而（匝仔|）">。对任何常数力成立，该级数 是正项级数. 因当—8时In =Infld----)-----------〜2,于是 n——1 \ n — 1 / n — 1 n 妁 Inf）” 8 „ 即lim 、二―I，=l,、^（ln 尖）与、乌有相同的散敛性，后者仅当^>4时收敛. L8 __ n=2 \ ”=2 nP~2 Z ・ 215 - 考研电子书网站：ww. pdf2book. com■%. _______ ... MS- — _ 数学基础过关660题•数七」>案册） OO ] p 因此级数2 网In 害）收敛的常数？的取值范围是（号，+8）. 578 【分析】 若q>l,取g*,*q>g >1,由极限的不等式性质=>n>N时 In- ，-a" > q' ,ln — > g, In w In n an =>n > N 时 —> n9 ,即 ％ V - , an nq 收敛.若吏劣收敛，则q> L n= 1 n=1 因为，若 gVl,取 go’qVgo < In In- n> N 时 ]V go, In — V Qo In 〃 In n an 5> N 时 a“ > £ 渺 < =>、劣发散. n= 1 因此该级数收敛的充要条件是:q > 1. In 【评注】 取特殊情形产 =g,即地号=1,即％ = £,故史己 Inn jn ± "切【发散（9<1） n" 上述分析中是利用极限的不等式性质论证了在所设条件下，立a,收敛0q > 1. 579 【答案】1 OO 【分析】由于暴级数2b在工=1处条件收敛，则z = 1为该蓦级数收敛区间的端点, n= 1 则其收敛半径为1,而幕级数豆a“（z—1）”的收敛半径也为1. n= 1 oo oo 【评注】⑴籍级数、a “愆一工。）"与、a,J有相同的收敛半径R.由一RO（m = 1,2,…），级数、a,发散，（— l）ia”收敛知，级数（—l）ia”条 件收敛，即幕级数在1 =—1处条件收敛，则t =-1为该暴级数收敛区间的端点，该蓦 级数的收敛半径勇1,作变量替换原幕级数可改写成 y^an2nx2n =、劣 一一 2^antn （2%2）” n= 1 ”=1 n=l 因此暴级数=克保/ 当| 2"<1即|工|<土时收敛，当I I > 1即顷〉 n=l „=1 V 2 ;时发散，则其收敛半径为会，收敛区间为（一会，会）• OO 8 / 1 1 \ OO 当z=士片时，援a”2『 =A 发散测蓦级数的收敛域为（一芬再）• 581 【分析】令* 一玄=£,由题设知蓦级数言以”在£ = 2 — § = 3处发散，在«=-l-y = 一*处收敛，故其收敛半径R同时满足R2岑与R<*，即夫=身.进而可得幕级数立" z 乙 z 乙 "=1 的收敛域为一言，荡）. 令t = * —1,代入可得赛级数艾>,&一1）”的收敛域为工一 1 6 —3,3），即 n— 1 L ］x 5 ，普 一万〈工〈云 OO 【评注】 设有蓦级数习a“z”，其收敛半径为R若在x = x0或一灰处收敛（发散），则 n = O 可知R^\ XQ\ （i?<| Xo l）.因此若在Z = Zo与一 Zo处，该幕级数一个收敛，一个发散，则 必有 R = \ x0 582 【答案】 4；［—4,4） 【分析】把暴级数中"项的系数心+L）“］记为》其中”=】，2,3，“"由于 考研电子书网站: www. pdf2book. com -217 -数学基础过关660题-数学一（答案册） _3 瓯芝=!霎(n+ 江 D 4〃 E + 4 ( - — + 3 ( ) - 叮 3)-] = 7空高瓯三 '7 1 n+1 4 T, 故矗级数的收敛半径R = 4. 当工=4时幕级数成为正项级数g oo 心+*_ 4” 3）叮=g oo 一 1 号=、就” •由 n-1 n 1 + _2 71= 1 1 — = 1,按正项级数比较判别法的极限形式及调和级数 于"，〜一，即 limnu, = lim----- 71 8 n—8 ］ | I M oo j发散可知正项级数g oo 练发散，即幕级数 oo "4“ + :1— 3）' • §在点了 = 4处发散. （-1）”4” 当1 =— 4时幕级数成为交错级数g就Al淫3）可'其一般项可分解为 (—1)”4” = (一1)” 4” + （—3）”一（一3）” _ （一1）” 3” 〃[4” + (—3)”] V 4” + (—3)” 〃 n[4n + (-3)n] 由于交错级数立 n=l n 在点x ―― 4处收敛. 综合即知题设幕级数的收敛域为［—4,4）. 【评注】（1）因为 （2）本题主要考察求蓦级数收敛域的方法.先求收敛半径R,若0 V R <+ 8,再讨论在 收敛区间两端点处幕级数的敛散性. ⑶判别为危辐 的敛散性时，常见的错误解法是: rm （一 1）'4” (一 1)” ¥（-8）,又收敛，所以 因儿［4” + （—3）叮 n 1 + OO (-1)”4” .5 心+ (—3)”] 收敛.高等数学 oo oo 因为对于变号级数来说，若无穷小a“〜机(—8),又 收敛阮 J收敛(见题622). 1 n— 1 因此(：〕中的解法是错误的. [―1,1); 111(1— 【答案】 已一 二) 583 L — x 【分析】分为两个慕级数分别考虑,分别利用公式 ln(l + i)=立(―项十(-1 vy 1) n= n 1 丸' =土(-ivy 1) 〃=o -*■ ' 蒂级数、—=-S CD'"" =—ln(l—z)(—1 O v 1),收敛域为[—1,1). n n= 1 " 7j= 1 oo oo _] oo = =格㈤”2 左 昌*(2-)2,< 收敛 2 域为(-2,2). 因此蓦级数2(- +第工”的收敛域为 1,1),和函数S(G ［— ------ln(l — z). Z — x n=l 71 Z 584 【答案】 cos x — 1 — xsin x (z £ (—8,+8)) 【分析】 方法 1 分解法并用公式 如- /n+l =£°° (-1)1 £„2n-l sin x 1)” (2n-l)!(l"l<+00) (2n+l)! n= n = 0 1 oo 2n cos X = (to!(J |<+°°) (1) S(i)= *1)宙时="尸 湍 7 必+ -* 1)” 孩 (2Q! 二 二 „2n 技 次】)'点切+")' ————1 (2Q! =—j：sin x + cos x — 1 ( | x | <+ 00). 方法2 逐项积分法并用公式(1) s(x)= i> 1)•湍 2n + l 1 S(i)dz = ,2714-1 (2n)! 2n + r 0 0 ( J7 COS — 1) = S(-1)'(2W)! (2n)!— 1] X 求导得 S&) = [z(cos x — 1)]' = cos x — 1 — zsin x ( I z I V+ °°). 考研电子书网站：www. pdf2book. com ・ 219 -C ----- 数学基础过关 题.数学一（答案册） 660 585 【答案】e*- （|工|V+8） 三(一1)”/” 【分析】 S&) = 2 (| X | <+ 8) (2n)!! „ = 0 S，&)=、 (2n-2)!! =-"g -^TF 一点&) n= 1 S(0) = 1 j S' (x) + 工 S (x) =0 解初值问题 (S(0) = 1 两边乘** = e扫得 (eWsCz))' = 0,S&) = Ce—扫 由 S(0) = 1=>C = l=>S(z) = . ， §(e ef) (- oo < x <+ oo) 【答案】 一 586 乙 【分析】方法1已知上窘 ”=0 , 《=(-1)疽 3为偶数） n ! n ! z” (- lYxn （72为奇数） ——=---------------- n ! n ! 故上面两式相减除2得 二 ^2n+l 1 方法2 易知该蓦级数收敛半径R=+8.逐项求导两次得 S'(z)= E (2〃)！’ n=0 (x)= soo 乎 (2n-l)! = Q (2(n-l) +1)! = 土 (2n + D!= 又SCO) = 0,S'(0) = 1,求S(z)转化为求解初值问题 (G' (z) — S(z) = 0, [s(o)= o,s〈o)= 1. 易解得 S(x) = y (ex — e-x). 587 【答案】 |S[(-l)"+1-5ir]^(-l 。，令-fs-m即可得到. ・ 221 - 考研电子书网站：www. pdf2book. com数学基础过关 660 题•数学一（答案册） 二 ^2(n+l) 589 【答案】 /(I)=、(一 1)” s 工互'N € C— 1,1] M (2〃+1)(2〃十 2) 1_ =克(-1)%、e (-1,1). 【分析】 设 g(z) = arctan 了,贝!] g'(z) l+]2 n=0 于是 arctan z = g(x) — g(0) = j g，Q)dt =3 OO 「 - (-1)"E =习二oo （一1）” * 2n + l 8 (—I)" 在x =± 1处级数Z ^n~+lx2n+1收敛，又函数arctan z在z =± 1处连续，所以 3 2n+l arctan x = x — — (— l)n -—j—7 + (— 1 < z W 1). 3 zn + 1 由 ln(l + z)=如一l)i《(—1 < x < 1)得 ln(l + x2) = M (— Ik 玫 n=l 72 n=l 71 (—1V^2《1,即一故 = zarctan x — -^-ln(l + j:2) 或邳广一技2-w y 一 §(— 1)” w 4 2儿 + 1工 么' 23 + 1) 二 ^2n+2 §(-1)n(2n+l)(2n + 2)(一 【评注】 为了求反三角函数或对数函数的藉级数展开式，一般先求它们的导函数的展 开式,然后进行逐项积分;逐项积分时要注意不能忘记积分常数・ 590 【答案】-gi-z-[(— l)n — 1] (〃 = 1,2,…) n it 【分析】这是求傅里叶系数的问题，按公式， an = -y-J /(J7)COS 取/ = 1,得 a„ = | /(x)cos mtxAx = J /(j;)cos mtxAxQ周期函数积分性质) = j* f(x)cos nnxdx + j* /(x)cos mtxdx fi 1 fi = zcos mtxdx =—— ；cd(sin mix') J nnJ o o i r1 . . i I1 =—— mzJ sin mtxdx = n n - a cos mtx o I o =-^-2 E(— 1)” 一 1] (72 = 1,2,…). n tt -222 -高等数学 591 【分析】a = bXc=> a _[_b9a_\_c；b = cXa=>b^a,b_]_c. n |a| = | b X c \ == \ b \ \ c \ sin = \ b \ \ c \ (1) |B| = |cXg| = |c||g| sin = | c | | a | (2) |c| = |aX^| = |a||^| sin = | a | | b | (3) 由(1),(2 )式=> |c|=l, \ a \ = \ b \ ,再由(3)式。| a | = | ^ | = 1. 因此，I a 1 + 1 b | + | c | = 3. 592 【答案】 •Z + 1 y_ = z 4 16 19 28 【分析】方法1 过点P(— 1,0,4)且与平面— 4丁 + z + 10 = 0平行的平面方程是 3(% + 1)—4()— 0) + (z — 4) = 0 即 3jc ——4丁 + n — 1 = 0. 此平面与直线玷』== V的交点为(15,19,32),所求的直线过点F(—1,0,4)和 1 J. u (15,19,32),因此所求直线方程为 x + ] _ y_ _ z — 4 16 = 19 = 28 * 方法2 求空间直线方程一般有两种思路，一种是像上面的解答过程，关键求出直线的方 向向量和直线上的一点坐标M()(zo，:yo ,Zo). 另一种思路是求出过所求直线的两个平面方程，它们的交线即为所求,本题也可如下解法： 过点P(— 1,0,4)且平行于平面3z — 4丁 +之+ 10 = 0的平面方程为3z — 4丁 + N — 1 = 0. 过直线斗 =f f的平面束方程为 2；r — z + 2+/(2；y — z —— 6) = 0 把F(—1,0,4)的坐标代入上式得A =--|-,因此过P点和直线L的平面方程为 0 10rc — 4j/ — 3z + 22 = 0 则 — 4_ 「 y + z 3 — 并 1 = 22 0 = 0为、，所~ 求，、 -直^ 线八、方、.程一， re — y + 3z + 8 = 0 593 【答案】 x — 2y — z-\- 1 = 0 【分析】 方法1先求出一平面丑】，使它过L且垂直于平面丑，设L的方向向量为s,n的 法向量为 n,n = (1, —1,3). i j k s = 0 2 3 = 4i + 3j — 2k 1 -2 -1 在 L 的方程(2^ + 3z-5 - 0 中令 $ = o 得 j = 4 / =_ ]. — Ly — z十/ = 0 x y — 4 z + 1 则丑]是过M°(0,4, —1)与s,"平行的平面，于是m的方程为4 3 —2 = 0,即 1 — 1 3 考研电子书网站： www. pdf2book. com -223 -数学基础过关 660 题•数学一（答案册） Hi ：x — 2y — z + 7 = 0. L在”上的投影既在平面〃上又在平面岳上，即它们的交线，因此［^-> + 32 + 8 = 0 \x — 2y — z + 7 = 0 为所求. 方法2 也可用平面束方程来求平面瓦（过直线l且与平面n垂直）的方程. L是平面2> + 3z —5 = 0与x—2y — z + 7 = 0的交线,L的平面束方程是 A（2jz + 3z — 5） + — 2y — z + 7） = 0 即 次 + 2（入——么）丁 + （3义——必）2——5义+ 7必 =0 （1） Hi含在此平面束中，它与丑垂直，于是它们的法向量点乘为零，即 （J. — 2（人一"）+3（3人一Q = 0 取夕=1,得人=0,代入（1）式得平面口】的方程 x — 2J/ — n + 7 = 0 因此L在平面丑的投影方程是 件一j/ + 3z + 8 = 0 — 2y — z+7 = 0, 594 【答案】 x2 y2 — 13z2 — 4x — 6j/ — 18z + 3 = 0 【分析】 设Mo 6点°,女）是1上的一点，当L绕如旋转时,M。旋转到M（x9y,z）9此时 有： z = zQ (& — 2)2 + 3 — 3)2 = (io — 2)2 + (j/0 — 3)2 (1) 又因竺亍关=丝尹=Z。+ 1即 五=2切+ 5 o .由此式得 乙 O 弘=3zo十4 &o — 2)2 = (2zo + 3)2 (2) (% — 3)2 = (3z0 + D2 (2)式代入(1)式中，得 愆一2)2 + ()—3注=(2z + 3)2+ (3z+1)2 即 x2 4- y2 — 13z2 — 4x — 6y — 18z + 3 = 0. 595 【答案】(z — 2)2+J + (z + l)2 = 9 【分析】 关键是求出球面的半径，它就是点Mo与丑的距离 公众号：旗胜考研 | X —2j/ + 2z：4-9 | I Q d = yi2 + (-2)2+22 _ 3 因此该球面的方程是 (L — 2尸 + 丁2 +(Z + 1)2 = 9. 【答案】条 596 【分析】 利用直角坐标下先重积分后单积分的方法计算.用平面Z=z（O xdy — ydiX Jc\x\ + \y\ (l + l)ch (格林公式) D =2(02 = 4. 【答案】 607 2-71 【分析】I补线段花，则 (xeyZ — 2y)dx + (x2 — l)j/ey dy )_(xey —2y)dx 4- (x2 — l)j/ey — (xey — 2j/)dx + (x2 — l)j/e? dy C+AO AO •0 ——睥一 xAx = 2 — D ・227・ r\ 考研电子书网站：www. pdf2book. c数学基础过关660题•数学一(答案册) 608 【分析】 方法1 由于y-cos y2 = 2勺sin y2) =—2j/sin y2，则该线积分与路径无 dy dx 关，又 cos y2 dx — 2巧 sin y2 dy = d(zcos y2) r | (1 r/7) 贝cos y2 dx — 2巧 sin y2 dj; = zcos y2 =— 1. J c I (0,0) 方法2 由以上分析知该线积分与路径无关，改换积分路径，从(0,0)到(0,亦)再到(1, .则 /T) cos y2 Ax — 2xys\n y2 Ay = (—l)dz=—1. J c J o 【评注】以上两种方法是计算与路径无关的线积分常用的两种方法. .疫 609 【答案】 —2tc 【分析】 方法1 用斯托克斯公式计算，取n为平面z—v+z = 2上包含在r内的部分, 按右手法则$取下侧 (z — y)dx + (x — z)dj/ + (x —j/)dz 方法2 写出曲线参数方程化为定积分计算，由x-y + z = 2知/= 2 —z +勿则原曲 线参数方程为 x = cos t,y = sin t,z = 2 — cos t + sin t I = [(2 — cos t) (— sin t) + (2cos t — 2 — sin i)cos t-\- (cos t — sin Q (sin t + cos J 2冗. 方法3 将空间线积分化为平面线积分，然后用格林公式. 设C为圆x2 + y2 = 1顺时针方向，由X — y + z = 2知z = 2 — x~\~ y,将其代入 I =。(z — j/)dz +(Z — z)dy + (z ——y)dz 得 I = } (2 — Qdz + (2«z — 2 — + & - 丁) (dj/— dz) =§ (2 y — + (3z — 2 — 2y)dy =—JJ (3 — l)dc7 (格林公式) Ewi =—2tt. -228 ・高等数学 【答案】 610 (2-72)kJ?3 【分析】 由高斯公式得 Cl + 1 + Ddv (2 —显)kR . 【答案】—点 611 【分析】 jpcyzdjcdy =-』 a/1 — x2 — y2 d^dj; 2 cos Osin 0 yl — r2rdr 4 612 【答案】 【分析】 613 【答案】f<° 【分析】 ds =pj sin2 Odd = 2P| sin2 9d0 o = 2pxixl = lp- 2 614 【答案】 3 【分析】 令 』£ +丁 + 之 ,则 grad f = 兰，，兰) r = 2 2 div (grad /)= 2_ div (grad /) I* (1,-2,2) -229 - 考研电子书网站：www. pdf2book. com------------ 数学基础过关 660 题•数学一（答案册） 615 【答案】，+ 3 —i）A a d_ d 【分析】 rot A = =j + Cy-Vk. 3y di x + y + z xy z 选 择 题 616 【答案】 B oo oo oo 【分析】 级数、矶条件收敛即级数、如收敛但、 发散.又 I U„ I n= 1 n= 1 n= 1 un = +1 un | ） + （u„ — I Un I）］, I Un I = +1 | ） ~（U„ — | Un | ）］, 再按级数的运算即知，若级数S（u„+|un I）与克3”一 |） 都收敛，则立 \un I 收敛, n=l n=l n=l oo 若其中一个收敛，另一个发散，则、区发散,均与已知矛盾，因此它们都发散.即应选（B）. "=1 若熟悉评注中的结论，由于立“.收敛，力 发散，即可知克士 | “♦）均发散. I I n= 1 n— 1 n= 1 【评注】利用级数的性质判断敛散性，最常用的是通项分解法.即利用级数的线性性 质，并利用下表中的结论： 假设 结论 OO Sa" 蚓（七+九） L1 n= 1 n= 1 收敛 收敛 => 收敛 收敛 发散 => 发散 发散 发散 不确定 绝对收敛 绝对收敛 => 绝对收敛 绝对收敛 条件收敛 => 条件收敛 收敛（是条件收敛还是绝对收敛与具体级 条件收敛 条件收敛 => OO 8 数»“，〉＞,有关） n— 1 n=1 617 【答案】A 【分析】 方法1由于级数、/和习诺都收敛，可见级数、（场+廿）收敛. n=1 n=1 n=1 oo 由不等式2|”k“|（诸+况及正项级数的比较判别法知级数收敛，从而 n= 1 ・230・高等数学 、2以”收敛. ”=1 OO 又因（"” + q）2 = 诸+话+ 2",矶，即级数+ 收敛,故应选（A）. n= 1 方法2 设"n = A，S = 1（〃= 1,2,…），则可知（B）不正确. n 设S =【一£（〃 = 1,2,-）,则可知（C）不正确. n n 设劣=（一」）"—',s =--（n = 1,2,-）,则可知（D）不正确. n n 故应选（A）. 【评注】 在本题中命题（D）“若级数〉如收敛，且= 1,2,…），则级数 n=l n=l 也收敛”不正确，这表明:比较判别法（将一个级数与另一级数作比较）虽然适用于正项级数 收敛（或级数绝对收敛）的判别，但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项 级数收敛性判别中的一个根本区别.但对一般项级数有如下判别法:若g, < W“（” = OO 8 OO 1,2,-）,又级数、U”与、均收敛，则级数»“必收敛. n=l n—1 n—1 【答案】 618 D OO 【分析】 应熟悉正项级数的比值判别法：若lim全±1 = P,P V 1时收敛/> 1时 丘8 an n=i OO 8 “发散,P=1时判别法则失败.②中正是比值判别法中的一种情形P>1,故、a.发散.结 *=1 1=1 论②正确. 另外全±1 < 1（或> 1）只能保证lim全也《1（或2 1）不能保证不带等号，此时不能用比 an ”f8 an OO OO 值判别法.例如a, =【，角也= YrVl,lim全土 = 1,»” =习［发散.结论①不正确. n a„ n +1 a„ 幻 M 71 由选项的设置知，这四个结论中两个正确，两个错误，那么③④中一个正确，一个错误，因 而只能是结论④正确.因此选（D）. 【评注】（1）结论④正确.因为a”> 0且limna,=人，于是人只有两种可能性，其一是 K—8 8 A>0,即lim早=义>0.由正项级数比较判别法的极限形式与调和级数发散可知、a”发 ”一 8 _£ ”=1 n 8 散，这与、a“收敛矛盾.从而只能是第二种可能性义=0,即得 n= 1 limm„ = 0. *-no-o （2）结论③不正确.收敛级数有结合律，即可以添加括号，但反过来添加括号的级数收 敛，原级数可能不收敛.例如：设a” = （-l）^'（n = 1,2,-）,于是 考研电子书网站：www. pdf2book. coin ・ 231 -9 ----- f 数学基础过关 660 题•数学一(答学册) 蚓（azi +a2„） =、[（—1）1 +（—1）21] = n= n== 1 1 n= 1 oo oo 收敛，但、a” =、（一 IL显然发散. n=l n—1 ⑶ 若吏（〃2i +就2”）收敛收敛.但是，若、（以21 +u2n）收敛，又lim“” = 0或 n— n= n= 1 1 1 n-*°° oo un > 0（n = 1,2,3,…），则、收敛. 619 【答案】 B 【分析】这是正项级数敛散性的判别问题，四个结论中有两个正确，两个错误.按选项的 设置，只须对①②或③④作出判断就可做出选择. 方法1 若正项级数吏a,收敛，则部分和S”有界：| S, |= S„SS„a„收敛，即结论①错误. 71= 1 同时因Sn单调上升=>Sn 2 Si = Qi > 0(n = 1,2,…) 5 V芸(务 穿收敛，即结论②正确. n=l °” 现按选项的设置，③④中只能是③正确，因此选(B). 方法2 若 ｛m 是有界数列，即0 V心” V M(n = 1,2,3,…) 。 =>0 *3a = 1,2,3,-)且lima” = 0,但习a” =、[发散，可知④是错误的. 8 —-； ―； n n= 1 n=1 现按选项设置可知，①②中只能是②正确.因此选(B). 620 I (—1)1 就” I = ^Un 发散 n n= 1 的一 + 构— U2n + —I)"-"” = “2 “4 + + «2«-1 — .|£_ AL /,-rr 00 8 8 、Si —心收敛。、"心，»”均发散》 的结口律 ”=i ”=] n=l 8 " 【答案】 A oo oo 【分析】 由于、(一1)1",条件收敛，即习(一1)1皿收敛，而 n= n= 1 1 8 S 心 -232 -高等数学 习 S[2m q = 2n-1 +( ^2„-1 — ^2„ ) ] . n= 1 n= 1 由级数的线性运算性质=> 习p,发散.选（A）. 【评注】⑴上述讨论中说明了 ：若W（—1）L板”收敛，则 ”=1 oo OO 习（一 1）1 么= ^（u2n-l — U2n） ()* 若limun = 0> y] (“21 — U2rt)收敛，则(* )式成立. L8 ”=1 oo oo oo oo 由此知，四个级数、(一中，只要分别知道其中两个级 n— 1 ”=1 n=l n— 1 数各自的和,就可分别求得另外两个级数的和. oo oo 如，已知也《~ 1 = Si，^2 % = Sz ，则 n=1 n=l OO OO 8 8 、(- 1)1 以” =2 («2n-l — «2n) = S U2n-1 — ^2n = S] — S? n= 1 n— 1 n— 1 n= 1 OO 8 Co oo = ^}(u2n-l + «2n)=U2n = S] + S2 又如，已知、(一 的=S',、 = S1，则由 1)1 “21 n—1 ”=1 oo oo oo oo 、(一=、以 —、询= Si — s' 2i n==l n=l n=l n=l 史=觉 + 宠就 S') = 2Sj — S' "21 2” = Si + (Si — n=l n=l n=l （2）在题设条件下（即Mn > 0,n = 1,2,3,-,寻（一1）1知条件收敛），若正项级数 n=l 8 8 OO 8 8 , ^U2„均收敛，则、 收敛，与、〃”发散矛盾了，若这两级数 （«2n-l +“2n）= 川= n=l n=l n==l "=1 1 oo oo oo 中有一个收敛，另一个发散，则、（一 1）%” = 一习（他1 —曷,）发散与、（一 1）'如收敛矛 、 .一_ 1 ___1 盾了.因此只能是、 均发散. “2 —1 9 Su2n n= 1 n= 1 621 【答案】 B 【分析】如果、九收敛，由 n= 1 W W A” 知，、I a, |收敛，从而、a”收敛与题设矛盾,故应选（B）. n=l 71=1 考研电子书网站：www. pdf2book. com ・ 233 -数学基础过关 660 题•数学一(答案册) 622 【分析】 关于命题①与②是考察考生对正项级数与变号级数之间差别的了解. 8 OO 若、a“是正项级数且收敛，则"充分大后0 (a,, 故、出收敛，即对 n=l n=l 正项级数而言命题①是正确的，但对变号级数而言，命题①是不正确的.如立 收敛, n= y/n 1 但f;(号)=吏+发歆 对于正项级数，命题②则是比较判别法极限形式的推论，但命题②对变号级数也是不正 确的.如 Q” = ,则 S = 1 +(- •：)—— 1(〃 f 8)，即当 72 — 8 时 Q” \jn Jn n 与b„是等价无穷小，但豆a“收敛而“发散. n= 1 n=1 OO 关于命题③，若、a,收敛,则必有a“为无穷小，这里要考察a,与［的阶的关系.命题③ 是不正确的.如立三£二收敛，但尹8). 命题④是正确的.因力a,收敛=*a"- 0(" —8)na“有界即存在常数M使得| a„ | | a„b„ | < M| |.由、| bn | 收敛=、| a„b„ \ 收敛 n④成立. 【评注】(1)从选择正确答案的角度来看，如果你能证明由正确，则自然就不必再考察 ①②与③.或者你能通过举反例判定①②③不正确，则④就自然入选. (2) 要注意正项级数与变号级数间的差别. OO (3) 若正项级数习a,收敛，则lim华不可能为8,若lim岑存在,则必取零值. n=1 L8 上 n-*oo n n 623 【答案】B 8 8 【分析】正项级数习％收敛n lim% = 0,也收敛. n=0 n->°° n= 1 I 九 I = ln(l +。2“)〜CLln (n f 8) oo oo 由、a?,收敛=>、| bn |收敛.因此选(B). oo 【评注】 正项级数 »,收敛。部分和S, =ai+a2 + -+a„有界，即0 、站 的部分和 T„ = a2 +a4 ----- a2n < S2n n 1+a' 又习b收敛。原级数绝对收敛. n= 1 设<^ = 1,级数为技？"T是条件收敛的. 设a> 1,用分解法： （-1）1 . 次 =（一1）1 . / + 1 — 1 = （一 I）— （—1）” n 1 + a" n 1 +。" n n （1 + 又|是狷收敛n y H 绝对收敛，而豆"I）"条件收敛，因此原级数条件收敛. ndl+a"） 剑 n 应选（C）. 625 【答案】B 【分析】这里级数的一般项中含有三种类型的无穷大量. *（">o）,q”（g> l）,ln端 。>0） 其中几—8,它们的关系是 lim % = 0,lim = 0 q 72 必 n*--co *on-o 现考察此正项级数的一般项： nz a” 1 + 一 zf + a” = _ a 1+或+*) n -► 8) na + IrAz + yn y 7 这里 an 〜b,(" — 8)，即lim § = 1. ”f8 O n oo n 习(y)收敛0 g < 1即a <7. 因此，原级数收敛0a < /.故应选(B). 626 【分析】 由于数列｛a,｝满足a】NQ “•Na, >…> 0 ,从而数列｛a“｝必存在极限，若 lima, = 0,则必有交错级数史（一1）1%收敛，与题设条件矛盾.从而存在常数a > 0使得 8 ”=1 lima, = a,且 a” a > 0（n = 1,2,3, •••） “f 8 （*（土 考研电子书网站：www. pdf2book. com -235 ------— 数学基础过关 题.数学一（答案册） 660 又£（寿）”收敛,故级数£（一l）i（厂丰y）"绝对收敛，应选（C）. 627 【分析】方法1因当n>3时，（一1）1男2§且级数豆：发散,从而级数①非 绝对收敛； '令 f（x）=宜，于是 lim — = lim — = 0. X X X 工―+8 X—4-00 Z（x） = 1 — 9」<0当* 〉e时成立，这表明（虹）当〃 2 3时单调减少且1血宜 = x （ n \ ”一8 n 0.由莱布尼茨判别法知级数①收敛.综合即知级数①条件收敛. 因梢导二条件收敛，去耳'绝对收敛,从而它们的和去（号二+ 耳^）条件 收敛.即级数④条件收敛.故选（D）. 方法2因（Sv虫丧=鼻.哼v志（”充分大时），其中lim呻=0, v W + 1 nT nJ nJ n^°° 故坤 < IS充分大），因此级数②绝对收敛. 插 + (— 插—]+ ] _ ] 因 = (_ ])”一 (_ 1)1 1 1)" = (_ ])n-l Tn — (— l)n n — 1 n—1 n—\ 】 =(-I)"" * (-I)— _ ] 7^+1 〃一1 n-l oo oo J oo 而级数习(一 上埠均收敛,级数、』发散，故级数③发散. 1)1 』 Tl + 1 〃 上 n=2 〃 】 n = 2 n = 2 从上面讨论可得(A)(B)(C)不正确，应选(D). 【评注】（1）用莱布尼茨法则证明交错级数 1）1^（% >0）收敛时，要证明数列 71= 1 ｛a„｝单调下降且lima” = 0.常用的一种方法是，引进一个辅助函数/&）,使得f（n） = a“，然 n*o-o 后求出导数r（x）.证明_/■（工）单调下降&充分大即可）就可得｛aQ单调下降.还可能用洛必 达法则.求出lim /（x） = 0,即得lima, = 0.级数①就是如此. x*4--oo n*o-o （2） V常数a>0与但均有1血略=0,故存在X>0,当工〉X时有0 V略V 1 X X x*4--oo 特别有哼 V13>N时）. n 6 （3） 这四个级数中两个是条件收敛，两个是非条件收敛.如果我们按顺序证明了级数① 条件收敛，级数②绝对收敛后，（A）（B）被排除，按选项的设置，只能选（D）. 628 【答案】A 丁 【分析】 方法1 （A）中的皿=（ln〃） 】 由于［血 丑1n2兰 =。。飞充分大 fln” = eTnln”）lnln”， X x*4--oo -236 -高等数学 时罕V 1,即In纭v E当"充分大时(In In ")y In ”即如> 5 = §,且援斗发散. 故&“发散.因此选(A). n= 1 方法2 用排除法. (B)由于lim街=1,故〃充分大后< 2,于是 8 抓/ 2 1 u = -— <2 —=-------- 〃 9n 9n 2—1 OO oo ni— 由、法T收敛，可知、碧收敛・ n=1 乙 K=1 乙 或者，因为一般项含方蓦，也可用根值判别法. lim = lim % § V 1 U 8 8 Z 其中 lim/ = lime'11" = e° = 1 8 8 ' 由根值判别法知豆票收敛. ”一 n— 11 乙 (C)引入，(z) = ]---(工23),则 f (工)>0且单调减少,/(〃)= 1 . [—, j：lna^ Un In x)p nman(ln In n)p 又 「8 r( =「8 dlnz = [+o° _dt_ J3 7 J3 (Inz)a(lnlnz)。一 Jin3 任IrA 8 4-00 该积分当a> 1时是收敛的，由积分判别法,a>l，B>。时A , „ n ,一~邙=乏7(小收 win n(In In n)p U 敛. (D)因 =sin nxcos —\- cos nitsin — (— l)"sin 卜-是交错级数一般项，由莱布 In n In n in n 尼茨法则知级数收敛. 因此选(A). 629 【答案】 B 【分析】 设= ln(〃！) np 当刀 V 0 时 ％ #0(〃 —+ 8)=>、 q” 发散. n= 1 当0 < 2时 史In & Qn — ln(l • 2 n . p ........n) 龙=1 n __ p ____ 2 > 〃 n 一 pp~ 2 -^ 1 T ， ( n — + 1 8) A 发散，其中 In k>Uk^ 3). n= 1 当P>2时 ・237・ 考研电子书网站：www. pdf 2book. com数典础过关 660 题•数学一（答案册） u < % =---- npy— W —n—p = 由吏蜡收敛。史a”收敛. n= 1 ” n— 1 因此,p e （2, +8），选（B）._____________________ 【评注】设a>l,则立蜉收敛. 71=1 71 可取e>0使得a-e> 1, 宜=.宜 na rf~t n， 由于lim 蜉 =0,于是当"充分大时 n—8 n 0 < — < 1 ne 也就有 蜉〈土 n n 再由吏上收敛》a >1时豆蜉收敛. n=l n n=l 71 630 【分析】 按题意要考察去（一 1）”《），W（—是否收敛. 先判断是否/（+）> 0且单调下降（”充分大）且0. 由 lim = a > 0 及 /（x）在 x = 0 连续=> lim/（x） = 0 = /（0）. 工—o x 工—o 再由可导性》 /（0） = lim -f（0）= 1血 = a > 0 H—o oc h—o jc 由Z（X）在x = 0连续。溟>0,当工£ {-8,8'）时f （工）>O,y（Q在（一8,8）/今n充 分大后，斗6 （一家跄/（4）>以0）= °，了（§）随如单调下降. 又li吁/■（：）= On交错级数、（一l）'y（§）收敛.又 _8_ OO OO ）发散•因此援（一1宵（+）条件收敛.应选（O. -238 -高等数学 eo OO 【评注】 取特殊情形工）=CLX 满足条件，g（—i）V（+）=、（一 1）”：，它条件收 敛，故选（C）. 上述分析中利用了极限性质，导数定义，连续函数的局部保号性等，论证了顶（4）单调 下降,并求出0. 631 【分析】 由 的收敛域是（一8,8］可知，蓦级数»”丁的收敛半径是8,从而幕级 n=0 n=Q oo oo n . oo 数的收敛半径也是8.又因藉级数2 广弋］、是蓦级数 两次逐项求积分 ” =2 n=2 n^n n = 2 OO n 8 n 所得（或2 湍!①两次求导得暴级数援右了1）,由蓦级数和函数的性质可得,幕级数£ 湍方 的收敛半径也是8.幕级数习a„xin =、a” （/）”的收敛域M 88 其中&=2上户. 现用分解法 o _ v(一 I)—[以一1) + 1」_ v(― 1)1 以一1) v /- 1 V ”一窑 ? 白一~3) =_顼(-n n* =-is 一 d* 3 " 3 3" 窑(3 J 令〃 f 8得 4 HmS, = 0-豆(_.) _1_ = 1 一直=a + 1 = 1 O 8 4 = 0 ' D / 1 + | 4 4 Q _ 3 S~ 16 选(B). 方法2 把数值级数求和转化为籍级数求和.引入S&)=、心I，则 现求S(z),由逐项求导法得 S&)=(习z')，=( | x [< 1) n=0 n=1 oo 而= T------( | 1 | V D=> 七 I" SG)=寮I = O,=上w |< 1) 因此 应选(B). 633 【答案】 c 【分析】 方法1 分解法，转化为用公式ln(l+z) = W(-1 牛(_心<1). n n= 1 S(z)= 1)1 sf =-x (一 (一舟 =—ln(l — x) (— 1 < z V 1) n n=] ' l n=] OO OO . , 8 y = ly — = 幺儿+ 1 X n + l x\^ n ・240・高等数学 ... ln(l — x) — 1 (— 1 V 1 V 1 尹 0) x S(工)=—ln(l — 1)+ —ln(l — x) + 1 (― 1 + ^ + 3 = 0 L的参数方程是 x = 1 + i =— 2t,z =— 1 + i 将它代入平面方程得 (l + t)-2(-2t) + (-l + t)+3 = 0 考研电子书网站：www. pdf2book. com -243 ・数学基础过关 660 题•数学一（答案册） 解得t =— y. 相应的交点于是 方法3 L的参数方程是 x = 1 + =— 2t,z =— 1 + £ 点Mi到L上任意点(sc,y,z)的距离平方是 f(t) = d2 («) = (1 + tY + (1 - (- 2«) )2 + (- 1 - 1 + J))2 =(14i)2 + (l + 2f)2 +i2 点Mi到L的距离汶是点Mi到L上任意点距离的最小值. 由 f'(t) = 2(1+O+4(1 + 2j)+2z = 12f + 6 = 0,得 t =一号，又 lim f(t) =+ 8 ±8 于是/Xt)在(一8, +8)的最小值是了(一 §)= (§) +(一号)=§. 因此d = 库=写选(C). 640 【分析】 设M(ai ,C1),M3(a3,b3,c3),显然,Mi ,M3分别在两已知的直线3与L3上, MjA^ = (a3 — fli ,b3 — bi ,c3 — Ci) ,Li 与 L,的方向向量 Si = (a2 —a3 ,b2 — b3 ,c2 — c3),s3 = (ai — a2 >61 — b2 — cz) ,Li 与 L3 共面的充要条件是(S1S3 MJ\^) = 0. a2 bl — b2 c2 Qi — Cl — 又 (S3S1 Mi ) =(S3 X Si) • Mi = a2 —。 3 b2 — b3 c2 — c3 。 3 — 口 1 63 — bi C3 — Ci 0 0 0 = a2 — a3 b2 — b3 c2 — c3 = 0 a3 — b3 —缶 ai c3 — Ci 所以柘诺 与两直线共面，因此，两已知直线共面. bi bi — b2 c2 Ci — Ci — 由 0 尹 。 2 但 Ci = 。 2 —。 3 b2 — b3 c2 — c3 。 3 缶 C3 C3 可知上式第二个行列式的第一、二两行不成比例，因此，两已知直线不平行也不重合，所以 选（A）. 641 【答案】 C 【分析】 由于。1关于xOz面和 j/On 面都对称，而fCx,y9z） = 2既是3/的偶函数，也是 ］的偶函数，则 血 亦如 =4 ・ 244 -高等数学 故应选（C）. 642 【答案】 D 【分析】 。在jQy面上的投影是由x2 +y2 = l,y = 0,y = z在第一象限围成的?■圆域，贝！j o 腿顼 Jpg， f(x,y 9z)dz xz +y2 n 故应选（D）. 643 【答案】 D rt + y2)dv 「2k ft ri d9\ /(r2)rdr dz /(r2)rdr 【分析】 =lim 匕业一.——L = 2k lim也_7—— ?—— t *0A 十 b _o+ ~o+ =Z 9 rc l ]. i m f 七 3 飞 )t 一 =— K r li m - ， — (矽 p— ) 2 t2 -o+ _o+ =3 lim，'(2，诺=A/(0) 2 Zt 2 —o+ 故应选（D）. 644 【分析】①和③是正确的，②和④是错误的.公众号：旗胜考研 ① 和③分别是第一类线（面）积分,积分是沿曲线（面）积，被积函数可用曲线（面）方程 代入. ② 和④分别是二重积分和三重积分，积分分别是在圆域把+ J W廿和球体了2 +y +或< a2上积，被积分函数不能用积分域的边界曲线^十寸=〃和边界曲面x2+y+z2 =«2代入. 645 【答案】c 【分析】由格林公式得 11 = JJ (3 — 3j?2—3'2)d(r X2+/<1 =3 JJ (1 — x2 — >2) d(r. x+y2)djcdy (格林公式) =—3『d《M=—祟 Jo Jo Z 649 【分析】 y = —cos(n,j;) + —cos(n,>) dn dx dy 这里的cos(”,z) ,cos(",R)为曲线L的外法线向量的方向余弦，设T为L的沿逆时针方向的切 线向量，则 cos(〃，z) =cos(r,j;) ,cos(n,j/) =—cos(t,i) ;>= 翌cos(c,、)-务cos(c,z) )ds 则 on l L du i du i JL 戒"Z f窑+ dxdy (格林公式) /+竖< 1 • 246 •高等数学 =J 3+y)do =「邮腿 x2+y22+z2 0. 2 七河 【评注】（1）第二类线（面）积分的奇偶性、对称性的结论与第一类线（面）积分及重积 分的结论正好相反. （2）对第二类线（面）积分只能分项利用奇偶性，如对djdz的项要求积分曲面关于工= 0对称，而被积函数关于x有奇偶性;而对dxdy的项就要求积分曲面关于z = 0对称，被积 函数关于z有奇偶性，其余类似. 654 【分析】 取2为平面 b+v + z = 0包含在球面x2+y2+z2 =a2内的部分，法线方向按 右手法则取，由斯托克斯公式得 § j/dz + zdy + xdz = jJ(0 — l)dj/dz + (0 — l)dzdx + (0 — Ddjzdj/ =—jj(cos a + cos 0+ cos /)ds 2 其中cos a,cos B，cos y为平面z +、+ z = 0法线向量的方向余弦. n 1 cos a = cos B = cos y =— 则 j/dj： + zdy + xAz =—-^zjjds =—^/3na2 故应选(C). 655 【分析】 函数f（jc,y,z） =x2y +3/2=3在点（o,i,］）处方向导数的最大值等于f（x9y,z）在 点（0,1,1）处梯度向量的模. grad/(0,l,l) = (0,6,9) S II II = 7117 故应选（B）. ・ 248 •高等数学 656 【答案】 D y 1_ 【分析】 过=— :y 3f =—x 2 ~2 丑1 + y_ 3y 1+ y_ x2 + y2 X X 则 grad/ (1,0) 故应选(D). 【评注】 本题可做得更简单，由于 /x(1.0)=；(工，0)|工=。=0 y；(i,o)= 4-/(1 »>) ] ,-o = 1 dj; 1 + )2 则 grad/1 (1,0) 657 【答案】 B 【分析】 设l的方向余弦为COS a,cos B，cos y,则 =(工。，:y。，初)cos。(孔,，No)cos /? + /： (io，％，2。)cos y 91 (H°，3*o ，z° ) __g__・_I___________1__________J_ 11 I II yo2 + 22 + 22 2 a/2 故应选(B). 658 【答案】 B 【分析】方法1 排除法. 显然点(1,0,0)不满足方程z = /,则(C)(D)都不正确. 平面x + y — z = 1的法线向量为«i = (1,1, — 1),曲面z = x2 + yz在点(x,y,z)处的 法线向量为"2 = (*,2 2、，一 1).则 2x _ 2j/ _ —] T = 了 = F 1 d = 2 1 代入z == x2 + y2得 z =---- 2 但x = y = z = -不满足方程 x~\~ y — z — 1 乙 则(A)不正确，故应选(B). 方法2 直接法. x — 1 _ y _ z 过点(1,0,0),(0,1,0)的直线方程为 1 =与 一 6 x-^r y 一 1 = 0 即 z = 0 ・ 249 -数学基础过关 660 题•数学一(答案册) — ” 过该直线的平面束方程为 Aa + y-l)+z = 0 即 Ax ky z — X = 0 法线向量为«i = (A,A,1). 曲面z = x2 + y2在点Cx,y,z｝处的法线向量为n2 = (2z,2y, — 1). 则 奖=全=三 A A 1 人」 即 z v =—岑 Li 将其代入z = X2 + y2及k+泌+ z —人=。得夺+义=0,解得人1 = 0,A2 =— 2,代入 乙 Ax + Ay +z — 1 = 0 得 z = 0,2x 2y — z = 2 故应选(B). 659 【答案】D 【分析】 曲面x2+y2 + z2 =2在点(1,—1,0)处的法线向量为功=(2,—2,0). 平面工+、+ z = 0在点(1, -1,0)处的法线向量为"z = (1,1,1). 曲线°在点(1,-1,0)处的切向量为 危十V + z = 0 t = X n2 = (—2, — 2,4) 则所求切线方程为 z — ] _ 丁 + 1 _ z ~1~ = 1 =刀 故应选(D). 660 【答案】C 【分析】 曲线x = t,y =— t2 ,z = t3在点(1, — 1,1)处切线向量为 t = (1, — 2,3) 而指向z轴负向一侧的切向量为 (—1,2, — 3) 则所求的方向导数为 —1 9 — 2 1 9 2xQ+(—2) X^+2XQ=一兰 /14 /14 /14 /14 故应选(C). • 250 •金榜时代图书•书目 考研数学系列 书名 作者 预计上市时间 2021 3 数学公式的奥秘 刘喜波等 年 月 2023 7 考研数学复习全书•基础篇（数学一、二、三通用） 李永乐等 年 月 660 2023 7 数学基础过关 题（数学一/数学二/数学三） 李永乐等 年 月 考研数学真题真刷基础篇・考点分类详解版（数学一/数学 2023 7 李永乐等 年 月 :二/数学三） 2023 2 数学复习全书-提高篇（数学一/数学二/数学三） 李永乐等 年］ 月 考研数学真题真刷提高篇・考点分类详解版（数学一/数学 2024 1 李永乐等 年 月 二/数学三） 330 2024 3 数学强化通关 题（数学一/数学二/数学三） 李永乐等 年 月 2024 2 高等数学辅导讲义 刘喜波 年 月 2024 2 高等数学辅导讲义 武忠祥 年 月 2024 2 线性代数辅导讲义 李永乐 年 月 2024 2 概率论与数理统计辅导讲义 王式安 年 月 2024 年 月 考研数学经典易错题 吴紫云 3 9 高等数学基础篇 武忠祥 2023年 月 150 2024 0 真题同源压轴 姜晓千 年］ 月 2023 2 数学核心知识点乱序高效记忆手册 宋浩 年］ 月 6 2024 9 数学决胜冲刺 套卷（数学一/数学二/数学三） 李永乐等 年 月 2024 9 数学临阵磨枪（数学一 /数学二/数学三） 李永乐等 年 月 3 2024 考研数学最后 套卷•名校冲刺版（数学一/数学二/数学三） 武忠祥刘喜波宋浩等 年］］月 3 2024 11 考研数学最后 套卷•过线急救版（数学一/数学二/数学三） 武忠祥刘喜波宋浩等 年 月 2024 4 经济类联考数学复习全书 李永乐等 年 月 985 2024 5 经济类联考数学通关无忧 题 李永乐等 年 月 2024 4 农学门类联考数学复习全书 李永乐等 年 月 2024 2 考研数学真题真刷（数学一/数学二/数学三） 金榜时代考研数学命题研究组 年 月 2024 7 高等数学考研高分领跑计划（十七堂课） 武忠?羊 年 月 2024 7 线性代数考研高分领跑计划（九堂课） 申亚男 年 月 2024 7 概率论与数理统计考研高分领跑计划（七堂课） 硕哥（薛威） 年 月 2024 9 高等数学解题密码•选填题 武忠祥 年 月 2024 9 高等数学解题密码•解答题 武忠祥 年 月 大学数学系列 书名 作者 预计上市时间 2018 2 大学数学线性代数辅导 李永乐 年］ 月 2024 8 大学数学高等数学辅导 宋浩刘喜波等 年 月 2024 8 大学•数学概率论与数理统计辅导 刘喜波 年 月 -I -2024 6 线性代数期未高效复习笔记 宋浩 年 月 2024 6 高等数学期末高效复习笔记 宋浩 年 月 2024 6 概率论期末高效复习笔记 宋浩 年 月 2024 6 统计学期末高效复习笔记 宋浩 年 月 考研政治系列 书名 作者 预计上市时间 2024 5 考研政治闪学：图谱+笔记 金榜时代考研政治教研中心 年 月 2024 5 考研政治高分字帖 金榜时代考研政治教研中心 年 月 2024 10 考研政治高分模板 金榜时代考研政治教研中心 年 月 2024 10 考研政治秒背掌中宝 金榜时代考研政治教研中心 年 月 2024 11 考研■政治密押十页纸 金榜时代考研政治教研中心 年 月 考研英语系列 书名 作者 预计上市时间 考研英语核心词汇源来如此 金榜时代考研英语教研中心 已上市 18 考研英语语法和长难句快速突破 讲 金榜时代考研英语教研中心 已上市 英语语法二十五页 靳行凡 已上市 -考研英语翻译四步法 别凡英语团队 已上市 考研英语阅读新思维 靳行凡 已上市 2024 2 考研英语（一）真题真刷 金榜时代考研英语教研中心 年 月 2024 2 考研英语（二）真题真刷 金榜时代考研英语教研中心 年 月 2024 3 考研英语（一）真题真刷详解版（三） 金榜时代考研英语教研中心 年 月 大雁带你记单词 金榜晓艳英语研究组 已上市 大雁教你语法长难句 金榜晓艳英语研究组 已上市 58 2024 3 大雁精讲 篇基础阅读 金榜晓艳英语研究组 年 月 2024 6 大雁带你刷真题•英语一 金榜晓艳英语研究组 年 月 2024 6 大雁带你刷真题•英语二 金榜晓艳英语研究组 年 月 2024 5 大雁带你写高分作文 金榜晓艳英语研究组 年 月 英语考试系列 书名 作者 预计上市时间 2024 1 大雁趣讲专升本单词 金榜晓艳英语研究组 年 月 2024 8 大雁趣讲专升本语法 金榜晓艳英语研究组 年 月 2024 2 大雁带你刷四级真题 金榜晓艳英语研究组 年 月 2024 2 大雁带你刷六级真题 金榜晓艳英语研究组 年 月 2024 2 大雁带你记六级单词 金榜晓艳英语研究组 年 月 以上图书书名及预计上市时间仅供参考，以实际出版物为准，均属金榜时代（北京）教育科技有限公司！ • H •25考研人 \^=^=^) 々成 你不得不知道的事」1 作背不下来的书，总有人能背下来； /做不崔来的题，总有人能做出来; 并推到明关的事，总有人今夭完成。 那么实在财不起, 修憩要去的学桂，也只能别人去了, 你想要过的佳活，世只能别人这了! 小有 助码 添 日 加 微 信 © 困 国 义 1.考研教学配套被频 2.考研小白畚考干货黄料 3.全年备考规划 4.各校直擂试听课H尤毒券会掺存代考研数学系列 8名 上市时间 适用阶段 数学公式的奥秘 2021年3月 全程复习 考研数学复习全书•基础篇 2023年7月 夯实基础 数学基础过关660题 2023年7月 夯实基础 考研数学真题真刷•基础篇 2023年7月 夯实基础 数学复习全书•提高篇 2023年12月 全程复习 考研数学真题真刷•提高篇 2024年1月 全程复习 高等数学辅导讲义 2024年2月 专项强化 线性代数辅导讲义 2024年2月 专项强化 概率论与数理统计辅导讲义 2024年2月 专项强化 考研数学真题真刷（试卷版） 2024年3月 强化提篇］ 数学强化通关330题 2024年3月 强化提高 考研数学经典易错题 2024年3月 强化提高 高等数学考研高分领跑计划.十七堂课 2024年7月 专项突破 线性代数考研高分领跑计划•九堂课 2024年7月 专项突破 概率论与数理统计考研高分领跑计划•七堂课 2024年7月 专项突破 数学决胜冲刺6套卷 2024年9月 提高检测 数学临阵磨枪 2024年9月 提高检测 考研数学最后3套卷 2024年11月 冲刺预测 总策划：杨朝咋 金榜时代考研微信 金榜时代官方微博 责任编辑：吕睿 G20250002 考研资iR每日发布 考研福利天天有 总定价:99.80元（全2册）