(401)--专题三导数的概念及应用笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课 专题3：导数的概念及应用 （P55-64） 主讲 武忠祥 教授一、基本概念与方法 （一）导数的概念 y f (x  x)  f (x ) 定义1(导数) f  ( x )  lim  lim 0 0 0 x0 x x0 x f (x)  f (x ) f  (x )  lim 0 0 xx x  x 0 0 y f (x  x)  f (x ) 定义2(左导数) f  ( x )  lim  lim 0 0  0 x0  x x0  x y f (x  x)  f (x ) 定义3(右导数) f  (x )  lim  lim 0 0  0 x0  x x0  x 定理1 可导 左右导数都存在且相等 【例1】 下面几个极限能作为 在 处导数定义的是 f (x) x 0 f ( x  x)  f ( x  x) （A） lim 0 0 x0 2x 1 （B） lim n[ f (x  )  f (x )] 0 0 f (x  x)  f (x ) n n lim 0 0 x0 x f (x  x 2 )  f (x ) （C） lim 0 0 2 x0 x f (x )  f (x  x) （D） lim 0 0 x0 x(二）连续,可导,可微之间的关系 连续 可导 可微【例2】下列命题正确的是 (A)若 f (x) 在 x 的某邻域内可导，则极限 lim f  (x) 存在； 0 xx 0 (B)若 f (x) 在 x 的某邻域内可导，则 f  (x) 在 x 处连续； 0 0 (C)若 f (x) 在 x 处可导，则 f (x) 在 x 的某邻域内连续； 0 0 (D)若 f (x) 在 x 处可导，则 f (x) 在 x 处连续； 0 0  1  x 2 sin , x  0, 【解】A,B 的反例 f (x)   处处可导，但  不存在. x lim f (x)   0, x  0. x0 1 2 x sin 1 1 x 【证】当 x  0 时 f  (x)  2x sin  cos f  (0)  lim  0 x x x0 x ，  0 有理点 C 的反例 f (x)   仅在 0 点可导，仅在 0 点连续 . x 2 , 无理点(三）导函数的两个特性 性质1 设 f ( x) 在区间 I 上可导,则其导函数 f  (x) 在区间 上不存在第一类间断点. I 性质2（介值性）设 在区间 上可导,且 f ( x) [a,b] f  (a)  f  (b),为介于 f  (a) 与 f  (b) 之间的任何值,则     至少存在一个  (a,b) 使 f  ()  u . 推论1 设 f ( x) 在区间 [a,b] 上可导,且 f  (a) f  (b)  0 ，   则  (a,b) 使 f  ()  0. 推论2 设 f ( x) 在区间 [a,b] 上可导,且 f  (x)  0 ， 则在 [a,b] 上要么恒有 f  ( x)  0, 要么恒有 f  ( x)  0.f (x  x)  f (x ) f (x)  f (x )  二、经典例题 f ( x )  lim 0 0  lim 0 0 x0 x xx x  x 0 0 （一）利用导数定义求极限 f (cos x)  f (1  3tan 2 x)cos x 【例1】设 f  (1) 存在，则 lim （ ） 2 x0 x (A)  (B)  2 f  (1) 4 f (1) 5 1 (C) 2 f  (1)  f (1) (D) f  (1)  f (1) 2 2 f (cos x)  f (1) cos x[ f (1  3tan 2 x)  f (1)] f (1)(1  cos x) 【解1】原式  lim  lim  lim 2 2 2 x0 x x0 x x0 x f (cos x)  f (1) cos x  1 [ f (1  3tan 2 x)  f (1)]  3tan 2 x 1  lim   lim   f (1) x0 cos x  1 x 2 x0  3tan 2 x x 2 2 1 1 5 1   f  (1)  3 f  (1)  f (1)  f  (1)  f (1) 2 2 2 2f (cos x)  f (1  3tan 2 x)cos x 【例1】设 f  (1) 存在，则 lim （ ） 2 x0 x (A)  (B)  2 f  (1) 4 f (1) 5 1 (C) 2 f  (1)  f (1) (D) f  (1)  f (1) 2 2 【解2】 f (x)  f (1)  f  (1)(x  1) (x  1) f (cos x)  f (1)  f  (1)(cos x  1) (cos x  1) f (1  3tan 2 x)  f (1)  f  (1)(3tan 2 x) (3tan 2 x) f (1)(1  cos x)  f  (1)(cos x  1)  f  (1)(3tan 2 x)cos x 原式  lim 2 x0 x 1 1 5 1  f (1)  f  (1)  3 f  (1)  f  (1)  f (1) 2 2 2 2f (cos x)  f (1  3tan 2 x)cos x 【例1】设 f  (1) 存在，则 lim （ ） 2 x0 x (A)  (B)  2 f  (1) 4 f (1) 5 1 (C) 2 f  (1)  f (1) (D) f  (1)  f (1) 2 2 【解3】排除法 f (x)  x f (1)  f  (1)  1 f (cos x)  f (1  3tan 2 x)cos x cos x  (1  3tan 2 x)cos x lim  lim 2 2 x0 x x0 x 2 3tan x  lim 2 x0 x  3【例2】设 f (x) 在 x  a 处二阶可导,则极限 f (a  x)  f (a)  f  (a) x lim  ( ) x0 x 1 (A ) 0 (B) f  (a) (C) 2 f  (a) (D) f  (a) 2 f (a  x)  f (a)  xf  (a) 【解1】直接法 原式  lim 2 x0 x f  (a  x)  f  (a) f  (a)  lim  x0 2x 2 f (a  x)  f (a)  f  (a) 经典的错误 标准的0分 f  (a)  f  (a) x lim  lim  0 x0 x x0 x【例2】设 f (x) 在 x  a 处二阶可导,则极限 f (a  x)  f (a)  f  (a) x lim  ( ) x0 x 1 (A ) 0 (B) f  (a) (C) 2 f  (a) (D) f  (a) 2 【解2】直接法 f (a  x)  f (a)  xf  (a) 原式  lim 2 x0 x  f (a) x 2 (x 2 )  f (a) 2!  lim  2 x0 x 2【例2】设 f (x) 在 x  a 处二阶可导,则极限 f (a  x)  f (a)  f  (a) x lim  ( ) x0 x 1 (A ) 0 (B) f  (a) (C) 2 f  (a) (D) f  (a) 2 【解3】排除法 f (x)  (x  a) 2 f  (a)  2 f (a  x)  f (a)  f  (a) x x lim  lim  1 x0 x x0 x【例3】已知函数 y  f (x) 由方程 e y  6xy  x 2  1  0 所确定，则 1  f (x) sin x lim cos x   ______ .   x0  x  【解】由方程 e y  6xy  x 2  1  0 可知，当 x  0 时, y  0, 且 e y y   6 y  6xy   2x  0 e y y 2  e y y   12 y   6xy   2  0 y  (0)  0, y  (0)  2. 1 1  f (x)  f (x)  sin x sin x lim cos x   lim 1  ( cos x  1  )     x0  x  x0  x  1  x 2 cos x  1 f (x) f (x) f  (x) f  (0) 4 lim[  ]  lim[  ]  lim   1 x0 sin x x sin x x0 x x 2 x0 2x 2 1  f (x) sin x lim cos x   e 1   x0  x 【例4】设 f (x) 在 x 点可导， , 为趋于零的正项数列,求极限 0 n n f (x  )  f (x   ) lim 0 n 0 n .    n n n 【解】 由 在 可导知， f (x) x 泰勒公式 0 f (x  x)  f (x )  f  (x )x x f (x)  f (x )  f  (x )(x  x ) (x  x ) 0 0 0 0 0 0 0 f ( x  )  f (x )  f  (x )  f (x  )  f (x )  f  (x ) ( ) 0 n 0 0 n n 0 n 0 0 n n f (x   )  f (x )  f  (x )   0 n 0 0 n n ( ) ( ) ( ) ( ) n n  n  n          f (x  )  f (x   )    n n n n n n 0 n 0 n  f  (x )  n n    0     ( )  ( ) n n n n  n n  n n                n n  n  n      0 n n n n n n          n n n n n n（二）利用导数定义求导数 (1  x) x 1  x 【例1】设 f (x)   arcsin , 则 f  (1)  ________ . e x1 1  x 2 【解】 f (x)  g(x)  h(x), f  (1)  g  (1)  h  (1), 1 1 g  (x) 1 1 1 ln g(x)  [ln(1  x)  ln x  (x  1)]  [   1] g  (1)  0 2 2 g(x) 2 1  x 2x f (x)  f (1) 1 1 h  (1)  lim   lim   x1 x  1 x1 1  x 2 2 1 f  (1)  0  , 21 【例2】已知 f (x) 在 x  0 处连续，且 lim[ f (x)  e x ]x  2, 则 f  (0) 等于 x0 (A) (B) e 2 (C) 2 (D)  1  ln 2 ln 2 1 ln[ f (x)e x ] 【解1】由于 l im[ f (x)  e x ]x  lim e x  2 【解2】排除法 f (x)  e x  2 x x0 x0 ln[ f (x)  e x ] f (x)  2 x  e x 则 lim  ln 2 x0 x 从而 li m ln[ f (x)  e x ]  0, lim f (x)  f (0)  0, f  (0)  ln 2  1 x0 x0 当 x  0 时， ln[ f (x)  e x ]  ln[1  f (x)  e x  1] ~ f (x)  e x  1 ln[ f (x)  e x ] f (x)  e x  1 则 li m  lim  f  (0)  1  ln 2 x0 x x0 x 故 f  (0)  1  ln 2sin x 【例3】设函数 (x)   f (tx 2 )dt ,其中 f (x) 是连续函数,且 f (0)  2. 0 （1）求  (x); （2）讨论  (x) 的连续性. 2 1 1 2 x sin x x sin x 【解】令 tx 2  u ,则 (x)   f (u)du   f (u)du (x  0) 2 2 0 x x 0 (0)  0 (x) (0) 1 x 2 sin x x 2 sin x  (0)  lim  lim  f (u)du  lim f ()  f (0)  2. x0 x x0 x 3 0 x0 x 3  2 2 2 x sin x   f (u)du  f (x 2 sin x)( sin x  cos x), x  0;  (x)   x 3 0 x  2, x  0.  2 2 2  x sin x lim (x)  lim   f (u)du  f (x 2 sin x)( sin x  cos x)   3 x0 x0  x 0 x   2 f (0)  3 f (0)  2   (0)（三）利用导数定义判断可导性  cos x  x 2 , x  0,  【例1】讨论函数 f (x)   sin x 在 x  0 处的可导性. , x  0,   x cos x  x 2  1 【解1】 f  (0)  lim  0   x x0 sin x  1 sin x  x x f  (0)  lim  lim  0  2 x0  x x0  x 则 f (x) 在 x  0 处的可导,且 f  (0)  0. 方法1：导数定义 cos x  x 2 , x  0,  【例1】讨论函数 f (x)   sin x 在 x  0 处的可导性. , x  0,   x 【解2】 f  (0)  (cos x  x 2 )   x0  ( sin x  2x)  0 x0 方法2：求导代入 若在 (x , x ] 上， f (x)  g(x), 则 f  (x )  g  (x ) 0 0  0  0 右导数有类似结论. cos x  x 2 , x  0,  【例1】讨论函数 f (x)   sin x 在 x  0 处的可导性. , x  0,   x   sin x  x cos x  sin x 方法1：导数定义 【解2】 f  (0)  lim    lim  2 x0  x  x0  x 方法2：求导代入  x sin x  lim  0 方法3：导函数极限 x0  2x f (x)  f (x ) 方法3：导函数极限 f  (x )  lim 0  lim f  (x).  0 xx  x  x xx  0 0 0 若 f (x) 在 [x , x )上连续,在 (x , x ) 内可导,且 0 0 0 0 lim f  (x) 存在,则 f  (x )  lim f  (x). 左导数有类似结论 .  0 xx  xx  0 0x 2  3x  b, x  1, 【例2】设 f (x)   处处可导,确定常数 a,b ,并求 f  (x),  ln(1  ax), x  1, f (x)  f (1) 【解1】 f  (1)  lim  x1  x  1 f (x)  f (1) f  (1)  lim  x1  x  1 【解2】为使 f (x) 可导则必连续  2  b  ln(1  a) x 2  3x  b, x  1, f (x)   f  (1)  (x 2  3x  b)   1  ln(1  ax), x  1,  x1 x 2  3x  b, x  1, a f (x)   f  (1)  (ln(1  ax))    ln(1  ax), x  1,  x1 1  a 1 1 a   ,b  2  ln 2 2【例3】(24年1）设函数 f (x) 在区间 (1,1) 上有定义，且 lim f (x)  0, 则（ ） x0 f (x) （A）当 时， lim  m f  (0)  m. x0 x f (x) （B）当 f  (0)  m 时， lim  m. x0 x （C）当 lim f  (x)  m 时， f  (0)  m. x0 （D）当 f  (0)  m 时， lim f  (x)  m. x0  1  x 2 sin , x  0, f (x)   x   0, x  0. 处处可导,但  不存在. lim f (x) x0【例】(2020年1）设函数 f ( x) 在区间 (1,1) 内有定义,且 lim f ( x)  0, 则 x0 f ( x) （A）当 lim  0, f ( x) 在 x  0 处可导； x0 x f ( x) （B）当 lim  0, f ( x) 在 x  0 处可导； 2 x0 x f ( x) （C）当 f ( x) 在 x  0 处可导时， lim  0 ； x0 x f ( x) （D）当 f ( x) 在 x  0 处可导时， lim  0. 2 x0 x【例4】设有命题 1）若 f (x) 在 x 处可导，则 f (x) 在 x 处可导； 0 0 2）若 在 处连续，且 在 处可导，则 在 处可导； f (x) x f (x) x f (x) x 0 0 0 3）若 在 处的左、右导数都存在,则 在 处连续； f (x) x f (x) x 0 0 4）若 f ( x) 在 x 处导函数的极限 lim f  (x) 存在，则 f (x) 在 x 处连续. 0 0 xx 0 则上述命题中正确的个数为 （A）0； （B）1； （C ）2； （D）3. 【解】 设 连续 f ( x) (1) 若 f (x )  0, 则 f ( x) 在 x 处可导  f (x) 在 x 处可导 0 0 0 (2) 若 f (x )  0, 则 f ( x) 在 x 处可导  f  (x )  0 0 0 0【例5】下列函数在 x  0 处不可导的是（ ） x x 2 （A） x  e t dt （B） ( t  t)dt 0 0 （C）sin x  cos x （D） x  sin x 【解】(A)若 f (x) (x) x  a , 其 (x) 在 x  a 处连续,则 f (x) 在 x  a 处可导的充要条件是 (a)  0. （D）设 连续 f ( x) (1) 若 f (x )  0, 则 f ( x) 在 x 处可导  f (x) 在 x 处可导 0 0 0 (2) 若 f (x )  0, 则 f ( x) 在 x 处可导  f  (x )  0 0 0 0【例6】若函数 f (x) 在 [a,b] 上可导,且 f  (a)  f  (b)  0, 则    (a,b), 使 f  ()  0. 【证】 性质2（介值性）设 f ( x) 在区间 [a,b] 上可导,且 f  (a)  f  (b), 为介于 f  (a) 与 f  (b)     至少存在一个  (a,b) 使 f  ()  u .祝同学们 考研路上一路顺利！