(401)--专题三导数的概念及应用笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课
专题3：导数的概念及应用
（P55-64）
主讲 武忠祥 教授一、基本概念与方法
（一）导数的概念
y f (x  x)  f (x )
定义1(导数) f  ( x )  lim  lim 0 0
0
x0
x
x0
x
f (x)  f (x )
f  (x )  lim 0
0 xx x  x
0
0
y f (x  x)  f (x )
定义2(左导数)
f  ( x )  lim  lim 0 0
 0
x0
 x
x0
 x
y f (x  x)  f (x )
定义3(右导数)
f  (x )  lim  lim 0 0
 0
x0
 x
x0
 x
定理1 可导 左右导数都存在且相等
【例1】 下面几个极限能作为 在 处导数定义的是
f (x) x
0
f ( x  x)  f ( x  x)
（A） lim 0 0
x0
2x
1
（B） lim n[ f (x  )  f (x )]
0 0 f (x  x)  f (x )
n n
lim 0 0
x0
x
f (x  x 2 )  f (x )
（C）
lim 0 0
2
x0 x
f (x )  f (x  x)
（D） lim 0 0
x0 x(二）连续,可导,可微之间的关系
连续 可导
可微【例2】下列命题正确的是
(A)若 f (x) 在 x 的某邻域内可导，则极限 lim f  (x) 存在；
0
xx
0
(B)若 f (x) 在 x 的某邻域内可导，则 f  (x) 在 x 处连续；
0 0
(C)若 f (x) 在 x 处可导，则 f (x) 在 x 的某邻域内连续；
0 0
(D)若 f (x) 在 x 处可导，则 f (x) 在 x 处连续；
0 0
 1
 x 2 sin , x  0,
【解】A,B 的反例 f (x)   处处可导，但  不存在.
x lim f (x)
  0, x  0. x0
1
2
x sin
1 1
x
【证】当 x  0 时 f  (x)  2x sin  cos f  (0)  lim  0
x x x0 x
，
 0 有理点
C 的反例 f (x)   仅在 0 点可导，仅在 0 点连续 .
x 2 , 无理点(三）导函数的两个特性
性质1 设 f ( x) 在区间 I 上可导,则其导函数 f  (x)
在区间 上不存在第一类间断点.
I
性质2（介值性）设 在区间 上可导,且
f ( x) [a,b]
f  (a)  f  (b),为介于 f  (a) 与 f  (b) 之间的任何值,则
   
至少存在一个  (a,b) 使 f  ()  u .
推论1 设 f ( x) 在区间 [a,b] 上可导,且 f  (a) f  (b)  0 ，
 
则  (a,b) 使 f  ()  0.
推论2 设 f ( x) 在区间 [a,b] 上可导,且 f  (x)  0 ，
则在 [a,b] 上要么恒有 f  ( x)  0, 要么恒有 f  ( x)  0.f (x  x)  f (x ) f (x)  f (x )

二、经典例题 f ( x )  lim 0 0  lim 0
0
x0 x xx x  x
0
0
（一）利用导数定义求极限
f (cos x)  f (1  3tan 2 x)cos x
【例1】设
f

(1)
存在，则
lim
（ ）
2
x0 x
(A)  (B)  2 f  (1)
4 f (1)
5 1
(C) 2 f  (1)  f (1) (D) f  (1)  f (1)
2 2
f (cos x)  f (1) cos x[ f (1  3tan 2 x)  f (1)] f (1)(1  cos x)
【解1】原式  lim  lim  lim
2 2 2
x0 x x0 x x0 x
f (cos x)  f (1) cos x  1 [ f (1  3tan 2 x)  f (1)]  3tan 2 x 1
 lim   lim   f (1)
x0 cos x  1 x 2 x0  3tan 2 x x 2 2
1 1 5 1
  f  (1)  3 f  (1)  f (1)  f  (1)  f (1)
2 2 2 2f (cos x)  f (1  3tan 2 x)cos x
【例1】设 f  (1) 存在，则 lim （ ）
2
x0 x
(A)  (B)  2 f  (1)
4 f (1)
5 1
(C) 2 f  (1)  f (1) (D) f  (1)  f (1)
2 2
【解2】 f (x)  f (1)  f  (1)(x  1) (x  1)
f (cos x)  f (1)  f  (1)(cos x  1) (cos x  1)
f (1  3tan 2 x)  f (1)  f  (1)(3tan 2 x) (3tan 2 x)
f (1)(1  cos x)  f  (1)(cos x  1)  f  (1)(3tan 2 x)cos x
原式
 lim
2
x0 x
1 1 5 1
 f (1)  f  (1)  3 f  (1)  f  (1)  f (1)
2 2 2 2f (cos x)  f (1  3tan 2 x)cos x
【例1】设 f  (1) 存在，则 lim （ ）
2
x0 x
(A)  (B)  2 f  (1)
4 f (1)
5 1
(C) 2 f  (1)  f (1) (D) f  (1)  f (1)
2 2
【解3】排除法 f (x)  x f (1)  f  (1)  1
f (cos x)  f (1  3tan 2 x)cos x cos x  (1  3tan 2 x)cos x
lim  lim
2 2
x0 x x0 x
2
3tan x
 lim
2
x0 x
 3【例2】设 f (x) 在 x  a 处二阶可导,则极限
f (a  x)  f (a)
 f  (a)
x
lim  ( )
x0 x
1
(A ) 0 (B) f  (a) (C) 2 f  (a) (D) f  (a)
2
f (a  x)  f (a)  xf  (a)
【解1】直接法 原式  lim
2
x0 x
f  (a  x)  f  (a) f  (a)
 lim 
x0 2x 2
f (a  x)  f (a)
 f  (a)
经典的错误 标准的0分
f  (a)  f  (a)
x
lim  lim  0
x0 x x0 x【例2】设 f (x) 在 x  a 处二阶可导,则极限
f (a  x)  f (a)
 f  (a)
x
lim  ( )
x0 x
1
(A ) 0 (B) f  (a) (C) 2 f  (a) (D) f  (a)
2
【解2】直接法
f (a  x)  f (a)  xf  (a)
原式  lim
2
x0 x

f (a)
x 2 (x 2 )

f (a)
2!
 lim 
2
x0 x 2【例2】设 f (x) 在 x  a 处二阶可导,则极限
f (a  x)  f (a)
 f  (a)
x
lim  ( )
x0 x
1
(A ) 0 (B) f  (a) (C) 2 f  (a) (D) f  (a)
2
【解3】排除法 f (x)  (x  a) 2 f  (a)  2
f (a  x)  f (a)
 f  (a)
x
x
lim  lim  1
x0 x x0 x【例3】已知函数 y  f (x) 由方程 e y  6xy  x 2  1  0 所确定，则
1
 f (x)
sin x
lim cos x   ______ .
 
x0  x 
【解】由方程 e y  6xy  x 2  1  0 可知，当 x  0 时, y  0, 且
e y y   6 y  6xy   2x  0
e y y 2  e y y   12 y   6xy   2  0 y  (0)  0, y  (0)  2.
1 1
 f (x)  f (x) 
sin x sin x
lim cos x   lim 1  ( cos x  1  )
   
x0  x  x0  x 
1
 x 2
cos x  1 f (x) f (x) f  (x) f  (0)
4
lim[  ]  lim[  ]  lim   1
x0 sin x x sin x x0 x x 2 x0 2x 2
1
 f (x)
sin x
lim cos x   e
1
 
x0  x 【例4】设 f (x) 在 x 点可导， , 为趋于零的正项数列,求极限
0 n n
f (x  )  f (x   )
lim 0 n 0 n .
  
n
n n
【解】 由 在 可导知，
f (x) x 泰勒公式
0
f (x  x)  f (x )  f  (x )x x f (x)  f (x )  f  (x )(x  x ) (x  x )
0 0 0
0 0 0 0
f ( x  )  f (x )  f  (x )  f (x  )  f (x )  f  (x ) ( )
0 n 0 0 n n
0 n 0 0 n n
f (x   )  f (x )  f  (x )  
0 n 0 0 n n ( ) ( ) ( ) ( )
n n  n  n
        
f (x  )  f (x   )   
n n n n n n
0 n 0 n  f  (x )  n n
   0     ( )  ( )
n n n n  n n  n n
              
n n  n  n      0 n n n n n n
        
n n n n n n（二）利用导数定义求导数
(1  x) x 1  x
【例1】设 f (x)   arcsin , 则 f  (1)  ________ .
e
x1
1  x 2
【解】 f (x)  g(x)  h(x), f  (1)  g  (1)  h  (1),
1 1 g  (x) 1 1 1
ln g(x)  [ln(1  x)  ln x  (x  1)]  [   1] g  (1)  0
2 2 g(x) 2 1  x 2x
f (x)  f (1) 1 1
h  (1)  lim   lim  
x1 x  1 x1 1  x 2 2
1
f  (1)  0  ,
21
【例2】已知 f (x) 在 x  0 处连续，且 lim[ f (x)  e x ]x  2, 则 f  (0) 等于
x0
(A) (B) e 2 (C) 2 (D)  1  ln 2
ln 2
1 ln[ f (x)e x ]
【解1】由于 l im[ f (x)  e x ]x  lim e x  2 【解2】排除法 f (x)  e x  2 x
x0 x0
ln[ f (x)  e x ] f (x)  2 x  e x
则
lim  ln 2
x0 x
从而 li m ln[ f (x)  e x ]  0, lim f (x)  f (0)  0, f  (0)  ln 2  1
x0 x0
当 x  0 时， ln[ f (x)  e x ]  ln[1  f (x)  e x  1] ~ f (x)  e x  1
ln[ f (x)  e x ] f (x)  e x  1
则 li m  lim  f  (0)  1  ln 2
x0 x x0 x
故 f  (0)  1  ln 2sin x
【例3】设函数 (x)   f (tx 2 )dt ,其中 f (x) 是连续函数,且 f (0)  2.
0
（1）求 
(x);
（2）讨论 
(x)
的连续性.
2 1 1 2
x sin x x sin x
【解】令 tx 2  u ,则 (x)   f (u)du   f (u)du (x  0)
2 2
0 x x 0
(0)  0
(x) (0) 1 x 2 sin x x 2 sin x
 (0)  lim  lim  f (u)du  lim f ()  f (0)  2.
x0 x x0 x 3 0 x0 x 3
 2 2 2
x sin x
  f (u)du  f (x 2 sin x)( sin x  cos x), x  0;
 (x)   x 3 0 x

2, x  0.
 2 2 2 
x sin x
lim (x)  lim   f (u)du  f (x 2 sin x)( sin x  cos x)
 
3
x0 x0  x 0 x 
 2 f (0)  3 f (0)  2   (0)（三）利用导数定义判断可导性
 cos x  x 2 , x  0,

【例1】讨论函数 f (x)   sin x 在 x  0 处的可导性.
, x  0,

 x
cos x  x 2  1
【解1】 f  (0)  lim  0

 x
x0
sin x
 1
sin x  x
x
f  (0)  lim  lim  0
 2
x0  x x0  x
则 f (x) 在 x  0 处的可导,且 f  (0)  0.
方法1：导数定义 cos x  x 2 , x  0,

【例1】讨论函数 f (x)   sin x 在 x  0 处的可导性.
, x  0,

 x
【解2】
f  (0)  (cos x  x 2 ) 

x0
 ( sin x  2x)  0
x0
方法2：求导代入
若在 (x , x ] 上， f (x)  g(x), 则 f  (x )  g  (x )
0 0  0  0
右导数有类似结论. cos x  x 2 , x  0,

【例1】讨论函数 f (x)   sin x 在 x  0 处的可导性.
, x  0,

 x

 sin x  x cos x  sin x
方法1：导数定义
【解2】 f  (0)  lim    lim

2
x0  x  x0  x
方法2：求导代入
 x sin x
 lim  0
方法3：导函数极限
x0
 2x
f (x)  f (x )
方法3：导函数极限 f  (x )  lim 0  lim f  (x).
 0 xx  x  x xx 
0 0 0
若 f (x) 在 [x , x )上连续,在 (x , x ) 内可导,且
0 0 0 0
lim f  (x) 存在,则 f  (x )  lim f  (x). 左导数有类似结论
.
 0
xx  xx 
0 0x 2  3x  b, x  1,
【例2】设 f (x)   处处可导,确定常数 a,b ,并求 f  (x),
 ln(1  ax), x  1,
f (x)  f (1)
【解1】 f  (1)  lim

x1  x  1
f (x)  f (1)
f  (1)  lim

x1  x  1
【解2】为使 f (x) 可导则必连续  2  b  ln(1  a)
x 2  3x  b, x  1,
f (x)   f  (1)  (x 2  3x  b)   1
 ln(1  ax), x  1,  x1
x 2  3x  b, x  1, a
f (x)   f  (1)  (ln(1  ax))  
 ln(1  ax), x  1,  x1 1  a
1 1
a   ,b  2  ln
2 2【例3】(24年1）设函数 f (x) 在区间 (1,1) 上有定义，且 lim f (x)  0, 则（ ）
x0
f (x)
（A）当 时，
lim  m f  (0)  m.
x0 x
f (x)
（B）当 f  (0)  m 时， lim  m.
x0 x
（C）当 lim f  (x)  m 时， f  (0)  m.
x0
（D）当 f  (0)  m 时， lim f  (x)  m.
x0
 1
 x 2 sin , x  0,
f (x)  
x
  0, x  0.
处处可导,但
 不存在.
lim f (x)
x0【例】(2020年1）设函数 f ( x) 在区间 (1,1) 内有定义,且 lim f ( x)  0, 则
x0
f ( x)
（A）当 lim  0, f ( x) 在 x  0 处可导；
x0 x
f ( x)
（B）当 lim  0, f ( x) 在 x  0 处可导；
2
x0 x
f ( x)
（C）当 f ( x) 在 x  0 处可导时， lim  0 ；
x0 x
f ( x)
（D）当 f ( x) 在 x  0 处可导时， lim  0.
2
x0 x【例4】设有命题
1）若 f (x) 在 x 处可导，则 f (x) 在 x 处可导；
0 0
2）若 在 处连续，且 在 处可导，则 在 处可导；
f (x) x f (x) x f (x) x
0 0 0
3）若 在 处的左、右导数都存在,则 在 处连续；
f (x) x f (x) x
0 0
4）若 f ( x) 在 x 处导函数的极限 lim f  (x) 存在，则 f (x) 在 x 处连续.
0 0
xx
0
则上述命题中正确的个数为
（A）0； （B）1； （C ）2； （D）3.
【解】
设 连续
f ( x)
(1) 若 f (x )  0, 则 f ( x) 在 x 处可导  f (x) 在 x 处可导
0 0 0
(2) 若 f (x )  0, 则 f ( x) 在 x 处可导  f  (x )  0
0 0 0【例5】下列函数在 x  0 处不可导的是（ ）
x x
2
（A） x  e t dt （B） ( t  t)dt
0 0
（C）sin x  cos x （D）
x  sin x
【解】(A)若 f (x) (x) x  a , 其 (x) 在 x  a 处连续,则 f (x) 在 x  a
处可导的充要条件是 (a)  0.
（D）设 连续
f ( x)
(1) 若 f (x )  0, 则 f ( x) 在 x 处可导  f (x) 在 x 处可导
0 0 0
(2) 若 f (x )  0, 则 f ( x) 在 x 处可导  f  (x )  0
0 0 0【例6】若函数 f (x) 在 [a,b] 上可导,且 f  (a)  f  (b)  0, 则
 
 (a,b), 使 f  ()  0.
【证】
性质2（介值性）设 f ( x) 在区间 [a,b] 上可导,且 f  (a)  f  (b), 为介于 f  (a) 与 f  (b)
   
至少存在一个  (a,b) 使 f  ()  u .祝同学们
考研路上一路顺利！