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26高等数学17堂课
专题4 微分中值定理及其应用
（P66-77）
主讲 武忠祥 教授定理1（罗尔定理）
若 1） 在 上连续；
f (x) [a,b]
2） 在 内可导；
f (x) (a,b)
3） f (a) f (b);
则 (a,b), 使 f () 0.
定理2（拉格朗日中值定理）
若 1） 在 上连续；
f (x) [a,b]
2） 在 内可导；
f (x) (a,b)
则 (a,b), 使
f (b) f (a)
f ().
b a定理3（柯西中值定理）
若 1）f (x), F(x) 在 [a,b] 上连续；
2） f (x), F(x) 在 (a,b) 内可导,且 F (x) 0;
则 (a,b), 使
f (b) f (a) f ()
F (b) F (a) F ()
【注】（ 1 ）意义 f (b) f (a) f ()
（2）三个中值定理的关系
罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理应 用 举 例
（一）方程的根（罗尔定理）
1.存在性：
a a
【例1】设 求证：方程 方法1：零点定理；
0 1 a 0,
n
n 1 n
方法2：罗尔定理；
a x n a x n1 a 0 在 (0,1) 内至少有一个实根.
0 1 n
2.根的个数：
【解】
方法1：单调性；
方法2：罗尔定理推论；
若在区间 I 上 f (n) (x) 0, 则方程 f (x) 0
在 上最多 个实根.
I n（二）证明不等式（拉格朗日）
x
【例1】证明不等式 ln(1 x) x,(x 0).
1 x
【证】（三）求极限（拉格朗日）
【例1】(2014年2)设函数 f (x) arctan x, 若 f (x) xf (),
2
则
lim
2
x0 x
1
2 1
（A） （B） （C） （D）
1
2
3 3
【解】由 f (x) arctan x, 及 f (x) xf () 得
x
arctan x
1
2
x arctan x
则 2
arctan x
1
3
x
2 x arctan x 1
3
lim lim lim
2 2 3
x0 x x0 x arctan x x0 x 3【例2】(2018年2) lim x 2 [arctan( x 1) arctan x] ________ .
x
【证】（四）证明存在一个点 (a,b), 使 F[, f (), f ()] 0
方法：构造辅助函数用罗尔定理.
构造辅助函数的方法主要有两种
1.分析法(还原法） 根据对欲证的结论 F[, f (), f ()] 0
的分析,确定 g(x), 使 g (x) F[x, f (x), f (x)]
f (x)
常用公式 u v (u v) [ln f (x)]
f (x)
u v v u (uv)
u v uv u
( )
2
v v2.微分方程法 欲证： F[, f (), f ()] 0
1）求微分方程 F( x, y, y ) 0 的通解 H(x, y) C
2）设辅助函数： g (x) H(x, f (x))【例1】设 f ( x) 在 [0, 1] 上连续,在 (0,1) 内可导, f (1) 0, 求证:
2 f ()
(0,1), 使 f () .
2 f ()
1.分析法：欲证 f () . 只要证 f () 2 f () 0
f (x) 2
【法1】 xf (x) 2 f (x) 0 0
f (x) x
[ln f (x)] [2ln x ] 0
令 g(x) x 2 f (x)
[ln( x 2 f (x) )] 0
【法2】 xf (x) 2 f (x) 0
x 2 f (x) 2xf (x) 0 [x 2 f (x)] 0 令 g(x) x 2 f (x)【例1】设 f ( x) 在 [0, 1] 上连续,在 (0,1) 内可导, f (1) 0, 求证:
2 f ()
(0,1), 使 f () .
2 f () 2 y
2.微分方程法: 欲证 f () ，解微分方程 y ,
x
dy dx
【解】 2
y x
ln y 2ln x C
ln( x 2 y ) C
x 2 y e C 令 g(x) x 2 f (x)1）欲证 f () nf () 0, F(x) x n f (x);
f (x)
f () nf () 0, F(x) ; 常
n
x
用
2）欲证 f () f () 0, F(x) e x f (x);
辅
f () f () 0, F(x) e x f (x);
助
f () f () 0, F(x) e x f (x);
函
x
f () f () 0, F(x) e f (x);( 0)
数
f () g () f () 0, F(x) e g(x) f (x);
g(x)dx
f () g() f () 0, F(x) e f (x);
3）欲证 f ()g() g () f () 0, F(x) f (x)g(x);
f (x)
f ()g() g () f () 0, F(x) ;
g(x)【例1】设 f ( x) 在 [0, 1] 上连续,在 (0,1) 内可导, f (1) 0, 求证:
2 f ()
(0,1), 使 f () .
3.常用辅助函数法：
2 f () 2 f ()
1.欲证 f () . 只要证 f () 0
2
g(x)dx dx
f () g() f () 0, F(x) e f (x) e x f (x) x 2 f (x)
2 f ()
2.欲证 f () . 只要证 f () 2 f () 0 F(x) x 2 f (x)
f () nf () 0 F(x) x n f (x)
【例2】设 f (x) 在 [0,2] 上连续,在 (0,2) 内可导,且 f (0) f (2) 0, f 1 2
.试证:对任意实数 ，存在 (0,2) ,使 f () [ f () ] 1.
【分析】只要证 [ f () 1][ f () ] 0
【证】令
F(x) e
x
[ f (x) x]
F(0) 0 F(2) 2e 2 0 F(1) e 0
c (1,2), F(c) 0
(0,c), F () 01 1
【例3】设 f (x) 在 [0,1] 上连续,在（ 0 ， 1 ） 内二阶可导,且 f (0) f (x)dx xf (x)dx 0
0 0
证明:(Ⅰ)方程 f (x) f (x) 在 (0,1) 内至少有两个实根;
(Ⅱ)存在 (0,1) ,使 f () f ().
x
【证】(Ⅰ)令 F(x) f (t)dt, 则
0
1 1 1 1
0 xf (x)dx xdF (x) xF(x) 1 F(x)dx F(x)dx F(c) c (0,1)
0 0 0 0 0
则 F(c) 0. 又 F(0) F(1) 0, 由罗尔定理知存在 (0,c), (c,1),
1 2
使得 F ( ) F ( ) 0. 即 f ( ) f ( ) 0,
1 2 1 2
令 g(x) e x f (x), 则 g(0) g( ) g( ) 0, 由罗尔定理知存在 (0, ), ( , ),
1 2 1 1 2 1 2
使得 g ( ) g ( ) 0. 即 f ( ) f (） 0 ， f ( ) f (） 0.
1 2 1 1 2 2
(Ⅱ) 令 G(x) e x [ f (x) f (x)], 则 G( ) G( ) 0, 由罗尔定理知存在 ( , ),
1 2 1 2
使得 G () 0. [ f () f ()] [ f () f ()] 0 ， f () f () 0.欲证 f () f () 0,
r 0 F(x) e x f (x)
小结
欲证 f () f () 0,
r 2 1 0 (r 1)(r 1) 0
F(x) e x f (x) G(x) e x [ f (x) f (x)]
F(x) e x f (x) G(x) e x [ f (x) f (x)]
欲证 f () f () 6 f () 0
r 2 r 6 0 (r 3)(r 2) 0
F(x) e 3x f (x) G(x) e 2x [ f (x) 3 f (x)]
F(x) e 2x f (x) G(x) e 3x [ f (x) 2 f (x)]【例4】设 f (x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，f (0) 0 ，
证明存在 (0,1) ，使 f () kf () f () ( k 为正整数)
k k
【分析】只要证 f () f () 0, dx
F(x) f (x)e x1 (x 1) k f (x)
1
【证】【例5】设 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内可导，且 f (a) f (b) 0
求证:在 (a,b) 内至少有一点 , 使得 f () f 2 () 0.
x
f (t)dt
【分析】只要证 f () f () f () 0, F(x) f (x)e a
【证】【例6】设 f (x) 在 [0,1] 上二阶可导,且 f (0) f (1),
2 f ()
试证存在 (0,1) ,使 f () .
1
2
【证】只要证 f () f () 0.
1
2
dx
因此，令 F(x) e x1 f (x) (x 1) 2 f (x)【例7】设 在 上连续,在 内二阶可导,且
f (x), g(x) [a,b] (a,b) f (a) f (b) 0,
f () f ()
f (a) f (b) 0, g(x) 0, g (x) 0. 证明:存在 (a,b) ,使得 .
g() g ()
【证】不妨设 f (a) 0, f (b) 0, 由 f (a) f (b) 0 可知,在 a 点右半邻域存在点 c,
使得 f (c) 0, 在 b 点左半邻域存在点 d, 使得 f (d ) 0. 由连续函数的零点定理可知,
存在 (c,d ), 使得 f () 0.
f (x)
令
F(x) ,
则
F(a) F(b) F() 0,
由罗尔定理知存在 (a,), (,b),
1 2
g(x)
使得 F ( ) F ( ) 0. 即
1 2
f ( )g( ) g ( ) f ( ) f ( )g( ) g ( ) f ( )
1 1 1 1 0 ， 2 2 2 2 0 ，
g 2 () g 2 ( )
1 2
令 G(x) f (x)g(x) g (x) f (x), 则 G( ) G( ) 0. 由罗尔定理知存在 ( , ),
1 2 1 2
f () f ()
使得 G () 0. 即 f ()g() g () f () 0, 故 .
g() g ()【例8】已知函数 f (x) 在 [0,1] 上三阶可导，且 f (0) 1, f (1) 0, f (0) 0,
x 2 (x 1)
证明：x (0,1),(0,1), 使 f (x) 1 x 2 f ().
3!
f (0) f ()
【证】 f (x) f (0) f (0)x x 2 x 3 (0, x)
2! 3!
f (0) f ()
f (x) 1 x 2 x 3
2! 3!
f (0) f ()
令 x 1 得 0 1 经典错误
2! 3!
1
f (0) 2[1 f ()]
3!
x 2 (x 1)
f (x) 1 x 2 f ().
3!【例8】已知函数 f (x) 在 [0,1] 上三阶可导，且 f (0) 1, f (1) 0, f (0) 0,
x 2 (x 1)
证明：x (0,1),(0,1), 使 f (x) 1 x 2 f ().
3!
x 2 (x 1)
【分析】欲证 f (x) 1 x 2 f (),
3!
3!
只要证 f () [ f (x) x 2 1] 0
x 2 (x 1)
3!t
将 换为 t 并两端对 t 积分 f (t) [ f (x) x 2 1] C
x 2 (x 1)
上式两端对 t 积分两次，并利用条件 f (0) 1, f (0) 0, 得
3
t C
f (t) [ f (x) x 2 1] t 2 1
x 2 (x 1) 2
1 C
上式中令 t 1 得 1 [ f (x) x 2 1]
x 2 (x 1) 2
C f (x) 1 x 2
将该式中的 带入上式得 f (t) 1 t 2 t 2 (t 1) 0
x 2 (x 1)
2【例8】已知函数 f (x) 在 [0,1] 上三阶可导，且 f (0) 1, f (1) 0, f (0) 0,
x 2 (x 1)
证明： x (0,1),(0,1), 使 f (x) 1 x 2 f ().
3!
f (x) 1 x 2
【证】x (0,1), 令 F(t) f (t) 1 t 2 t 2 (t 1), t [0,1]
x 2 (x 1)
F(0) F(x) F(1) 0
(0, x), (x,1), F ( ) F ( ) 0,
1 2
1 2
f (x) 1 x 2
F (t) f (t) 2t (3t 2 2t),
x 2 (x 1)
F (0) 0, F ( ) F ( ) 0,
1 2
(0, ), ( , ), F ( ) F ( ) 0,
1 1 2 1 2 1 2
f (x) 1 x 2
( , ), F () 0, F (t) f (t) 6 ,
1 2
x 2 (x 1)(五）证明存在两个点 , (a,b). 使
F[,, f (), f (), f (), f ()] 0
方法：(1）不要求
在同一区间 上用两次中值定理（拉格朗日、
[a,b]
柯西中值定理)
（2）要求
将区间 [a,b] 分为两个子区间，在两个子区间上分
别用拉格朗日中值定理【例1】设 在 上连续, 内可导,试证存在
f (x) [1,2] (1,2)
, (1,2) .使 f () f ()ln 2.
f ()
【分析】只要证 f () ln 2.
1
f (2) f (1)
【证】
f () (1,2)
2 1
f (2) f (1) f ()
(1,2)
ln 2 ln1 1
.
【例2】设 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内可导，且 f (x) 0,
其中 a,b 同号，f (a) f (b) 1. 证明：存在 , (a,b), 使得
ab
b
f (x)dx e 2 f ()[ f () f ()].
b a a
ab
b
【分析】欲证 f (x)dx e 2 f ()[ f () f ()].
b a a
ab e e [ f () f ()]
b
只要证 f (x)dx
b a a f () 1
2
e b e a e
e
b
【证】 e b e a f (x)dx
b f (t)dt a f (t)dt f () f () a
a a
e b f (b) e a f (a) e [ f () f ()] e b e a 2 e [ f () f ()](b a)
ab
1 1 1
b a
2【例3】设 f (x) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1) 内可导,试证存在
, (0,1) 使 e 1 [ f () f ()] f () f () f ().
【证】只要证明 e 1 [ f () f ()] e [f () f () f ()]
即 e 1 [f () f ()] e [f () f ()] f ()
对 xf (x) 在 [0,1] 上用拉格朗日中值定理得 (0,1) ,使
f (1) 0
f () f () f (1) f () f ()
1 0
对 e
x
xf (x) 在 [0,1] 用拉格朗日中值定理得， (0,1)
e
1
f (1) 0
e
[f () f ()] f ()
1 0
e 1 f (1) e [f () f ()] f () 【例4】设 在 上连续, 在 内可导, 且
f (x) [0,1] (0,1) f (0) f (1),
常数 与 . 求证：存在满足 的 与
a 0 b 0 0 1
. 使得 af () bf () 0.
【分析】(逆推法）设 由拉格朗日中值定理得
0 c 1,
f (c) f (0)
f () (0,c)
c 0
f (1) f (c)
f () (c,1)
1 c
f (c) f (0) f (0) f (c)
af () bf () a b
c 1 c
a b
[ f (c) f (0)][ ]
c 1 c
a b a b a
若 原题得证，由 解得
0 0 c .
c 1 c c 1 c a b【例5】已知函数 在 上连续,在 内可导，且
f (x) [0,1] (0,1) f (0) 0, f (1) 1.
证明:存在3个不同的点 ,, (0,1), 使得 f () f () f () 1.
【证】令 (x) f (x) x 1, 则 (0) 1 0,(1) 1 0, 由连续函数零点定理可知，
存在 (0,1), 使得 () 0, 即 f () 1 .
由拉格朗日定理可知,存在点 (0,), (,1), 使得
f () f (0) f () f (1) f () f ()(1 )
以上两个等式两端分别相加得
1 f () (1 ) f ()
又 f () 1 , 则
f () f () f () 1, 原题得证.（六）其它
【例1】设函数 f (x) 在 [0,) 上可微,且 f (0) 0, f (x) f (x),
试证 f (x) 0.
【证1】先证 f (x) 0, x [0,1]. x (0,1)
0
f (x ) f (x ) f (0) f (x ) x f (x ) x
0 0 1 0 1 0
f (x ) f (0) x f (x ) x x f (x ) x 2
1 0 2 1 0 2 0
f (x ) x n Mx n 0 M max f (x)
n 0 0
[0,1]
【证2】令
M max f (x), x (0,1), f (x ) M
x 0 x
[0,x]
M f (x ) f (x ) f (0) f () x f () x M x
x 0 0 0 0 x 01
1 1
【例2】设 f (x), g(x) 在 [0,1] 上连续,在 （ 0 ， 1 ） 内可导,且 xf (x)dx f (x)dx,
0 2 0
1
证明: (Ⅰ)存在 (0,1) ,使 f (x)dx f (x)dx;
0 0
(Ⅱ)存在两个不同的点 , (0,1) ,使得 f () f ()g () f ()g ().
x t 1
【证】(Ⅰ) 方法1令 F(x) [ f (u)du t f (u)du]dt, 则 F(0) 0,
0 0 0
1 t 1 1 1 1 1 1
F(1) dt f (u)du f (u)du du f (u)dt f (u)du
0 0 2 0 0 u 2 0
1 1 1 1 1 1
(1 u) f (u)du f (u)du f (u)du uf (u)du 0
0 2 0 2 0 0
1
由罗尔定理可知,存在 (0,1), 使得 F () 0, 即 f ( x )dx f (x)dx.
0 0
1 x 1 1 x 1 1
方法2 [ f (t)dt x f (t)dt]dx dx f (t)dt f (t)dt
0 0 0 0 0 2 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
dt f (t)dx f (t)dt (1 t) f (t)dt f (t)dt f (t)dt tf (t)dt 0
0 t 2 0 0 2 0 2 0 0
1 x 1 1
由积分中值定理可得,存在 (0,1) ,使 [ f (t)dt x f (t)dt]dx f (x)dx f (x)dx 0
0 0 0 0 01
1 1
【例2】设 f (x), g(x) 在 [0,1] 上连续,在 （ 0 ， 1 ） 内可导,且 xf (x)dx f (x)dx,
0 2 0
1
证明: (Ⅰ)存在 (0,1) ,使 f (x)dx f (x)dx;
0 0
(Ⅱ)存在两个不同的点 , (0,1) ,使得 f () f ()g () f ()g ().
1 1
【证】(Ⅱ) 由 f (x)dx f (x)dx 得， f ( x ) dx [ f (x)dx f (x)dx]
0 0 0 0
1
则 (1 ) f (x)dx f (x)dx
0
由积分中值定理得 (1 )f (c) (1 ) f () c (0,), (,1)
从而有 f (c) f ()
令
F(x) e
g(x)
[ f (x) f ()]
显然 F(x) 在区间 [c,] 上满足罗尔定理的条件，则存在 (c,) ，使 F () 0
F (x) e g(x) [ f (x) g (x) f (x) g (x) f ()] f () f ()g () f ()g ().祝同学们
考研路上一路顺利！
