概率统计专题第04节二维随机变量积商函数的密度（作业手写版）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

第 04 节 二维随机变量积商函数的密度
【作业1】设(X ,Y)服从区域D：0 xa,0 ya上的均匀分布．
X
（Ⅰ）求Z  XY 的概率密度函数； （Ⅱ）求Z  的概率密度函数．
Y
解 可 由题 设 必⾏的联合概率密度为
d
北⻔ oxa oya
其他
0
N fi fix 到 义 以 ⼈ 来以 2系数的绝对值
总
Eax
凶 点
ai ai
o o
灬 in
K Ya
oya
a 0 z ax
⼭ 北⻔ 拟到 d oxa az ax
其他
o当 ⻜ 0 时 㧄 0
Eax
当 oaà 时
fzlzkfiiididklna hn
i
o
当 z ⼼ 时 反⽇ 0
函 ⼭ fzkkffflyz yj gldy 乘以 2系数的绝对值
凶 点 爹
Ef
i
ai
o a g
4 a
a
Y DK
oya 0 z j
0 y a
⼭ 北⻔ f yay d oxa az ax
其他
o
当 0 时 fzlzkoi
多
当 an 时 fzkkfd gg i ai
I
当 以 1 时 fzN fi àydy i
o a【难题2】设随机变量X ,Y 独立，均服从参数为的指数分布，
X X
（Ⅰ）求Z  的密度函数； （Ⅱ）求U  的概率密度；
Y X Y
min(X ,Y)
（Ⅱ）求V  的概率密度．
max(X ,Y)
解 可 由题没 KEIM ㄚ E ⼋ 且义与丫相互独⽴ 则
Ne no go
fy
其他
0
㑎 l 恕
Z 0
y Z
i j
o o
仙⻔
N yso No
e
f y y
o 其他
fdzkffflyz.gg y dy
当 0 时 fi o i
当
270 时 fzlzlffflyz.yj.lyldy
ffiē
yay- E ⼊⼼川
⼆ Nnhfitnē yay
i Mini Nh
⼆ 这
⼼
故 随机变量 2 的密度函数为
No
flatly
其他
o
亚 由题没 以前 ⼆ 点 ⼆ 中 则
当 以 0时 FM
u i
q
当
and 时
这
Eif 凼 以2 u i o
当 以 1 时 瓦 u 1 V ⽐ I
故 U 的密度凶数为
1 0 act
以下屾
0 其他亚
由题没
Min X⾏ Y KY 21 0 a q
k f ˋ
灿 ⾏
Y DY i 231
当 以 0时 FM
当 以 1时 I
FNKfjpdztffjn dz 0 V 1 i i
it 对 i i
z
当 V71 时 FM I
故 V 的
密度出数为
in 0 ⼼ 1
f 以下⼼
其他
0【难题3】设随机变量X 与Y 独立，密度函数分别为
  x e  2 x  2 2 , x0,   y e  2 y  2 2 , y 0,
f (x)2 f (y)2
X Y
 
 0, x0,  0, y 0．
X
求Z  的密度函数．
Y
解 由题设 好丫 独⽴ 则 以灯的联合密度为
iǒeǖǜ
no y
⽕
刈
其他
0
⼼
恕 ly
No
y
y⼋ Z
3 op
o
2
i
-
no no
flyz
ykfxie
0 其他
fdzkffflyzgg y dy当 ⻜0时 fi 0i
fzlzkfietiii.gg
当 270时
避
ii.gg
fǒifē
it
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Tiiēlǜt
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ㄆ年 2 2
1