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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 结营测大试卷解答 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
(1+cosx)ln(x+ 1+x2)
1.设 f(x)= ,则 f′(0)= _________.
ex 1+x2
O C O f C (x)− f(0) (1+cosOx) C ln(x+ 1+x2) O C O C O C O C O C O C O C O C
【解】 f′(0)=lim =lim ,
O O O O O O O O O O O
M Mx→0 x x→0 Mxex 1+x2 M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
ln(x+ 1+x2)
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
=2lim
中 中 x→0 x 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x
=2lim =2
x→0 x
C C C C C C C C C C C
O O O1 O O O O O O O O
O 2.已知 f(x)在xO=0处可导，且lim[f(x)+Oex]x =2,则 f′(0)等于（ ）O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
x→0
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 (A) 国ln2, (B)e2, 国 (C) 2, 国(D) −1+ln2 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1 ln[f(x)+ex]
【解】由于 lim[f(x)+ex]x =lime x =2
x→0 x→0
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O
ln[fO(x)+ex]
O O O O O O O O O
M 则 lim M =ln2 M M M M M M M M M
学 x→0学 x 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 从而 国limln[f(x)+ex]=0, lim国f(x)= f(0)=0, 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中x→0 x→中0 中 中 中 中 中 中 中 中
当x→0时，ln[f(x)+ex]=ln[1+ f(x)+ex −1]~ f(x)+ex −1
C ln[f(x)+e Cx] f(x)+ex −1 C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
则 lim =lim = f′(0)+1=ln2
O O O O O O O O O O O
M x→0 M x x→0 x M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大
故
f′(0大)=−1+ln2 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
⎧g(x)
⎪ x ≠ 0
3.设 f(x)和g(x)在x = 0处连续，若 f(x) = ⎨ x ，则
⎪ ⎩ 2 x =0
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
（A） limg(x) = 0且g′(0)不存在 （B）limg(x) = 0且g′(0) =0
M M M M M M M M M M M
x→0 x→0
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
（C）limg(x) = 0且g′(0) =1 （D）limg(x) = 0且g′(0) = 2
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
x→0 x→0
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
【解】由 f(x)和g(x)在x = 0处连续可知
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM 1 MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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学 学 g(x) 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 lim大f(x)=lim = f(0)=大2 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国x→0 x→0 x 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
则 limg(x)=0= g(0)
x→0
g(x) g(x)−g(0)
2=lim =lim = g′(0)
C x→0 x Cx→0 x C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 故应选D. O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大⎧ 1 x 大 大 大 大 大 大 大 大 大
⎪ ∫ t2f(t)dt, x≠0,
国 4.设F(x国)=⎨x3
0
国 其中 f(x)是可导函数，国且F(x)在点x=0处连续，国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
⎪ ⎩ k, x=0,
则（ ）
C C C f(0) C C C C C C C C
O （A）k = f(0),F′(O0)= f′(0) （B）Ok = ,F′(0)不存在 O O O O O O O O
O O O 3 O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
f(0) f(0) f′(0)
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
（C）k = ,F′(0)= f′(0) （D）k = ,F′(0)=
大 大3 大 3 大4 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 【解】 中 由F(x)在点x=0处连续可 中 知 中 中 中 中 中 中 中 中
x
∫ t2f(t)dt x2f(x) f(0)
k =limF(x)=lim 0 =lim =
O C x→0 O C x→0 x3 x→0 O 3x C2 3 O C O C O C O C O C O C O C O C
O O O O O O O O O O O
M M 1 x f(0M) M M M M M M M M
∫ t2f(t)dt−
大 学 则 大F′ 学 (0)=lim x3 0 大 学 3 大 学 大 学 大 学 大 学 大 学 大 学 大 学 大 学
国 国 x→0 x 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x
3∫ t2f(t)dt− f(0)x3
=lim 0
x→0
3x4
C C 3x2f(x)−3f(0)x2 C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
=lim
O O O O O O O O O O O
M Mx→0
12x3
M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
1 f(x)− f(0) f′(0)
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
= lim =
国 国 4 x→0 x 国 4 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
故选D.
x
⎛ f(x+t)⎞sint
5.设 f(x)二阶可导,且 f(x) ≠ 0,ϕ(x) = lim⎜ ⎟ ,则ϕ′(x)= _______.
⎜ ⎟
O
C
O
C
t→0⎝O
Cf(x)
⎠ O
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O O O O O O O O O O O
M M xM M M M M M M M M
学 学 ⎛ f(x+t)− f(x)⎞学sint 学 学 学 学 学 学 学 学
【解】ϕ(x)=lim⎜1+ ⎟
大 大 ⎜ 大⎟ 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 t→0⎝ f(x) 国⎠ 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
f(x+t)− f(x) x x f(x+t)− f(x)
lim ⋅ = lim
t→0 f(x) sint f(x) t→0 t
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM 2 MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学xf′(x) 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 = 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 f(x) 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
xf′(x) xf′(x) [f′(x)+xf′′(x)]f(x)−xf′2(x)
则 ϕ(x)=e f(x) ，ϕ′(x)=e f(x) ⋅ .
f 2(x)
C C C C C C C C C C C
O O O d2yO O O O O O O O
O 6.（2012年）设yO= y(x)是由方程x2 − y+1O=ey所确定的隐函数，则 O = . O O O O O O O
M M M Mdx2 M M M M M M M
学 学 学 学 x=0 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 【解】由国x2 − y+1=ey可知，当x国=0时，y =0,且 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2x− y′=eyy′
C 2− y′′C=eyy′2 +eyy′′ C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
将x=0,y =0带入上式得y′(0)=0,y′′(0)=1.
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 7. 设y = 国 f(x)的反函数是x=ϕ(y) 国 ，且 f(x)=∫ 2x et2 dt+1， 国 则ϕ′′(1)= __________. 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1
【解】 由 f(x)=∫ 2x et2 dt+1知，x= 1 时y =1，
1 2
O C f′(x)=2eO 4 C x2 , f′′(x)=16xe4x2 O C O C O C O C O C O C O C O C O C
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 1 学 学 学 学 学 学 学 学 学
ϕ′(y)=
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
f′(x)
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
d 1 dx f′′(x) 1
ϕ′′(y)= [ ]⋅ =− ⋅
dx f′(x) dy [f′(x)]2 f′(x)
C C C C C C C C C C C
O Of′′(1) 8e 1 O O O O O O O O O
O ϕ′′(1)=−O =− =− O O O O O O O O O
M M[f′(1)]3 8e3 e2 M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 8.(2000国年) 求函数 f(x) = x2 ln(1+国x)在x = 0处的n阶导数国f (n)(0)(n ≥3). 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x2 xn
【解】由于ln(1+x)= x− + +(−1)n−1 +o(xn)
L
2 n
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O
x4
O
xn+2
O O O O O O O O
M
f(x) = x
M
2ln(1+ x) = x3 − +
L
+
M
(−1)n−1 +o(xn+2)
M M M M M M M M
2 n
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 f 国(n)(0) (−1)n−3 (−1)n−1 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 则 中 = = 中 中 中 中 中 中 中 中 中
n! n−2 n−2
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM 3 MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 (−1)n−1n! 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 f国 (n)(0)= 国 国 国 国 国 国 国 国 国
n−2
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
sinx
9.设函数ϕ(x)=∫ f(tx2)dt，其中 f(x)是连续函数，且 f(0) = 2.
0
C C C C C C C C C C C
O （1）求ϕ′(x)；O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学
（2）讨论
学ϕ′(x)的连续性. 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 【解】 中 令tx2 =u，则 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x2sinx 1 1 x2sinx
ϕ(x)=∫ f(u)du = ∫ f(u)du (x≠0)
0 x2 x2 0
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
由已知得ϕ(0) =0.
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
（1）当x ≠ 0时，有
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 2 x2sinx 1国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 ϕ中′(x) = − ∫ f(u)du+中f(x2sinx)⋅(2xsinx+中x2cosx) 中 中 中 中 中 中 中
x3 0 x2
2 x2sinx 2
= − ∫ f(u)du+ f(x2sinx)( sinx+cosx)；
x3 0 x
C C C C C C C C C C C
O 在x = 0点处，O由导数定义有 O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M Mϕ(x)−ϕ(0) M M M M M M M M M
学 ϕ′(0) =学lim 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大x→0 x 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 1 x2sinx 国 国 国 国 国 国 国 国 国
=lim ∫ f(u)du
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x→0 x3 0
x2sinx
=lim f(ξ) (积分中值定理)
x→0
x3
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
= f(0) = 2.
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 ⎪
⎧
−
2
∫
x2sinx
f(u)国du+ f(x2sinx)(
2
sinx+c国osx), x≠0; 国 国 国 国 国 国 国
中 所中以ϕ′(x)=⎨ x3 0 中 x 中 中 中 中 中 中 中 中
⎪ ⎩2, x=0.
（2）因为
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O ⎡ 2 x2sinx O 2 ⎤ O O O O O O O O
M limϕ′(x) =Mlim − ∫ f(u)du+Mf(x2sinx)( sinx+cosx)M M M M M M M M
学 x→0 学x→0 ⎢ ⎣ x3 0 学 x 学 ⎥ ⎦ 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 = −2f(0)+3f(0) =中2=ϕ′(0)， 中 中 中 中 中 中 中 中
故ϕ′(x)在x = 0点处连续；又当x ≠ 0时，ϕ′(x)连续，所以ϕ′(x)处处连续.
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM 4 MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 10.设 f(x)大在x=0处存在二阶导数,且大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 xf(x)−ln(1+中x) 1 中 中 中 中 中 中 中 中
lim =
x→0 x3 3
求 f(0), f′(0)和 f′′(0).
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 【解】由泰勒公式O得 O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 1 学xf(x)−ln(1+x) 学 学 学 学 学 学 学 学 学
=lim
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
3 x→0 x3
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中f′′(0) x中2 x3 中 中 中 中 中 中 中
x[f(0)+ f′(0)x+ x2 +ο(x2)]−[x− + +ο(x3)]
2! 2 3
=lim
x→0
x3
1 4
C 则 f(0)=1, f′(0)=C− , f′′(0)= . C C C C C C C C C
O O 2 3 O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
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MM MM MM MM 5 MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中
