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公众号：做题本集结地 880·数三高数·1.函数极限与连续
高等数学
第一章函数、极限、连续
基础题
一、选择题
(1)函数fx =xsinxecosx x∈-∞,+∞ 是( ).
A. 单调函数 B. 周期函数 C. 偶函数 D. 有界函数
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(2)设函数fx =cossinx ,gx =sincosx
π
,则当x∈0,
2
时,( ).
A. fx 单调增加,gx 单调减少 B. fx 单调减少,gx 单调增加
C. fx 与gx 都单调增加 D. fx 与gx 都单调减少
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(3)设函数fx = 1+x+x2- 1-x+x2,则( ).
A. fx 为偶函数 B. fx 为奇函数 C. fx 为无界函数 D. limfx
x→∞
=1
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(4)设当x→+∞时,fx ,gx 都是无穷大,则当x→+∞时,下列选项中正确的是( ).
A. fx -gx 是无穷小 B. fx +gx 是无穷大
gx
C.
fx
fx
→1 D.
+gx
fx gx
是无穷小
·第4页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·1.函数极限与连续
1 1
(5)当x→0时, sin 是( ).
x2 x
A. 无穷大 B. 无穷小 C. 有界但非无穷小 D. 无界但非无穷大
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x2
(6)已知lim -ax-b
x→∞ x+1
=0,则( ).
A. a=1,b=1 B. a=-1,b=1 C. a=1,b=-1 D. a=-1,b=-1
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(7)设当x→0时,x-sinx tanx是比ln1+xn 高阶的无穷小,而ln1+xn 是比x2高阶的无穷小,则
n=( ).
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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1+ax2
(8)当x→0时,ex- 与x3是同阶无穷小,则( ).
1+bx
1 1 1 1
A. a= ,b=1 B. a=- ,b=1 C. a= ,b=-1 D. a=- ,b=-1
2 2 2 2
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(9)设fx =ln2x,gx =x,hx
x
=e2x>1 ,则当x充分大时,( ).
A. fx 0,已知 limxPax -ax+1
x→+∞
存在,则P的取值范围为_____.
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ex2 -e2-2cosx
(4)lim =_____.
x→0 ex4 -1
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(5)设fx =a+bx+cx2+dx3-tanx,当x→0时,fx 是比x3高阶的无穷小,则a+b+c+d=__
___.
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三、解答题
(1)设fx 是定义在(-a,a)内的函数,证明:fx 可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和.
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(2)设函数fx 满足afx
1
+bf
x
c
= ,其中a,b,c均为常数,且a≠b,求fx
x
的表达式,并证
明fx 是奇函数.
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(3)设函数fx 在区间(-a,a)内有定义,其中a>0,且对任意x 1 ,x 2 ∈-a,a ,有∣fx 1 -
fx 2 ≤x 1 -x 2 ∣,证明:Fx =fx +x在(-a,a)内单调增加.
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(4)设数列x n 满足limx =limx =a,证明:limx =a. 2k 2k+1 n
k→∞ k→∞ n→∞
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(5)求下列极限:
1 1 1 x2-xsinx ax +bx +cx
(I)lim ; (II)lim
x→∞x2+xsin1 x→+∞ 3
x
x
a,b,c为正数 ;
lnsin2x+ex
(III)lim
x→0
-x
lne2x-x2
1+x
; (IV)lim
-2x x→0
3
x -e3
;
x
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etanx-ex 1 1
(V)lim ; (VI)limcotx -
x→0 x3 x→0 sinx x
;
(VI)lim1-x2
x→0
1
1- 1-x2; (III)limxsinx.
x→0+
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(6)求下列极限:
1 2 n
(I)lim + +⋯+
n→∞ n2+n+1 n2+n+2 n2+n+n
;
(II)lim 1+2+⋯+n- 1+2+⋯+n-1
n→∞
;
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n
1 n 1 1 1
(III)lim ; (IV)lim 1+ + +⋯+ ;
n→∞ 4k2-1 n→∞ 2 3 n
k=1
1+ n3
(V)lim
n→∞ 2
n
.
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(7)求fx =1+x
x
tanx-π 4 在0,2π 内的间断点,并指出其类型.
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(8)讨论函数fx
xn+2-x-n
=lim 的连续性.
n→∞ xn+x-n
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(9)设fx 在a,b 上连续,且a0 ,x = a+x ,证明:limx 存在,并求其值. n+1 n n
n→∞
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x +y
n n
(11)设x 1 =a≥0,y 1 =b≥0,a≤b,x n+1 = x n y n ,y n+1 = 2 n=1,2,⋯ ,证明:limx =limy n n n→∞ n→∞
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综合题
一、选择题
sin1
e x -1
(1)lim
x→∞ 1+1
x
k -1+1
x
=a≠0成立的充分必要条件是( ).
A. k≠1 B. k>1 C. k>0 D. 与k无关
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2arctanx-ln1+x
(2)已知lim 1-x =c≠0,则( ).
p
x→0 x
4 4 4 4
A. p=3,c=- B. p=-3,c= C. p= ,c=3 D. p=- ,c=-3
3 3 3 3
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(3)设当x→0时,αx =tanx-sinx, βx = 1+x2- 1-x2, γx
1-cosx
= sintdt都是无穷小,将它
0
们关于x的阶数从低到高排列,正确的顺序为( ).
A. αx ,βx ,γx B. αx ,γx ,βx C. γx ,αx ,βx D. βx ,αx ,γx
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(4)设y=yx 是方程y+2y+y=e3x的解,且满足y0 =y 0 =0,则当x→0时,与yx 同为等
价无穷小的是( ).
A. sinx2 B. sinx C. ln1+x2 D. ln 1+x2
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(5)fx
xlnx 1
= ex-1
x-1
x-2 的无穷间断点的个数为( ).
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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(6)下列结论中错误的是( ).
A. 设lima =a>1,则存在M>1,当n充分大时,有a >M
n n
n→∞
B. 设a=lima a-
n n
n→∞ n
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(7)设x n 与y n 为两个数列,则下列选项中正确的是( ).
A. 若x n 与y n 无界,则x n +y n 无界
B. 若x n 与y n 无界,则x n y n 无界
C. 若x n 与y n 中,一个有界,一个无界,则x n y n 无界
D. 若x n 与y n 均为无穷大,则x n y n 一定为无穷大
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(8)设数列x n 单调减少,y n 单调增加,且limx n -y n
n→∞
=0,则下列选项中正确的是( ).
A. limx =0,limy =0 B. limx ,limy 均存在,且limx =limy
n n n n n n
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
C. limx 存在,limy 不存在 D. limx 与limy 均不存在
n n n n
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
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(9)设fn 表示方程x1+lnx =n的正实根,其中x≥1,n为正整数,则下列选项中正确的是( ).
A. fn fn 收敛 B.
n
fn 发散 C. lnn
n
fn 收敛 D. lnn
n
发散
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(10)设x n 为数列,则下列选项中结论正确的是( ).
①若arctanx n 收敛,则x n 收敛；
②若arctanx n 单调,则x n 收敛；
③若x n ∈-1,1 ,且x n 收敛,则arcsinx n 收敛；
④若x n ∈-1,1 ,且x n 单调,则arcsinx n 收敛.
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
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(11)下列选项中极限存在的是( ).
1 sinx
A. lim B. lim1+
x→1 1 x→+∞ x
1+21-x
x
C. lim n+-1
n→∞
n n+1 1 1 1 D. lim + +⋯+
n→∞ 12 22 n2
1
n
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(12)设fx 在-∞,+∞ 内为连续的奇函数,a为常数,则下列选项中必为偶函数的是( ).
x u
A. du tft
0 a
x u
dt B. du ft
a 0
x u
dt C. du ft
0 a
x u
dt D. du tft
a 0
dt
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(13)设fx
x+2tx
= lim ,则Fx
t→+∞1+2tx
x
= ft
-1
dt在x=0处( ).
A. 可导 B. 不连续 C. 不可导但连续 D. 无法判定
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(14)设fx
x3-1
=
sinx
x1+x2
, x≠0,
x∈-∞,+∞
0, x=0,
,则( ).
A. fx 在-∞,+∞ 内有界
B. 存在X>0,当xX时,fx 无界
C. 存在X>0,当xX时,fx 有界
D. 对任意X>0,当x≤X时,fx 有界,但在-∞,+∞ 内无界
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二、填空题
cosx-ex2
(1)极限lim
x→0
sinx2
=_____.
x2 +1- 1+x2
2
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n
(2)设a = 3 n+1 xn-1 1+xndx,则limna =_____.
n n
2 0 n→∞
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(3)设00;i=1,2,⋯,k i .
·第55页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·1.函数极限与连续
1
(3)(I)设x 1 =1,x 2 =2,x n+2 = 2 3x n+1 -x n n=1,2,⋯ ,求limx ; n n→∞
1
(II)设x 1 =1,x 2 =2,x n+2 = 2 x n +x n+1 ,求limx . n n→∞
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(4)设f nx =1-1-cosx n n=1,2,⋯ .
(I)证明:方程f nx
1 π
= 在0,
2 2
内有且仅有一个实根x ; n
π
(II)设x ∈0, n
2
,满足f nx n
1 1 π π
= ,证明:arccos 0,求a,b的值.
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1 1
(12)设 0,数列x n 满足x n+1 =lne xn-1 -lnx ,证明:极限limx 存在,并求其值. n n
n→∞
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(14)求下列极限:
(I)当x<1时,求lim1+x
n→∞
1+x2 1+x4 ⋯1+x2n ;
x x x
(II)当x≠0时,求limcos cos ⋯cos ;
n→∞ 2 4 2n
1- sinx
(III)lim
x→π 2
1- 3sinx ⋯1- nsinx
1-sinx
.
n-1
·第67页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·1.函数极限与连续
(15)求下列极限:
ln 1+ fx
(I)设lim
x→0
sinx 1
= a>0,a≠1
ax-1 2
fx
,求lim
x→0
;
x2
(II)设fx
fx
是三次多项式,且有lim
x→2a
fx
=lim
x-2a x→4a
=1a≠0
x-4a
fx
,求lim
x→3a
.
x-3a
·第68页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·1.函数极限与连续
π
(16)设x ∈0, 1 4 ,数列x n
1
满足x n = 2 x n+1 +tanx n n=1,2,⋯ .
(I)证明limx 存在,并求其值;
n
n→∞
x
(II)求lim n+1
n→∞ x n
1
x2 n
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拓展题
解答题
(1)设fx 在a,b 上可导,且 f x <1,当x∈a,b 时,有a0,
= x
x2⋅φx
其中φx
, x≤0,
是有界函数,则fx 在x=0处( ).
A. 可导 B. 连续,但不可导
C. 极限存在,但不连续 D. 极限不存在
·第72页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(2)设f x
fx+aΔx
存在,a,b为任意实数,则lim
Δx→0
-fx-bΔx
=( ).
Δx
A. a+b f x B. a-b f x C. af x D. bf x
·第73页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(3)设fx
f2x-1
为连续函数,且lim
x→1
f 1+sint
=1,则lim
x-1 t→0
2
-f1+sint
=( ).
t
1
A. 0 B. C. 1 D. 2
2
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(4)下列函数中,在x=0处不可导的是( ).
A. fx =xsinx B. fx =xsin x C. fx =cosx D. fx =cos x
·第75页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(5)设f-x =-fx ,且在0,+∞ 内,f x >0,f x >0,则fx 在-∞,0 内必有( ).
A. f x <0,f x <0 B. f x <0,f x >0
C. f x >0,f x <0 D. f x >0,f x >0
·第76页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(6)设fx 在-1,1 上二阶可导,且f x
1
>0, fx
-1
dx=2,则f0 的取值范围为( ).
A. (-∞,0] B. 0,+∞ C. -∞,1 D. 1,+∞
·第77页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(7)设fx 在x=0的某邻域内连续,f0
fx
=0,lim
x→0
=2,则fx
1-cosx
在x=0处( ).
A. 不可导 B. 可导且f 0 ≠0 C. 有极小值 D. 有极大值
·第78页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(8)y=x-1
2
x-3
2的拐点个数为(
).
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
·第79页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(9)设f x
0
=f x
0
=0,f x
0
>0,则下列选项正确的是( ).
A. x 0 是fx 的极值点 B. fx 0 是fx 的极大值
C. fx 0 是fx 的极小值 D. x ,fx 0 0 是y=fx 的拐点
·第80页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(10)设fx 有一阶连续导数,Fx =fx 1+sinx ,则f0 =0是Fx 在x=0处可导的( ).
A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
·第81页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(11)设fx 在x=a处连续,则fx 在x=a处可导的一个充分条件是( ).
1
A. limx fa+
x→∞ x
-fa
fa+x3
存在 B. lim
x→0
-fa
存在
x2
fa+Δx
C. lim
Δx→0
-fa-Δx fa+x3
存在 D. lim
2Δx x→0
-fa
存在
tanx3
·第82页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(12)设fx 有任意阶导数,且f x =f2 x ,则fn x =( )n>3 .
A. n!fn+1 x B. nfn+1 x C. f2n x D. n!f2n x
·第83页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(13)设δ>0,fx 在-δ,δ 内有定义,当x∈-δ,δ 时,有 fx ≤x2,则x=0是fx 的( ).
A. 间断点 B. 连续但不可导点
C. 可导点且f 0 =0 D. 可导点且f 0 ≠0
·第84页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(14)设fx 连续,且f x 0 >0,则存在δ>0,使得( ).
A. 对任意x∈x -δ,x 0 0 ,有fx >fx 0 B. 对任意x∈x ,x +δ 0 0 ,有fx >fx 0
C. fx 在x -δ,x 0 0 内单调减少 D. fx 在x ,x +δ 0 0 内单调增加
·第85页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(15)已知y=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值,且与直线y=-3x+3相切于点(1,0),则( ).
A. a=1,b=-8,c=6 B. a=-1,b=-8,c=-6
C. a=1,b=8,c=-6 D. a=-1,b=8,c=-6
·第86页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
1+e-x2
(16)曲线y= 的渐近线条数为( ).
1-e-x2
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
·第87页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(17)设fx 为连续函数,且 limex 1+x+fx
x→+∞
存在,则曲线y=fx 有斜渐近线( ).
A. y=x B. y=-x C. y=x+1 D. y=-x-1
·第88页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
二、填空题
(1)设fx 在x=0处可导,且f 0 =2,f0
f1-cosx
=0,则lim
x→0
ln1+x2
=_____.
·第89页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(2)设y=fx y-x πt 由方程x= sin2
4 1
1 dt确定,则limn f
n→∞ n
-1
=_____.
·第90页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(3)设函数fx
sinx fx
有连续导数,且lim +
x→0 x2
x
=2,则fx 的一阶麦克劳林展开式为_____.
·第91页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(4)设函数fx 在-∞,+∞ 内连续,f x 的图形如图2-1所示,则曲线y=fx 的拐点个数为_
____.
·第92页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(5)设f 0 存在,f0 1-cosfx =0,且lim 1+
x→0
sinx
1
x =e,则f 0 =_____.
·第93页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(6)当x→0时,ex+ln1-x
-1与xn是同阶无穷小,则n=_____.
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(7)设fx
x
=n2en -1+n x在x=x 处有水平切线,则lime xn=_____. n
n→∞
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d
(8)设 fx3
dx
1
= ,则f x
x
=_____.
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(9)设fx =ln 1+x2-x ,则f5 0 =_____.
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(10)设lim ax2-x+3-2x
x→∞
=b,其中a,b为常数,a>0,则曲线y= ax2-x+3在0,+∞ 内的斜
渐近线方程为_____.
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(11)设fx =cosx+x2 x在x=0处存在的最高阶导数的阶数为_____.
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(12)设函数y=yx
dy
二阶可导, =3-y
dx
yb b>0 ,若曲线y=yx 有一个拐点为(a,2),则b=_
____.
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(13)设fx 在-∞,+∞ 内有定义,且对任意的x,y,有fx+y -fx = fx -1 y+αy ,其中
αy
lim
y→0
=0,且f0
y
=2,则fx =_____.
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(14)设函数y=yx
x
x2+y2
π
由方程arctan =ln + x>0,y>0
y 2 4
确定,则yx 的极大值为___
__.
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三、解答题
(1)计算下列函数的导数:
(I)y=
1
;
(II)y=xaa +axa +aax
a>0
3x⋅ 3x
;
(II)y=2sinx;
(IV)y=lntanx+secx.
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(2)求下列函数的导数:
(I)y=1+x2 sinx 1 ; (II)y=ln .
x+ x2+1
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(3)求下列函数的微分:
1
(I)设y=φarctan
x
,其中φ可导,求dy;
(II)设y=yx 由方程e x+y -ysinx=0确定,求dy.
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(4)设y=yx
arctan
y d2y
由方程 x2+y2=e x 确定,求 .
dx2
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(5)设fx
1
xksin , x≠0,
= x 问:
0, x=0.
(I)当k为何值时,fx 在x=0处不可导?
(II)当k为何值时,fx 在x=0处可导,但导函数不连续?
(III)当k为何值时,fx 在x=0处的导函数连续?
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(6)设fx 在0,+∞ 内满足fxy =fx +fy ,且f 1 =1,证明:fx 在0,+∞ 内可导,并求
fx .
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(7)设fx
-1
= e x2, x≠0, 求fn
0, x=0,
0 .
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(8)设气体以100cm3/s的速率注入球状气球,求当半径为10cm时,气球半径增加的速率.(设气体压力
不变)
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(9)一动点P在曲线9y=4x2上运动,已知点P的横坐标变化速率为30cm/s,问:当点P经过点(3,4)
时,从原点到点P的距离S的变化率是多少?(设坐标轴的单位长度为1cm)
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(10)设fx 二阶可导,f0 =0,f 0 =1,f 0
fx
=2,求lim
x→0
-x
.
x2
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(11)设函数fx
xfx
在x=0处连续,且lim
x→0
-1+x
2x
+1
=1.证明:fx
x2
在x=0处可导,并求
f 0 .
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(12)设fx 在a,b 上连续,在(a,b)内可导,01.
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(18)设fx 在0,1 上连续,在(0,1)内可导,且f0 =0,f1 =1.证明:
(I)存在x 0 ∈0,1 ,使得fx 0 =21-x 0 ;
(II)存在两点ξ,η∈0,1 ,且ξ≠η,使得f ξ 1+f η =2.
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(19)设fx 在0,1
x +x
上连续,在(0,1)内可导,已知在(0,1)内,对任意x ;
2 π
(II)当eba；
(III)当x>0时,有x2-1 lnx≥x-1 2 ;
fx
(IV)若lim
x→0
=1,且f x
x
>0,则有fx ≥x.
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1
(25)设x>0,证明:1+
2x
1
1+
x
>e.
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(26)求函数y=x-1
π+arctanx
e2 的单调区间和极值,并求其渐近线.
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(27)设fx
x2x, x>0,
= 求fx
x+2, x≤0,
的单调区间和极值.
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1
(28)求曲线y= 4x2+xln2+
x
的全部渐近线.
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x π
(29)证明:方程lnx= - 1-cos2xdx在0,+∞
e
0
内有且仅有两个不同实根.
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(30)讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x交点的个数.
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综合题
一、选择题
(1)设fx 在1-δ,1+δ δ>0 内存在导数,f x 严格单调减少,且f1 =f 1 =1,则( ).
A. 在1-δ,1 和1,1+δ 内,均有fx x
C. 在1-δ,1 内,fx x
D. 在1-δ,1 内,fx >x;在1,1+δ 内,fx xfa B. bfx >xfb C. xfx >bfb D. xfx >afa
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(3)设fx 在a,b 上可导,fx 在x=a处取得最小值,在x=b处取得最大值,则( ).
A. f + ′ a <0且f - ′ b <0 B. f + ′ a >0且f - ′ b <0
C. f + ′ a ≥0且f - ′ b ≥0 D. f + ′ a <0且f - ′ b >0
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(4)设fx 在x=0的某邻域内有定义,则Fx =fx sinx在x=0处可导的充分必要条件是( ).
A. limfx
x→0
存在
B. limfx
x→0
=f0
C. fx 在x=0处可导
D. limfx
x→0-
和limfx
x→0+
均存在,且limfx
x→0-
=-limfx
x→0+
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(5)设fx 在-∞,+∞ 内是连续的奇函数,Fx
x
= ft
0
dt,则下列选项中正确的是( ).
A. Fx 是不可导的奇函数 B. Fx 是可导的偶函数
C. Fx 是不可导的偶函数 D. Fx 是可导的奇函数
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(6)设fx
fx
在(-1,1)内可导,且lim
x→0
=1,则( ).
x2
f x
A. lim
x→0
f x
存在 B. lim
x x→0
不存在
x
C. f 0 =0,f 0 =2 D. f0 是fx 的极小值
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(7)设y=fx 在x 的某邻域内有四阶连续导数,且f x 0 0 =f x 0 =f x 0 =0,f4 x 0 <0,则(
).
A. fx 在x 0 处取得极小值 B. fx 在x 处取得极大值 0
C. x ,fx 0 0 是y=fx 的拐点 D. fx 在x 的某邻域内单调减少 0
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(8)设fx 在a,b 上可导,fx 在x=a处取得最小值,在x=b处取得最大值.Fx
x
= ft
0
dt,x∈
a,b ,则( ).
A. F + ′′ a >0且F - ′′ b <0 B. F + ′′ a ≥0且F - ′′ b ≥0
C. F + ′′ a <0且F - ′′ b <0 D. F + ′′ a <0且F - ′′ b >0
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(9)设fx fx 在x 的某邻域内连续,且lim 0 x→x0 -fx 0 x-x
0
=1,则( ). n
A. 当n为奇数时,x 0 是fx 的极大值点 B. 当n为奇数时,x 0 是fx 的极小值点
C. 当n为偶数时,x 0 是fx 的极小值点 D. 当n为偶数时,x 0 是fx 的极大值点
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(10)设fx 在-∞,+∞ 内可导,则下列命题中正确的是( ).
A. 若 lim fx
x→-∞
=-∞,则必有 lim f x
x→-∞
=-∞ B. 若 lim f x
x→-∞
=-∞,则必有 lim fx
x→-∞
=-∞
C. 若 lim fx
x→+∞
=+∞,则必有 lim f x
x→+∞
=+∞ D. 若 lim f x
x→+∞
=+∞,则必有 lim fx
x→+∞
=+∞
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x
(11)设k>0,则方程lnx- +k=0在0,+∞
e
内的不同实根的个数为( ).
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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1
(12)设当x≠0时,方程kx+ =1有且仅有一个实根,则( ).
x2
2 2 2 2
A. k> 3 B. k< 3 C. k= 3 D. k=- 3
9 9 9 9
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(13)设可导函数fx x∈0,1 满足f x
1
≥M>0,且f
2
≥0,则在区间( )上,有fx
1
≥ M.
4
A. 0, 1
4
B. 1 , 1
4 2
C. 1 , 3
2 4
D. 3 ,1
4
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(14)设f x 在0,4 上连续,曲线y=f x 与x=0,y=0,x=4围成如图2-2所示的三个区域,其
面积S ,S ,S 满足S >S >S ,则下列选项中正确的是( ).
1 2 3 2 1 3
A. f1 >f3 >f4
B. f4 >f3 >f1
C. f3 >f4 >f1
D. f4 >f1 >f3
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(15)设fx 在0,1 上二阶可导,且f x >0,f0 =f1 .当x∈0,1 时,下列选项中结论正确的
是( ).
①1-x fx -f0 x f1 -fx ；
③x fx -f0 <1-x f1 -fx ; ④x fx -f0 >1-x f1 -fx .
A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③
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(16)设在[0,+∞)上的可导函数y=fx 满足y-px y>0,且f0 ≥0,其中px 在[0,+∞)上
为正值连续函数.当01,
β α<0,β>0
0, x≤1
,若f x 在x=1处连续,则( ).
A. α<-1且α+β<-1 B. α<-1且α+β≤-1
C. α≤-1且α+β<-1 D. α≤-1且α+β≤-1
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二、填空题
(1)设函数fx π = tan x
4
-1
π tan x2
4
-2
π ⋯ tan x100
4
-100
,则f 1 =_____.
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(2)设fx =3x2+kx-3,若对任意x∈0,+∞ ,都有fx ≥20,则k至少为_____.
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(3)已知fx 在-∞,+∞ 内可导,且limf x
x→∞
x+k
=e, lim
x→∞ x-k
x
=lim fx
x→∞
-fx-1 ,则k=___
__.
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(4)设y=fx 在-∞,∞ 内连续,且其导函数f x 的图形如图2-3所示,其中x=0和x=x 是 5
f x 的铅直渐近线,则y=fx 的极值点个数为_____,拐点个数为_____.
·第154页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(5)设fx 在x=x 处可导,且fx 0 0
fx +1
≠0,则lim 0 x x→∞
fx 0
x
=_____.
·第155页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(6)设y=fx 在x 处有三阶连续导数,f x 0 0 =1,f x 0 =2,f x 0 =3,y=fx 有反函数x=
gy ,且y =fx 0 0 ,则g y 0 =_____.
·第156页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(7)设fx 为-1,+∞ 内的连续函数,fx
x
= e -ft
0
dt,若gx =xfx+1 ,则gn 0 n>2 =_
____.
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三、解答题
(1)已知fx 是周期为5的连续函数,fx 在x=1的某邻域内满足f1+sinx -3f1-sinx =8x+
αx ,其中αx 是当x→0时比x高阶的无穷小,且fx 在x=1处可导,求曲线y=fx .在点
6,f6 处的切线方程.
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(2)设fx 在0,1
fx
上二阶可导,且lim
x→0+
fx
=lim
x x→1-
=1,证明:
x-1
(I)至少存在一点ξ∈0,1 ,使得fξ =0；
(II)至少存在一点η∈0,1 ,使得f η =fη .
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(3)设fx 与gx 在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且fa =gb =0,证明:至少存在一点ξ∈
a,b ,使得f ξ
b
gt
ξ
dt+g ξ
ξ
ft
a
dt=0.
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(4)在x=0的右邻域内,用多项式e+ax+bx2近似表示函数fx =1+x
1
x,使其误差是比x2高阶
的无穷小x→0+ ,求a,b的值.
·第161页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(5)设fx 在a,b 上可导,证明:
(I)若f + ′ a f - ′ b <0,则存在ξ∈a,b ,使得f ξ =0;
(II)若f + ′ a ≠f - ′ b ,则对介于f + ′ a 和f - ′ b 之间的每个实数μ,都存在ξ∈a,b ,使得f ξ =μ.
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(6)设函数fx 在区间a,b 上有二阶导数,且fa =fb =0,f + ′ a f - ′ b >0.证明:在(a,b)内存
在两点ξ和η,使得fξ =0,f η =0.
·第163页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(7)设fx 在[0,+∞)上有二阶导数,f0 =0,f + ′ 0 <0,f x ≥M>0x>0 .证明:fx =0在
0,+∞ 内有唯一实根.
·第164页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(8)设fx 在0,1 上连续,在(0,1)内可导,fx
fx+1
≠0,且lim
x→0-
存在,证明:
x
(I)存在ξ∈0,1
1-e
,使得
1
e ft
0
1
=-
dt
eξfξ
;
(II)存在η∈0,1
1
,使得e ft
0
dt=e-1 eξ ξ-1 f η .
·第165页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(9)设fx 在0,1 上具有二阶导数,且 fx ≤a, f x ≤b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内
任一点.
(I)试写出fx 在x=c处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式；
(II)证明: f c
b
≤2a+ .
2
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(10)证明下列结论:
(I)设fx = x dt + 1 x dt x>0
0
1+t2
0
1+t2
,则fx π = ;
2
1 2x π
(II)当x≥1时,arctanx- arccos = .
2 1+x2 4
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(11)设函数fx 有二阶连续导数,且x-1 f x =1-e1-x+2x-1 f x ,证明:当x=x 0 是fx
的极值点时,fx 在x 处取得极小值. 0
·第168页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(12)设fx =nx1-x n n为正整数 ,求fx 在0,1 上的最大值Mn 和limMn
n→∞
.
·第169页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(13)设fx =arctanx,求fn 0 .
·第170页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(14)已知fx 可导,证明:曲线y=fx fx >0 与曲线y=fx sinx在交点处相切.
·第171页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(15)设fx 有二阶连续导数,f0 =f 0 =0,f 0 >0,u=ux 是曲线y=fx 在点 x,fx 处
x
的切线在x轴上的截距,求lim
x→0 ux
.
·第172页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(16)设fx 在x 0 的某邻域内有定义,证明:fx 在x 处可导的充分必要条件是存在x=x 处连续的 0 0
函数gx ,使得fx -fx 0 =x-x 0 gx .
·第173页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(17)设fx 在区间(a,b)内可导,f x 在(a,b)内严格单调增加,对任意的x 1 ,x 2 ∈a,b ,且x ≠x , 1 2
证明:f λx 1 +1-λ x 2 <λfx 1 +1-λ fx 2 ,其中0<λ<1.
·第174页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(18)设函数fx
1 x fx
1 1
在区间(a,b)内可导,行列式A=
1 x fx 2 2
1 x fx
3 3
.证明:导函数f x 在(a,b)内严
格单调增加的充分必要条件是对(a,b)内任意的x
1
0.
·第175页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(19)设fx 在a,b 上二阶可导, f x ≤k<1,f x 0 =0,f x 0 ≠0,x 0 ∈a,b ,且满足fx 0 =
x 0 .∀x 1 ∈a,b ,x n+1 =fx n n=1,2,⋯ .
(I)证明:limx 存在,且limx =x ;
n n 0
n→∞ n→∞
x -x
(II)求极限lim n+1 0
n→∞
x n -x 0
.
2
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(20)设fx 在0,1 上连续,在(0,1)内可导,且f0 =0,f1 =1.证明:
(I)存在ξ 与ξ 满足0<ξ <ξ <1,使得f ξ
1 2 1 2 1
+f ξ
2
=2.
(II)在(0,1)内存在ξ与η,使得ηf ξ =fη f η .
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拓展题
解答题
(1)已知函数fx 在[0,+∞)上有二阶连续导数,f0 =f 0 =0,且x∈[0,+∞),有f x >0,设
Fx 是曲线y=fx 上任一点 x,fx 处的切线在x轴上的截距x>0 ,求lim Fx
x→0+
+F x .
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(2)设fx 在a,b 上有二阶连续导数,且fa =fb =0,M=max f x
a≤x≤b
.证明:
(I)max fx
a≤x≤b
1
≤ Mb-a
8
2；
(II)max f x
a≤x≤b
1
≤ Mb-a
2
.
·第179页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(3)设fx 在a,b 上有连续的导数,且f x >0,假设f fx 存在,证明:存在ξ∈a,b ,使得
f fb -f fa = f ξ 2 b-a .
·第180页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·2.一元函数微分学及其应用
(4)设fx 在a,b 上有二阶连续导数, f x ≥1,记Fx
1 1 1
= a b x
fa fb fx
, x∈a,b ,以及
Fx 0 = max
x∈a,b
Fx , x 0 ∈a,b .证明: Fx 0
b-a
≥
3
. 8
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(5)设不恒为零的函数fx 在0,1 上有二阶连续导数,且f0 =f1 =0,记M= max fx
x∈{0,1}
,
f x ≥M.证明:
(I)至少存在一点ξ∈0,1 ,使得 f ξ ≥2M；
(II) f 0 + f 1 ≥M.
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第三章一元函数积分学及其应用
基础题
一、选择题
(1)设fx 是连续函数,且fx ≠0,若xfx
dx
dx=arcsinx+C,则
fx
=( ).
1
A. 1-x2
3
3 2
2 +C B. 1-x2
3
3 1
2 +C C. - 1-x2
3
3 2
2 +C D. - 1-x2
3
3
2 +C
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(2)设fx 是连续函数,Fx 是fx 的原函数,则( ).
A. 当fx 为奇函数时,Fx 必为偶函数 B. 当fx 为偶函数时,Fx 必为奇函数
C. 当fx 为周期函数时,Fx 必为周期函数 D. 当fx 为单调函数时,Fx 必为单调函数
·第184页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(3)设Fx 是sinx2的一个原函数,则d Fx2 =( ).
A. sinx4dx B. sinx2dx2 C. 2xsinx2dx D. 2xsinx4dx
·第185页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(4)设fx sinx, 0≤x<π, = Fx
2, π≤x≤2π,
x = ft
0
dt,则( ).
A. x=π是Fx 的跳跃间断点 B. x=π是Fx 的可去间断点
C. Fx 在x=π处连续但不可导 D. Fx 在x=π处可导
·第186页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(5)fx
x2+1, x≤0,
= 的一个原函数为( ).
cosx, x>0
A. Fx
1
x3+x, x≤0
= 3 B. Fx
sinx+1, x>0
1
x3+x+1, x≤0
= 3
sinx+2, x>0
C. Fx
1
x3+x+1, x≤0
= 3 D. Fx
sinx, x>0
1
x3+x, x≤0
= 3
sinx, x>0
·第187页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(6)设fx 在0,1 上连续,fx >0,f x <0,f x
1
>0,记M= fx
0
dx,N=f1 ,P=
1
f0
2
+f1 ,则( ).
A. M ufx
0
dx
u
C. 当00 ,则( ).
A. a=e-1,b=e B. a=b=2e-1 C. a=e,b=e-1 D. a=b=2e-1
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二、填空题
(1)设Fx 是fx
π
的一个原函数,F
4
π π
=0,当 0,Fx fx
lntanx
=
,则
sinxcosx
fx =_____.
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(2)设对任意x,有fx+4 =fx ,且f x =1+x,x∈-2,2 ,f0 =1,则f9 =_____.
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(3)设fx 在a,b 上连续,若x 0 ∈a,b ,x∈a,b
1 x
,则极限lim ft+Δx Δx→0Δx x0 -ft dt=_____.
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(4)fx =max1,x2 在-∞,+∞ 内满足F0 =1的一个原函数为_____.
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(5)设Fx
x
= tfx2-t2
0
dt,fx 在x=0某邻域内可导,且f0 =0,f 0
Fx
=1,则lim
x→0
=___
x4
__.
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(6)设fx 在[0,+∞)上可导,f0 =0,y=fx 的反函数为gx
x+fx
,若
gt-x
x
dt=x2ln1+x ,
则f1 =_____.
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x u2
arctan1+t
0 0
(7)极限lim
x→0
dt
du
x1-cosx
=_____.
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x
sintdt
(8)极限 lim 0 =_____.
x→+∞ x
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(9)函数y= x2 在 1 , 3
1-x2 2 2
上的平均值为_____.
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(10)设fx
a-x
= e t2a-t
0
dta>0 ,x∈0,a ,则曲线y=fx 与两坐标轴所围成图形的面积为___
__.
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x
(11)曲线y= 绕x轴旋转一周得到一个旋转体,将它在x=0与x=ξξ>0
1+x2
之间部分的体积记
为Vξ ,且Va
1
= limVξ
2 ξ→+∞
,则a=_____.
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(12)设D是由曲线y=sinx+1与直线x=0,x=π,y=0所围的平面图形,则D绕x轴旋转一周所得
旋转体的体积V=_____.
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n-x
(13)设n为正数,lim
x→0 n+x
2 +∞
x = xe-4xdx,则n=_____.
1 n
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三、解答题
(1)求下列积分:
2x⋅3x dx
(I) dx; (II)
9x-4x x2 1-x4
;
dx
(III)
x4 1+x2
arctanx
; (IV)
x2 1+x2
dx;
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x+ln1-x
(V)
dx.
x2
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(2)求下列积分:
dx
(I)
x1+ x
xex
; (II) dx;
ex-1
x3 dx
(III) dx; (IV)
1+x2 2x2+1
;
1+x2
·第208页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
arctan x-1 x
(V) dx; (VI) dx.
x x-1 1-x x
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(3)求下列积分:
dx dx
(I) ； (II) ;
sin2xcos4x 1+sinx
sinx 3sinx+cosx
(III) dx; (IV) dx;
sinx+cosx sinx+2cosx
·第210页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
dx dx
(V) ; (VI) a2+b2>0
sin2x+2sinx a2sin2x+b2cos2x
.
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(4)求下列积分:
lnx
(I)arctan xdx; (II)
1-x
dx;
2
x2ex
(III)
x+2
dx; (IV)sinlnx
2
dx;
·第212页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
1 1-x (V) dx; (VI)e2x 1+tanx
x2 1+x
2 dx.
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(5)求下列积分:
π (I) 4 x2ln 1+x -cosx
-π 1-x
4
1 dx; (II) 2+sinx
-1
1-x2dx;
2 (III) x+x
-2
e -xdx; (IV) 1 2x2+xex+e-x
-1
dx.
1+ 1-x2
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(6)求下列积分:
2
(I) x-1
0
π
2 2x-x2dx; (II) e-cosx-ecosx
0
dx.
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(7)求下列积分:
2
(I) min2,x2
-3
x
dx; (II) 1-t
-1
dtx≥-1 ;
1
(III) x-yexdxy≤1
-1
π
; (IV) 1-sinxdx.
0
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(8)求下列积分:
π
(I) 2 x+sin2x
-π
2
1
cos2xdx; (II) x1-x4
0
3
2dx;
π 1
(III) tsintdt; (IV) 2x-x2+ 1-x2
0 0
3 dx.
·第217页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(9)设fx 在0,π 上有二阶连续导数,f0 =2,fπ
π
=1,计算I= fx
0
+f x sinxdx.
·第218页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(10)求下列积分:
(I) +∞ dx ; (II) 3 2 dx .
1 ex+1+e3-x 1 2 x-x2
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(11)设fx
π
=2 x-tsintdt,x∈-∞,+∞
0
,求fx 的单调区间与极值.
·第220页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(12)设fx 在0,a 上有二阶导数a>0 ,且fx >0,f x
a
>0,证明: fx
0
a
dx>af
2
.
·第221页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(13)设fx 在a,b
b
上连续且单调增加,证明: xfx
a
a+b b
dx≥ fx
2
a
dx.
·第222页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(14)设fx 在a,b 上连续,且y=fx
a+b
的图形关于直线x= 对称,证明:
2
b
xfx
a
a+b b
dx= fx
2
a
dx
·第223页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(15)设fx 在[0,+∞)上连续,且单调增加,证明:当00
1
,梯形OABC的面积为S,曲边梯形OABC的面积为S ,其曲边由y= +x2 1 2
S 3
确定,证明: < .
S 2
1
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π
(18)设曲线y=sinx0≤x≤ 2 ,直线y=k0≤k≤1
π
与x=0所围的面积为S ,y=sinx0≤x≤ 1 2 ,
π
y=k与x= 所围的面积为S ,求S=S +S 的最小值.
2 2 1 2
·第227页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
π
(19)设曲线y=sinx0≤x≤ 2 ,y=1及x=0所围的平面图形为D 1 ,y=sinx0≤x≤π 及y=0所围
的平面图形为D .求:
2
π
(I)D 绕直线x= 旋转一周所得的体积V;
1 2 1
(II)D 绕y轴旋转一周所得的体积V.
2 2
·第228页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(20)设立体图形的底是介于y=x2-1和y=0之间的平面区域,而它的垂直于x轴的任一截面是等
边三角形,求立体体积V.
·第229页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
综合题
一、选择题
(1)设在(-1,1)内fx 是奇函数,Fx 是fx 在(-1,1)内的一个原函数,则在(-1,1)内fx +
Fx ( ).
A. 是可导的偶函数 B. 是连续的奇函数
C. 存在原函数 D. 存在原函数且原函数为奇函数
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(2)设Fx
x+2π
= esint⋅sintdt,则下列选项中正确的是( ).
x
A. Fx 为正的常数 B. Fx 为负的常数 C. Fx 不是常数 D. Fx 恒为零
·第231页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(3)设δ>0,在-δ,δ 内有 fx ≤x2,f x
δ
>0,I= fx
-δ
dx,则( ).
A. I=0 B. I>0 C. I<0 D. 不能确定
·第232页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
π
(4)设I 1 =2 sinsinx
0
π
dx,I 2 =2 cossinx
0
dx,则( ).
A. I <1I >I B. I >I >I C. I >I >I D. I >I >I
2 1 3 3 2 1 1 2 3 2 3 1
·第234页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(6)设fx 在0,1 上可导,fx >0,f x <0,Fx
x
= ft
0
dt,则在x∈0,1 内,有( ).
A. xF1
1
>2 Fx
0
dx B. F1
1
>2 Fx
0
dx
C. Fx
1
<2 Fx
0
dx D. Fx
1
>2 Fx
0
dx
·第235页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(7)设函数fx 在0,a a>0 上有二阶连续导数,且f0 =0,f x >0,则下列选项中正确的是(
).
a
A. 3 xfx
0
a
dx<2 afx
0
a
dx B. 3 xfx
0
a
dx>2 afx
0
dx
a
C. 2 xfx
0
a
dx>3 afx
0
a
dx D. 2 xfx
0
a
dx<3 afx
0
dx
·第236页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
1
(8)设I 1 = ln1+x
0
1arctanx 1
dx,I 2 = 1+x dx,I 3 = ln1+x
0 0
dx,则( ).
A. I >I >I B. I >I >I C. I >I >I D. I >I >I
3 2 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1
·第237页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(9)设fx 二阶可导,则下列选项中结论正确的是( ).
①当f x
π
<0时, fx
-π
sinxdx<0; ②当f x
π
<0时, fx
-π
sinxdx>0;
③当f x
π
>0时, fx
-π
cosxdx>0; ④当f x
π
>0时, fx
-π
cosxdx<0.
A. ②③ B. ①② C. ②④ D. ①④
·第238页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
+∞ -cos1
(10)设反常积分 xke x -e-1
1
dx收敛,则下列选项中正确的是( ).
A. k>-1 B. k<-1 C. k>1 D. k<1
·第239页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(11)设连续函数fx 满足fx =f2a-x a≠0
b
,b为常数,则I= fa-x
-b
dx=( ).
b
A. 2 f2a-x
0
b
dx B. 2 f2a-x
-b
b
dx C. 2 fa-x
0
dx D. 0
·第240页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(12)设φx
x2 x
= ft
x-1 1
dt,fx 为连续函数,则limφx
x→1
=( ).
A. 1 B. f1 C. 0 D. 不存在
·第241页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(13)设fx 有连续导数,f0 =0,f 0 =6,αx
x3
= ft
0
dt,βx
x
= ft
0
dt
3
,则当x→0时,αx
与βx 是( ).
A. 同阶无穷小 B. 等价无穷小 C. 高阶无穷小 D. 低阶无穷小
·第242页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(14)下列积分存在且不为零的是( ).
1 1 A.
0 4x-1
dx B. +∞ x dx C. 1 xln 2+x dx D. π 2 ex2 sinxdx
3 -∞ 1+x2 -1 2-x -π 2
·第243页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
+∞ln1+x
(15)设反常积分
0
dx收敛,则( ).
p
x
A. 01
·第244页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
+∞ dx
(16)设积分I= p>0,q>0
p q
1 x ln x
收敛,则( ).
A. p>1且q<1 B. p>1且q>1 C. p<1且q<1 D. p<1且q>1
·第245页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
+∞x 1-p arctanx
(17)设积分 dxp>0
p
0 2+x
收敛,则p的取值范围为( ).
A. 11,I=ln2 C. a=1,I=ln2 D. a<1,I=ln4
·第247页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
二、填空题
(1)由曲线y=xx-1 2-x 与x轴围成的平面图形的面积A=_____.
·第248页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(2)设f2
1
= ,f 2
2
2
=0,且 fx
0
1
dx=1,则I= x2f 2x
0
dx=_____.
·第249页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(3)设fx
x π
= ecostdt,则I= fx
0 0
cosxdx=_____.
·第250页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
+∞sinx π +∞sin2x
(4)设 dx= ,则I= dx=_____.
0
x 2
0
x2
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+∞ 1 x+1
(5)反常积分I= ln dx=_____.
1 x x
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+∞ xlnx
(6)
0 1+x2
dx=_____.
2
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n
1 n+2k
(7)lim ln =_____.
n→∞ n 3n-2k
k=1
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(8)已知曲线y=yx
1
上任一点(x,y)处的切线斜率为 ,且曲线通过点(-2,0),则该曲线方
x x2-1
程为y=_____.
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三、解答题
(1)求下列积分:
(I)设fx
x dt 1
= ,求I= x2fx
1 1+t4 0
dx;
(II)设fx
x2 1
= e-t2 dt,求I= xfx
1 0
dx.
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(2)设fsin2x
x x
= ,求I= fx
sinx 1-x
dx.
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xcos3x-sinx
(3)计算积分I=esinx⋅ dx.
cos2x
·第258页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
e-sinx⋅sin2x
(4)计算积分I=
sin4 π - x
4 2
dx.
·第259页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(5)设flnx
ln1+x
=
,求I=fx
x
dx.
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(6)设f x =arctanx-1 2 ,f0
1
=0,求I= fx
0
dx.
·第261页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(7)设fx 为连续的非负函数,且满足fx
x
fx-t
0
π
dt=cos4x+x-1,求2 fx
0
dx.
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2
1 x 4-x2u2du-2x
2
(8)求极限lim 0 .
x→0 1+2x3-1
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(9)设fx
fx
连续,lim
x→0
x
fx
=2,求lim 0
x x→0
fx-t dt
x tfx-t
0
.
dt
·第264页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(10)已知 +∞ e-t2 dt= π ,求曲线y=5x+9
2
0
-x e-t2 dt+7x-3
0
x e-t2 dt的斜渐近线方程.
0
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(11)设fx
x
在(-∞,0]上连续,且满足 tft2-x2
0
x2 1
dt= - ln1+x2
1+x2 2
,求函数fx 及其极值.
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2x
1- t sintdt
x
(12)求极限lim 0 .
x→0 x2
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(13)设fx 在1,2
x
上可导,且 tf2x-t
0
1
dt= arctanx2,f1
2
1
= ,证明:至少存在一点ξ∈1,2
2
,
使得f ξ =0.
·第268页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(14)设fx
x2 x
满足e-x- =1+ ft-x
2
0
dt,求fx 在-∞,+∞ 内的最值.
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1 xn
(15)证明:lim dx=0.
n→∞ 0 1+x
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1 2 n
2n 2n 2n
(16)求极限lim + +⋯+
n→∞
n+1 n+1 n+1
2 n
.
·第271页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
1
(17)求极限lim nnn+1
n→∞n
n+2 ⋯2n-1 .
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+∞
(18)设 fx
0
dx收敛,且fx
1 e-x +∞
= - fx
1+x2 1+ex
0
+∞
dx,求 fx
0
dx.
·第273页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
π
(19)设a =4 tannxdx,证明: 1 n
0 2n+1
1 0 n 的递推关系；
3x+4
(II)计算I=
x2+2x+2
dx.
2
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(22)证明:fx
x
= t-t2
0
sin2ntdtx>0 的最大值为f1 ,且f1
1
≤
2n+2 2n+3
.
·第277页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(23)设fx 在a,b 上有二阶连续导数,且fb =f b =0,证明:
b fx
a
1 b dx= f x
2
a
x-a 2 dx.
·第278页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(24)设fx 在a,b 上二阶可导,且f x
a+b
>0,证明:f
2
1 b
< fx
b-a
a
fa
dx<
+fb
.
2
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(25)(I)设fx 与gx 均在a,b
b
上连续,证明: fx
a
gx dx
2 b
≤ f2 x
a
b
dx g2 x
a
dx;
·第280页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(II)设fx 在a,b 上有连续导数,且fa =fb
b
=0,证明: f2 x
a
b-a
dx≤
2
b
f′2 x
8
a
dx.
·第281页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(26)设fx 在a,b aga , fb >gb
b
, fx
a
b
dx= gx
a
dx.证明:
至少存在一点ξ∈a,b ,使得f ξ >g ξ .
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(28)设fx 在-a,a a>0 内连续,且f 0 =A≠0.证明:
(I)对x∈0,a ,存在θ∈0,1
x
,使得 ft
0
-x
dt+ ft
0
dt=x fθx -f-θx ;
1
(II)limθ= .
x→0+ 2
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(29)设y=fx 在0,1 上是非负连续函数.
(I)证明:存在x 0 ∈0,1 ,使得在0,x 0 上以fx 0 为高的矩形面积等于在x ,1 0 上以y=fx 为曲
边的曲边梯形面积;
(II)又设fx 在(0,1)内可导,且f x
2fx
>-
,证明:(I)中的x 是唯一的. x 0
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(30)设曲线y=fx 上任一点 x,fx 处的切线斜率为a2x2-4ax+3,且y=fx 在x=1处取得
极小值0.
(I)求fx 及fx 的其他极值;
1
(II)证明:0≤ fut
0
2
dt≤ ,u∈0,1
3u
.
·第286页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(31)设fx 在-∞,+∞ 内连续,且满足fx+T =fx ,T>0,f-x =fx .
nT
(I)证明: xfx
0
n2T T
dx= fx
2
0
dx(n为正整数);
nπ
(II)计算I= xcosxdx.
0
·第287页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(32)设fx 在-∞,+∞
1 a
内有连续导数,证明:lim ft+a
a→0+4a2
-a
-ft-a dt=f 0 .
·第288页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(33)设曲线y=a xa>0 与y=ln x在点x ,y 0 0 处有公切线.求:
(I)常数a及点x ,y
0 0
；
(II)两曲线与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
·第289页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(34)设fx 在a,b 上可导,fa >0,f x >0,S 1x 与S 2x 为如图3-1所示阴影部分的面积,证
明:存在唯一的ξ,使得
S 1ξ
S 2ξ
=k(k为正的常数).
·第290页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(35)设y=yx
2
由4y= x 12-x2u2dux≥0
0
3
所确定,求y,并计算I= 1+y′2dx.
0
·第291页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(36)设平面图形D由x2+y2≤2x与y≥x确定,求图形D绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积.
·第292页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(37)求曲线y=e-x sinxx≥0 绕x轴旋转所得旋转体的体积.
·第293页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(38)设fx =xn 1-x2 x∈0,1 与y=0所围平面区域的面积为S n ,gx =sin n 2x x∈ 0, π 2 与y
=0所围平面区域绕x轴旋转一周所得的体积为V nn=1,2,⋯
πS
,求极限lim n .
n→∞ V n
·第294页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(39)设曲线y=sinx在x∈0,nπ n=1,2,⋯ 上与x轴所围成的区域为D,D绕y轴旋转一周所得旋
转体的体积为a .求:
n
(I)a ;
n
n 2kπ2 kπ
(II)极限lim sin .
n→∞ k=1 a n 2n
·第295页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(40)求曲线y=3-x2-1与x轴所围封闭图形绕直线y=3旋转一周得到的旋转体的体积.
·第296页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
1
(41)设D是位于曲线y=
xlnx
α>0,2≤x<+∞
α+1
下方及x轴上方的无界区域.求:
(I)D的面积Sα ;
(II)Sα 的最小值.
·第297页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(42)设fx 在[0,+∞)上连续且单调减少,fx
n
≥0,a n = fk
k=1
n
- fx
1
dxn=1,2,⋯ ,证明:
lima 存在.
n
n→∞
·第298页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
1 π b
(43)设a = xn 1-x2dx,b =2 sinnxcosnxdx,求lim n .
n n
0 0
n→∞a
n
·第299页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(44)设fx 在a,b 上连续,在(a,b)内可导,f x >0,证明:存在唯一的ξ∈a,b ,使得y=fx 与
两直线y=fξ ,x=a所围图形的面积S 1 ,以及y=fx 与两直线y=fξ ,x=b所围图形的面积S , 2
满足S =3S .
1 2
·第300页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(45)设非负函数fx 在区间0,1 上有连续的二阶导数,且f0 =1,f x <0,证明:
(I)当x∈0,1
x
时,有 ft
0
1
dt≥ xfx
2
+x ;
1 2
(II) -x
3
0
fx
1
dx≥ .
6
·第301页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
拓展题
解答题
(1)设y=fx 在[0,+∞)上非负连续,并有曲边梯形Dt = x,y ∣0≤x≤t,0≤y≤fx ,Dt 所
围图形的面积St =tet,Dt 绕直线x=t旋转一周所得旋转体的体积为Vt ,求Vt 的表达式.
·第302页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(2)设曲线族y=kx2 k>0
4 π
,对于每个k≥ ,曲线y=kx2与曲线y=sinx0a 上有连续的二阶导数,且f a =f b .证明:存在一点ξ∈a,b ,使得
b
fx
a
1
dx= b-a
2
fa +fb
b-a
+
3
f ξ
24
.
·第307页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(7)设fx 有连续的二阶导数,f0 =f1 =1,M= max
x∈0,1
f x .
(I)证明:当x∈0,1 时,有 f x
1
≤ M;
2
1
(II)在第(I)问的基础上,证明: fx
0
M
dx≤1+ .
8
·第308页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(8)设fx 在[0,+∞)上有连续的二阶导数,且 f x ≤1.
1
(I)证明: fx
0
1
dx-f
2
1
≤ ;
24
(II)若对任意的x∈[0,+∞),有fx =fx+1 n ,n为正整数.证明: fx
0
1 dx≤n + f0
6
.
·第309页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(9)设fx 在0,1 上有连续的导数,f0 =0,f1
1
=1,证明:limn fx n→∞ 0
n 1 k
dx- f n n k=1
1
=- . 2
·第310页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(10)设fx 在0,1 上有连续的二阶导数,fx 不恒为零,且f0 =f1 =0, fx 在x=x 0 处取得
最大值,x 0 ∈0,1 .证明:
(I)至少存在点ξ ∈0,x
1 0
,ξ ∈x ,1
2 0
,使得f ξ
2
-f ξ
1
1
= f ξ
x 2
0
;
1
(II) f x
0
dx≥4 fx 0 .
·第311页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(11)设fx 在a,b 上有连续的二阶导数,且M= max
x∈a,b
f x .证明:
b
(I) fx
a
dx-b-a
a+b
f
2
b-a
≤
3
M;
24
(II)存在一点ξ∈a,b
b
,使得 fx
a
dx=b-a
a+b
f
2
b-a
+
3
f ξ
24
.
·第312页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·3.一元函数积分学及其应用
(12)设fx 在-1,1 上有连续的二阶导数,证明:
(I)存在一点ξ∈-1,1
1
,使得 xfx
-1
1
dx= 2f ξ
3
+ξf ξ ;
(II)若fx 在(-1,1)内取得极值,则存在一点η∈-1,1 ,使得
2f η +ηf η
1
≥ f1
2
-f-1 .
·第313页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·4.多元函数微分学及其应用
第四章多元函数微分学及其应用
基础题
一、选择题
(1)设fx,y =arcsin x2+y4,则下列选项中正确的是( ).
A. f x ′ 0,0 存在,f y ′ 0,0 存在 B. f x ′ 0,0 不存在,f y ′ 0,0 存在
C. f x ′ 0,0 不存在,f y ′ 0,0 不存在 D. f x ′ 0,0 存在,f y ′ 0,0 不存在
·第314页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·4.多元函数微分学及其应用
(2)设f x ′ x 0 ,y 0 ,f y ′ x 0 ,y 0 均存在,则下列选项中正确的是( ).
A. limfx,y
x→x0
y→y0
存在 B. fx,y 在x ,y 0 0 处连续
C. limfx,y 0
x→x0
存在 D. fx,y
∘
在Ux ,y 0 0 内有定义
·第315页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·4.多元函数微分学及其应用
(3)设fx,y
x2+y2
sinxy2
= x2+y4
, x2+y2≠0,
则下列选项中正确的是( ).
0, x2+y2=0,
A. f x ′ y ′ 0,0 存在,f y ′′ x0,0 存在 B. f x ′ y ′ 0,0 不存在,f y ′′ x0,0 存在
C. f x ′ y ′ 0,0 存在,f y ′′ x0,0 不存在 D. f x ′ y ′ 0,0 不存在,f y ′′ x0,0 不存在
·第316页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·4.多元函数微分学及其应用
(4)设fx,y = xy,则( ).
A. 当x>0时,f x ′ x,y
1 y
=- 2 x B. 当x<0时,f x ′ x,y
1 y
= 2 x
C. 当y≠0时,f x ′ 0,y =0 D. 当y≠0时,f x ′ 0,y 不存在
·第317页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·4.多元函数微分学及其应用
(5)设方程xy-zlny+exz=1,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程( ).
A. 可确定隐函数y=yx,z 和z=zx,y B. 可确定隐函数x=xy,z 和z=zx,y
C. 可确定隐函数x=xy,z 和y=yx,z D. 只能确定隐函数z=zx,y
·第318页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·4.多元函数微分学及其应用
(6)设可微函数fx,y 在点Px ,y 0 0 处取得极大值,则( ).
A. fx ,y
0
在y=y 处导数小于零 B. fx ,y
0 0
在y=y 处导数大于零
0
C. fx ,y
0
在y=y 处导数等于零 D. fx ,y
0 0
在y=y 处导数不存在
0
·第319页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·4.多元函数微分学及其应用
(7)设fx,y =e2x x+y2+2y ,则fx,y
1
在点P ,-1
2
处( ).
e e
A. 取得极小值- B. 取得极大值- C. 取得极大值e D. 不取得极值
2 2
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二、填空题
y
lnx+e
(1)lim
x→3
y→0
=_____.
x2+y2
·第321页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·4.多元函数微分学及其应用
x+y
(2)lim =_____.
x→∞
x2-xy+y2
y→∞
·第322页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·4.多元函数微分学及其应用
1
(3)lim1-
2x
x→∞
y→0
x2
x+y =_____.
·第323页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·4.多元函数微分学及其应用
(4)设z=1+xy y ,则dz
1,1
=_____.
·第324页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·4.多元函数微分学及其应用
(5)设函数fx,y 可微,且f1,2 =2,f x ′ 1,2 =3,f y ′ 1,2 =4,Fx =f x,fx,2x ,则F 1 =___
__.
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(6)设z=zx,y 由方程x=ze y+z确定,则dz
e,0
=_____.
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y=fx,t
(7)设
,
Fx,y,t
dy
f 和F有一阶连续偏导数,则 =_____.
=0, dx
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(8)设fu,v 有二阶连续偏导数,y=fex,cosx
d2y
,则 =_____.
dx2
x=0
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(9)设z=zx,y 由方程e 2yz +x+y2+z= 7 确定,则dz
4 1,1
2 2
=_____.
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(10)设fx,y = xy sint dt,则 ∂2f
0
1+t2 ∂x2
0,2
=_____.
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(11)设zx,y 的全微分dz=x2+2xy-y2 dx+x2-2xy-y2 dy,则zx,y =_____.
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(12)设z=zx,y 由方程z+lnz-
x
e-t2 dt=0确定,则
∂2z
=_____.
y ∂x∂y
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x
(13)设z=fxy,
y
y
+g
x
∂2z
,f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,则 =_____.
∂x∂y
x+ky
(14)设
dx+ydy
x+y
为某二元函数ux,y
2
的全微分,则k=_____.
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三、解答题
(1)设u=fx,y,z 有连续偏导数,y=yx ,z=zx 分别由方程e xy -y=0和ez-xz=0确定,求 du .
dx
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(2)设y=yx ,z=zx
x2+y2+z2=3x, dy dz
由方程组 确定,求 , .
2x-3y+5z=4 dx dx
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(3)设当x≥0,y≥0时,有x2-y2 e -x2-y2 ≤k成立,求k的最小值.
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(4)设曲面S:x-y 2 -z2=1,求坐标原点到S的最短距离.
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(5)求fx,y y =1+e cosx-ye y的极值.
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(6)求函数z=x3-3x2-3y2在闭区域D:x2+y2≤16上的最大值.
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(7)求u=x2+y2+z2在条件x+y+z=4和z-x2+y2下的最大值和最小值.
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(8)在第一象限内,过曲线3x2+2xy+3y2=a上任一点作其切线,若切线与两坐标轴所围成的三角形
1
面积的最小值为 ,求a的值.
4
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(9)设ux,y
∂2u ∂2u ∂2u
有二阶连续偏导数,利用变换ξ=x+ay,η=x+by,将方程 +4 +3 =0
∂x2 ∂x∂y ∂y2
∂2u
化为 =0,求a,b的值.
∂ξ∂η
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(10)设fu 有二阶连续导数,且z=fexsiny
∂2z ∂2z
满足 + =ze2x,求fu
∂x2 ∂y2
.
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综合题
一、选择题
(1)设fx,y
fx,y
在点(0,0)处连续,且lim
x→0
y→0
=1,则( ).
x2+y2
e -1
A. fx,y 在点(0,0)处取得极小值 B. fx,y 在点(0,0)处取得极大值
C. fx,y 在点(0,0)处不取得极值 D. 不能确定fx,y 在点(0,0)处是否取得极值
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(2)设fx,y
fx,y
在点(0,0)的某邻域内连续,且lim
x→0
y→0
-f0,0
=-1,则fx,y
x+y4
在点(0,0)处( ).
A. 取得极小值 B. 取得极大值
C. 不取得极值 D. 无法确定是否取得极值
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(3)设fx,y
1
yarctan , x,y
= x2+y2
≠0,0 ,
0, x,y =0,0
则fx,y
,
在点(0,0)处( ).
A. 连续但不可微 B. 偏导数存在但不连续
C. 可微 D. 连续但偏导数不存在
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(4)设函数fx,y =x+y-1
x
arcsin ,则在点(0,1)处( ).
y
A. f x ′ 0,1 =f y ′ 0,1 =1 B. df
0,1
-dy
C. df
0,1
=dx D. df
0,1
不存在
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(5)设fx,y
∂fx,y
可微,对任意的x,y,有
∂fx,y
>0, ∂x
<0,则使fx ,y ∂y 1 1 y B. x >x ,y >y C. x x ,y
0,F x ′ x ′ x 0 ,y 0 <0,则由方程Fx,y :0确定的隐函数y=yx 在x=x 处( ). 0
A. 取得极小值 B. 取得极大值
C. 不取得极值 D. 不能确定是否取得极值
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(7)设fx,y 有一阶连续偏导数,且fx,y =1-x-y+o x-1 2 +y2 ,gx,y =fx+y,xy ,则全
微分dg
1,0
=( ).
A. -2dy B. -dx C. -dx-2dy D. dx-2dy
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二、填空题
(1)设z=zx,y
∂2z
有二阶连续偏导数,且满足 =x+y,zx,0
∂y∂x
=x,z0,y =y2,则zx,y =____
_.
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(2)设z= 2x ,则 ∂nz
x2-y2 ∂yn
2,1
=_____.
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(3)设fx,y 对任意的x,y ∈R2满足fx,y x+y-2 =e +oρ ,其中ρ= x-1 2 +y-1 2 ,则
f1+2h,1
lim
h→0
-f1,1-2h
=_____.
h
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三、解答题
d2z
(1)已知x+y-z=ez,xex=tant,y=cost,求 .
dt2
t=0
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x
(2)设f有一阶连续导数,证明:z=f
y
∂z ∂z
的充分必要条件是x +y =0.
∂x ∂y
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(3)设z=zx,y
1 1 1
是由方程F - -
x y z
1 ∂z ∂z
= 确定的隐函数,其中F可微,求x2 +y2 .
z ∂x ∂y
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(4)设y=gx,z 与z=zx,y 是由方程fx-z,xy
dy
=0确定的函数,求 .
dx
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(5)求函数fx,y =1+y 2 +1+x 2在条件x2+y2+xy=3下的最大值.
·第358页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·4.多元函数微分学及其应用
(6)设函数fx,y =3x+4y-ax2-2ay2-2bxy,问:当a,b满足什么条件时,fx,y 有唯一的极大值
和唯一的极小值?
(7)设fx,y =x3+y3-ax2-by2 a>0,b>0
x2 y2
有极小值-8,求a,b的值,使得椭圆 + =1所
a2 b2
围的面积最大.
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(8)设函数fx,y =x2+2kxy+y2 k>0 满足x2+y2=1的最大值与最小值分别为λ 与λ ,求λ +λ . 1 2 1 2
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(9)求fx,y
x2+y2
-
=xe 2 的极值.
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(10)求fx,y = 1 e - 2 1 y2 x-a
y2
2+y-1 2 (y≠0,a为常数)的极值.
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(11)求u=xy+2xz+2yz在条件xyz=1下的最小值.
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(12)设函数z=zx,y 由方程x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定,求z=zx,y 的极值.
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(13)已知z=fx,y 的全微分dz=y-x2 dx+x-1 dy,且f1,1
1
=- ,求fx,y
3
在D:0≤y≤7
-x,0≤x≤7上的最大值.
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(14)设函数fx,y 的全微分为dfx,y =2ax+by dx+2by+ax dya,b为常数 ,且f0,0 =-3,
f x ′ 1,1 =3.求:
(I)fx,y ;
(II)点(-1,-1)到曲线fx,y =0上的点的距离的最大值.
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(15)设fx,y
1
xysin , x,y
= x2+y2
≠0,0 ,
0, x,y =0,0
讨论fx,y
,
∂f
在点(0,0)处是否可微?偏导数 ,
∂x
∂f
在点(0,0)处是否连续?
∂y
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(16)设中心在原点的椭圆为x2-4xy+5y2=1,求该椭圆的长半轴和短半轴的长度.
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(17)设x=xy ,z=zy
Fy-x,y-z
由方程组
=0,
z
Gxy,
y
dx dz
确定,求 , .
=0 dy dy
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1 1 (18)设α,β为正数,且 + =1,求fx,y
α β
= 1 xα+ 1 y β在条件xy=1x>0,y>0
α β
下的最小值.
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(19)设可微函数fu,v
∂f ∂f
满足 + =u+v
∂u ∂v
eu-v,且f0,v =0,若u=x,v=x+y,求:
∂fx,x+y
(I)
;
∂x
(II)fu,v 的极值.
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(20)设w=xy-z,z=zx,y
∂2z ∂2z ∂2z
有二阶连续的偏导数,且满足 +2 + =0.作变换u=x+y,
∂x2 ∂x∂y ∂y2
v=x-y.
∂2w
(I)求 ;
∂u2
∂w0,v
(II)若
=ve-v,w0,v
∂u
v2
= ,求zx,y
4
的表达式.
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拓展题
一、选择题
当下列选项( )条件成立时,能够推出函数fx,y 在点x ,y 0 0 处可微,且其全微分dfx,y x 0 ,y 0
=0.
A. f x ′ x 0 ,y 0 =f y ′ x 0 ,y 0 =0
B. fx,y 在点x ,y 0 0
ΔxΔy
处的全增量Δf=
Δx
2
+Δy
2
C. fx,y 在点x ,y 0 0
sin Δx
处的全增量Δf=
2
+Δy
2
Δx
2
+Δy
2
D. fx,y 在点x ,y 0 0 处的全增量Δf= Δx 2 +Δy 2 1 sin
Δx
2
+Δy
2
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二、解答题
设fx,y 在点(0,0)的某邻域内有定义,f0,0
fx,y
=0,且lim
x→0
y→0
=1+kk为常数
x2+y2
.证明:
(I)fx,y 在点(0,0)处连续;
(II)当k≠-1时,fx,y 在点(0,0)处不可微;
(III)当k=-1时,fx,y 在点(0,0)处可微.
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第五章微分方程及其应用
基础题
一、选择题
dy x
(1)下列选项(C为任意常数)中,是微分方程 + =0的通解的是( ).
dx y
A. x2+y2=C2 B. x2-y2=C2 C. x2+y2=C D. x2-y2=C
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(2)设y+Px y=0的一个特解为y=cos2x,则该方程满足y0 =2的特解为( ).
A. 2cosx B. 2cos2x C. cos2x D. cos2x+1
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(3)微分方程y+2y-3y=e-x+x的一个特解形式为( ).
A. ae-x+bx+c B. axe-x+xbx+c C. axe-x+bx+c D. aex+xbx+c
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(4)设y 1x ,y 2x 是y+Px y=0的两个不同特解,其中Px 在-∞,+∞ 内连续,且Px 不恒
为0,则下列结论中错误的是( ).
A. y 1x -y 2x =常数 B. C y 1x -y 2x 是方程的通解
C. y 1x -y 2x 在任意一点处不为0 D.
y 2x
y 1x
≡常数 y 1x ≠0
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(5)设y 1x ,y 2x ,y 3x 是微分方程y+px y+qx y=fx 的三个线性无关的解,fx ≠0,则该
方程的通解为( ).
A. C 1 y 1x +C 2 y 2x +y 3x B. C 1 y 1x +1-2C 1 y 2x +C 1 y 3x
C. C -C 1 2 y 1x +C 2 y 2x +y 3x D. C 1 y 1x +C 2 y 2x +C 3 y 3x C +C +C =1 1 2 3
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(6)设fx 在[0,+∞)上可导, lim fx
x→+∞
=bb≠0 ,yx 为方程y+ay=fx a>0 的任一解,则y
=yx 有水平渐近线( ).
b a
A. y=ab B. y=-ab C. y= D. y=
a b
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二、填空题
(1)微分方程1+y2 dx+2x-1 ydy=0的通解为_____.
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y y
(2)方程y= +tan 满足y1
x x
π
= 的特解为_____.
6
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(3)微分方程xy= x2+y2+y的通解为_____.
·第383页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·5.微分方程及其应用
(4)方程y+2y+y=xex满足y0 =0,y 0 =0的特解为_____.
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(5)方程y-3y+2y=10e-xsinx满足当x→+∞时,yx →0的特解为_____.
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(6)设二阶线性非齐次微分方程y+px y+qx y=fx 的三个特解分别为x,ex,e-x,则该方程的
通解为_____.
·第386页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·5.微分方程及其应用
(7)设二阶常系数线性微分方程y+ay+by=cex有特解y*=e-x 1+xe2x ,则该方程的通解为__
___.
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三、解答题
(1)设fx 是连续函数,且fx
x
=cosx- x-t
0
ft dt,求fx .
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(2)设fx 可导,对任何实数x,y满足fx+y =exfy y +e fx ,且f 0 =e,求fx .
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(3)设微分方程y+ax y=x2,ax
1, x≤1,
= 1 求在-∞,+∞
, x>1,
x
内的连续函数y=yx ,使其在
-∞,1 和1,+∞ 内均满足微分方程,且y0 =2.
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(4)求微分方程y-y=0的一条积分曲线,使此积分曲线在原点处有拐点,且以直线y=2x为切线.
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(5)利用变换u=ex,求微分方程y-2ex+1
y+e2xy=e3x的通解.
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(6)设L是一条平面曲线,其上任意一点Px,y x>0 到原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的
1
截距,且L过点 ,0
2
.求:
(I)曲线L的方程;
(II)L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围的面积最小.
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(7)设OA是连接O0,0 和A1,1 的一段向上凸的曲线弧,Px,y
为OA上任意一点,曲线弧OP与
有向线段OP所围图形的面积为x2,求曲线弧OA的方程.
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(8)设y=yx 满足xy-2x2-1 y=x3 x≥1 ,y1 =a.
(I)求yx ;
yx
(II)若 lim
x→+∞
存在,求曲线y=yx
x
的斜渐近线方程.
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(9)设fx 满足xf x -fx =a1-lnx +x2 x>0,a≠0 ,f1 =1-a.
(I)求fx 的表达式;
(II)若方程fx =0在x∈0,+∞ 内有唯一实根,求a的取值范围.
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(10)设fx 满足xf x -3fx =2x,f1
1
= k-1,k>0.求:
3
(I)fx 的表达式;
(II)fx 在x∈ 0, 1
k
上的最小值与最大值.
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综合题
一、选择题
(1)下列方程中,以y=C ex+C cosx+C sinxC ,C ,C 为任意常数)为通解的是( ).
1 2 3 1 2 3
A. y-y+y-y=0 B. y+y+y-y=0
C. y+y-y-y=0 D. y-y-y-y=0
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(2)若二阶常系数线性齐次微分方程y+py+qy=0的通解为y=C ex+C xex,则非齐次微分方程
1 2
y+py+qy=x满足y0 =2,y 0 =0的特解为y=( ).
A. xex-x-2 B. xex-x+2 C. -xex+x+2 D. -xex-x+2
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(3)设C为任意常数,则以y=eCx+x2为通解的一阶微分方程为(
).
A. xy-ylny=x2y B. xy+ylny=xy2 C. xy-ylny2=xy D. xy+ylny=xy
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(4)设y 1 ,y 2 是一阶线性非齐次微分方程y+Px y=Qx 的两个解,若常数λ,μ,使得λy +μy 是该 1 2
方程的解,λy -μy 是对应的齐次微分方程的解,则( ).
1 2
1 1 1 1 1 2 2 2
A. λ=- ,μ=- B. λ= ,μ= C. λ= ,μ= D. λ= ,μ=
2 2 2 2 3 3 3 3
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二、填空题
y
(1)微分方程y=
x+y+1
(y不为常函数)的通解为_____.
2
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(2)微分方程y-y=sinx满足y0 =0,y 0
3
= 的特解为_____.
2
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y2-x
(3)微分方程y=
2yx+1
的通解为_____.
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dy y-x
(4)微分方程 = 满足y1
dx y+x
=0的特解为_____
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x
(5)微分方程ysec2y+ tany=x满足y0
1+x2
=0的特解为_____.
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(6)微分方程y+y=x+cosx的通解为_____.
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(7)微分方程y-y=sin2x的通解为_____.
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(8)设fx 有连续导数,对任意a满足fx+a
x+att2+1
=
x
ft
dt+fx ,且f1 = 2,则fx =__
___.
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(9)设函数yx 满足y+2ay+b2y=0a>b>0 ,且y0 =1,y 0
+∞
=1,则 yx
0
dx=_____.
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三、解答题
(1)设fx 满足fx+y
fx
=
+fy
1-fx fy
,且f 0 存在,求f x 及fx .
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(2)利用变量替换x=sint,y=yt
π
00
fx
,且lim
x→0+
=0.
x
(I)求fx 的表达式;
(II)若y=fx 在0,nπ 上与x轴所围图形的面积为A nn=1,2,⋯
A
,求lim n
n→∞ n+1
.
2
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(10)设ft 有二阶连续导数,f1 =f 1 =1.在x>0的平面区域内,存在函数ux,y ,使得
dux,y y2 y = +xf x x y dx+ y-xf x dy.求ft 及其极值.
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(11)设ft 在0,+∞ 内有二阶连续导数,记gx,y
y
=f
x
.若gx,y 满足
∂2g ∂2g ∂2g
x3 +x2y +xy2 =y,且gy,y
∂x2 ∂x∂y ∂y2
∂g
=1,
∂y y,y
2
= ,求ft
y
.
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(12)设fx 在0,1 上有连续导数,f0 =1,f + ′ 0 =1,且 f x+y
D
dxdy=
fx+y
D
+x-y 3 dxdy,其中D= x,y ∣0≤y≤t-x,0≤x≤t 02.
1 2
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(14)(I)设at
+∞
在[0,+∞)上是非负连续函数,证明:当且仅当 at
0
dx
dt发散时,微分方程 +
dt
at x=0的每一个解xt 满足 limxt
t→+∞
=0;
(II)设a>0,ft
dx
在[0,+∞)上连续有界,证明:方程 +ax=ft
dt
t≥0 的所有解在[0,+∞)上有
界.
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(15)设上凸曲线y=yx y>0 上任意一点Mx,y 处的切线与x轴交于点N,且满足OM=ON,
y0 =1,y x >0,求y=yx .
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拓展题
解答题
(1)设fx 有二阶连续导数,且fx
x
= f1-t
0
dt+1,求fx .
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(2)设fx 在0,+∞ 内有定义,f 1 =1,当x,y∈0,+∞ 时,满足fxy =yfx +xfy .
(I)证明:fx 在0,+∞ 内可导,且f x
fx
=
+1;
x
(II)求函数fx 的极值.
·第427页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·5.微分方程及其应用
(3)设ft t≥0 有连续导数,且满足ft
1
= ft- x2+y2
2π x2+y2≤t2
dxdy+t.求ft .
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第六章微积分在经济学中的应用
基础题
一、填空题
(1)设某商品的需求量Q对价格P的弹性为Pln3,若该商品的市场最大需求量为1500件,则需求函
数为Q=_____.
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(2)设商品的需求函数为Q=100-5P,其中P为价格,若商品需求对价格的弹性的绝对值大于1,则
商品价格P的取值范围为_____.
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(3)设边际成本函数为MC=3Q2-118Q+1200,其中Q为产量,固定成本为1500,则总成本函数为
CQ =_____.
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1
(4)差分方程2y -y =3⋅
t+1 t 2
t
的通解为_____.
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2 2
(5)差分方程y - y = 的通解为_____.
t+1 3 t 3
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(6)差分方程y -2y =2t的通解为_____.
t+1 t
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(7)差分方程Δ2y -y =5的通解为_____.
t t
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二、解答题
Cx
(1)设某产品生产x单位,边际单位成本函数为
x
100
=- ,当产量为1单位时,成本为102,若
x2
边际收益函数为R x
x
=12- ,且R0
10
=0,求利润最大时的产量和平均价格.
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(2)设某产品的成本函数CQ
m-P
=aQ2+bQ+c,需求函数为Q= ,其中Q为需求量(即产量),P
n
为单价,a,b,c,m,n均为大于零的常数,且m>b.求:
(I)利润最大时的产量及最大利润;
(II)需求对价格的弹性ηη>0 ；
(III)当η=1时的产量.
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(3)某公司通过电视和网络两种形式作广告,设销售收入为R(万元),电视广告费为x (万元),网络广
1
告费为x (万元),它们之间有如下关系:Rx ,x
2 1 2
=15+14x +32x -8x x -2x2-10x2.
1 2 1 2 1 2
(I)在广告费用不限的条件下,求最佳广告方案;
(II)若广告费用为1.5万元,求相应的广告方案.
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(4)设某公司的总成本函数为C=CQ
1
= Q2+36Q+9800,求平均成本最低时的最低平均成本.
2
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综合题
一、填空题
(1)设某公司在t时刻的收入为Rt ,Rt 为连续函数,且R0 =0,从0时刻到t时刻的平均收入为
1 Rt
- t+
2
,则Rt
t
=_____.
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(2)已知某产品的生产函数为Q=AKαL β ,其中Q表示产量,K表示资金,L表示劳动力,A,α,β均为正
∂Q ∂Q
常数,且α+β=1,则K +L =_____.
∂K ∂L
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二、解答题
(1)设生产商的总收益函数和总成本函数分别为R=RQ =30Q-3Q2, C=CQ =2+2Q+Q2,
生产商以获取最大利润为目标,税务机关对产品征税.求:
(I)生产商纳税前的最大利润,及此时的产量和产品价格；
(II)征税收益的最大值及此时的税率t.
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(2)设生产某种产品的固定成本为C (万元),每生产一件产品,成本增加a(万元),已知该产品需求对
0
P
价格的弹性为η= >0,P为价格,若市场对该产品的最大需求量为c件,其中a,b,c,C 均大于
b-P 0
零.
(I)为获得最大利润,问如何定价?
(II)若每销售一件产品需纳税t万元,问如何定价可使利润最大？
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(3)设生产某产品的固定成本为40,边际成本和边际收益分别为MC=Q2-14Q+111,MR=100-
2Q,求生产商的最大利润.
·第444页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·6.微积分在经济学中的应用
(4)设某商品的需求函数为Q=100-5P.
(I)当P=3时,问涨价会使销售收入增加还是减少？若价格上涨幅度为8.5%,则对销售收入影响的
幅度是多少?
(II)当P=12时,问涨价会使销售收入增加还是减少？若价格上涨幅度为5%,则对销售收入影响的
幅度是多少?
·第445页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·6.微积分在经济学中的应用
(5)为实现利润最大化,厂商需要对某商品确定其定价模型.设Q为该商品的需求量,P为价格,MC为
边际成本,η为需求弹性η>0 .
MC
(I)证明:定价模型为P= ;
1-1
η
(II)若该商品的成本函数为CQ =1600+Q2,需求函数为Q=40-P,求由(I)中定价模型确定的
此商品价格.
·第446页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·6.微积分在经济学中的应用
(6)(I)设某商品的需求函数为Q=φP ,P表示价格,φ为严格单调函数,证明:边际收益与需求价格
dR 1
弹性E 有如下关系: =P1+ d dQ E
d
P>0,R表示总收益 ;
(II)若Q=8000-8P,求总收益最大时的需求量Q和商品的价格.
·第447页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·6.微积分在经济学中的应用
(7)在同一市场上销售两种性能有差异的同一类手机A与B,设Q ,Q 分别表示它们的需求量,P ,P
A B A B
分别为其价格,且生产这两种手机时每部所需的平均成本分别为C =4.5(百元/件),C =2(百元/
A B
件).已知需求函数分别为Q =9.5-P +2P , Q =7+2P -5P ,试确定其价格,使其利润最大.
A A B B A B
·第448页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·6.微积分在经济学中的应用
(8)求差分方程y -2y =sint的通解.
t+1 t
·第449页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·6.微积分在经济学中的应用
1 1
(9)设生产函数为Q=8L2K4,其中L为劳动力投入量,K为资金投入量,产品的价格P=4,设投入两
要素的价格分别为P =4,P =8,求当利润最大时的产出水平和最大利润.
L K
·第450页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
第七章二重积分
基础题
一、选择题
1 (1)设D为由直线x+y= 2 ,x+y=1与两坐标轴所围的区域,且I 1 = lnx+y
D
9 dxdy,
I 2 = x+y
D
9 dxdy, I 3 = sinx+y
D
9 dxdy,则( ).
A. I ≤I ≤I B. I ≤I ≤I C. I ≤I ≤I D. I ≤I ≤I
1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2
·第451页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
(2)设D是xOy平面上以A1,1 ,B-1,1 ,C-1,-1 为顶点的三角形区域,D 是D在第一象限的部 1
分,则I= xy+cosxsiny
D
dxdy=( ).
A. 0 B. 2 xydxdy
D1
C. 2 cosxsinydxdy D. 4 xy+cosxsiny
D1 D1
dxdy
·第452页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
2 x2
(3)积分I= dx2 fx,y
0 0
2 2 8-x2
dy+ dx fx,y
2 0
dy=( ).
2 8-y2
A. dy fx,y
0 y
2 8-y2
dx B. dy fx,y
0 2y
dx
2 8-y2
C. dy fx,y
0 2y
2 8-y2
dx D. dy fx,y
0 y
dx
·第453页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
(4)设D:x2+y2≤x,则 fx,y
D
dxdy=( ).
π cosθ
A. dθ frcosθ,rsinθ
0 0
π sinθ
rdr B. dθ frcosθ,rsinθ
0 0
rdr
π cosθ
C. 2 dθ frcosθ,rsinθ
-π
2 0
π sinθ
rdr D. 2 dθ frcosθ,rsinθ
-π
2 0
rdr
·第454页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
π 2sinθ
(5)将二重积分I=2 dθ frcosθ,rsinθ
π
4 0
rdr化为直角坐标系下的二次积分,则I=( ).
1 x
A. dx fx,y
0 1- 1-x2
1 1-x2
dy B. dx fx,y
0 x
dy
1 y
C. dy fx,y
0 0
2 2y-y2
dx+ dy fx,y
1 0
1 2y-y2
dx D. dy fx,y
0 y
dx
·第455页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
二、填空题
1 1
(1)二重积分I= dx siny2dy=_____.
0 x
·第456页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
(2)设D:x2+y2≤4,x≥0,y≥0,fx 在[0,+∞)上连续且取正值,则
a fx
I=
D
+b fy
fx + fy
dxdy=_____.
·第457页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
(3)设fx 在0,1
1
上连续,且 fx
0
1 1
dx=A,则I= dx fx
0 x
fy dy=_____.
·第458页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
1+x-y
(4)设D:x2+y2≤1,x≥0,y≥0,则I= dxdy=_____.
D1+x2+y2
·第459页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
dxdy
(5)设D:2x≤x2+y2,0≤y≤x≤2,则I= =_____.
D x2+y2
·第460页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
(6)设D= x,y ∣0≤y≤1-x,0≤x≤1
x
,则 ex+ydxdy=_____.
D
·第461页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
x2 y2
(7)设D:x2+y2≤1,则I= +
4 9
D
dxdy=_____.
·第462页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
(8)设区域D由x=- 2y-y2,x=-2,y=0,y=2所围,则I= ydxdy=_____.
D
·第463页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
(9)设D:x2+y2≤2x,则I= 2x+3y
D
dxdy=_____.
·第464页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
三、解答题
(1)计算下列二重积分:
(I)设D由x-y=0,x+y=0及x=1所围,求I= xyx-y
D
dxdy;
siny
(II)设D由y= x,y=x所围,求I= dxdy;
y
D
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(III)设D由y=x2 x≥0
xy
,y=1,x=0所围,求I= dxdy;
D 1+y3
(IV)设D:-1≤x≤siny,y≤
π
,求I= xe
x2+cosy
siny-1
2
D
dxdy.
·第466页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
(2)设D:x2+y2≤ 2x,0≤y≤x,计算I= x2+y2-1dxdy.
D
·第467页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
(3)设D= x,y ∣0≤x≤2,0≤y≤ 2x-x2 ,计算I= x+y-2dxdy.
D
·第468页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
y
(4)设D:1≤x2+y2≤2x,y≥0,计算I=
D 1+x2+y2
dxdy.
x2+y2
·第469页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
(5)设D:0≤x≤2,0≤y≤2,计算I= 1+x+y
D
dxdy,其中1+x+y 表示不超过1+x+y的最大
整数.
·第470页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
(6)设D= x,y ∣0≤x≤1,0≤y≤1 ,计算I= max 2x-x2,1-y
D
2 dxdy.
·第471页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
(7)计算I= sgnx2-y2+2
D
dxdy,其中D:x2+y2≤4.
·第472页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
(8)设fx,y
1
= x2+y2
, 1≤x≤3, 3 x≤y≤x,
2 3 D由x=3,x=1,y=0,y=3所围,
0, 其他,
计算I= fx,y
D
dxdy.
·第473页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
(9)设D= x,y x-1 2 +y2≤1,x2+y-1 2 ≤1,x≥0,y≥0 ,计算I= x+2y+x-y
D
3 dxdy.
·第474页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
综合题
一、选择题
(1)I 1 = cos x2+y2dxdy,I 2 = cosx2+y2
D D
dxdy,I 3 = cosx2+y2
D
2 dxdy,其中D:x2+y2≤1,则(
).
A. I >I >I B. I I >I D. I >I >I
1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 1 2
·第475页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
(2)设D= x,y x +y ≤1 ,I 1 = x2+y2tanx
D
dxdy,I 2 = x2y+tany2
D
dxdy,
I 3 = xy2+siny2
D
dxdy,则( ).
A. I 0 的顺序为_____.
·第485页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·7.二重积分
x2 y2
(7)(选做)设D: + ≤1,则I= y2dxdy=_____.
a2 b2
D
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三、解答题
(1)设D是由曲线xy+x+y=1与x轴所围成的有界区域,计算I= 2ln1+y
D
-y+x dxdy.
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(2)设D= x,y ∣x-1 2 +y-1 2 ≤1,x2+y2≤1 ,计算I= 2x-y2
D
dxdy.
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(3)设平面曲线x+y 3 =xy在第一象限所围成的区域为D,计算I= x-y
D
3 +1 dxdy.
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1 2-x (4)计算积分I= dx ex+y
0 1-x
2 sin2x+cos2y 2 2-x dy+ dx ex+y
1 0
2 sin2x+cos2y dy.
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1 t t (5)求极限lim dxsinxy
t→0+t6
0 x
2 dy.
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(6)设D= θ,r π 0≤θ≤ ,0≤r≤1
2
,计算I= r3er2cos2θsin2θdθdr.
D
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(7)设D= x,y ∣x2+y2≤1,0≤y≤x
xy
,计算I= dxdy. D1+x2-y2
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(8)设D= x,y ∣0≤x≤1,0≤y≤x ,计算I= arcsin2 x-x2
D
dxdy.
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(9)设可导函数fx fx 满足lim
x→0
t t2-x2
dx f x2+y2
=1,求极限lim 0 - t2-x2
x t→0+
+2y dy
.
t3
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(10)设Ft
2 F x2+y2 x 1-
= x2+y2
x2+y2
dx dy, t>0,
在[0,+∞)上连续,求函数Ft
0, t=0
的表达式.
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(11)设ft 在-∞,+∞ 内有连续导数,且ft =2 x2+y2
D
f x2+y2 dxdy+t4, D:x2+y2≤t2,
求ft .
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(12)设fx,y 在区域:0≤x≤1,0≤y≤1上连续,f0,0 =0,且fx,y 在点(0,0)处可微,
f y ′ 0,0
x2 t
dt ft,u
=1,求lim 0 x
x→0+
du
.
-x4
1-e 4
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(13)设D是由y= 1-x2,y= 4-x2与x+y=0及x轴所围,且位于x+y≥0部分的区域,计算I
x2+y2
= dxdy.
D
x2+2y2
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(14)设D= x,y ∣4≤x2+y2≤9,x≥0,y≥0 ,fx,y 在D上连续,且fx,y =sinπ x2+y2 +
1 xfx,y
π
D
dxdy.求I= fx,y
x+y
D
dxdy.
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(15)设fx
1
xf2 x
是连续正值函数,且单调减少,证明: 0
dx
1
xfx
0
1
f2 x
≤ 0
dx
dx
1
fx
0
.
dx
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(16)设fx 在0,1 上是连续正值函数,且fx 单调减少,D:0≤x≤1,0≤y≤1,证明:
xfx
D
fy fx -fy dxdy≤0.
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(17)设fu 在-1,1 上连续,D:x+y≤1,证明: fx+y
D
1
dxdy= fu
-1
du.
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(18)设D:x2+y2≤2tx,y≥0t>0 ,fu 在u=0处可导,且f0
1
=0,求lim f x2+y2
t→0+t4
D
ydxdy.
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拓展题
解答题
(1)设D:x2+y2≤4,x≥0,y≥0,fx,y 在D上连续,且求fx,y .
fx,y =x2+y2-x+y-1 + fu,v
D
dudv,
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(2)设ft 在[0,+∞)上连续,且满足ft =e4πt2 + x2-y2+f 1 x2+y2
x2+y2≤4t2 2
dxdy.求:
(I)ft ;
(II)lim ft
t→0+
1
t2
.
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第八章无穷级数
基础题
一、选择题
∞ ∞
(1)设级数u
n
与v
n
均发散,则( ).
n=1 n=1
∞
A. u n +v n
n=1
∞
必发散 B. u n v n 必发散
n=1
∞
C. u n+v n
n=1
∞
必发散 D. u2 n +v2 n
n=1
必发散
·第507页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
(2)下列选项中正确的是( ).
∞ ∞ ∞
A. 若u
n
v n收敛,则u2
n
与v2
n
都收敛
n=1 n=1 n=1
∞ ∞ ∞
B. 若u2 n 和v2 n 都收敛,则 u n +v n
n=1 n=1 n=1
2收敛
∞ ∞
C. 若v
n
收敛且u
n
≤v
n
,则u
n
收敛
n=1 n=1
∞
D. 若u n 发散u n ≥0
n=1
1
,则u ≥ n
n
·第508页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
(3)下列选项中正确的是( ).
∞ ∞ ∞
A. 若u
n
与v
n
都收敛,则u
n
v
n
必收敛
n=1 n=1 n=1
∞ ∞ ∞
B. 若u
n
与v
n
都发散,则u
n
v
n
必发散
n=1 n=1 n=1
∞ ∞ ∞
C. 若u
n
收敛,v
n
发散,则u
n
v
n
必发散
n=1 n=1 n=1
∞ ∞
D. 若u n 收敛,v nv n >0
n=1 n=1
∞
收敛,则u n v n收敛
n=1
·第509页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
∞
(4)设u
n
收敛,则下列级数中收敛的是( ).
n=1
∞ ∞
A. u2 n B. u n +u n+1
n=1 n=1
∞
C. -1
n=1
∞
u
n-1 n D. u -u n 2n-1 2n
n=1
·第510页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
∞
(5)设u nu n >0
n=1
收敛,则下列选项中正确的是( ).
∞ ∞ u
A. u2 n 收敛 B. u n 收敛 C. lim n+1 <1 D. limnu n <1
n=1 n=1 n→∞ u n n→∞
·第511页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
(6)下列选项中正确的是( ).
∞
A. 若u nu n >0
n=1
收敛,则limn2u =0 n
n→∞
∞ ∞
B. 若u n 收敛,则 -1
n=1 n=1
n-1 u n 必条件收敛
∞
C. 若 -1
n=1
n-1 u nu n >0
∞
条件收敛,则u n 发散
n=1
∞
D. 若 u +u 2n-1 2n
n=1
∞
收敛,则u n 必收敛
n=1
·第512页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
∞
n+1- n-1
(7)级数 sinn+k
n
n=1
k为常数 ( ).
A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛性与k有关
·第513页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
∞
(8)设幂级数a nx-1
n=1
∞
n在x=-1处条件收敛,则a n ( ).
n=1
A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 无法确定敛散性
·第514页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
∞ ∞
a
(9)设级数a n xn在x=2处条件收敛,则 n x-1
n+1
n=0 n=0
n在x=-1处( ).
A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定
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二、填空题
(1)设fx
∞
=xn,则将Fx
n=0
xfx
=
展开为x的幂级数后变为_____.
1-x
·第516页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
∞
(2)设a nx-1
n=0
n的收敛域为-1,3
∞
,则a n x2n的收敛域为_____.
n=0
·第517页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
(3)将fx
x
= e-t2 dt展开为x的幂级数后变为_____.
0
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三、解答题
(1)判别下列级数的敛散性:
∞
n+1
n n
(I)
n=1
n+1
n
∞ an
; (II) a>0,p>0
n p n
n=1
;
∞ 1 ∞ 1 1
(III) ; (IV) an -an+1
n
n=1 1+x3 dx n=1
0
a>0 ;
·第519页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
∞
1 1 (V) -ln1+
n n
n=1
∞
1 ; (VI) na- 1+
n
n=1
a>0 .
·第520页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
(2)判别下列级数的敛散性,若收敛,则判断是条件收敛还是绝对收敛:
∞
(I)设 -1
n=1
∞
n-1 a n en收敛,判别a n 的敛散性;
n=1
∞
(II) -1
n=1
n-1 1
ln1+n
;
·第521页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
∞ -1
(II)
n=1
n
;
n-lnn
∞
(IV) -1
n=1
n-1 n3-1 .
·第522页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
(3)求下列级数的收敛域:
∞ -1
(I)
n=1
n xn ∞ x-3
； (II)
2n n
n=1
n
;
n⋅3n
∞
(III) -1
n=1
n nnxn; (IV)
∞ x2n-1
.
3n
n=1
·第523页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
(4)求下列级数的收敛域:
∞ xn2 ∞ x2n+1
(I) ; (II) ;
2n 3n+n2
n=1 n=1
∞ 1
(II) 1+
n
n=1
-n2 ∞ 1 1
xn; (IV) +
nlnn 2n
n=2
xn.
·第524页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
(5)求下列幂级数的收敛域及和函数:
∞ xn-1 ∞ n-1
(I) ; (II)
n2n
n=1 n=0
2
xn;
n+1
∞ n2+1 ∞ -1
(III) xn; (IV)
n! n=0 n=0
n n+1
2n+3
x2n.
!
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(6)将下列函数展开为x的幂级数,并确定收敛域:
(I)f 1x
1
=
x2-3x+2
; (II)f 2x =ln1-x-2x2 ;
(III)f 3x =lnx+ 1+x2 ; (IV)f 4x =xarctanx-ln 1+x2.
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(7)将fx
x
= 展开为x-5的幂级数.
x2-5x+6
·第527页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
(8)将fx
π
=sin x在x=-2处进行幂级数展开.
2
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(9)求下列级数的和:
∞
1
(I)
n=2
n2-1
∞
2n+1
; (II) .
2n n!
n=0
·第529页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
(10)(I)证明:yx
x3 x6 x9 x3n
=1+ + + +⋯+
3! 6! 9! 3n
+⋯-∞0, 收敛, 发散,则( ).
nn na
n=1 n=2
1 1
A. a>e B. a=e C. 1 D. p<0
·第541页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
∞
(12)设级数 -1
n=1
∞
n-1 1 绝对收敛, -1
2-p
n n=2
n 1
p
n lnn
条件收敛,则( ).
2
A. 0≤p<1 B. 01 =_____.
·第548页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
∞
(5)设 -1
n=1
∞ ∞
n-1 u n =2,u 2n-1 =5,则u n =_____.
n=1 n=1
·第549页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
∞
1 1+x 1
(6)设
4
ln
1-x
+
2
arctanx-x=a
4n+1
x4n+1,x<1,则a
4n+1
=_____
n=1
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∞ n+1 dx
(7) =_____.
n=1 n x x-1
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∞ n+1arctanx
(8) dx=_____.
n=1 n
x2
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三、解答题
(1)已知函数y=yx 满足方程y=x+y,且y0
∞
1 =1,讨论级数 y
n
n=1
-1- 1
n
的敛散性.
·第553页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
∞ xn
(2)求
n=1 n 3n+-2 n
的收敛区间,并讨论在端点处的敛散性.
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(3)(I)设k>0,x>0,证明:不等式kx<1+k2x2 arctankx;
∞ -1
(II)判别级数
n=1
n arctankn
k>0
n
是绝对收敛,还是条件收敛.
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(4)设数列a n 满足a n =a 0 +ndn=1,2,⋯ ,其中a ≠0,d≠0为常数.求: 0
∞
(I)a
n
xn的收敛域;
n=0
∞
a
n
(II) .
2n
n=0
·第556页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
∞
1
(5)设 =a
n
xn.证明:
1-x-x2
n=0
(I)a 0 =1,a 1 =1,a n+2 =a n+1 +a nn=0,1,2,⋯ ;
∞ a
(II) n+1 收敛,并求其和.
a a
n=1 n n+2
·第557页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
∞
(6)设u nu n >0
n=1
发散,S =u +u +⋯+u . n 1 2 n
∞
1 1
(I)求 -
S S
n=1 n n+1
的和;
∞
u
(II)证明: n 收敛.
S2
n=1 n
·第558页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
(7)设fx 在a,b 上可导,且满足a≤fx ≤b, f x ≤k<1,u 0 ∈a,b ,u n =fu n-1 u=1,2,⋯ ,
证明:
∞
(I) u n+1 -u n
n=1
绝对收敛;
(II)limu 存在.
n
n→∞
·第559页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
(8)设fx 可导,且fx >0, f x ≤afx 01
∞
,证明:当x<1时,a n xn收敛,并求其和
n=0
函数.
·第568页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
(17)设fx
∞ xn
= ,证明:fx
n2
n=1
+f1-x +lnxln1-x
∞ 1
= .
n2
n=1
·第569页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
(18)设fx = ∞ a n xn满足 f x n! n=0 -f x -2fx =0, f0 =0,f 0 求fx =1, 及a . n
·第570页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
1 π
(19)设a n = xn 1-x2dx,b n =2 sinntdtn=1,2,⋯
0 0
∞
,求级数 -1
n=1
a
n-1 n 的和.
b
n
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拓展题
解答题
(1)设a 0 =1,a 1 =0,n+1 a n+1 =na n +a n-1n=1,2,⋯ ,Sx
∞
=a n xn.求:
n=0
∞
(I)lima
n
,并计算级数a
n
xn的收敛半径;
n→∞
n=0
(II)Sx 满足的一阶微分方程,并求和函数Sx .
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(2)设fx 在-1,1
fx
上有定义,在x=0的某邻域内有二阶连续导数,且lim
x→0
=0,证明:级数
x
∞
1
f
n
n=1
绝对收敛.
·第573页，共574页·公众号：做题本集结地 880·数三高数·8.无穷级数
(3)设fx 满足f x +2f x +fx =0,且f0 =1, f 0
+∞
=0, a n = fx
n
dx.求:
(I)fx 及a ; n
∞
(II)级数a
n
的和.
n=1
·第574页，共574页·
