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公众号：做题本集结地 880·数二线代·7.行列式
线性代数
第七章 行列式
基础题
一、选择题
3 0 4 0
2 2 2 2
(1)设行列式D= ,则D的第4行各元素的余子式之和M +M +M +M =
41 42 43 44
0 -7 0 0
5 3 -2 2
( ).
A. -28 B. 28 C. 14 D. -14
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(2)设α ,α ,α ,β ,β 均是4维列向量,且4阶行列式 α ,α ,α ,β
1 2 3 1 2 1 2 3 1
=a, α ,α ,β ,α
1 2 2 3
=b,则行列
式 α ,α ,α ,β +β
3 2 1 1 2
=( ).
A. a+b B. a-b C. b-a D. -a+b
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(3)设β
1
,β
2
,α
1
,α
2
,α
3
均是4维列向量,且 A = β
1
,α
1
,α
2
,α
3
=1,B = β
2
,α
1
,3α
2
,α
3
=3,则
A+B=( ).
A. 15 B. 16 C. 31 D. 32
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(4)设3阶矩阵A=a ij 满足AT=kA* k>0 3×3 ,若a =a =a =c>0,则c=( ). 11 12 13
3 3k2 3
A. B. C. 3k2 D.
3k 3 k2
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二、填空题
k 0 -1 1
0 k 1 -1
(1) =_____.
-1 1 k 0
1 -1 0 k
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λ-a -1 -1
(2)若 -1 λ-a 1 =0,则λ=_____.
-1 1 λ-a
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1 0 0 1
0 2 0 1
(3)D = =_____.
4
0 0 3 1
1 1 1 4
·第7页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·7.行列式
0 1 2 0
1 0 0 2
(4)行列式D = =_____.
4
0 3 4 0
3 0 0 4
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a -1 0 0
0 a -1 0
(5)行列式D = =_____.
4
0 0 a -1
4 3 2 a+1
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(6)设fx
x -2x 1 2
1 x 1 -1
= ,则x3的系数为_____.
3 2 3x 1
1 1 1 x
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(7)设A是n阶方阵,且AAT=E,A<0,则A+E=_____.
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(8)设A是n阶方阵,E是n阶单位矩阵,且A2=A,A≠E,则A=_____.
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(9)设A,B均为n阶方阵,且A=B=A-1+B=2,则A+B-1 =_____.
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(10)设A=2,B=-2,其中A,B均为n阶方阵,则A-1B*-A*B-1 =_____.
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(11)设3阶方阵A=α ,α ,α
1 2 3
,B=3α -α ,3α -2α ,2α -α -2α
1 2 2 1 3 1 2
,且B=14,则A=_____.
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(12)设A=a ij 为n阶方阵,A=1,且A的每列元素之和均为kk≠0 n×n ,则A的代数余子式之和
A +A +⋯+A =_____.
11 12 1n
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三、解答题
b a a ⋯ a
a b a ⋯ a
(1)计算n阶行列式D = .
n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
a a a ⋯ b
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x -1 0 ⋯ 0 0
0 x -1 ⋯ 0 0
n
(2)证明:D
n
= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ =xn+a
i
xn-i.
0 0 0 ⋯ x -1 i=1
a a a ⋯ a x+a
n n-1 n-2 2 1
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2 -1 0 ⋯ 0 0
-1 2 -1 ⋯ 0 0
0 -1 2 ⋯ 0 0
(3)计算n阶行列式D = .
n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 0 ⋯ 2 -1
0 0 0 ⋯ -1 2
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a 0 0 ⋯ 0 b
1 n
a b 0 ⋯ 0 0
1 1
0 a b ⋯ 0 0 b 1 a 2 0 ⋯ 0 0
2 2
0 b a ⋯ 0 0
(4)计算n阶行列式D n = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ + 2 3 ,其中a i ,b i 均
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 0 ⋯ a b
n-1 n-1
0 0 0 ⋯ a 0
n-1
b 0 0 ⋯ 0 a
n n
0 0 0 ⋯ b a
n-1 n
不为0.
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综合题
一、选择题
(1)设A是3阶可逆矩阵,A-1的特征值为3,2,1,则A的代数余子式之和A
11
+A
22
+A
33
=( ).
1 1 1
A. B. C. D. 1
6 3 2
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0 0 0 1
1 0 0 0 4 4
(2)A= 的所有代数余子式A
ij
之和A
ij
=( ).
0 1 0 0
i=1j=1
0 0 1 0
A. 4 B. -4 C. 1 D. -1
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1 (3)设A是3阶方阵,A*是A的伴随矩阵,A= ,则 2A
2
-1 -2A*=( ).
1 1 1 1
A. B. - C. - D.
2 2 4 4
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(4)设fx
1 x x2 x3
1 2 4 8
= ,则曲线y=fx
1 -1 1 -1
1 1 1 1
在(-1,2)内存在水平切线的条数为( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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二、填空题
A 3A*
(1)设A,B均为n阶方阵,A=6,B=1,C= B
2
-1
O
,则C=_____.
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(2)设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,当m>n时,AB=_____.
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1 0 1
(3)设A,B均为3阶方阵,满足A2B-A-B=E,若A= 0 2 0
-2 0 1
,则B=_____.
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(4)设A是3阶方阵,且满足A-E=A+2E=2A+3E=0,则2A*-3E=_____.
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(5)设A是3阶方阵,α
1
,α
2
,α
3
线性无关,且Aα
1
=α
1
+α
2
,Aα
2
=α
2
+α
3
,Aα
3
=α
3
+α
1
,则A=____
_.
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(6)设α,β,α ,α ,α 均为4维列向量, A= α,α ,α ,α
1 2 3 1 2 3
,B= β,α ,α ,α
1 2 3
,且 A =2,B =1,则
A-1+B-1 =_____.
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0 1 0 ⋯ 0
0 0 2 ⋯ 0
(7)设n阶行列式A= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ,则A的第k行元素的代数余子式之和A
k1
+A
k2
+⋯
0 0 0 ⋯ n-1
n 0 0 ⋯ 0
+A =_____.
kn
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三、解答题
b-a2 -a a ⋯ -a a
1 1 2 1 n
-a a b-a2 ⋯ -a a
(1)计算n阶行列式D = 2 1 2 2 n .
n
⋮ ⋮ ⋮
-a a -a a ⋯ b-a2
n 1 n 2 n
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a+b a ⋯ a
1
a a+b ⋯ a
(2)计算n阶行列式D = 2
n
⋮ ⋮ ⋮
a a ⋯ a+b
n
.
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a -1 0 ⋯ 0 0
0
a 1 x -1 ⋯ 0 0
a 0 x ⋯ 0 0
(3)计算n阶行列式D = 2 .
n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
a 0 0 ⋯ x -1
n-2
a 0 0 ⋯ 0 x
n-1
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a b 0 ⋯ 0 0
c a b ⋯ 0 0
0 c a ⋯ 0 0
(4)计算D n = a2-4bc≥0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 0 ⋯ a b
0 0 0 ⋯ c a
.
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拓展题
解答题
(1)设矩阵A为3阶非零实矩阵,AT=A*,且E+A=E-A=0,计算行列式A2-A-3E.
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(2)设A为3阶非零实矩阵,且AT=kA*(k为非零常数).
(I)证明:A是可逆矩阵;
(II)求行列式A-1 + A* -1 .
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O A*
(3)设3阶矩阵A的特征值为1,-1,2,计算行列式 A⋅
-2E A
.
·第38页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·7.行列式
2 2 2 2
1 a a a 4 4
1 2 3
(4)设行列式A=
1 b b b
=1,A
ij
是A中元素a
ij
的代数余子式,求A
ij
.
1 2 3 i=1j=1
1 c c c
1 2 3
·第39页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
第八章 矩阵
基础题
一、选择题
(1)设A=a ij
a 21 a 22 +a 23 a 23
3×3 ,B=a 31 a 32 +a 33 a 33
a a +a a
11 12 13 13
0 1 0
,P= 0 0 1
1 0 0
1 0 0
,Q= 0 1 0
0 1 1
,则B=( ).
A. AQP B. PAQ C. QAP D. APQ
·第40页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(2)设A是nn≥3 阶可逆方阵,下列结论正确的是( ).
①A* -1 =A-1 * ②kA * =kn-1A* k≠0
③A* T =AT * ④A* * n-2 =A A
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③④
·第41页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
1 0 1
(3)设A= 2 1 0
-3 2 -5
,则行列式 E-A * -1 =( ).
1 1 1 1
A. B. - C. D. -
4 4 16 16
·第42页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
1 1 1
0 1 0
(4)设矩阵A=
2 k 3
k-1 5 1
1 1 1
0 1 -1
与B=
2 3 k
3 5 1
等价,则( ).
A. k=1 B. k≠1 C. k=-1 D. k≠-1
·第43页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
1 0 -1
(5)设A= 2 a 1
1 2 1
,B是3阶矩阵,且rB =2,rAB =1,A*与B*分别是A与B的伴随矩阵,则正
确的是( ).
A* O
A. r
A B
A O
=3 B. r
O B*
A* B
=3 C. r
O A
A B*
=3 D. r
O B
=3
·第44页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(6)设A,B分别为m×n,n×s矩阵,且AB=C,则正确的是( ).
A. 若rC =m,则rA ≤m B. 若rC =s,则rB ≤s
C. 若rA =n,则rB ≤rC D. 若rA =n,则rB =rC
·第45页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
二、填空题
(1)设α=1,2,3 T 1 1 ,β=1, ,
2 3
T ,A=αβT,则An=_____.
·第46页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(2)设α=2,-1,3 T ,β=1,2,0 T ,A=αβT,E是3阶单位矩阵,则A+E n =_____.
·第47页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
1 0 1
(3)设A= 0 2 0
1 0 1
,则An=_____.
·第48页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
0 -1 0
(4)设B= 1 0 0
0 0 1
,A=P-1BP,则A4-2B2=_____.
·第49页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(5)设A是n阶方阵,且A=2,将A的第i行与第j行互换得到B,则行列式B-1B*BT =_____.
·第50页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
1 2 3 4
2 3 4 5
(6)设A=
3 4 5 6
4 5 6 7
,则rA =_____.
·第51页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(7)若An=O,n为正整数,则E-A -1 =_____.
·第52页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(8)若An=E,n为正整数,则A* n =_____.
·第53页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(9)设方阵A满足A2-3A-2E=O,则A-1=_____.
·第54页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(10)设方阵A满足A2=A,则A+E -1 =_____.
·第55页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(11)设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行和第j行交换得B,则行列式AB-1 =_____.
·第56页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
x
(12)设存在3阶矩阵A,对任意的x,y,z有A y
z
z
= x
y
,则A=_____.
·第57页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(13)设α=k,0,⋯,0,k T k≠0 1 ,且A=E-ααT,A-1=E+ ααT,则k=_____.
k
·第58页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
三、解答题
2 -1 3
(1)设A= a 1 b
4 c 6
,且BA=O,B是3阶方阵,rB >1,求An.
·第59页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(2)设α,β是n维列向量,且αTβ=2,证明:A=E+αβT可逆,并求A-1.
·第60页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
1 1 1
(3)设A-1= 1 2 1
1 1 3
,求A* -1 .
·第61页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
2 1 1
(4)设A= 1 2 1
1 1 2
,证明:A2=5A-4E,并求A-1.
·第62页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(5)设方阵A,B满足B≠0,A-E -1 =B-E T ,求A-1(用B表示).
·第63页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
1 0 0
(6)设A= 2 3 0
0 4 5
,B=E+A -1 E-A ,求 E+B 2 -1 .
·第64页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(7)已知方阵A,B,A+B 均可逆,求A-1+B-1 -1 .
·第65页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(8)设AB=BA,A可逆,证明:A-1B=BA-1.
·第66页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(9)设A,B都是n阶方阵,且A2=A,B2=B,A+B 2 =A+B,证明:AB=BA.
·第67页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(10)设A为2n+1阶正交矩阵,且A=1,证明:A-E不可逆.
·第68页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(11)设n阶方阵A,B,满足A2=E,B2=E,且A+B=0,证明:A+B不可逆.
·第69页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
1 0 1
(12)设A= 0 2 0
-1 0 1
,AB+E=A2+B,求B.
·第70页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
0 2
(13)设A=
1 2
,且ATB-1 T -ABTA -1 =E-B-1 T ,求B.
·第71页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
1
0 0
3
1 (14)设A= 0 0
4
1
0 0
7
,A-1BA=6A+BA,求B.
·第72页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
0 1 0
(15)设A= 1 0 0
0 0 1
1 0 0
,B= 0 0 1
0 1 0
1 -4 3
,C= 2 0 -1
1 -2 0
,且AXB=C,求矩阵X.
·第73页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
1 2
(16)设矩阵A满足A
0 1
2 1
=
3 2
A,求矩阵A.
·第74页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
综合题
一、选择题
1 2 k
(1)设A= 1 k+1 1
k 2 1
,B是3阶非零矩阵,且AB=O,则( ).
A. 当k=1时,rB =1 B. 当k=-3时,rB =1
C. 当k=1时,rB =2 D. 当k=-3时,rB =2
·第75页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
a b b
(2)设A= b a b
b b a
a,b均不为0 ,且rA* =1,则必有( ).
A. a=b B. a=b或a+2b≠0
C. a+2b=0 D. a≠b且a+2b≠0
·第76页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
a 11 a 12 a 13
(3)设A=a
21
a
22
a
23
a a a
31 32 33
0 0 1
,P= 0 1 0
1 0 0
,且PnAPm=A,则正整数n,m可以为( ).
A. n=m=4 B. n=5,m=4 C. n=4,m=5 D. n=m=5
·第77页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
O A
(4)设A,B均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,矩阵
B E
A B
,
O E
A AB
,
E B
的秩分别为r ,r ,r ,则
1 2 3
正确的是( ).
A. r ≥r ≥r B. r ≥r =r C. r ≥r ≥r D. r ≥r ≥r
2 1 3 3 1 2 1 2 3 3 2 1
·第78页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(5)下列命题中,正确的是( ).
①若A,B,C均为n阶矩阵,且ABC=E,则BCA=CAB；
②若A,B均为n阶不可逆矩阵,则A+B必不可逆；
③若A,B均为n阶不可逆矩阵,则AB必不可逆;
④若n阶矩阵A,B满足AB 2 =E,则BA 2 =E.
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④
·第79页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
二、填空题
A O
(1)设A,B是n阶方阵,A=2,B=3,A*,B*分别是A,B的伴随矩阵,C=
O B
,则C*=_____.
·第80页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(2)设A是n阶可逆矩阵,A的每行元素之和均为k,则A-1的每行元素之和均为_____.
·第81页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
1 -1 -1 -1
-1 1 -1 -1
(3)设A=
-1 -1 1 -1
-1 -1 -1 1
,则An n≥1 =_____.
·第82页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
0 1 0 0
0 0 1 0
(4)设A=
0 0 0 1
0 0 0 0
,则E+A -1 =_____.
·第83页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
三、解答题
0 0 0 1
0 0 0 2
(1)设A=
0 0 0 3
3 2 1 0
,求An n≥1 .
·第84页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
-1 1 1 -1
1 -1 -1 1
(2)设A=
1 -1 -1 1
-1 1 1 -1
,证明:A2+4A=O,并求E+A -1 .
·第85页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
0 1 0
(3)设A= 1 0 0
0 1 1
,证明:An=An-2+A2-En≥3 ,并计算A100.
·第86页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
1 1 2
(4)设A= 0 -2 -4
-1 -1 -1
,证明:A可逆,并将A表示为初等矩阵的乘积.
·第87页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
1 0 0
(5)设A= 0 -2 0
0 0 1
,且A*BA=2BA-8E,求B.
·第88页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
1 0 1
(6)设矩阵X满足 2 1 -1
-1 -1 2
0 1
X= 2 0
-2 1
,求X.
·第89页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
A C
(7)设分块矩阵P=
O B
为正交矩阵,A,B分别是m阶和n阶方阵,证明:A与B是正交矩阵.
·第90页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
拓展题
解答题
3 2 2
(1)设A= 0 1 1
0 0 3
1 0 0
,B= 0 0 0
0 0 -1
,若矩阵X满足AX+2B=BA+2X,求X2.
·第91页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·8.矩阵
(2)设列向量α=1,2,1 T 1 ,β=1, ,0
2
T ,γ=0,0,8 T ,A=αβT,B=βTα,且2B2A2x=A4x+B4x+γ,
求x.
·第92页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·9.向量组
第九章 向量组
基础题
一、选择题
(1)若α ,α ,α 线性相关,α ,α ,α 线性无关,则( ).
1 2 3 2 3 4
A. α 可由α ,α 线性表示 B. α 可由α ,α ,α 线性表示
1 2 3 4 1 2 3
C. α 可由α ,α 线性表示 D. α 可由α ,α 线性表示
4 1 3 4 1 2
·第93页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·9.向量组
(2)向量组α ,α ,⋯,α 线性无关等价于( ).
1 2 n
A. 存在一组不全为0的数,使其线性组合不为0
B. 存在一个向量不能由其他向量线性表示
C. 任何一个向量均不能由其他向量线性表示
D. 其中任意两个向量线性无关
·第94页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·9.向量组
(3)设向量组α ,α ,α ,α 线性无关,则下列向量组线性无关的是( ).
1 2 3 4
A. α +α ,α +α ,α +α ,α +α B. α +α ,α +α ,α +α ,α -α
1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1
C. α +α ,α -α ,α +α ,α -α D. α -α ,α -α ,α -α ,α -α
1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1
·第95页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·9.向量组
(4)设向量组I β 1 ,β 2 ,⋯,β t ,II α ,α ,⋯,α ,则下列命题 1 2 s
①若向量组(I)可由(II)线性表示,且s1 D. k=n
·第136页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
λx +x +λ2x =0,
1 2 3
(5)设方程组 x +λx +x =0, 的系数矩阵为A,若存在3阶矩阵B≠O,使得AB=O,则必有
1 2 3
x +x +λx =0
1 2 3
( ).
A. λ=-2且B=0 B. λ=-2且B≠0 C. λ=1且B=0 D. λ=1且B≠0
·第137页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
2x -3x +x =b , 1 2 3 1
(6)设方程组 x 1 -2x 2 +x 3 =b 2 ,有解,则
.
2x +kx +3x =b
1 2 3 3
A. 当k≠-5时,b ,b ,b
1 2 3
T
为任意非零列向量
B. 当k=-5时,b ,b ,b
1 2 3
T
为任意列向量
C. 当k=-5时,b +b =4b
1 3 2
D. 当k≠-5时,b +b =4b
1 3 2
·第138页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
(7)设矩阵A ,B ,则( ).
m×n n×m
A. 当m>n时,AB必可逆 B. 当m>n时,必有AB=0
C. 当n>m时,必有rAB m时,ABx=0必有唯一解
·第139页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
(8)设矩阵A ,B 满足AB=E,其中E是单位矩阵,α与β为非零列向量,则正确的是( ).
m×n n×m
A. 方程组AX=α有唯一解,方程组BX=β有唯一解
B. 方程组AX=α有无穷多解,方程组BX=β有无穷多解
C. 方程组AX=0仅有零解,方程组BX=β有解
D. 方程组AX=α有解,方程组BX=0仅有零解
·第140页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
二、填空题
x +2x +x =3, 1 2 3
(1)设方程组 2x 1 +k+4
x -5x =6,有无穷多解,则k=_____. 2 3
-x -2x +kx =-3
1 2 3
·第141页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
1 2 1
(2)设A= 2 3 a+2
1 a -2
,β 1 =1,3,4 T ,β 2 =0,1,2 T ,若方程组AX=β 有解,且AX=β 无解,则a 1 2
=_____.
·第142页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
三、解答题
2x 1 -x 2 +4x 3 -3x 4 =-4,
x +x -x =-3,
1 3 4
(1)求方程组 的通解.
3x +x +x =1,
1 2 3
7x +7x -3x =3
1 3 4
·第143页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
2x 1 +λx 2 -x 3 =1,
(2)设方程组 λx -x +x =2, 问:当λ为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解?当有
1 2 3
4x +5x -5x =-1,
1 2 3
无穷多解时,求其通解.
·第144页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
x +x =0, x -x +x =0,
1 2 1 2 3
(3)设有方程组①
与②
求:
x -x =0 x -x +x =0.
2 4 2 3 4
(I)方程组①与②的基础解系;
(II)方程组①与②的非零公共解.
·第145页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
x +x =0,
1 2 (4) 设有方程组 (I) (II)Ax = 0, 其中 (II) 的基础解系为 α 1 = -1,2,2,1
x -x =0,
2 4
T ,α = 2
0,-1,-1,0 T ,求方程组(I)与(II)的非零公共解.
·第146页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
x 1 -x 4 =-2, x 1 +ax 2 -x 3 -x 4 =-5,
(5)设有方程组:① x -x =-4, ② bx -x -2x =-11,
2 4 2 3 4
-4x -x +6x =21, x -2x =-c+1.
2 3 4 3 4
(I)求方程组①的通解;
(II)当a,b,c为何值时,方程组①与②同解?
·第147页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
(6)设n阶矩阵A满足A=0,A
ij
为A的元素a
ij
对应的代数余子式,且A
11
≠0,求方程组A*x=0的
基础解系和通解.
·第148页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
(7)已知4×3矩阵A=α ,α ,α 1 2 3 ,非齐次线性方程组Ax=β的通解为1,2,-1 T +k1,-2,3 T ,k为
任意常数,令B=α ,α ,α ,β+α
1 2 3 3
,求方程组By=α -α 的通解.
1 2
·第149页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
(8)设A是5×4矩阵,rA =2,已知α ,α ,α 是非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量,且α +α 1 2 3 1 2
=4,6,-8,4 T ,α 3 =1,2,-1,1 T ,又0,1,-3,0 T是Ax=0的解,求Ax=b的通解.
·第150页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
1 0 1
(9)设A,B均为3阶矩阵,A= 2 a 0
1 1 -1
,rB =2,rAB =1.求a的值,并求方程组Ax=0的通解.
·第151页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
综合题
一、选择题
(1)设A是m×n矩阵,m0,则
下列选项正确的是( ).
A. 方程组ABX=α有无穷多解 B. 方程组ABX=α无解
C. 方程组AX=α有唯一解 D. 方程组AX=α无解
·第159页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
二、填空题
(1)设α ,α ,α ,β均为三维列向量,A=β-α -2α -3α ,α ,α ,α
1 2 3 1 2 3 1 2 3
,则方程组Ax=β的一个特解为_
____.
·第160页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
(2)设A=a ij 3×3 为实矩阵,且A ij =a iji,j=1,2,3 ,其中A ij 为a ij 的代数余子式,a 33 =1,A=1,则
x 1
方程组Ax
2
x
3
0
= 0
1
的解为_____.
·第161页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
3
(3)设A是2阶矩阵,线性方程组AX=
2
的通解为k-2,1 T +3,-4 T .若β=5,-10 T ,则βTAβ
=_____.
·第162页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
(4)设A为3阶矩阵,α为3维非零列向量,向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α+2A2α-3Aα=0,则trA
=_____.
·第163页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
三、解答题
(1)设A是m×n矩阵,rA =n-2,非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量α ,α ,α 满足α +α = 1 2 3 1 2
1,2,3,4 T ,α 2 +2α 3 =-2,1,5,3 T ,2α 3 +3α 1 =11,5,-6,7 T ,求方程组Ax=b的通解.
·第164页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
(2)设A=α ,α ,α ,α 1 2 3 4 是4阶矩阵,非齐次线性方程组Ax=β的通解为1,2,2,1 T +k1,-2,4,0 T ,
k为任意常数,记B=α ,α ,α ,β-α
3 2 1 4
.
(I)证明:rB =2;
(II)求方程组Bx=α -α 的通解.
1 2
·第165页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
(3)设A为3×4矩阵,rA =1,若向量组α 1 =1,2,0,2 T ,α 2 =-1,-1,1,a T ,α 3 =1,-1,a,5 T ,α = 4
2,a,-3,-5
T与方程组Ax=0的基础解系等价,求Ax=0的通解.
·第166页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
(4)设A是3阶方阵,A=a
ij
,且a =A ,i,j=1,2,3,其中A 为a 的代数余子式,a ≠0,b=
3×3 ij ij ij ij 33
a ,a ,a
13 23 33
T
,求非齐次线性方程组Ax=b的解.
·第167页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
(5)设A是m×n矩阵,b为m维列向量,证明:线性方程组ATAx=ATb必有解.
·第168页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
(6)设A是3阶矩阵,向量β=3,3,3 T ,非齐次线性方程组Ax=β的通解为k 11,2,-2 T +k 22,1,2 T
+1,1,1 T ,k ,k 为任意常数. 1 2
(I)证明:任意3维列向量α可由A的三个特征向量线性表示;
(II)若α=1,2,-1 T ,求Aα.
·第169页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
(7)设n阶方阵 A的行列式 A =0,A有一个代数余子式 A
ij
≠0,证明:Ax=0的通解为kA
i1
,
A ,⋯,A
i2 in
T
,k为任意常数.
·第170页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
(8)设4维列向量组α ,α ,α ,α ,且α ,α ,α 线性无关,α =α +α +2α ,B=
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3
α -α ,α +α ,-α +kα +α
1 2 2 3 1 2 3
,方程组Bx=α 有无穷多解.求:
4
(I)k的值;
(II)方程组的通解.
·第171页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
a-3 -1 2
(9)设A= -1 a-3 2
-1 -1 a
,且rE-A =1.
(I)求a的值;
(II)若非零列向量α,β满足A-E α=β,A2-E α=2β,求α,β.
·第172页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
-1 0 1
(10)设A=
-1 1 a
-1 1
,B= -1 1
b 2
.
(I)若方程组AX=0的解均是BTX=0的解,但这两个方程组不同解,求a,b的值；
(II)若方程组AX=0与BTX=0有非零公共解,求a,b的值,并求全部非零公共解.
·第173页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
2 0 0 2
(11)设A= 1 1 0 3
0 1 3 5
1 0 1 2
,B= 0 2 0 4
0 -1 a-1 a-3
2
,α= 2
1
1
,β= 2
-1
.
(I)证明:方程组AX=α的解均是方程组BX=β的解;
(II)若方程组AX=α与方程组BX=β不同解,求a的值.
·第174页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
a 1 1
(12)设矩阵A= 0 a-1 0
1 1 a
b
不可逆,β= 1
1
.已知方程组ATX=0的解均是βTX=0的解.
(I)求a,b的值;
(II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ.
·第175页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
拓展题
解答题
1 -2 3
(1)设A=a 21 a 22 a 23
a a a
31 32 33
有特征向量α 1 =1,2,1 T ,α 2 =-1,1,1 T ,α 3 =-1,3,2 T ,求方程组
x 1 -2x 2 +3x 3 =-1,
a x +a x +a x =3,的通解.
21 1 22 2 23 3
a x +a x +a x =2
31 1 32 2 33 3
·第176页，共295页·公众号：做题本集结地 800·数二线代·10.线性方程组
1 2a 1
1
(2)设A= -1 2 2b
2
2 2c - 2
.
(I)若A是正交矩阵,求a,b,c的值；
1
(II)当A为正交矩阵时,求方程组Ax= 1
1
的解.
·第177页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
第十一章 相似矩阵
基础题
一、选择题
1
(1)设λ=2是矩阵A的一个特征值,且A≠0,则 A2
3
-1
有一个特征值为( ).
4 3 1 1
A. B. C. D.
3 4 2 4
·第178页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
(2)设4阶实对称矩阵A的特征值为0,1,2,3,则rA =( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
·第179页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
(3)设C=diag1,2,2
2 0 0
,A= 0 2 1
0 0 1
2 1 0
,B= 0 2 0
0 0 1
,则( ).
A. A与C相似,B与C不相似 B. A与C相似,B与C相似
C. A与C不相似,B与C相似 D. A与C不相似,B与C不相似
·第180页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
(4)下列矩阵中,不能相似于对角矩阵的是( ).
1 -1 3
A. A= -1 2 0
3 0 6
1 0 0
B. B= 0 2 0
5 0 3
0 0 0
C. C= 0 0 0
1 2 3
1 2 0
D. D= 0 0 3
0 0 0
·第181页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
(5)设矩阵A与B相似,则必有( ).
A. 矩阵λE-A与λE-B相等 B. A,B同时可逆或不可逆
C. A和B有相同的特征向量 D. A和B均与同一个对角矩阵相似
·第182页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
(6)设A为3阶方阵,A的三个特征值为1,1,2,α ,α ,α 分别为对应的三个特征向量,则( ).
1 2 3
A. α ,α ,α 必为2E-A的特征向量
1 2 3
B. α +α 必为2E-A的特征向量
1 3
C. α -α 必为2E-A的特征向量
1 2
D. α ,α 必为2E-A的特征向量,α 不是2E-A的特征向量
1 2 3
·第183页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
(7)设3阶实矩阵A有三重特征值1,fx =xE-A-A-1 ,其中E是3阶单位矩阵,x∈R,则至少存
在一点x 0 ∈0,1 ,使得y=fx 在点 x ,fx 0 0 处的切线( ).
A. 平行于直线y=1 B. 垂直于直线y=1 C. 平行于直线y=x D. 垂直于直线y=x
·第184页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
1 0 0
(8)设P-1AP= 0 2 0
0 0 2
,α 是A的特征值λ =1对应的特征向量,α 与α 是A的特征值λ =λ =
1 1 2 3 2 3
2对应的特征向量,则下列选项中关于矩阵P的可能取值错误的是( ).
A. P=α ,α ,α
1 3 2
B. P=α ,-2α ,3α
1 2 3
C. P=α ,α -α ,α +2α
1 2 3 2 3
D. P=α +α ,α +α ,α
1 2 1 3 3
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二、填空题
1 2 2
(1)已知A= 2 1 2
2 2 1
-1 0 0
与B= 0 5 0
0 0 a
相似,则a=_____.
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(2)设n阶方阵B=AA*,则B的特征值为_____.
·第187页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
(3)设方阵A满足A2+2A+E=O,则A有特征值_____.
·第188页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
(4)设A是3阶实对称矩阵,A的特征值为1,1,-2,且λ 3 =-2对应的特征向量为ξ 3 =1,1,-1 T ,则A
=_____.
·第189页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
2 0 0
(5)设A= 0 0 1
0 1 a
2 0 0
与B= 0 3 4
0 -2 b
相似,则a=_____,b=_____.
·第190页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
3 2 -1
(6)设A= a -2 2
3 b -1
有一个特征向量α 1 =1,-2,3 T ,则a=_____,b=_____.
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三、解答题
1 2 2
(1)设A= 2 1 2
2 2 1
.
(I)求A的全部特征值和特征向量;
(II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ；
(III)求正交矩阵Q,使Q-1AQ=Λ.
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(2)判别下列矩阵A与B是否相似.若相似,求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.
1 1 1
(I)A= 1 1 1
1 1 1
3 0 0
,B= 0 0 0
0 0 0
;
2 0 0
(II)A= 0 0 1
0 1 0
1 0 0
,B= 0 -1 0
0 -6 2
.
·第193页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
2 -1 2
(3)设矩阵A= 5 a 3
-1 b -2
有特征向量α=1,1,-1 T .
(I)确定参数a,b及α对应的特征值λ；
(II)问A能否相似于对角矩阵,说明理由.
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1 -1 1
(4)设A= x 4y 3
-3 -3 5
,A∼Λ,且λ=2是A的二重特征值,求x,y的值及可逆矩阵P,使得P-1AP
=Λ.
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(5)设A是3阶矩阵,α ,α ,α 是线性无关的3维列向量,且Aα =α +α +α ,Aα =2α +α ,Aα =
1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 3
2α +3α .求:
2 3
(I)A的全部特征值;
(II)可逆矩阵P及Λ,使得P-1AP=Λ,并计算A-2E.
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-1 0 2
(6)设实矩阵A= a 1 1
1 0 0
有三个线性无关的特征向量.求:
(I)a的值;
(II)可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.
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1 2 3
(7)设A是3阶实对称矩阵,A∼B,B= 2 4 6
3 6 9
,A的二重特征值对应的特征向量为α 1 =1,1,0 T ,
α 2 =0,2,1 T .求:
(I)A的特征值与特征向量;
(II)可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ.
·第198页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
1 a -1
(8)已知A∼B,A= 1 5 1
4 12 6
b
,B= b
c
,求a,b,c的值.
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(9)设3阶实对称矩阵A的特征值为λ 1 =λ 2 =1,λ 3 =-1,α 1 =1,1,1 T ,α 2 =2,2,1 T是λ =λ =1对 1 2
应的特征向量.求:
(I)A的属于λ =-1的特征向量;
3
(II)矩阵A.
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(10)(I)设A是n阶实对称矩阵,且A2=A,rA =rr1
k
是n维正交单位实列向量组,A=ααT,E是n阶单位矩阵,则行列式 i i
i=1
A+E
*
=_____.
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三、解答题
1 2 1
(1)设A= 2 4 k
1 k 1
有一个特征值为0,求k的值.并求一个正交矩阵Q,使得QTAQ=Λ.
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(2)已知A=α ,α ,α
1 2 3
是3阶可逆矩阵,B是3阶矩阵,且BA=α ,-4α ,-α
1 3 2
.求:
(I)B的全部特征值;
(II)可逆矩阵P和对角矩阵Λ,使得P-1BP=Λ.
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(3)设A是nn≥2 阶矩阵,α ,α ,⋯,α 是n维列向量,且Aα =α ,Aα =α ,⋯,Aα =α ,Aα =0, 1 2 n 1 2 2 3 n-1 n n
α ≠0.
n
(I)证明:α ,α ,⋯,α 线性无关;
1 2 n
(II)求可逆矩阵P及三角矩阵B,使得P-1AP=B.
·第220页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
(4)设A 有三个不同的特征值λ ,λ ,λ ,它们对应的特征向量分别为α ,α ,α ,令β=α +α +α .
3×3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
(I)证明:β,Aβ,A2β线性无关;
(II)若A3β=Aβ,求rA-E .
·第221页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
1 a 0 2
0 1 2 0
(5)设A=
0 0 -1 b
0 0 0 -1
有四个线性无关的特征向量.求:
(I)可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ；
(II)2E-A2 -1 .
·第222页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
(6)设α=a 1 ,a 2 ,⋯,a n T ,β=b 1 ,b 2 ,⋯,b n T 均为非零列向量,A=αβT.
(I)求A的全部特征值;
(II)问αTβ满足什么条件时,A可以相似于对角矩阵Λ,并求可逆矩阵P,使P-1AP=Λ.
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(7)设nn≥2
a 1 1 ⋯ 1
1 a 1 ⋯ 1
阶矩阵A=1 1 a ⋯ 1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
1 1 1 ⋯ a
.求:
(I)可逆矩阵P及对角矩阵Λ,使得P-1AP=Λ；
(II)rA* .
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(8)设A是3阶实对称矩阵,存在可逆矩阵P,使得P-1AP=diag1,2,-1 ,且α 1 =1,k+1,2 T ,α = 2
k-1,-k,1 T分别为A的特征值λ =1,λ =2的特征向量,A*的特征值λ 对应的特征向量β= 1 2 0
2,-5k,2k+1 T .求:
(I)λ 与k的值;
0
(II)矩阵A-1 * .
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(9)设α,β为3维单位列向量,且αTβ=0,记A=αβT+βαT.
(I)证明:A相似于对角矩阵;
(II)若存在3维列向量γ≠0,使得Aγ=0,记P= γ,2α+β ,β-α ,求P-1AP.
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1 a 12 a 13
(10)设A=1 a
22
a
23
1 a a
32 33
1 2a 12 2a 13
可逆,B是3阶实对称矩阵,且满足BA=1 2a
22
2a
23
1 2a 2a
32 33
.求:
(I)B的特征值和对应的特征向量;
(II)正交矩阵Q,使得QTBQ=Λ.
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(11)设向量组i α 1 =-a,0,1 T ,α 2 =1-a,a,1-a T ,α 3 =1,0,-a T ,(ii)β 1 =-1,0,a T ,β = 2
-1,1,a T ,β 3 =1,-1,-a T a≠0 ,向量组(i)与(ii)等价.
(I)求a的值;
(II)记A=α ,α ,α
1 2 3
,当a为何值时,存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=Λ,并求Q及Λ.
·第228页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
a 0 1
(12)设A= 0 -a 0
1 0 a
-1 1 0
,B= 1 -1 0
0 0 -a
1
,β= 1
a
,a≠0.若方程组AX=β有无穷多解.
(I)求a的值,并求方程组AX=β的全部解；
(II)当a为何值时,存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=B?并求正交矩阵Q.
·第229页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
(13)设A,B均是n阶矩阵.
(I)证明:AB与BA有相同的特征值;
(II)若AB=BA,且A有n个不同的特征值,证明:B相似于对角矩阵.
·第230页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
(14)设A是n阶实对称矩阵,α ,α ,⋯,α 是A的n个单位正交特征向量,对应的特征值为λ ,λ ,⋯,
1 2 n 1 2
λ ,证明:A=λ α αT+λ α αT+⋯+λ α αT.
n 1 1 1 2 2 2 n n n
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(15)设A,B均是3阶方阵,AB=A-B,A有三个不同的特征值λ ,λ ,λ .证明:
1 2 3
(I)λ i ≠-1i=1,2,3 ;
(II)存在可逆矩阵P,使P-1AP,P-1BP同时为对角矩阵.
·第232页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
(16)设A是2阶矩阵,α是非零向量,且α不是A的特征向量.
(I)证明:α,Aα线性无关;
(II)记P=α,Aα ,若A2α-2Aα=8α,证明:A相似于对角矩阵,并求P-1AP.
·第233页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
(17)设向量β=b,1,1 T可由α 1 =a,0,1 T ,α 2 =1,a-1,1 T ,α 3 =1,0,a T线性表示,且表示法不唯
一.记A=α ,α ,α
1 2 3
.求:
(I)a,b的值,并写出β由α ,α ,α 表示的线性表达式.
1 2 3
(II)一个可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ(Λ为对角矩阵).
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2 1 0
(18)设A= 1 2 0
0 0 1
a b c
与B= 0 1 0
-1 -2 4
相似.
(I)求a,b,c的值;
(II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=B；
(III)记A的伴随矩阵为A*,求方程组3E-A* X=0的通解.
·第235页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
1 -1 0
(19)设B= 1 0 k
-1 1 1-k
不可逆,且满足AB=B,B* AT+E =O,其中A是3阶矩阵,E是3阶单
位矩阵,B*是B的伴随矩阵.
(I)求rB* ;
(II)证明:A相似于对角矩阵,并求A2.
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拓展题
解答题
(1)设A是3阶实对称矩阵,且A2-2A=O,rA =1.方程组Ax=0的通解为k 11,1,0 T +
k 21,0,1 T k ,k 为任意常数). 1 2
(I)求可逆矩阵P及对角矩阵Λ,使得P-1AP=Λ；
(II)求矩阵A.
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k -2 2
(2)设A= -3 3 -1
-15 8 -6
1 0 2
,B= 0 2 0
0 4 -1
,且A∼B,求k的值及可逆矩阵P,使得P-1AP=B.
·第238页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·11.相似矩阵
(3)设数列a n ,b n 满足a 0 =1,b 0 =-1,且 a n =a n-1 +2b n-1 , ,记α n = a n
b =-a +4b , b
n n-1 n-1 n
,矩阵A满足Aα = n-1
b
α ,求An及lim n .
n
n→∞a
n
·第239页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
第十二章 二次型
基础题
一、选择题
(1)二次型fx ,x ,x
1 2 3
=x x +x x +x x 的矩阵为( ).
1 2 2 3 1 3
1 0 0
A. 0 1 0
0 0 1
1 1
0
2 2
1 1
B. 0
2 2
1 1
0
2 2
1 1
1
2 2
1 1
C. 1
2 2
1 1
1
2 2
1
1 1
2
1
D. 1 1
2
1
1 1
2
·第240页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(2)二次型fx ,x ,x
1 2 3
=x -x
1 2
2
+x -x
2 3
2
+x -x
3 1
2
的标准形为( ).
3 3
A. f=y2+y2+y2 B. f=2y2+ y2 C. f=y2+y2-y2 D. f=2y2+ y2+y2
1 2 3 1 2 2 1 2 3 1 2 2 3
·第241页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
1
(3)设A= 2
3
2
与B= 3
1
合同,则合同变换矩阵P=( ).
1 0 0
A. 0 0 1
1 0 0
0 0 1
B. 1 0 0
0 1 0
0 1 0
C. 1 0 0
0 0 1
0 0 1
D. 1 0 0
0 0 1
·第242页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(4)设A是n阶方阵,将A的第i列与第j列互换,再交换第i行与第j行得到B,则( ).
A. A与B等价、相似且合同 B. A与B相似、合同但不等价
C. A与B相似但不合同 D. A与B等价但不相似
·第243页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(5)二次型fx ,x ,x
1 2 3
=x2+4x2+4x2-4x x +4x x -8x x 的规范形为( ).
1 2 3 1 2 1 3 2 3
A. f=z2 B. f=z2-z2 C. f=z2+z2+z2 D. f=z2+z2-z2
1 1 2 1 2 3 1 2 3
·第244页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(6)设A,B,Λ均为n阶实方阵,则下列命题正确的是( ).
A. 若A是实对称矩阵,则存在唯一可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ
B. 若A是实对称矩阵,则存在唯一正交矩阵Q,使得Q-1AQ=Λ
C. 若B是实对称矩阵,则存在唯一实对称矩阵A,使得A2=B
D. 若B是正定矩阵,则存在唯一正定矩阵A,使得A2=B
·第245页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(7)设A,B均为n阶实对称矩阵,则A与B合同的充分必要条件是( ).
A. A与B有相同的特征值 B. A与B有相同的特征向量
C. A与B有相同的行列式 D. A与B有相同的秩且有相同的正惯性指数
·第246页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(8)设E是n阶单位矩阵,则n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( ).
A. 存在n阶矩阵C,使得A=CTC B. 二次型XTAX的负惯性指数为0
C. 存在可逆矩阵P,使得P-1AP=E D. A的伴随矩阵A*与E合同
·第247页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
1 2 0
(9)设A= 2 0 2
0 2 -1
,若存在可逆矩阵C,使得CTAC=Λ,则C可能为( ).
1 -1 -1
1 1
A. 0
2 2
0 0 1
1 2 0
B. 0 2 -1
0 0 1
1 2 0
C. 0 1 2
0 0 1
1 1 1
1 1
D. 0
2 2
0 0 1
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二、填空题
(1)已知二次型fx ,x ,x
1 2 3
=x2+4x2+4x2+2ax x -2x x +4x x 正定,则a的取值范围为____
1 2 3 1 2 1 3 2 3
_.
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(2)设二次型fx ,x ,x 1 2 3 =XTAXAT=A 在正交变换下的标准形为-2y2+8y2,且E+B=AB,其 1 2
中B为3阶矩阵,则迹trB-1+2E =_____.
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三、解答题
(1)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
=2x2+5x2+5x2+4x x -4x x -8x x .
1 2 3 1 2 1 3 2 3
(I)求一个正交变换x=Qy,将f化为标准形；
(II)利用配方法,将f化为标准形.
·第251页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(2)已知二次型f=2x2 1 +3x2 2 +3x2 3 +2ax 2 x 3a>0 ,经过正交变换化成标准形y2+2y2+5y2,求参数 1 2 3
a及所用的正交变换.
·第252页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(3)证明:n阶矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P,使得A=PTP.
·第253页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(4)设3阶实对称矩阵A=α ,α ,α 1 2 3 ,rA =2,且满足α 1 +2α 2 +α 3 =3,6,3 T ,α -α +α = 1 2 3
-1,1,-1
T
.
(I)求A；
(II)若X=x ,x ,x 1 2 3 T ,求方程XT A+E X=0的全部解.
·第254页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(5)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
=x +x
1 2
2
+x -x
2 3
2
+x +ax
1 3
2
.
(I)求fx ,x ,x
1 2 3
=0的解;
(II)当fx ,x ,x
1 2 3
=0有非零解时,求正交变换X=QY将fx ,x ,x
1 2 3
化为标准形;
(III)求fx ,x ,x
1 2 3
的规范形.
·第255页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(6)设3阶实对称矩阵A=α ,α ,α
1 2 3
有二重特征值1,且α +2α -α =0,A*是A的伴随矩阵.
1 2 3
(I)求正交变换X=QY将二次型fx ,x ,x
1 2 3
=XTAX化为标准形；
(II)求方程组A*X=0的通解.
·第256页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(7)设A是3阶实对称矩阵,α=-1,1,1 T满足A-2E α=0,且rA =1.
(I)求方程组AX=0的通解；
(II)求A；
(III)若X=x ,x ,x
1 2 3
T ,求方程XTAX=0的全部解.
·第257页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
2 0 1
(8)设A= 0 2 -1
1 -1 a-1
0 0 0
与B= 0 b 0
0 0 3
合同.
(I)求a的值及b的取值范围;
(II)若存在正交矩阵Q,使得QTAQ=B,求b及Q.
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综合题
一、选择题
(1)二次型fx ,x ,x
1 2 3
=x x +x x 的正、负惯性指数分别为( ).
1 2 2 3
A. p=1,q=1 B. p=1,q=2 C. p=1,q=0 D. p=0,q=2
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(2)A是n阶实对称矩阵,则A合同于矩阵B的充分必要条件是( ).
①rA =rB , ②A与B的正惯性指数相等,
③A与B均正定矩阵, ④B是实对称矩阵.
A. ①成立 B. ④成立 C. ①②④均成立 D. ③成立
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(3)设n元二次型fx 1 ,x 2 ,⋯,x n =x +a x 1 1 2
2
+x +a x 2 2 3
2
+⋯+x n +a n x 1
2
,其中a ii=1,2,⋯,n
均为实数,若二次型正定,则( ).
A. 1+-1 n+1 a 1 a 2 ⋯a n ≠0 B. 1+-1 n+1 a a ⋯a =0 1 2 n
C. 1--1 n+1 a 1 a 2 ⋯a n ≠0 D. 1--1 n+1 a a ⋯a =0 1 2 n
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2 1
(4)设A=
-1 0
1 1
,B=
0 1
1 0
,C=
1 1
1 0
,D=
0 1
,则正确的是( ).
A. A与B相似,B与C合同 B. A与D相似,B与D合同
C. A与D合同,B与C相似 D. B与D相似,C与D合同
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(5)设A是3阶实对称矩阵,且A=2,A*=A-E,其中A*是A的伴随矩阵,则二次型xTAx的规范形
为( ).
A. y2+y2+y2 B. -y2-y2-y2 C. y2+y2-y2 D. -y2-y2+y2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
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1 2
(6)设A=
2 1
1 4
,B=
1 1
,则正确的是( ).
A. 必存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=B B. 必存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B
C. 必存在可逆矩阵P,使得PTAP=B D. 必存在可逆矩阵P,使得A=PTP
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(7)设3阶实矩阵A的特征向量为α 1 =-1,1,0 T ,α 2 =1,1,1 T ,α 3 =-1,-1,2 T ,则A必为( ).
A. 可逆矩阵 B. 正交矩阵 C. 对称矩阵 D. 正定矩阵
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a a-1
(8)设实矩阵A=
a-1 a-1
,若对任意的二维非零实列向量X,都有XTAX<XTX.则a的取值
范围为( ).
1 A. ,1
3
1 B. (-1,1) C. (-1,0] D. ,1
3
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(9)设α 1 =1,2 T ,α 2 =a,1 T ,X=x ,x 1 2 T ,若二次型fx ,x 1 2 =α ,X 1 2 +α ,X 2 2 经可逆线性变换
X=PY化为gy ,y 1 2 =by2 1 +by2 2 +2by 1 y 2b≠0 ,则( ).
1 1 1 1
A. a= ,b>0 B. a=- ,b>0 C. a= ,b>-1 D. a=- ,b>-1
2 2 2 2
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(10)设α是3维实列向量,且满足αTα=1,A=E-ααT,A*是A的伴随矩阵,则二次型fx ,x ,x
1 2 3
=
XTA*X在正交变换X=QY下的标准形为( ).
A. y2+y2 B. -y2 C. -y2-y2 D. y2
1 2 1 1 3 1
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(11)设A是2阶实对称矩阵,若对任意的2维非零列向量X,都有XTAX<XTX,X ,X 均为2维列
1 2
X 1 向量,则二次型
X
2
T A+E O
O E-A
X 1
X
2
的规范形为( ).
A. y2+y2-y2-y2 B. y2+y2+y2-y2 C. y2+y2+y2+y2 D. -y2-y2-y2-y2
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
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(12)设A是3阶实矩阵,A=3,且A*=-A+4E,其中A*是A的伴随矩阵,E是3阶单位矩阵,则二次
型XT 2E-A T 2E-A X的规范形为( ).
A. y2-y2-y2 B. y2+y2-y2 C. y2+y2+y2 D. -y2-y2-y2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
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二、填空题
1 0 0
(1)若3阶实对称矩阵A与B= 0 0 3
0 3 0
合同,则二次型xTAx的规范形为_____.
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(2)设A是n阶矩阵,方程组Ax=b有唯一解,则二次型xT ATA x的正惯性指数为_____.
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(3)设A是3阶实对称矩阵,二次型xTAx经过正交变换x=Qy后的标准形为y2+y2-y2,则二次型
1 2 3
xTA*x的规范形为_____.
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(4)设3阶实对称矩阵A的特征值为2,3,4,A*是A的伴随矩阵.若对任意3维实列向量X,都有
XTA*X-XTAX≤aXTX,则a的最小取值为_____.
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三、解答题
(1)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
=xTAx=x2+ax2+x2+2x x -2ax x -2x x 的正负惯性指数都是1.求:
1 2 3 1 2 1 3 2 3
(I)a的值;
(II)可逆线性变换x=By,将fx ,x ,x
1 2 3
化为标准形.
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(2)设3阶实对称矩阵A=a ij
3
3×3 有特征值λ 1 =λ 2 =2,且a ii =1,α=1,0,-2
i=1
T是方程组A*x=
4α的解向量.
(I)求矩阵A;
(II)求正交变换x=Qy,将二次型fx ,x ,x
1 2 3
=xTAx化为标准形.
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(3)设二次型fx 1 ,x 2 ,⋯,x n =nx2 1 +nx2 2 +⋯+nx2 n -x 1 +x 2 +⋯+x n 2 .
(I)求二次型fx 1 ,x 2 ,⋯,x n =xTAx的秩;
(II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ,并求二次型的正惯性指数.
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k+3
(4)设方程组
x +x +2x =0, 1 2 3
2kx 1 +k-1 x +x =0, 2 3
k-3
3 1 2
,有非零解,且A= 1 k -2
x -3x +kx =0 2 -2 9 1 2 3
是正定矩阵.
(I)求k的值;
(II)设x=x ,x ,x
1 2 3
T ,求当xTx=1时,xTAx的最大值.
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(5)设n阶实对称矩阵A只有两个不同的特征值λ =1和λ ,且A属于λ =1的特征向量仅有
1 2 1
k1,0,⋯,0,1 T ,其中k≠0.
(I)求矩阵A;
(II)当λ 满足什么条件时,A是正定矩阵?
2
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(6)设A是实对称矩阵,证明:A可逆的充要条件是存在方阵B,使得AB+BTA为正定矩阵.
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(7)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
=ax2-ax2+ax2+2x x 与gy ,y ,y
1 2 3 1 3 1 2 3
=-y2-y2+a2y2+2y y 的秩相等
1 2 3 1 2
a≠0 .问:
(I)当a为何值时,存在可逆(非正交)线性变换x=Py,可将fx ,x ,x
1 2 3
化为gy ,y ,y
1 2 3
?并求一个
可逆矩阵P;
(II)当a为何值时,存在正交变换x=Qy,可将fx ,x ,x
1 2 3
化为gy ,y ,y
1 2 3
?并说明理由.
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(8)设二次型fx ,x ,x 1 2 3 =xTAx=ax2 1 +ax2 2 +a-1 x2+2x x -2x x (a为常数,AT=A). 3 1 3 2 3
(I)求一个正交变换x=Qy将fx ,x ,x
1 2 3
化为标准形；
(II)设x=x ,x ,x 1 2 3 T ,求方程xT aE-A 2 x=O的全部解.
·第282页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(9)设二次型xTAx=ax2+x2+x2
1 2 3
+2x x +2bx x +2x x 在正交变换x=Qy下的标准形为y2+y2
1 2 1 3 2 3 1 2
+4y2,其中AT=A.
3
(I)求a,b的值及正交矩阵Q；
(II)若正定矩阵B满足B2=A+A*,其中A*是A的伴随矩阵,求B.
·第283页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(10)设A是3阶矩阵,方程组AX=b的通解为k 1-1,1,0 T +k 22,0,1 T +1,1,-2 T .其中b=
6,6,-12 T ,k ,k 为任意常数. 1 2
(I)求A；
(II)若A的列向量组的极大线性无关组为α,求一个3维行向量β,使得A2=αβ；
(III)记X=x ,x ,x
1 2 3
T ,求方程XTAX=0的全部解.
·第284页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(11)已知二次型fx ,x ,x 1 2 3 =x2 1 +2x2 2 +2x2 3 +2ax 2 x 3a>0 在正交变换X=QY下化为gy ,y ,y 1 2 3
=2y2+by2+2y2-2y y .
1 2 3 1 3
(I)求a,b的值;
(II)求正交矩阵Q.
·第285页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
1 0 1
(12)设A= 0 1 0
1 0 1
1 0 1
,B= 0 1 0
1 0 2
,E是3阶单位矩阵.
(I)求可逆矩阵C,使得CTBC=E；
(II)求一个可逆矩阵P,使得PTAP=diag0,1,1
,且PTBP=E.
·第286页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(13)已知二次型fx ,x ,x
1 2 3
=x2+2x2+ax2+2x x 经过可逆线性变换X=PY化为y2+y2.
1 2 3 1 3 1 3
(I)求a的值及可逆矩阵P；
(II)设X=x ,x ,x
1 2 3
T ,当XTX=1时,求fx ,x ,x
1 2 3
的最大值,并求满足x =x >0的最大值点.
1 2
·第287页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(14)设3阶矩阵A=α ,α ,α
1 2 3
,且满足α +α ,-α +2α ,α +α
1 3 1 2 2 3
1 1 0
= 0 -2 -1
1 0 -1
.
(I)若X=x ,x ,x
1 2 3
T ,证明:XTA2X为正定二次型;
(II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=AT.
·第288页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
a 0
(15)设A= -1 a
-1 0
-1 0 a
,B=
-1 1 a
,已知方程组ABX=0与BX=0同解.
(I)求a的取值范围;
(II)当AB为实对称矩阵时,求正交变换X=QY,将二次型fx ,x ,x
1 2 3
=XTABX化为标准形.
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拓展题
解答题
(1)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
=2x x +3x x +4x x ,求可逆线性变换x=Pz,使得fx ,x ,x
1 2 2 3 1 3 1 2 3
化为标准
形,并求二次型的秩及正、负惯性指数.
·第290页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(2)设A为3阶实对称矩阵,二次型fx ,x ,x
1 2 3
=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为-y2+2y2+
1 2
1 1 1
ay2,其中Q的第1列为 , ,
3
3 3 3
T
,且A=-4.
(I)求a的值;
(II)求正交矩阵Q.
·第291页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(3)设二次型fx ,x ,x 1 2 3 =xTAxAT=A 经正交变换x=Qy化为by2+c2y2,其中Q= 2 3
1 0 a
1
0 c 0
2
b 0 1
b>0,c>0 .求:
(I)a,b,c的值及矩阵A；
(II)可逆矩阵P,使得A+E=PTP.
·第292页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(4)设二次型fx ,x ,x 1 2 3 =XTAXAT=A 经过正交变换X=QY化为标准形2y2-y2-y2,又A*α= 1 2 3
α,其中α=1,1,-1 T ,A*是A的伴随矩阵.
(I)求正交矩阵Q及实对称矩阵A；
(II)若正定矩阵B满足B2=A+2E,求B.
·第293页，共295页·公众号：做题本集结地 880·数二线代·12.二次型
(5)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
=x2+x2+x2+2ax x +2ax x +2ax x 经过可逆线性变换X=PY化为
1 2 3 1 2 1 3 2 3
gy ,y ,y
1 2 3
=y2+y2+3y2+2y y .
1 2 3 1 2
(I)求a的值;
(II)求可逆矩阵P.
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1 1
a - -
2 2
1 1
(6)设A= - a -
2 2
1 1
- - a
2 2
b 0 0
与B= 0 b 0
0 0 0
b≠0 合同.
(I)求a的值;
(II)若存在正交矩阵Q,使得QTAQ=B,求b的值及Q;
(III)对于(II)中的Q,若QT A+A*
Q=Λ,其中A*是A的伴随矩阵,求对角矩阵Λ.
·第295页，共295页·
