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2.6.2 双曲线的几何性质(1) -A基础练
一、选择题
1．（2020·全国高二课时练习）双曲线 的左焦点与右顶点之间的距离等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】由已知得左焦点的坐标为 ，右顶点的坐标为 ，所以左焦点与右顶点之间的距
离等于8.故选：B.
2．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线方程为 ，则（ ）
A．实轴长为 ，虚轴长为2 B．实轴长为 ，虚轴长为4
C．实轴长为2，虚轴长为 D．实轴长为4，虚轴长为
【答案】B
【解析】双曲线方程 化为标准方程为 ，可得 ，
所以双曲线的实轴长为 ，虚轴长为4.故选：B
3．（2020·全国高二课时练习）下列双曲线不是以 为渐近线的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A中渐近线为 ，B中渐近线为 ，D中渐近线为 ，C项渐近线
为 ,故选C
4．（2020·山东泰安一中高二期末）点M为双曲线 上任意一点，点O是坐标原点，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】设M(x,y), ∵ 点M为双曲线 上,∴
= 故选B.
5．（多选题）（2020山东菏泽三中高二期末）已知曲线 .（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A，若 ，则 可化为 ，因为 ，所以
，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确；对于B，若 ，则 可化为
，此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；对于C，若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示双曲线，由 可得
，故C正确；对于D，若 ，则 可化为 ， ，
此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.
y2
6．（多选题）已知双曲线C:x2- =1,则下列说法正确的有 ( )
4
A.双曲线C的离心率等于半焦距的长
x2
B.双曲线y2- =1与双曲线C有相同的渐近线
4
√5 4√5
C.直线x= 被圆x2+y2=1截得的弦长为
5 5
D.直线y=kx+b(k,b∈R)与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2
【答案】ACD
y2
【解析】双曲线C:x2- =1,可得a=1,b=2,c=√5,所以双曲线的离心率为e=√5=c,所以A正确;双曲线
4
y2 x2 1 √5
C:x2- =1的渐近线方程为y=±2x,双曲线y2- =1的渐近线方程为y=± x,所以B不正确;直线x=
4 4 2 5
√ 1 4√5
被圆x2+y2=1截得的弦长为2 1- = ,所以C正确;直线y=kx+b(k,b∈R),当b=0时,直线与双曲
5 5
线的交点可能是0个,也可能是2个;当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线的交点是1个.所
以直线与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2,所以D正确.
二、填空题
7．（2020·全国高二课时练）双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离等于________.
【答案】 4
【解析】双曲线 的一个焦点坐标是 ，一条渐近线的方程为 ，因此焦点到渐近线的距离 .
8.已知双曲线的左、右焦点分别为F，F，过F 的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB
1 2 1
的长为5，若2a＝8，那么△ABF 的周长是________.
2
【答案】26
【解析】由题得|AF|－|AF|＝2a＝8，|BF|－|BF|＝2a＝8，∴|AF|＋|BF|－(|AF|＋|BF|)＝16.
2 1 2 1 2 2 1 1
∴|AF|＋|BF|＝16＋5＝21.∴△ABF 的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝21＋5＝26.
2 2 2 2 2
9．（2020·全国高二课时练习）已知 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上，
，则 ________.
【答案】4
【解析】因为 ，
所以
10．（2020·全国高二课时练习）若双曲线 的渐近线互相垂直，则该双曲
线的离心率为________.
【答案】
【解析】双曲线渐近线互相垂直可知为等轴双曲线，即： 离心率
三、解答题
11．（2020·全国高二课时练习）若点 是双曲线 上的点，试求该双
曲线的实轴长､虚轴长､焦距､焦点坐标､顶点坐标､离心率､渐近线方程.
【解析】因为点 在双曲线 上，
所以 ，解得 ，于是双曲线方程为 ，即 ，
所以双曲线的焦点在x轴上，且 .
因此实轴长 ，虚轴长 ，焦距为 ，
焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，
离心率 .渐近线方程为 .
12. （2020·吉林汽车区第三中学高二月考（理））已知点 ， ，动点 满足条件
，记动点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）若 是 上任意一点，求 的最小值.
【解析】（1）由已知可得动点 的轨迹 是双曲线的右支，且 ， ，
所以 ， .
故 的方程为 .
（2）设点 ，
则 ，
因为 ，所以 ，令 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以 的最小值为8.
