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高等数学（一）
专科起点升本科
1第一章 极限和连续
考点1 常用等价无穷小代换
当x0时，x～sinx～ln  1x ～arcsinx～arctanx～ex1～tanx ，
1
1cosx～ x ２ ,  1x  1～x （为实常数，0）.
2
考点2 函数极限存在的充要条件
（1）lim f  x  A lim f  x  A且lim f  x  A .
x x x
（2）lim f  x  A lim f  x  A且lim f  x  A .
xx０ xx０  xx０ 
函数在一点处极限存在的充要条件是左右极限都存在且相等.如果左右极限有一个不存在，
或者左右极限都存在但不相等，则函数在这点处的极限不存在.
考点3 函数极限四则运算法则
设有函数 f  x  ,g  x ，若lim f  x  A，lim g  x B ，则
xx xx
0 0
（1）lim［f  x g  x ］ lim f  x lim g  x  AB .
xx xx xx
0 0 0
（2） lim［ f  x  g  x ］ lim f  x  lim g  x   AB .
x x x x x x
0 0 0
 
  lim f x
f x A
（3）lim  xx 0  （B0).
   
xx g x limg x B
0
xx
0
a
m，mn，

b
P  x  a xm a xm1a   n
（4）lim lim m m1 0  ，m＞n，
xQ  x  x b n xn b n1 xn1b 0  0，m＜n.


考点4 两个重要极限
x
sinx  1
lim 1；lim1  e.
x0 x x x
考点5 函数在一点连续的充要条件
函数 f  x 在点x 连续的充要条件是 f  x 在点x 处既左连续又右连续，即
0 0
lim f

x

f

x

lim f

x

lim f

x

f

x
.
0 0
xx 0 xx 0  xx 0 
第二章 一元函数微分学
考点1 函数在一点可导的充要条件
函数 f  x 在点x 处可导的充要条件是 f  x 在点x 处的左、右导数都存在且相等，即
0 0
2f x  A f  x  f  x  A .
０  ０  ０
考点2 导数的几何意义
若函数 y  f  x 在点x 处的导数 f x 存在，则表明曲线 y  f  x 在点  x，f  x  处
0 0 0 0
存在切线，且切线的斜率为 f x ，切线方程为 y f  x  f x  xx ，法线方程
0 0 0 0
1
为 y f  x   xx  f x  0  .
0 f x  0 0
0
0 
考点3 洛必达法则（“ ”型或“ ”型未定式）
0 
如果函数 f  x  ,g  x 满足条件：
（1）在点x 的某一去心邻域（或｜x｜＞N ）内可导，且g x  0.
0
（2） lim f  x 0，lim g  x 0或 lim f  x ，lim g  x  .
xx xx xx xx
x 0 x 0 x 0 x 0
f
x

f

x
 f
x

（3） lim 存在（或为无穷大），则 lim  lim .
xx
g
x

xx g

x

xx
g
x

x 0 x 0 x 0
考点4 函数取得极值的充分条件
1.第一种充分条件
设函数y  f  x 在点x 的某一邻域内可导，且 f x 0（或在点x 处 f(x)不存在）.
0 0 0
若在此邻域内：
（1）当x＜x 时， f x ＞0，而当x x 时， f(x)0，则 f  x 在点x 处取得极大值
0 0 0
f

x
.
0
（2）当x＜x 时， f x 0，而当x x 时， f x ＞0，则 f  x 在点x 处取得极小值
0 0 0
f

x
.
0
若当x＜x 与x x 时， f(x)不改变符号，则 f  x 在点x 处不取得极值.
0 0 0
2.第二种充分条件
设函数 y  f  x 在点x 处具有二阶可导，且 f x 0, f x  0.若
0 0 0
（1） f x ＜0，则 f  x 在点x 处取得极大值 f  x .
0 0 0
（2） f x ＞0，则 f  x 在点x 处取得极小值 f  x .
0 0 0
3（3） f x 0，则函数 f  x 在点x 处可能取得极值，也可能不取得极值，这时需要用
0 0
第一种充分条件判定.
考点5 最大值与最小值的求法
求最大值与最小值的一般方法是：
（1）求出 f  x 在(a,b)内的所有驻点、导数不存在的点.
（2）求出上述各点及区间两个端点xa,xb处的函数值.
（3）进行比较，其中最大的数值即为 f  x 在［a,b］上的最大值，而其中最小的数值即为
f

x
在［a,b］上的最小值.
考点6 曲线凹凸性及拐点的判定
设函数 y  f  x 在［a,b］上连续，在(a,b)内二阶可导.
（1）若在(a,b)内有 f(x)0，则曲线 y  f  x 在(a,b)内为凹的.
（2）若在(a,b)内有 f(x)0，则曲线 y  f  x 在(a,b)内为凸的.
求出使二阶导数等于零的点，以及二阶导数不存在的点，如果 f(x)在x 的两侧异号，则
0
 x，f  x  为曲线弧 y  f  x 的拐点.
0 0
第三章 一元函数积分学
考点1 第一换元积分法（凑微分法）
设 f  u 具有原函数F  u ，u  x 可导，则有换元公式
 ［f  x ］ x  dx  f［ x ］d x  f  u  du F  u C F［ x ］C .
考点2 第二换元积分法
设x t 是单调可导函数，又已知 ［f  t ］ t 具有原函数 t ，则［1 x ］是
f  x  的原函数.即  f  x  dx  f［ t ］ t  dt  t C ［1 x ］C .其中
1
x
是x
t
的反函数.
考点3 分部积分法
设函数u u  x ，vv  x 具有连续的导函数，则有udv u vvdu.
利用分部积分法的关键在于选择适当的u和dv.一般来说，需要考虑：先要考虑dv，要便
于求出原函数v；再考虑利用分部积分公式后，vdu比udv便于计算.
考点4 函数可积的条件
4（1） y  f  x 在［a,b］上可积的必要条件是 f  x 在［a,b］上有界.
（2） y  f  x 在［a,b］上可积的充分条件是 f  x 在［a,b］上连续.
考点5 变上限积分的求导
若函数 f  x 在区间［a,b］上连续，则变上限积分R  x   x f  t  dt 是被积函数 f  x 的一
a
个原函数，即R x  f  x 或 d  x f  t  dt  f  x .
dx a
考点6 牛顿-莱布尼茨公式
设函数 f  x 在区间［a,b］上连续，F  x 是 f  x 的一个原函数，则
b
 b f  x  dx F  x  F  b F  a .
a a
第四章 空间解析几何
考点1 平面的点法式方程
过 点 M  x ,y ,z  ， 以 n｛A,B,C｝ 为 法 向 量 的 平 面 方 程 为
0 0 0 0
A  xx B  yy C  zz  0，称之为平面的点法式方程.
0 0 0
考点2 直线的标准式方程
xx y y zz
过点M  x ,y ,z 且平行于向量S ｛m,n,p｝的直线方程为 0  0  0 ，称
0 0 0 0 m n p
之为直线的标准式方程，这里S称之为直线的方向向量.
考点3 球面方程和椭圆锥面方程
方程 x-a ２  y-b ２  z-c ２ R2 表示球心在 a,b,c  ，半径为 R 的球面方程.方程
２ ２ ２
x y z
  1（其中a 0,b0,c0）表示中心在原点的椭球面，称之为椭球面方
２ ２ ２
a b c
２ ２ ２
x y z
程.    0表示顶点在原点，z轴为对称轴的椭圆锥面.
２ ２ ２
a b c
第五章 多元函数微积分学
考点1 全微分
z z
若 z  f  x,y  在  x ,y  处 可 微 ， A ，B  ， 则 有
0 0 x xx０ y xx０
yy０ yy０
z z
dz  dx dy .
xx０ x xx０ y xx０
yy０ yy０ yy０
考点2 复合函数的偏导数
5设函数u  x,y  ,v x,y 在点 x,y 处有连续偏导数.函数 z  f  u,v  在对应点
 u,v 处有连续偏导数.则复合函数z  ［f  x,y  , x,y ］在点 x,y 处对x,y有连续偏
z z u z v z z u z v
导数，且   ，   .
x u x v x y u y v y
考点3 一元隐函数的偏导数
设方程F  x,y 0确定 y是x的函数，且F  x,y 在点 x,y 的某个邻域内具有连续偏导
 
数，则 dy  F x x,y  F  x,y  0  .
dx F  x,y  y
y
考点4 直角坐标系下二重积分的计算
（1）若D ｛ x,y ｜a xb,c y d｝，则
 f  x,y  dxdy  b dx d f  x,y  dy 或 d dy b f  x,y  dx.
a c c a
D
（2）若D ｛ x,y ｜a xb, x  y   x ｝，则
1 2
 f  x,y  dxdy  b dx  2 x f  x,y  dy .
a x
1
D
（3）若D ｛ x,y ｜c y d,  y  x  y ｝，则
1 2
 f  x,y  dxdy  d dy  2 y f  x,y  dx .
c y
1
D
第六章 无穷级数
考点1 收敛半径的求法
 a 1
对幂级数a xn，设lim n1 ，则有：若0，则R  ；若0，则R 
n n a 
n0 n
（在整个数轴上都收敛）；若，则R 0（仅在x0点收敛）.
考点2 几种常用函数的幂级数展开式
1  1   xn
xn1＜x＜1 ； 1 n xn1＜x＜1 ；ex  ＜x＜；
1x 1x n!
n0 n0 n0
 x2n1  x2n
sinx1 n ＜x＜；cosx1 n ＜x＜；
 2n1  !  2n  !
n0 n0
6 xn  xn
ln  1x 1 n1 1＜x1 ；ln  1x  1 x＜1 .
n n
n1 n1
第七章 常微分方程
考点1 可分离变量的微分方程求解步骤
dy
形如  f  x  g  y 的微分方程称为可分离变量的微分方程.求解步骤：
dx
（1）分离变量：把可分离变量的微分方程变形，变成一端只含 y的函数和dy ，另一端只
含x的函数和dx.
（2）两端积分：对变形后的微分方程两端分别进行积分，即可求得原微分方程的通解.
考点2 一阶线性非齐次微分方程
形如 yP  x  y Q  x 的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程.
则其通解公式为 y ［Q  x  e
Pxdx
dxC］e
Pxdx
.
考点3 二阶常系数线性齐次方程 y pyqy  0通解的求法
先写出与其对应的特征方程r2  prq 0.
（1）若特征方程有两个不等实根r，r ，则齐次方程的通解为 y Cer 1 x C er 2 x.
1 2 1 2
（2）若特征方程有一重根r，则齐次方程的通解为 y  C xC  erx.
1 2
（3）若特征方程无实根，或者说有一对共轭复根r i，r i，则齐次方程的
1 2
通解为 y ex C cosxC sinx .
1 2
考点4 二阶常系数线性非齐次方程 y pyqy  f  x 通解的求法
（1）先求出与其对应的齐次方程 y pyqy  0的通解 y.
（2）再求出非齐次方程的特解y*，则该方程的通解为y  y y*.
特解 y*的求法：若 f  x P  x  ex，则方程的特解可设为y* xkQ  x  ex.其中Q  x 
n n n
与P  x 是同次多项式，系数待定，且
n
0, 不是特征根,

k  1，为单独特征根,

2，为二重特征根.
7