《高等数学（一）（专升本）》精华考点整理_成考本科-所有考试科目-近10年真题和答案+2026备考通关资料大全_高数一-近10年真题和答案+2026成考本科备考通关资料大全

精华考点 6 页纸 高等数学（一） 专科起点升本科 1第一章 极限和连续 考点1 常用等价无穷小代换 当x0时，x～sinx～ln  1x ～arcsinx～arctanx～ex1～tanx ， 1 1cosx～ x ２ ,  1x  1～x （为实常数，0）. 2 考点2 函数极限存在的充要条件 （1）lim f  x  A lim f  x  A且lim f  x  A . x x x （2）lim f  x  A lim f  x  A且lim f  x  A . xx０ xx０  xx０  函数在一点处极限存在的充要条件是左右极限都存在且相等.如果左右极限有一个不存在， 或者左右极限都存在但不相等，则函数在这点处的极限不存在. 考点3 函数极限四则运算法则 设有函数 f  x  ,g  x ，若lim f  x  A，lim g  x B ，则 xx xx 0 0 （1）lim［f  x g  x ］ lim f  x lim g  x  AB . xx xx xx 0 0 0 （2） lim［ f  x  g  x ］ lim f  x  lim g  x   AB . x x x x x x 0 0 0     lim f x f x A （3）lim  xx 0  （B0).     xx g x limg x B 0 xx 0 a m，mn，  b P  x  a xm a xm1a   n （4）lim lim m m1 0  ，m＞n， xQ  x  x b n xn b n1 xn1b 0  0，m＜n.   考点4 两个重要极限 x sinx  1 lim 1；lim1  e. x0 x x x 考点5 函数在一点连续的充要条件 函数 f  x 在点x 连续的充要条件是 f  x 在点x 处既左连续又右连续，即 0 0 lim f  x  f  x  lim f  x  lim f  x  f  x . 0 0 xx 0 xx 0  xx 0  第二章 一元函数微分学 考点1 函数在一点可导的充要条件 函数 f  x 在点x 处可导的充要条件是 f  x 在点x 处的左、右导数都存在且相等，即 0 0 2f x  A f  x  f  x  A . ０  ０  ０ 考点2 导数的几何意义 若函数 y  f  x 在点x 处的导数 f x 存在，则表明曲线 y  f  x 在点  x，f  x  处 0 0 0 0 存在切线，且切线的斜率为 f x ，切线方程为 y f  x  f x  xx ，法线方程 0 0 0 0 1 为 y f  x   xx  f x  0  . 0 f x  0 0 0 0  考点3 洛必达法则（“ ”型或“ ”型未定式） 0  如果函数 f  x  ,g  x 满足条件： （1）在点x 的某一去心邻域（或｜x｜＞N ）内可导，且g x  0. 0 （2） lim f  x 0，lim g  x 0或 lim f  x ，lim g  x  . xx xx xx xx x 0 x 0 x 0 x 0 f x  f  x  f x  （3） lim 存在（或为无穷大），则 lim  lim . xx g x  xx g  x  xx g x  x 0 x 0 x 0 考点4 函数取得极值的充分条件 1.第一种充分条件 设函数y  f  x 在点x 的某一邻域内可导，且 f x 0（或在点x 处 f(x)不存在）. 0 0 0 若在此邻域内： （1）当x＜x 时， f x ＞0，而当x x 时， f(x)0，则 f  x 在点x 处取得极大值 0 0 0 f  x . 0 （2）当x＜x 时， f x 0，而当x x 时， f x ＞0，则 f  x 在点x 处取得极小值 0 0 0 f  x . 0 若当x＜x 与x x 时， f(x)不改变符号，则 f  x 在点x 处不取得极值. 0 0 0 2.第二种充分条件 设函数 y  f  x 在点x 处具有二阶可导，且 f x 0, f x  0.若 0 0 0 （1） f x ＜0，则 f  x 在点x 处取得极大值 f  x . 0 0 0 （2） f x ＞0，则 f  x 在点x 处取得极小值 f  x . 0 0 0 3（3） f x 0，则函数 f  x 在点x 处可能取得极值，也可能不取得极值，这时需要用 0 0 第一种充分条件判定. 考点5 最大值与最小值的求法 求最大值与最小值的一般方法是： （1）求出 f  x 在(a,b)内的所有驻点、导数不存在的点. （2）求出上述各点及区间两个端点xa,xb处的函数值. （3）进行比较，其中最大的数值即为 f  x 在［a,b］上的最大值，而其中最小的数值即为 f  x 在［a,b］上的最小值. 考点6 曲线凹凸性及拐点的判定 设函数 y  f  x 在［a,b］上连续，在(a,b)内二阶可导. （1）若在(a,b)内有 f(x)0，则曲线 y  f  x 在(a,b)内为凹的. （2）若在(a,b)内有 f(x)0，则曲线 y  f  x 在(a,b)内为凸的. 求出使二阶导数等于零的点，以及二阶导数不存在的点，如果 f(x)在x 的两侧异号，则 0  x，f  x  为曲线弧 y  f  x 的拐点. 0 0 第三章 一元函数积分学 考点1 第一换元积分法（凑微分法） 设 f  u 具有原函数F  u ，u  x 可导，则有换元公式  ［f  x ］ x  dx  f［ x ］d x  f  u  du F  u C F［ x ］C . 考点2 第二换元积分法 设x t 是单调可导函数，又已知 ［f  t ］ t 具有原函数 t ，则［1 x ］是 f  x  的原函数.即  f  x  dx  f［ t ］ t  dt  t C ［1 x ］C .其中 1 x 是x t 的反函数. 考点3 分部积分法 设函数u u  x ，vv  x 具有连续的导函数，则有udv u vvdu. 利用分部积分法的关键在于选择适当的u和dv.一般来说，需要考虑：先要考虑dv，要便 于求出原函数v；再考虑利用分部积分公式后，vdu比udv便于计算. 考点4 函数可积的条件 4（1） y  f  x 在［a,b］上可积的必要条件是 f  x 在［a,b］上有界. （2） y  f  x 在［a,b］上可积的充分条件是 f  x 在［a,b］上连续. 考点5 变上限积分的求导 若函数 f  x 在区间［a,b］上连续，则变上限积分R  x   x f  t  dt 是被积函数 f  x 的一 a 个原函数，即R x  f  x 或 d  x f  t  dt  f  x . dx a 考点6 牛顿-莱布尼茨公式 设函数 f  x 在区间［a,b］上连续，F  x 是 f  x 的一个原函数，则 b  b f  x  dx F  x  F  b F  a . a a 第四章 空间解析几何 考点1 平面的点法式方程 过 点 M  x ,y ,z  ， 以 n｛A,B,C｝ 为 法 向 量 的 平 面 方 程 为 0 0 0 0 A  xx B  yy C  zz  0，称之为平面的点法式方程. 0 0 0 考点2 直线的标准式方程 xx y y zz 过点M  x ,y ,z 且平行于向量S ｛m,n,p｝的直线方程为 0  0  0 ，称 0 0 0 0 m n p 之为直线的标准式方程，这里S称之为直线的方向向量. 考点3 球面方程和椭圆锥面方程 方程 x-a ２  y-b ２  z-c ２ R2 表示球心在 a,b,c  ，半径为 R 的球面方程.方程 ２ ２ ２ x y z   1（其中a 0,b0,c0）表示中心在原点的椭球面，称之为椭球面方 ２ ２ ２ a b c ２ ２ ２ x y z 程.    0表示顶点在原点，z轴为对称轴的椭圆锥面. ２ ２ ２ a b c 第五章 多元函数微积分学 考点1 全微分 z z 若 z  f  x,y  在  x ,y  处 可 微 ， A ，B  ， 则 有 0 0 x xx０ y xx０ yy０ yy０ z z dz  dx dy . xx０ x xx０ y xx０ yy０ yy０ yy０ 考点2 复合函数的偏导数 5设函数u  x,y  ,v x,y 在点 x,y 处有连续偏导数.函数 z  f  u,v  在对应点  u,v 处有连续偏导数.则复合函数z  ［f  x,y  , x,y ］在点 x,y 处对x,y有连续偏 z z u z v z z u z v 导数，且   ，   . x u x v x y u y v y 考点3 一元隐函数的偏导数 设方程F  x,y 0确定 y是x的函数，且F  x,y 在点 x,y 的某个邻域内具有连续偏导   数，则 dy  F x x,y  F  x,y  0  . dx F  x,y  y y 考点4 直角坐标系下二重积分的计算 （1）若D ｛ x,y ｜a xb,c y d｝，则  f  x,y  dxdy  b dx d f  x,y  dy 或 d dy b f  x,y  dx. a c c a D （2）若D ｛ x,y ｜a xb, x  y   x ｝，则 1 2  f  x,y  dxdy  b dx  2 x f  x,y  dy . a x 1 D （3）若D ｛ x,y ｜c y d,  y  x  y ｝，则 1 2  f  x,y  dxdy  d dy  2 y f  x,y  dx . c y 1 D 第六章 无穷级数 考点1 收敛半径的求法  a 1 对幂级数a xn，设lim n1 ，则有：若0，则R  ；若0，则R  n n a  n0 n （在整个数轴上都收敛）；若，则R 0（仅在x0点收敛）. 考点2 几种常用函数的幂级数展开式 1  1   xn xn1＜x＜1 ； 1 n xn1＜x＜1 ；ex  ＜x＜； 1x 1x n! n0 n0 n0  x2n1  x2n sinx1 n ＜x＜；cosx1 n ＜x＜；  2n1  !  2n  ! n0 n0 6 xn  xn ln  1x 1 n1 1＜x1 ；ln  1x  1 x＜1 . n n n1 n1 第七章 常微分方程 考点1 可分离变量的微分方程求解步骤 dy 形如  f  x  g  y 的微分方程称为可分离变量的微分方程.求解步骤： dx （1）分离变量：把可分离变量的微分方程变形，变成一端只含 y的函数和dy ，另一端只 含x的函数和dx. （2）两端积分：对变形后的微分方程两端分别进行积分，即可求得原微分方程的通解. 考点2 一阶线性非齐次微分方程 形如 yP  x  y Q  x 的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程. 则其通解公式为 y ［Q  x  e Pxdx dxC］e Pxdx . 考点3 二阶常系数线性齐次方程 y pyqy  0通解的求法 先写出与其对应的特征方程r2  prq 0. （1）若特征方程有两个不等实根r，r ，则齐次方程的通解为 y Cer 1 x C er 2 x. 1 2 1 2 （2）若特征方程有一重根r，则齐次方程的通解为 y  C xC  erx. 1 2 （3）若特征方程无实根，或者说有一对共轭复根r i，r i，则齐次方程的 1 2 通解为 y ex C cosxC sinx . 1 2 考点4 二阶常系数线性非齐次方程 y pyqy  f  x 通解的求法 （1）先求出与其对应的齐次方程 y pyqy  0的通解 y. （2）再求出非齐次方程的特解y*，则该方程的通解为y  y y*. 特解 y*的求法：若 f  x P  x  ex，则方程的特解可设为y* xkQ  x  ex.其中Q  x  n n n 与P  x 是同次多项式，系数待定，且 n 0, 不是特征根,  k  1，为单独特征根,  2，为二重特征根. 7